排队模型分析法
订单处理中的排队论模型研究
订单处理中的排队论模型研究在现代商业环境中，订单处理是任何企业或组织不可或缺的一部分。
如何高效地管理订单处理流程成为了检验企业运营能力的重要指标之一。
排队论模型是一种研究订单处理中服务设施效率的数学工具，其可以帮助企业找到优化订单处理流程的方法。
本文将介绍排队论模型在订单处理中的研究应用，并探讨其对提升服务质量和效率的意义。
一、排队论模型概述排队论模型是对排队系统进行建模和分析的数学工具。
它可以用来研究各种排队现象，例如：顾客到达时间、服务时间、顾客等待时间、服务人员数量等。
排队论模型中的关键参数包括到达率、服务率和服务设施数量，通过调整这些参数可以控制和优化排队系统。
在订单处理中，排队论模型可以衡量订单等待时间、服务水平，为企业提供决策依据。
二、排队论模型在订单处理中的应用1. 订单接受率优化通过排队论模型，企业可以根据订单的到达率和服务设施数量，优化订单接受率。
在接受新订单时，企业可以根据当前服务设施的负载情况来决定是否接受，并设置适当的等待阈值。
通过合理地控制订单接受率，企业可以避免资源浪费和订单滞后。
2. 服务设施数量优化排队论模型可以帮助企业确定合适的服务设施数量，以达到最佳的订单处理效率和服务质量。
在订单处理过程中，流程瓶颈往往出现在服务设施数量不足的环节。
通过分析排队论模型，企业可以评估当前服务设施的数量是否满足需求，避免因过多或过少的服务人员而导致效率低下或服务质量下降。
3. 顾客等待时间分析订单处理中的顾客等待时间是影响客户满意度和忠诚度的关键因素之一。
排队论模型可以用来分析顾客等待时间的概率分布，并提供相应的服务水平指标，如平均等待时间、最长等待时间等。
企业可以根据这些指标来设定合理的服务水平目标，以最大程度地满足客户需求。
三、排队论模型在订单处理中的意义排队论模型在订单处理中的应用，能够帮助企业合理分析和设计订单处理流程，提高服务质量和效率。
通过对排队论模型的研究，企业可以优化资源配置，减少服务瓶颈，提前预测和解决潜在问题，从而实现更高效的订单处理。
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
mm1n排队论模型参数
mm1n排队论模型参数
M/M/1 排队论模型是一种简单的排队系统模型，用于分析单一服务台、顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的系统。
在M/M/1 模型中，有三个主要参数：
1. 到达率（λ）：表示单位时间内到达系统的顾客数的期望值，服从参数为λ的泊松分布。
到达率决定了系统中的顾客数量变化速率。
2. 服务率（μ）：表示单位时间内一个顾客被服务完成的期望值，服从参数为μ的指数分布。
服务率决定了系统中顾客等待服务的速度。
3. 顾客到达和服务时间是独立的：这个条件表明顾客的到达和服务的完成之间没有影响，使得模型更具有现实意义。
通过平衡方程法，可以对M/M/1 模型进行稳态分析，计算出以下几个重要性质：
1. 队长（Ls）：表示系统中的顾客数（n）的期望值。
2. 排队长（Lq）：表示系统中排队等待服务的顾客数（n）的期望值。
3. 逗留时间（Ws）：指一个顾客在系统中的全部停留时间，为期望值。
4. 等待时间（Wq）：指顾客在系统中等待服务的時間，为期望值。
了解这些参数后，可以对M/M/1 模型进行评估和优化，以提高系统的效率和服务质量。
M/M/1 模型虽然简单，但在实际应用中具有广泛的价值，如电话交换系统、计算机网络、银行窗口等。
掌握M/M/1 模型的基本原理和分析方法对于学习排队论和实际应用具有重要意义。
第3章 排队模型分析法-3-
/(k-1)
求解平稳分布
平衡方程 由正则性条件：
p1 p0 p0 2 p p p 2 2 1 2! 0 k ρ p pk-1 p0 k k k!
