层次分析法与层次分析模型

b15
1b11 2b12 5b15
b25
1b21 2b22 5b25
b35
1b31 2b32 5b35
4 层次总排序的一致性检验
设 最下层对最上层中因素的层次单排序一致性指标为 CIj， 随机一致性指为 RIj，则层次总排序的一致性比率为：
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当 CR 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到
此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
三 层次分析法建模举例
(1)建模
一、旅游问题
Z
A1, A2 , A3, A4 , A5
分别分别表示景色、费用、
A1
A2 A3 A4 A5 居住、饮食、旅途。
B1
B2
计算 CR可k知 B1, B2 , B通3, 过B4一, B致5 性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
饮食 1/3 1/5 2 1 1
旅途 1/3 1/5 3 1 1
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2
4
3
3
2 1 7 5 5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
问题：两两进行比较后，怎样才能定量求出到底去哪个地 方旅游最合理？
3 层次单排序
层次分析法用权值表示各个因素的优劣性，那 如何求权值呢？
1 1
3
3 3 1
1 3 4
B4
1 3
1
1
1 4
1
1
1 B5 1
1 1
1
4 1
4
4 4 1
(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验
成对比较矩阵 A的最大特征值 5.073
该特征值对应的归一化特征向量
0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110
则 CI 5.073 5 0.018 5 1
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP) 是一种定性和定量相结合，系统化、层次化的分析 方法。
层次分析法的基本步骤归纳如下 1.建立层次结构模型 2.构造成对比较矩阵 3.层次单排序 4.层次总排序
建立层次分析模型
1 建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层。
一致性指标CI和随机一致性指标RI。
定义一致性指标 CI n
n 1
是最大特征根，n 矩阵的阶数。
定义随机一致性指标 RI
随机一致性指标RI的数值如下：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
a11
A
aij
55
a21
a12
a22
a15 a25
则称 A为成对比较矩阵。
a51 a52 a55
比较尺度：（1~9尺度的含义）
尺度
含义
１ 第 i 个因素与第 j个因素的影响相同 ３ 第 i 个因素比第 j个因素的影响稍强 ５ 第 i 个因素比第 j个因素的影响强 ７ 第 i个因素比第 j个因素的影响明显强
层次结构模型
选择 旅游地
目标层 Z
景
费
Hale Waihona Puke 居饮旅色
用
住
食
途
准则层 A
苏州、杭州、 绍兴
方案层 B
2 构造成对比较矩阵
准则层有 5 个因素，x5={x1,x2,x3,x4,x5}
接下来就要对准则层的5个因素两两进行比较，从而形成比 较矩阵。 两两因素之间进行的比较，用的是1~9尺度。
用 aij表示第 i 个因素相对于第 j个因素的比较结果，则
RI 1.12
故 CR 0.018 0.016 0.1 1.12
表明 A 通过了一致性验证。
对成对比较矩阵 B1, B2 , B可3, B以4求, B层5 次总排序的权向
量并进行一致性检验，结果如下：
k 1 234 5
k1 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166
k2 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 k3 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 k 3.005 3.002 3 3.009 3 CIk 0.003 0.001 0 0.005 0 RIk 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
用矩阵A最大特征根的特征向量(归一化后)作为权值， 计算公式为:
Aw w w w1, w2,, wn
求特征值和特征向量是高等代数中的知识，通常在数学建 模中可以用matlab计算特征值。[V,D]=eig(A) 这样求出的权重不是最后结果，必须要通过检验才能使用。
如何进行检验，这里Saaty引入两个指标：
一般，当一致性比率
CR CI 0.1 RI
时，
认为由矩阵A 求出的权向量可作为结果使
用，否则要重新构造成对比较矩阵，直至通过
检验为止。
4 层次总排序
确定方案层所有因素对目标层的权值
A B
景色，费用，居住，饮食，旅途
1,2 ,,5
B层的权重值
苏杭 北戴河 绍兴
b11 b12 b21 b22 b31 b32
B3
B1, B2 , B3
分别表示苏州、杭州、绍兴。
（2）构造成对比较矩阵
1
2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1
A 4 7
2 3
1 3
1 5
2
1
1
1
1
3
1
1
3 5
1 2 5
B1
1 2
1
2
1 5
1 2
1
1
B2
3
1 3 1
1
8 1
3
8 3 1
1 1 3
B3
1 1
层次分析模型
问题提出
旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去
迷人的杭州，或者是去历史文化中心绍兴，不 同的人有不同的意见和想法，但是一般人们都会 对各地的景色、整体费用、路上的食宿条件、旅途 等因素选择去哪个地方。
面对这样的选择，往往要进行比较、判断， 最后才能作出决策。在这个过程中主观因素占 有相当大的比重，要想客观的得出结论很不容 易。20世纪七十年代Saaty提出了一种能有效 处理这类问题的实用方法。
９ 第 i个因素比第 j个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的影响介于上 述两个相邻等级之间。
旅游问题中，准则层A的各因素对目标层Z 的影响两两比较结果如下：
景色 费用 居住 饮食 旅途
景色 1 1/2 4
33
费用 2
17
55
居住 1/4 1/7 1 1/2 1/3