泊松分布与生灭过程 ppt课件
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统计学二项分布与泊松分布ppt课件
由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
（1）展开式的项数为n+1。 （2）展开式每项π和（1-π）指数之和为n。 （3）展开式每项的指数从0到n；（1-π）
的指数从n到0。
由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
（4）二项分布的区间累积概率 设m1≤X≤m2 ,m1＜m2）, 则X在m1至m2 区间的累积概率有：
2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中 项分布。
3.二项分布名称: 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家 J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。
m2
Pn (m1 X m2 ) CnX X (1 )nX X m1
至多有x例阳性的概率为：
x
Pn ( X x) P( X ) X 0
X=0,1,2，…，x (7.4)
至少有x例阳性的概率为：
n
Pn ( X x) P( X ) X x
X=x，x+1，…，n (7.5)
公式（7.4）为下侧累计概率，公式（7.5）为上侧累计概率。
《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
Cnn1 n1 (1 )1 Cnn n (1 )0 1 （7.2）
泊松过程poisson课件
则T 旳概率分布为 分布:
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
泊松分布与生灭过程报告.ppt
❖ 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为 dt t / m。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，
如果在dt内，没有顾客到达，则称为“空着”。 被“占着”的概率近似为
P1(t, t t) t o(t)
被“空着”的概率近似
P0 (t, t t) 1 t o(t)
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到
Pn (t) 0
n2
——普遍性条件
只要排队系统的输入过程和服务过程符合泊松分布， 排队过程符合生灭过程
..........
18
二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
i0
i 1
P0
m i 1
d
d
(i )
P0
d
d
m
(
i 1
i)
P0
d
d
1 m1
(
1
)
1
P0
1
பைடு நூலகம்
(m
1) m (1 )2
m
m 1
..........
1
LS
m 2
38
❖ 2、排队长——系统中等待的顾客数量
m
Lq Pi (i 1) i 1
m
m
i Pi Pi
i 1
第三章泊松过程PPT课件
பைடு நூலகம்
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
泊松分布与生灭过程PPT精选文档
❖ 从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一 个过程的不同表现形式。
01.11.2020
14
第三节 生灭过程
01.11.2020
15
一、生灭过程定义
❖ 研究系统内部状态变化的过程 状态i+1
一个事件
系统状态i
一个事件
状态i-1
在Δt时刻内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt) →0
n2
01.11.2020
6
流的平稳性
流的普遍性
P 1 (t,t t) t o ( t)
Pn(t,tt)o(t)
n2
P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率
01.11.2020
7
在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾 客的概率 Pn(t)?
P(ht)1et
在单位时间Δt内，发生 n次随机事件的概率
随机事件发生时间间隔 小于单位时间Δt的概率
参数1个：λ—顾客的平均到达率
01.11.2020
13
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 单位时间内的到达数服从泊松分布。
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 到达的时间间隔服从负指数分布。
❖ 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为
dtt/m 。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，
如果在dt内，没有顾,t t) t o ( t)
被“空着”的概率近似 P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到
01.11.2020
如在Δt→0内，交叉口一条车道 到达两
01.11.2020
14
第三节 生灭过程
01.11.2020
15
一、生灭过程定义
❖ 研究系统内部状态变化的过程 状态i+1
一个事件
系统状态i
一个事件
状态i-1
在Δt时刻内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt) →0
n2
01.11.2020
6
流的平稳性
流的普遍性
P 1 (t,t t) t o ( t)
Pn(t,tt)o(t)
n2
P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率
01.11.2020
7
在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾 客的概率 Pn(t)?
P(ht)1et
在单位时间Δt内，发生 n次随机事件的概率
随机事件发生时间间隔 小于单位时间Δt的概率
参数1个：λ—顾客的平均到达率
01.11.2020
13
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 单位时间内的到达数服从泊松分布。
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 到达的时间间隔服从负指数分布。
❖ 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为
dtt/m 。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，
如果在dt内，没有顾,t t) t o ( t)
被“空着”的概率近似 P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到
01.11.2020
如在Δt→0内，交叉口一条车道 到达两
泊松过程、马尔科夫链-PPT精选文档
二、泊松过程
1.计数过程
若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足以下条件：
1N t 0 ; 2 N t 取正整数； N 3 若 s t ，则 N s t; 4 当 s t 时， N t N s 等于区间 s ,t 中发生的“事件 A ”的次数 .
