物理一轮复习 专题55 简谐运动及其描述 单摆 受迫振动和共振(讲)(含解析)

专题55 简谐运动及其描述 单摆 受迫振动和共1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象。

2。

知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动,熟记单摆的周期公式。

3.理解受迫振动和共振的概念,掌握产生共振的条件．1． 简谐运动(1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动． (2）简谐运动的特征 ①动力学特征：F ＝－kx .②运动学特征:x 、v 、a 均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v 、a 的变化趋势相反)． ③能量特征：系统的机械能守恒,振幅A 不变． (3)描述简谐运动的物理量①位移x ：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段,是矢量． ②振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量,它表示振动的强弱．③周期T 和频率f :物体完成一次全振动所需的时间叫做周期,而频率则等于单位时间内完成全振动的次数．它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系：T ＝错误!。

（4）简谐运动的表达式①动力学表达式：F ＝－kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．②运动学表达式:x ＝A sin （ωt ＋φ)，其中A 代表振幅,ω＝2πf 表示简谐运动的快慢,（ωt ＋φ）代表简谐运动的相位，φ叫做初相． 2． 单摆(1）定义：如图所示,在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸长和质量都不计，球的直径比摆线短得多，这样的装置叫做单摆．(2）视为简谐运动的条件：摆角小于5°。

(3)回复力：小球所受重力沿圆弧切线方向的分力,即:F ＝－mg sin θ＝－x Lmg＝－kx ，F 的方向与位移x 的方向相反．（4）周期公式:gL T π2= (5)单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l 和重力加速度g ，与振幅和振子(小球）质量都没有关系． 3． 受迫振动与共振（1）受迫振动:系统在驱动力作用下的振动．做受迫振动的物体,它的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率），而与物体的固有周期（或频率）无关．（2)共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近,其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大,这就是共振现象．共振曲线如图所示．考点一 简谐运动的基本特征及应用 1．五个概念(1）回复力：使振动物体返回平衡位置的力． （2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置．(3)位移x ：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量． （4)振幅A :振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量． (5）周期T 和频率f ：表示振动快慢的物理量． ①单摆的周期gLT π2= ②弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数及弹簧振子的质量有关（km T π2=） 2．三个特征（1)受力特征：F ＝－kx 。

（2）运动特征：x mk a -= (3）能量特征：系统机械能守恒． 3．简谐运动的对称性(1)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称(OP ＝OP ′）的两点P 、P ′时，速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等．（2)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP ′。

（3）振子往复运动过程中通过同一段路程（如OP 段）所用时间相等，即t OP ＝t PO 。

★重点归纳★1、单摆的回复力与周期（1） 受力特征:重力和细线的拉力①回复力：摆球重力沿切线方向上的分力，F ＝－mg sin θ＝－x Lmg＝－kx ，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反．②向心力:细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F 向＝F T －mg cos θ。

特别提醒 ：①当摆球在最高点时，向心力02==Rmv F n ，绳子的拉力F T ＝mg cos θ。

②当摆球在最低点时，向心力Rmv F n 2max =，F 向最大,绳子的拉力R mv mg F T 2max+=.（2）周期公式：gLT π2= ①只要测出单摆的摆长L 和周期T ，就可以根据224T Lg π=，求出当地的重力加速度g . ②L 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离,要区分摆长和摆线长,悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心．摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．如图甲所示的双线摆的摆长l ＝r ＋L cos α.乙图中小球（可看做质点)在半径为R 的光滑圆槽中靠近A 点振动，其等效摆长为l ＝R .③g 为当地的重力加速度． 2、简谐运动的易错点剖析（1)对物体做简谐运动的条件认识不足而出错．（2)对物体做简谐运动过程中的物理过程分析不到位而出错． （3）对简谐运动的对称性、周期性理解不透而出错．★典型案例★一个在水平面内做简谐运动的弹簧振子，从第一次以不等于零的速度经过非平衡位置的某点a 时开始计时，下列说法中正确的是: （ ) A ．到它第二次经过a 点时,所需时间为半个周期 B ．到它第二次经过a 点时，所需时间为一个周期 C ．到它第三次经过a 点时，所需时间为一个周期 D ．到它第三次经过a 点时，所需时间为二个周期 【答案】C【名师点睛】弹簧振子做简谐振动,具有周期性．当振子的速度再次与零时刻的速度相同时，可能振子通过关于平衡位置对称点，经过的时间为不一定是一个周期．振子在一个周期内，经过的路程是4个振幅．当振子再次经过此位置时,经过的时间不一定是一个周期。

