浙教版九年级数学上册《二次函数的应用》课件
15
10
5
10 20 30 40 50
x
例5：
利用二次函数的图象求一元二次方程
X²+X－1= 0 的近似解.
y=x²+x－1
y
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2x
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
y
D
B
C
x
EO A
探究活动：
我们把一元二次方程X²+X－1= 0 的解看做是抛物线 y=x²+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的 近似解.如果把方程x²+x-1 = 0变形成 x²= -x+1，那么 方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？ 用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算 机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
则飞行_____s后炮弹高度为1000m；
飞行____s炮弹落在地面.
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
练习：
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m. ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m？
g表示重力系数，取g=10m/s²）.问球从弹起至回到地面 需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m？
h(m)
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
地面
2 t(s)
例：
h(m)
6
5
解：由题意，得h关于t的二次函数 4
解析式为h=10t-5t²
3
取h=0，得一元二次方程
2
10t－5t²=0
1
解方程得t1=0；t2=2
二次函数的应用
复习思考
？ 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定
b²-4ac﹥0，有两个交点 由b²-4ac的符号决定 b²-4ac=0，只有一个交点
b²-4ac﹤0，没有交点
例：
一个球从地面上竖直向上物体竖直上抛运动
中，h=v0t－ ½ gt²（v0表示物体运动上弹开始时的速度，
-2
-1
0
1
2 t(s)
球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75
地面
解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）； 经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m.
练习：
炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m) 与 飞 行 时 间 t(s) 之 间 的 函 数 关 系 式 是 h=150t－5t2，
Ａ、3＜x＜3.23
Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25
Ｄ、3.25＜x＜3.26
已知m，n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n， 抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m，0)，B(0，n)
(1)求这个抛物线的解析式 (2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的 顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积
反过来，也可利用二次函数的图象 求一元二次方程的解.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
2、根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02
3.25 0.03
3.26 0.09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一
个解的范围是 （ C ）
浙教版数学九年级上册1 二次函数的应用1课件
20 米 9
4米
判断此球能否 准确投中的问 题就是判断代 表篮圈的点是 .否在抛物线上.
C
3米
O 4米
x
新课讲 解 若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿；
（2）向前平移一点儿.
y
20 米
4米
3米
9
4米
O
8米
x
y6
4
0,
20 9
2
（1）跳得高一点儿；
新课讲 解
2 利用二次函数解决运动中抛物线型问题 解
新课讲 例 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时解离地面290 高2 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距
离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线
，篮圈中y 心距离地面3米，他能把球投中吗？
20 米
4米
9
4米
O
3米 x
新课讲 解：如图建立直角坐标系，则点A的坐标是（029，0 ）解，B
+2.
,∴y=12 x2 +2； , ∴y12=(x 2)2
★解决抛物线型实际问题的一般步骤
知识要 点
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
新课讲
情境引 入
函数的图象，现在请你根据给出的坐标系
的位y置，说出这个二次函y数的解析式类型.
y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2 （2）y=ax2+k
1.4二次函数的应用(第1课时)(同步课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步课堂(浙教版)
1.4 二次函数的应用第1课时 几何图形的面积问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会分析实际问题中的二次函数关系；2．学会用二次函数表示几何图形中的关系，并用来求实际问题中的最大值与最小值；导入新课问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：m ）与小球的运动时间 t （单位：s ）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2（0≤t ≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h= 30t - 5t2解决思路：通过图象可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.思考：如何求二次函数的顶点坐标呢？知识点一 二次函数的实际应用——几何图形面积问题由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2+ bx + c有最小（大）值思考：如何求出二次函数 y = ax 2+ bx + c 的最小（大）值？二次函数的顶点式可以很直观地看出最大值或最小值当 时小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．t/sh/m O 1234562040h= 30t - 5t2我们来求一下问题1：例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？1.矩形面积公式是什么？2.如何用l表示另一边？3.面积S的函数关系式是什么？