R s , t s t 1 X
C s , t R t , s t s min s , t X X X X
u E e exp t e 1
i uX t
iu X
(3)泊松过程的一个实例
设N(t)表示某电话交换台在时间[0,t)内接到的呼唤次数。 可以证明，对固定的t，呼唤次数N(t)是服从某参数λ的泊松分 布的随机变量。证明从略。
(4)时间间隔与等待时间的分布
T1
O
W1
T2
W2
T3
W
3
Tn
W n1
W
n
{X(t),t≥0}是泊松过程 X(t)表示t时刻事件A发生 (如:顾客出现)的次数，
则随机过程{N(t),t≥0}为计数过程。
泊松过程→
2.泊松过程
复习：泊松分布
(1)泊松过程的定义
设随机过程{X(t),t≥0}的状态空间为X={0,1,2,…},且 满足下列三个条件：
Xt , t 0 ① 为独立增量过程；
②对任意 0 s t, Xt Xs ~ t s,
X
E X t X s t s ;
t E X t X 0 t 0 t ;
随机过程Ch3泊松过程ppt课件-48页PPT精选文档
13
n
P [ N (t) N (0)] n j P N (t h) N (t) j j0
n
Pn j (t )Pj (h) j0
n
Pn (t ) P0 (h) Pn1 (t ) P1 (h) Pn j (t )Pj (h) j2
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
0
满足
08.10.2019
9
（1） N (0) 0
2
（3） P{N(h) 1} h (h)
（4） P{N(h) 2} (h)
其 中 ( h ) 表 示 当 h 0 时 对 h 的 高 阶 无 穷 小 ，
则 随机过程{ N(t)， t 0 }称为一个计数过程
且满足：
（1） N(t) 0 （2） N(t)是整数值
（3）对任意两个时刻 0 t1 t2 ，有 N (t1) N (t2 ) （ 4 ） 对 任 意 两 个 时 刻 0 t 1 t 2 ，
N (t2 ) N (t1)等于在区间 (t1 , t2 ] 中发生的事件的个数
则称 N(t) 为具有参数 的 Poisson(泊松)过程
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)]t 并称
速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
08.10.2019
8
说明
要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
P0 (t )
o(h) h
,
当h
0时 有 P0(t )
北大随机过程课件泊松过程PPT
事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即
Pr{ x<y}。
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5). (续)
1 x 2 x dx e e 1 0 1 dx ( 1 2 )e ( ( 1 2 ) 0
1 2 ) x
泊松分布的母函数
( t ) t n t (1 s ) (s) Pn s e s e n! n 0 k 0
n n
2018/11/10
泊松过程的统计特征
泊松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
se s e (t s ) s t t te
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及
{N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平
均数分别是λ1 、λ2，设x，y分别是两个过程出
现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).(续)
( 1 x ) 1 x 2 x 0 dx 1 (k 1)! e e
fTn (t ) e
t
(t 0)
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(3). 泊松过程{N(t), t>0}的第n个 事件到达时间t的概率密度分布 .
0 ~ t 到达n-1个， 即： t ~ t t 内有一 个到达。
( ) f ( ) e (n 1)!
Pr{ x<y}。
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5). (续)
1 x 2 x dx e e 1 0 1 dx ( 1 2 )e ( ( 1 2 ) 0
1 2 ) x
泊松分布的母函数
( t ) t n t (1 s ) (s) Pn s e s e n! n 0 k 0
n n
2018/11/10
泊松过程的统计特征
泊松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
se s e (t s ) s t t te
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及
{N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平
均数分别是λ1 、λ2，设x，y分别是两个过程出
现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).(续)
( 1 x ) 1 x 2 x 0 dx 1 (k 1)! e e
fTn (t ) e
t
(t 0)
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(3). 泊松过程{N(t), t>0}的第n个 事件到达时间t的概率密度分布 .
0 ~ t 到达n-1个， 即： t ~ t t 内有一 个到达。
( ) f ( ) e (n 1)!
第六章、二项与泊松分布ppt课件
总体率的可信区间
所以当样本含量为n=20，阳性发生数x=5，总 体率的95%可信区间为(0.087~0.491)
因为不但要求累积概率，还要不断的尝试，所 以求该区间的手工计算量十分庞大
统计学家已经绘制了一张表格，方便我们直接 查找！——附表6
总体率的可信区间的正态近似法
当np与n(1-p)均大于5且n足够大时，样本率p的 抽样分布近似正态，可以写为p ~ N( p, sp2)
mp p
样本率的标准差Var (p) （或sp） ：
sp
p (1p )
n
样本率的抽样分布 (sampling distribution of rate)
样本率的总体均数等于总体率 m p p
样本率的标准差(即率的标准误)反映率的抽样误差
sp
p (1p )
n
由于总体率通常是未知的，因而用样本率p来估计p，故
二项分布的阳性数的均数与标准差
如果随机事件满足贝努利试验条件 则称随机事件的阳性数x满足二项分布B( n,
p) 阳性数x的均数与标准差又是多少？
阳性数的均数与标准差
均数E (x)（或mx）：
mx np
标准差Var (x) （或sx） ：
sx np(1p)
样本率的均数与标准差
样本率的均数E (p)（或mp）：
本题的问题是该地的患病情况是否较以前下降
假设总体患病率没有下降，那么现在该地的高 血压患病率仍为10%；那么从中得到一个比当 前样本率6%还要极端的情况概率是否是一个小 概率事件？
如果是小概率事件，则原假设有问题，因为小 概率事件不太可能在一次抽样中发生，因而拒 绝它；反之，如果不是小概率事件，那么尚不 拒绝它。
来不是小概率事件，即：
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06.09.2020
( n！ t)n m li m 1m tm
(t)n
n！
et
Pn(t)( n！ t)n e10t
符合最简单流（泊松流）的随机事件
发生规律称为泊松分布
Pn(t)( n！ t)n et
单位时间发生n个随机时间的概率 参数1个：λ—顾客的平均到达率
思考：交叉口交通流量，排队车辆？
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达可以看成是m次独立的试验
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n 个顾客的概率 Pn(t) ?