ρk 1 pk p0 e ρ p0 k 0 k 0 k! p0 e ρ ρk ρ pk e k! k 0,1,2,
顾客源中单个顾客的到达率为
当系统中有k个顾客的时候，顾客源中有 (m-k)个顾客，到达率为(m-k)
顾客源中的顾客数m-k (m-k)
系统内的顾客数k
0km
最大顾客数m
M/M/1/m/m的状态流图
m 0 1 (m-1) 2 (m-2) 2 m-1 m
列出状态转移平衡方程：
排队越长，进入可能性越小(令 αk＝
1 k 1
)；
顾客所需的服务时间序列{n，n1}独立、服从 参数为(>0)的负指数分布； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此 独立。
2.系统状态分析
仍用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令
pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i}，i,j＝0,1,2,… 则pij(t)的推导有
Wq(t)＝P{Wq≤t}
e (t ) 1 , t0 e 1 k 1 (k 1)! j 0 j!
k 1 j
t
k 1
e 1 平均等待时间为： Wq (e 1)
5.逗留时间
类似地，顾客的逗留时间的分布函数为
W(t ) P{W t} P{Wq 0, t} P{0 W t, Wq 0}
排列组合解题策略大全(十九种模型)
排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
关于成都东站乘客候车模型的分析报告
关于成都东站乘客候车模型的分析报告一模型理论概述1 项目概况成都东站位于成都市中心，是一个车次多、人流量大的重要交通枢纽。
无论是搭乘高铁还是自驾，乘客都可以轻松抵达东站。
自驾游的乘客也可以直接从东站的东、西两个入口离开。
到达成都东站的乘客可以从站台两侧任意的出口或者站台中部的无障碍电梯到达出站层,经过检票后游客就可以自行选择离开。
游客下车后可以直接进入站内换乘坐地铁、高铁；也可以直接在出站层换乘私家车、公交车或者出租车前往目的地。
2 模型假设针对成都东站乘客候车模型的分析，可做出如下假设：（1）假设乘客离开成都东站首先考虑的交通方式是出租车；（2）假设出租车均为同一运营商，其车型均一致；（3）影响乘客决策的因素符合实际情况。
（4）车站乘客的决策方案只与三种准则层有关。
3 模型分析乘客的出行决策受到许多因素的影响，包括等待时间、支出情况以及其他相关因素。
因此，对这些因素进行分类讨论，以更好地了解乘客的出行选择，并为乘客提供有效的出行建议。
（1）当乘客人数超过了预期的出租车数量时，根据排队论中的先到先行原则来分析乘客的出行情况。
同时考虑其他出行方式所耗费的时间和费用，并根据泊松分布来估算出租车的接送人数。
最后，通过出租车的价格和单位里程的油费来计算出乘客的总支出。
通过比较两种情况下所耗费的时间及支出费用。
为乘客提供全面、准确的出行方案导，以确保安全出行；（2）通过对“乘客乘坐出租车”和“乘坐其他出行方式”两种情况的分析比较，可以更好地评估出租车等待乘客的数量，并基于此构建出有效的决策模型，以提供更优质的服务。
4 层次分析法AHP，也被称作层次分析，旨在通过把一些相互联系的要素划分到不同的级别，如目标、原则、计划，并依据它们来做出相应的判断。
它具备良好的系统性，能够帮助更好地理解复杂的决策问题，并且能够更加精确地预测未来的发展趋势。
这种方法专门用于处理无数据的复杂情况下的决策问题。
层次分析法的根本是打分法：确定指标，不同方案指标打分，为指标确定权重，用来处理数据未知的评价。
排队问题知识点总结归纳
排队问题知识点总结归纳排队问题是生活中常见的一种现象，在各个领域都有着广泛的应用。
从排队理论到排队模型，排队问题涉及数学、经济学、物理学等多个学科领域，具有重要的理论和实践价值。
一、排队问题的定义和基本特点排队问题是指在一定的规则下，由许多个体依次等待某种服务或者处理某种事务的过程。
排队问题具有以下基本特点：1. 排队的客体：排队问题的客体可以是人、机器、车辆等，对于不同的客体，排队规则和模型可能不同。
2. 排队的服务：排队的服务可以是购物、交通、医疗、餐饮等多种形式，不同的服务对排队的要求也不同。
3. 排队的规则：排队可能遵循先来先服务、优先等级、随机等待等不同的规则，不同的规则下可能产生不同的效果。
4. 排队的目的：排队的目的是为了合理分配资源、提高效率、保障公平等多种原因。
二、排队问题的基本模型排队问题可以用数学模型来描述，常见的排队模型有M/M/1排队模型、M/M/c排队模型、M/G/1排队模型等。
这些模型基于排队的客体、服务、规则和目的，对排队问题进行了抽象和理论分析。
排队模型的基本元素包括：到达过程、服务过程、排队规则和系统性能指标。
1. 到达过程：描述排队客体到达的频率和规律，主要包括到达间隔的分布、到达率和到达模式。
2. 服务过程：描述排队客体接受服务的频率和规律，主要包括服务时间的分布、服务率和服务模式。
3. 排队规则：描述排队客体的排队规则，主要包括优先级、服务顺序、等待规则等。
4. 系统性能指标：描述排队系统的效率、稳定性和公平性等性能指标，主要包括平均等待时间、系统繁忙率、系统利用率等。
三、排队问题的常见应用排队问题在现实生活中有着广泛的应用，涉及到交通、医疗、零售、餐饮、银行等多个领域。
根据不同的应用领域，排队问题的特点和模型也会有所不同。
1. 交通领域：交通拥堵是城市问题的常见症结，而排队问题的根本原因之一。
