专题 简谐运动的图象《机械振动与波》要点

● 基础知识落实 ●若简谐运动的位移图象如图，那么该振动图象的解析式是： π2sinsin t TA t A x ∙==ω，简谐运动的表达式为： )π2sin()sin( 00ϕϕω+=+=∙t T A t A x专题三 简谐运动的图象知识点一、简谐运动的图像：物体的运动规律不仅可以用简洁的数学公式来表达，还可以用直观的函数图像来表示，在匀变速直线运动中用速度图像反映了速度随时间的变化规律，并通过图像所反映的物理意义得出了相应的物理量，虽然简谐运动是一种变加速的往复运动，比匀变速直线运动复杂，但其运动规律同样可以用图像表示，并通过图像直观地了解到振动的情况．1、怎样描绘简谐运动图像：（1）函数法：图像可以利用物理量间的函数关系直接画出来；（2）描点法：若测得振动物体在各个不同时刻的位移（例通过频闪照片得到的振动物体在各时刻的位置），则可通过描点法得到；建立一个平面直角坐标系，用横坐标表示时间t ，用纵坐标表示振动物体对平衡位置的位移x ，选好原点，规定好坐标轴上的标度，根据各个时刻振动物体位移的方向和大小，就可以在坐标平面上确定一系列的点，将这些点用平滑的曲线连接起来，就得到了简谐运动的图像。

（3）直接描迹法：若通过一定的装置不间断地跟踪振动物体的位置变化，则可在匀速移动的坐标纸上直接得到振动图像。

【释例1】（直接描迹法）（1994全国卷·13）如图是演示简谐振动图像的装置．当盛沙漏斗下面的薄木板N 被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间的变化关系，板上的直线OO ′代表时间轴。

上图是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N 1和板N 2拉动的速度v 1和v 2的关系为v 2＝2v 1，则板N 1、N 2上曲线所代表的振动的周期T 1和T 2的关系为（ ） A. T 2＝T 1 B.T 2＝2T 1 C. T 2＝4T 1 D. T 2＝41T 1 【解析】【点评】【释例2】如图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2kg ，在竖直拉力F 的作用下，由静止开始竖直向上做匀加速运动。

一个装有水平振动的频率为5Hz 的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA =1cm ，OB =4cm ，OC =9cm ，求F 的大小。

【解析】由匀变速直线运动规律,知△S=aT 2其中T 为音叉周期的21,由牛顿第二定律,知F-mg=ma 联立解得F=mg+ma=24N 【点评】【例题3】下图是将演示简谐振动图像的装置作变更，当盛砂漏斗下面的薄木板被匀加速地拉出时,摆动着的漏斗中漏出的砂在木板上形成的曲线如图示，A 、B 、 C 、 D 、 E 均为OO ′轴上的点，AB =S 1, BC =S 2,摆长为L （可视作不变）摆角小于5°，则木板的加速度约为多少？ 【解析】gL a T a at S ⨯=⨯==∆22241π LgS S a 212)(π-=∴【点评】2．振动图像：振动物体对平衡位置的位移随时间变化的图像，叫做振动图像，或称为位移—时间（x —t ）图像。

T T tA B C D E O ′3、理论和实验都证明：简谐运动的振动图像都是正弦曲线或余弦曲线。

振动图象是正弦曲线还是余弦曲线，这决定于t＝0时刻的选择．（t＝T/4处，位移x最大，此时位移数值为振幅A）【释例1】如下图所示，一个弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，以某时刻作为计时零点．经过1/2周期振子具有正方向的最大速度，则下图中正确反映振子振动情况的是〖D〗【解析】4、物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的规律，即表示某同一质点在各个时刻相对于平衡位置的位移。

【释例1】简谐运动的图像说明了（）A、无数割做简谐运动的质点，在不同时刻的振动情况B、同一个质点在不同时刻的运动情况C、振动物体的周期、振幅以及在任意时刻的位移D、上述说法都正确【解析】5．振动图像不是振动物体的运动轨迹：弹簧振子做简谐运动的振动图像是正弦或余弦曲线，而振子的运动轨迹是一段直线，在这里特别要注意振动图像的横坐标轴是表示时间，不是表示空间位置。

做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如下一节的单摆）．这种往复运动的位移图象。

就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。

以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象。

【释例1】如图(1)所示，一弹簧振子沿x轴在POQ之间做简谐振动，确定向右为正方向。

若以某时刻作为计时零点(t=0)，经过1/4周期，振子具有正方向的最大速度，那么能够正确反映振子振动情况的振动图像应是图(2)中的( D )【解析】【点评】知识点二、简谐运动图像的应用：参看下图，从振动图像可确定：1．振幅A：图像的峰值。

2．周期T：相邻两个位移为正的最大值或负的最大值之间的时间间隔，频率f=1/T。

3．任一时刻t的位移x：对应于图像上某一点的坐标（t，x）；4．任一时刻t的回复力F：利用F=-k·x可知回复力情况。

5．任一时刻t的加速度a：总是指向平衡位置（平行于x轴指向t轴）．x=0时，a=0；x=±A时，a达最大值。

6．任一时刻t的振动方向和速度υ的变化情况：图像斜率为正时速度为正（沿+x方向），斜率为负时速度为负（沿-x方向），x=0时，速度达最大值。

振动方向也可用类比法确定：将振动图像视为蜿蜒起伏的“山坡”，然后顺横坐标t时间轴正方向沿图线走去，“上坡路线”的时间内，各时刻物体都向上振动，“下坡路段”的时间内，各时刻物体都向下振动。