在m个dt中，有n个dt被顾客“占着”的概
率 利用二项定律
P n( t)P m (n)C m n m t n 1m t m n
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dt0，m
P n( t)m l i m C m n m t n 1m t m n
lim m (m 1 )m ( 2 )(m n 1 ) t n 1 t m n
m
n !
m m
( n ！ t)nm l i m m m m m 1 m m n 1 1 m t m n
n2
只要排队系统的输入过程和服务过程符合泊松分布， 排队过程符合生灭过程
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二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
状态
系统服务率
Δt内有一个顾客到达的概率
2、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i-1的概 率为μiΔt+O(Δt)——平稳性条件
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Δt内有一个顾客离开的概率 17
3、在（t,t+Δt）内系统发生两次以上转移的概率 为O(Δt)，即有2个以上顾客到达或离开的概率为
Pn (t) 0 ——普遍性条件
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如在Δt→0内，交叉口一条车道 到达两
辆车的概率为O(Δt) →0
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系统具有0,1,2,……个状态。在任何时刻，若系 统处于状态i，并且系统状态随时间变化的过程 满足以下条件，称为一个生灭过程：
1、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i+1的 概率为λiΔt+O(Δt)——平稳性条件
P(ht)1et
在单位时间Δt内，发生 n次随机事件的概率
随机事件发生时间间隔 小于单位时间Δt的概率
参数1个：λ—顾客的平均到达率
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❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 单位时间内的到达数服从泊松分布。
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 到达的时间间隔服从负指数分布。
t→∞时，Pi(t)趋向于常数：系统达到稳定
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❖ 系统达到稳定后：每个状态转入率的期 望值与转出率的期望值相等。
对于状态i：转出率的期望值为
iP iiP i(ii)P i
转入率的期望值为
P P i1 i1 i1 i1
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
第二节 顾客到达分布
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系统的组成
顾客
服务机构
顾客到达有先后
服务时间有长短
存在随机性
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❖ 要想预测在某一时刻将有多少顾客要求服务系统服 务，或者预测某一顾客的服务时间将要延误多久这 都是不可能的
❖ 对单位时间内到达系统的顾客数和服务时间这两个 随机变量进行概率的描述
❖ 描述顾客到达和服务时间的方法，要求出单位时间 内有K个顾客到达系统要求服务的概率，以及服务 时间不少于某一时间长度的概率
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最简单流（泊松流）
❖ 流的平稳性
➢ 对于任意的t≥0及Δt≥0，在时间区间(t,t+Δt)内有n 个顾客到达的概率只与Δt有关，与时间区间的起点t 无关。
❖ 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为
dtt/m 。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，
如果在dt内，没有顾客到达，则称为“空着”。
被“占着”的概率近似为
P 1 (t,t t) t o ( t)
被“空着”的概率近似 P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到
当Δt充分小时，在(t,t+Δt)内有一个顾客到达的概 率与Δt成正比，即
P 1 (t,t t) t o ( t)
其中，O(Δt)是当Δt →0时，关于Δt高阶无穷小，λ为 单位时间内的顾客到达平均数。
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❖ 流的无后效性和 t3,t4 (t1t2t3t4)内，顾客的到达数是相
❖ 从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一 个过程的不同表现形式。
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第三节 生灭过程
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一、生灭过程定义
❖ 研究系统内部状态变化的过程 状态i+1
一个事件
系统状态i
一个事件
状态i-1
在Δt时刻内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt) →0
n2
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流的平稳性
流的普遍性
P 1 (t,t t) t o ( t)
Pn(t,tt)o(t)
n2
P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾 客的概率 Pn(t)?
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泊松分布的另外一种表达方 式——负指数分布
Pn(t)( n！ t)n et
若n=0
在Δt的时间段内没有顾客达到的概率
P0(t)et
前后两次随机事件发生的时间间隔大于Δt
P(ht)et
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P(ht)et
负指数分布
Pn(t)( n！ t)n et
泊松分布
随机事件发生时间间隔 大于单位时间Δt的概率
互独立的，即前一顾客的到达不影响后一顾客的到 达。
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❖流的普遍性
❖ 在同一时刻，有两个及两个以上顾客到达的 概率与有一个顾客到达的概率相比小到可以 忽略的程度，即当Δt充分小时，在时间区间 (t,t+Δt)内有2个及2个以上顾客到达的概率是 关于的高阶无穷小。
Pn(t,tt)o(t)