研究交通排队问题，可以从交通流理论、交通信号控制、交通规划等多个角度入手，找到合理的解决办法。
有关排队问题的排列组合题解法举例
有关排队问题的排列组合题解法举例例1：三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法．（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法．解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有种不同的排法，（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种不同排法．因此共有种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有种不同的排法．说明：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法． 若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．例2 7名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有37A 种排法；第二步，剩下的4人排在后排，有44A 种排法，故一共有774437A A A =⋅种排法．事实上排两排与排成一排一样，只不过把第7~4个位子看成第二排而已，排法总数都是77A ，相当于7个人的全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．解：(1) 5040774437==⋅A A A 种． (2)第一步安排甲，有13A 种排法；第二步安排乙，有14A 种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有55A 种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有1440551413=⋅⋅A A A 种．(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有55A 种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有33A 种排法．由分步计数原理得，共有7203355=⋅A A 种排法． (4)第一步，4名男生全排列，有44A 种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有35A 种插入方法．由分步计数原理得，符合条件的排法共有：14403544=⋅A A 种． 说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．例3 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法： 6408551424551224=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A (种)．解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是7714A A ⋅．在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是5514131214A A A C A ⋅⋅⋅⋅．其中第一个因数14A 表示甲坐在第一排的方法数，12C 表示从乙、丙中任选出一人的办法数，13A 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个14A 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，55A 就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为640855141312147714=⋅⋅⋅⋅-⋅A A A C A A A (种)． 例4 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为7654321、、、、、、．先选定两个空位，可以在21、号位，也可以在32、号位…共有六种可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在21、号，则另一空位可以在7654、、、号位，有4种可能，相邻空位在76、号位，亦如此．如果相邻空位在32、号位，另一空位可以在765、、号位，只有3种可能，相邻空位在43、号，54、号，65、号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．解答一：就两相邻空位的位置分类：若两相邻空位在21、或76、，共有1924244=⨯⨯A (种)坐法．若两相邻空位在32、，43、，54、或65、，共有2883444=⨯⨯A (种)不同坐法，所以所有坐法总数为480288192=+(种)．解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有4802544=⋅A A (种)不同坐法． 解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有47A 种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有55A 种不同方法．三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有1044⨯A 种不同方法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为48010445547=--A A A (种)．。