★针对练习1★一列横波沿水平绳传播，绳的一端在t ＝0时开始做周期为T 的简谐运动,经过时间t （34T ＜t ＜T ），绳上某点位于平衡位置上方的最大位移处。

则在2t 时,该点位于平衡位置的: （ ） A ．上方，且向上运动 B ．上方,且向下运动 C ．下方，且向上运动 D ．下方,且向下运动 【答案】A【名师点睛】此题是关于简谐振动的问题，关键是掌握简谐振动的特点，将质点一个周期内简谐运动的过程分成四个14T ，再分析质点的状态是常用的方法。

★针对练习2★一个摆钟在地球上时，摆的振动周期为T 1，在某一密度与地球密度相同、半径是地球半径2倍的星球上时，摆的振动周期为T 2。

由此可以确定T 1:T 2为： （ ） A ．21B ．22C ．2D ．2【答案】C【解析】据星球表面重力近似等于万有引力,所以2 GMm mg R ＝又因为：M=ρV ; 343R V π=，则43g G R πρ=,则=2g g 星地；由单摆的振动周期公式2?LT g π=;则12=2g T T g =星地；故ABD 错误，C 正确． 【名师点睛】解本题需要具备以下知识：单摆的振动周期公式2?LT gπ=、星球表面重力近似等于万有引力、体积和质量公式，求解两星球表面重力加速度关系是问题的关键点;此题综合性较强。

考点二 简谐运动的图象及运动规律 振动图象的信息:（1)由图象可以看出振幅、周期．（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．（3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t 轴．②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t 轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t 轴． ★重点归纳★解决简谐运动图象问题应注意三点(1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律； (2)因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t 轴;（3)速度方向可以通过下一个时刻位移的变化来判定，下一个时刻位移如果增加，振动质点的速度方向就远离t 轴,下一个时刻的位移如果减小,振动质点的速度方向就指向t 轴．★典型案例★某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x 随时间t 变化的关系为x ＝A sin ωt ，振动图象如图所示，下列说法不正确的是： ( ）A ．弹簧在第1 s 末与第3 s 末的长度相同B ．简谐运动的角速度ω=错误! rad/sC ．第3 s 末振子的位移大小为错误!AD ．从第3 s 末到第5 s 末，振子的速度方向发生变化 【答案】D【名师点睛】本题考查了简谐振动的规律;关键要会从x —t 图象和x —t 关系式判断位移情况，根据x —t 的斜率判断速度的方向；要能把x -t 图线与物体的实际运动情况结合起来,从本质上认识弹簧振子的运动特点. ★针对练习1★一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系曲线如图所示，由图可知： （ ）A ．质点振动频率是4 HzB ．t ＝2 s 时,质点的加速度最大C ．t ＝2 s 时，质点的振幅为－2 cmD ．t ＝3 s 时，质点所受的合外力最大 【答案】B【名师点睛】本题简谐运动的图象能直接读出振幅和周期．对于质点的速度方向，也可以根据斜率读出．简谐运动的特征xa mk =-，是分析加速度常用的方法。

★针对练习2★悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为2 s ，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振动图象如图所示，由图可知: （ )A ．1.25s t =时振子的加速度为正,速度为正B ． 1.7t s =时振子的加速度为负,速度为负C ．1.0s t =时振子的速度为零,加速度为负的最大值D ． 1.5t s =时振子的速度为零,加速度为负的最大值【答案】C【解析】1.25s t =时,位移为正，加速度kxa m=-为负；x-t 图象上某点切线的斜率表示速度,故速度为负，故A 错误; 1.7t s =时,位移为负，加速度kxa m =-为正；x-t 图象上某点切线的斜率表示速度，故速度为负,故B 错误;1.0s t =时,位移为正，加速度kxa m=-为负；x t -图象上某点切线的斜率表示速度，故速度为零，故C 正确；1.5t s =时,位移为零，故加速度为零;x —t 图象上某点切线的斜率表示速度,故速度为负,故D 错误；【名师点睛】明确简谐运动中的位移、速度、加速度间的变化规律，知道图象中斜率的意义是解题的关键． 考点三 受迫振动和共振1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较2． 对共振的理解（1)共振曲线:如图所示,横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A 。

它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大．(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换．★典型案例★如图两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是：（）A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz B．甲的振幅较大，且振动频率为9 HzC．乙的振幅较大,且振动频率为9 Hz D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz【答案】B【名师点睛】此题是对受迫振动的考查；要知道物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率,与固有频率无关．当驱动力的频率接近于物体的固有频率时,物体发生共振，振幅最大。