借助振动图像还可以说明加速度随时间的变化情况。

7、简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性．简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线高中物理第一轮总复习 的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。

正负表示速度的方向，正时沿 x 正向，负时沿 x 负向．【释例 1】 （2003 全国春招·15）右图表示一简谐横波波源的振动图象。

根据图象可确定该波的〖 D 〗 A、波长，波速 C、波长，振幅 B、周期，波速 D、周期，振幅【解析】由振动图象可直接求出周期和振幅，但由于波长或波速不知，故无法求出波速和波长。

【点拨】明确能从振动图象和波动图象中求出的物理量，二者的联系也就找到。

x/10-3m 2.0 0 · · 0.05 1.00 · 1.50 · t/s【释例 2】右图为某一质点的振动图线，从图线上可以看出此质点的周期是 0.8s 向是__竖直向下___，0.6s 时的位移是 -2__cm，在 0.6s 内质点通过的路程是 【解析】s，0.4s 时的运动方6 __cm．x / cm202【点评】0 .2 0 .4 0 .60 .8 t / s【释例 3】一弹簧振子小球的质量 m=0.5kg，弹簧的劲度系数 k=4.9N/m，振子在光滑水平面内做简谐运动 的图像如图所示，则小球具有正向最大加速度的时刻为______s，其最大值为________m/s 。

在 t=1.75s 时， 小球的加速度为________m/s ，方向为_______。

2 2【解析】在 t=1.0s 时，小球的位移负向达最大，因此加速度正向达最大：第 11 页 共 36 页● 力学篇——《机械振动和波》 ●am kA 4.9  0.006   0.06(m/s 2 ) 。

m 0.5在 t=1.75s 时，小球的位移 x 2 A， 22 kA 2kA 2   0.04(m/s 2 ) ，方向沿-x 方向。

此时小球的加速度： a  m 2m【点评】振动图像表示质点的位移随时间变化的规律，简谐运动的图像是正弦或余弦曲线。

【释例 4】如图所示是一单摆的振动图像，在 t1、t2 时刻相同的物理量是〖 BD 〗A．位移 【解析】B．速度C．加速度D．势能【点评】【释例 5】 （周期性）如图所示为质点 P 在 0～4s 内的运动图象，下列叙 述正确 的是（ A D ） ．． A、再过 1s，该质点的位移是正的最大 B、再过 1s，该质点的速度方向向上 C、再过 1s，该质点的加速度方向向上 D、再过 1s，该质点的加速度最大 【解析】x/m 3 1 2 4t/s【点拨】第 12 页 共 36 页高中物理第一轮总复习知识点三、振动图像及其应用：1．振动图像有广泛的实际应用：例心电图、脑电图、地震图等。

【释例 1】【解析】【点评】第 13 页 共 36 页● 力学篇——《机械振动和波》 ● 【变式】【释例 2】【解析】【点评】题型1关于振动图象的基本概念：⊙ 方法指导 ⊙⊙ 解题示范 ⊙第 14 页 共 36 页高中物理第一轮总复习 【例题 1】请确定下图中所示的四条振动图像表示振动的振幅、周期及频率分别是多少？【解析】【点评】 【例题 2】下图是弹簧振子的振动图线，请回答下列问题：（1）振子的振幅、周期、频率各是多少？ （2）在图中画出振子在 t 为 0.2s、0.3s、0.4s、0.6s、0.7s、0.8s 时刻所受的回复力、加速度、速度、位 移的方向。

【解析】【点评】【例题 3】 如例 2 所述再比较 t 为 0.4s、 0.5s 两时刻所受回复力大小、 加速度大小及位移大小比较 t 为 0.2s 和 0.4s 两时刻所受回复力、加速度及位移。

【解析】第 15 页 共 36 页● 力学篇——《机械振动和波》 ● 【例题 4】如例 2 所述，试着指出哪些时刻振子的加速度相同，位移相同？ 【解析】【点评】【例题 5】如例 2 所述，试比较 t 为 0.2s、0.3s、0.4s、0.6s、0.7s、0.8s 各时刻动能的大小？弹性势能的 大小？ 【解析】【点评】【例题 6】甲、乙两个弹簧振子的振动图像如图所示，它们的质量之比 m 甲∶m 乙＝2∶3，劲度系数之比 k甲∶k 乙＝3∶2，则它们的频率之比为_______，最大加速度之比为_________。

【解析】【点评】例 1 至例 6 要求学生明确由于计时起点不同，振动图像也不一样，关键明确有关振幅、周期、频 率、回复力的概念，结合牛顿第二定律 F＝m×a 解决加速度的大小和方向问题。

简谐运动系统能量守恒， 弹簧弹力做功，弹性势能减少，振动动能增加。

通过上面例题学会从振动图像上找振幅、周期、频率，及 与位移 x 有关的物理量（速度、加速度、回复力、弹性势能、动能） 。

第 16 页 共 36 页高中物理第一轮总复习【例题 7】如图所示为某一质点的振动图像，由图像可知在 t1 和 t2 两时刻，质点的速度υ1、υ2，加速度 a1、 a2 的正确关系为〖 〗A．υ1<υ2，方向相同 C．a1>a2，方向相同B．υ1<υ2，方向相反 D．a1>a2，方向相反【解析】在 t1 时刻质点和下向平衡位置运动，在 t2 时刻质点向下远离平衡位置运动，所以υ1 与υ2 的方向相 同，但由于在 t1 时刻质点离平衡位置较远，所以υ1<υ2 ，a1>a2，质点的加速度方向总是指向平衡位置的， 固而可知在 t1 时刻加速度方向向下，在 t2 时刻加速度方向向上。