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排队系统的基本组成——排队规则
服务是否允许排队，顾客是否愿意排队。在排队等待 的情况下服务的顺序是什么。 1) 损失制 顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构不
允许顾客等待，此时该顾客就自动离去 2) 等待制 顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队
等待服务 a) 先到先服务 b) 后到先服务 c) 随机服务 d) 有优先权服务：强拆型优先权、非强拆型优先权 3) 混合制 损失制与等待制的混合 a) 队长(容量)有限的混合制 b) 等待时间有限的混合制 c) 逗留时间有限的混合制
排队系统的基本组成——服务机构
1) 服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联
2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物)
3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
排队方式
MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
定长分布(deterministic distribution)
M/G/1 with embedded Markov chain method 1961: Little proved the Little Formula 1975/6: Kleinrock published the best known textbook in
queueing theory 1982: Wolff proved and popularized the PASTA principle 1981: Neuts introduced the matrix analytic method
一般地，若随机变量t取具有概率密度函数为
e t
f (t) 0
t0 t0
其中λ>0为常数，则t称服从参数为λ的指数分布，其分布
函数F (t)为：
1 e t F(t)
0
t0 t 0
其均值为
E(t) 1
方差值为
1 D(t)
2
爱尔朗（Erlang）分布
k= 0，1，2 …
其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。
其均值为 E( Χ )
方差值为 D( Χ )
泊松分布只需要确定一个参数λ，且事件发生间隔之间服从
负指数分布。
主要应用：广泛应用于各种随机事件的描述或近似
负指数分布(Exponential distribution)
M/M/c/：输入过程是泊松流，服务时间服从负 指数分布，有c个服务台平行服务(0<c)，容量 为无穷的等待制系统
M/G/1/：输入过程是泊松流，服务时间独立、 服从一般概率分布，只有1个服务台，容量为无 穷的等待制系统
Ek/G/1/K：相继到达的间隔时间独立、服从k阶 爱尔朗分布，服务时间独立、服从一般概率分布， 只有1个服务台，容量为k(0k<)的混合制系统
D/M/c/K：相继到达的间隔时间独立、服从定长 分布，服务时间独立、服从负指数分布，有c个 服务台平行服务，容量为k(ck<)的混合制系统
几个经典排队系统的符号表示(2)
Mr/M/1/：顾客以每批为固定的r个成批到达， 批与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布， 服务时间独立、服从负指数分布，有1个服务台， 容量为无穷的等待制系统
Milestones of Queueing Theory
1909: Erlang published his first paper on queueing theory 1917: Erlang published his famous paper “Solution ….” 1936-47: Palm published “Repairmen in Serving Automatic
“Kendall”记号：X / Y/ Z / A / B / C
第一个字母表示顾客相继到达的时间间隔分布 第二个字母表示服务时间的分布类型 第三个字母表示服务台的数目 第四个字母表示系统的容量 第五个字母表示顾客源中的顾客数目 第六个字母表示服务规则(默认为 FCFS)。
几个经典排队系统的符号表示(1)
排队论所要研究解决的问题(续)
排队论研究排队系统的最优化问题。 最优化问题一般涉及两种类型：
排队系统的最优设计(静态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目，分组交换网中的存储空 间大小等，工厂的中间制品仓库大小，医院病床数 量的多少，机场跑道的数量，车站站台数等等。 排队系统的最优控制(动态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目的增加与否，路由转发设 备的升级与否，网络基础设施的改造与否等。
0
If k r，T T1 T2 Tr的密度函数为
f r (t )
(t )r 1
(r 1)!
e t
(t 0)
Then
k
r 1,T
T1
T2
Tr
Tr
的密度函数为
1
fr1 (t )
f1 (t
u)
fr (u)du
§1.2 排队论所要研究解决的问题
如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会 很长，这样对顾客会带来不良影响；
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设 施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出就 越大，甚至会出现空闲浪费。
如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服 务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间 与服务设施费用大小这对矛盾，就是随机服务系 统理论——排队论所要研究解决的问题。
输入过程 排队规则 服务机构
描述顾客来源及顾客按怎 样的规律抵达。
服务是否允许排队， 顾客是否愿意排队。 在排队等待的情况下 服务的顺序是什么。
服务台的数目 服务时间分布
排队系统的基本组成——输入过程
描述顾客来源及顾客按怎样的规律抵达。 1) 顾客总体数
顾客的来源可能是有限的(例如：公司只有3台 机器时，需要维修的机器数量)，也可能是无限 的(例如：排队等候公共汽车的乘客人数 ) 2) 到达类型 顾客是单个到达，还是成批到达 3) 顾客相继到达间隔时间服从什么概率分布，分布 函数是什么，到达的间隔时间之间是否独立 在排队论中，一般假定顾客到达的间隔时间序列 {n|n1}相互独立、同分布。
生灭过程
生灭过程的状态转移流图 生灭过程的平稳分布
、福克-普朗克方程
、系统方程
排队系统
流入=流出”
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介 第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第1节 排队论简介
排队论，又称为随机服务系统理论，是在随机过 程基础上发展起来的一门研究资源有限性和需求 随机性的数学方法，通过研究各种服务系统在排 队等待中的概率特性，来解决系统的最优设计和 最优控制。
排 队 论 起 源 于 20 世 纪 初 丹 麦 电 信 工 程 师 A.K. Erlang对电信系统的研究，现已发展成为一门应 用广泛的学科，在电信、交通运输、生产与库存 管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事 作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域， 有着非常重要的应用。
排队论的发展史
排队系统的理论基础
随机变量（离散型，连续型）； 概率及概率分布函数、概率密度函数； 数学期望（均值）、方差（偏差）； 概率的归一性（正则规则）； 生灭过程的系统方程。
§1.3 排队系统的符号表示方法
一个排队系统是由许多条件决定的，为简明起 见，在经典的排队系统中，常采用3～6个英文字母 表示一个排队系统，字母之间用斜线隔开。
即
k
T T1 T2 Tk Ti
i 1
理解：对于k个串联的服务台，每个服务台的服务时间相 互独立，均服从负指数分布，则每个顾客总的服务时间服 从Ek分布。
f(t)
20
6 45
23 k=1
1
当k=1, Ek为负指数分布， 完全随机；当k足够大 时，Ek分布近似于正态 分布；当k →∞时，X以 概率1取值 1/ μ ，即为 定长分布，因此Ek分布 t 可以看作随机模型和非
初期(10‘s-40‘s)
主要研究应用于电话网和远程通信系统等无队列排 队系统
中期(40‘s-60’s)
推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域， 主要研究有队列的排队系统和排队网络
近期(60‘s-今)
主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分 析和近似分析，尤其注重对业务突发性和带有各种 网络控制的排队系统的研究
1. 单服务员(台)的排队系统
顾客到达 …
2. 多服务员(台)的排队系统
顾客到达
一个队列
…
服务员 服务完成离去
服务员1
服务员2 …
服务员n
服务完成离去
多个队列 顾客到达 串联 顾客到达
…
…
服务员1
…
服务员2
……
…
服务员n
服务员1
…
服务完成离去 服务完成离去 服务完成离去
服务员2 离去
排队系统的分类
1、均值
E[X ] k
k
3、均方差 X
2、方差
D[X ]
k 2
4、方差系数
1
k
T1
T2
T3
T4
T5 T6
t 0
T’1