l30-lS=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).S=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).因此，当时，S有最大值，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.归纳总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.典例精析【例1】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米．A．4B．5C．6D．8【详解】解：设中间隔开的墙长为x m，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2，根据题意得，S=x×(28+2-3x)=-3(x-5)2+75，-3＜0，有最大值，∴当x=5时，S取得最大值，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．练一练1．如图，某跑道的周长为400m 且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道AB 段的长应为．【详解】解：设矩形直线跑道AB=xcm ，矩形面积为ycm 2，由题意得： y=400−2ᵆᵰ·ᵆ=−2ᵰ(ᵆ−100)2+20000ᵰ∵−2ᵰ＜0，∴当x=100时，y 最大，即直线跑道长应为100m ．故答案为：100m2．如图，一块矩形区域ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．【详解】解：设AB=x 米，矩形的面积设为y （平方米），则AB+EF+CD=3x ，∴AD=BC=18−3ᵆ2．∴y=x·18−3ᵆ2=−32ᵆ2+9ᵆ．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，∴当AB=x=-ᵄ2ᵄ=3时，函数y 取得最大值．∴当AB=3米时，矩形ABCD 的面积最大．1．如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【详解】设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，则BC的长为(40-2x)m，由题意得y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，其中0＜40-2x≤26，即7≤x＜20，①AB的长不可以为6m，原说法错误；③菜园ABCD面积的最大值为200m2，原说法正确；②当y=-2(x-10)2+200=192时，解得x=8或x=12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，说法正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．2．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．ᵄ2B．ᵄ2�C．ᵄ22D．ᵄ243．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是．【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,则y 关于x 的函数表达式为：y=12(38+2−��ᵆ)ᵆ=−12ᵆ2+20ᵆ=−12(x-20)2+200又∵38+2-x＞0，x≥22≤x＜404．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是平方米．【详解】解：设AB=x米，矩形ABCD的面积为S，则BC=（16-2x)米，∴S=x(16-2x)=2x2+16x=-2(x-4)2+32即矩形ABCD的最大面积为32平方米故答案为：32．5．用一段长为24m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m ，则这个养鸡场最大面积为 m 2．【详解】设养鸡场长为x 米，则宽为12(24−��ᵆ)米，面积为S 平方米，根据题意得：S=x×12(24−ᵆ)=−12ᵆ2+12ᵆ，(0＜x≤10)，∵二次函数图象对称轴为：直线x=12，开口向下，∴ 当0＜x≤10时，S 随x 的增大而增大，∴当x=10时，S 取得最大值为70．故答案是：70．6．如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【详解】（1）∵AB边长为xm，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴BC边长为(32-2x)m，∴S=AB·BC=x(32-2x)=-2x2+32x；（2）函数化为顶点式，即得S=-2(x-8)2+128，可知x=8时，S有最大值128m2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．7．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xcm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大？【详解】（1）解：S=x(40−��ᵆ2)=-12ᵆ2+20ᵆ,ᵆ的取值范围为0＜ ᵆ�≤15；（2）解：∵S=-12ᵆ2+20ᵆ ，-12＜0，∴当x=-20−1=20时，S 有最大值，当x ＜20时，S 随x 的增大而增大，而0＜x≤15，∴x=15时，S 有最大值，即矩形ABCD 的面积最大．课堂小结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.谢谢~。
九年级上浙教版二次函数的应用课件
01
根据运动物体的速度、加速度、位移等因素，建立时
间与相关变量之间的二次函数关系。
最小值求解
02 通过配方或公式法，求出时间函数的最小值及对应的
变量值。
03
案例分析
结合具体案例，如刹车距离最短、小球落地时间最短
等，进行时间最小化问题的建模与求解。
浙 教 及版 技特 巧色 指题 导型 解 析
填空题和选择题答题技巧
经典例题剖析与思路拓展
经典例题
01
选取具有代表性的二次函数应用问题，进行深入剖析，展
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
示解题思路和技巧。
思路拓展
02
通过一题多解、多题一解等方式，拓展解题思路，提高解
题能力。
举一反三
03
引导学生将所学知识应用到类似问题中，培养迁移能力和
创新思维。
生
活
案 例 分 享
中 二 次 函 数
应
用
体育比赛中成绩预测模型建立
股票投资收益预测 通过分析股票历史价格数据，建立二次函数模型，预测未来股票价格走 势及投资收益。
期货交易策略制定 利用二次函数模型分析期货市场价格波动规律，制定相应的交易策略。
风险评估与管理 在金融市场中，利用二次函数模型对投资组合进行风险评估和管理，以降 低潜在损失。
其他领域（如物理、化学等）应用举例
二次函数性质总结
对称性
二次函数的图像关于对称轴对称。
顶点性
二次函数的图像有一个最高点或最低点，即 顶点。
增减性
与坐标轴交点
当抛物线开口向上时，在对称轴左侧函数值 减小，右侧增大；当抛物线开口向下时，在 对称轴左侧函数值增大，右侧减小。
二次函数图像与$x$轴的交点即为方程的根， 与$y$轴的交点为$(0, c)$。
二次函数的应用课件浙教版数学九年级上册(1)
由题意，得
间接设元法
y=(12+x-9)(400 - 40 x÷0.5)= - 80x2+160x+1200
∴y= - 80(x-1)2+1280
∵10≤12+x≤14，∴-2≤x≤2 ∵ a= - 80<0， ∴当x=1时(x=1在-2≤x≤2)，y最大值=1280．
此时12+x=13.
答：销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大， 最大日均毛利润为1280元．
例2 如图,Ｂ船位于Ａ船正东26km处.现在Ａ,Ｂ两船同
时出发,A船以12km/h的速度朝正北方向行驶,B船以5km/
h的速度朝正西方向行驶.何时两船相距最近? 最近距离两 船分别到达A′、B′(如 图)，两船的距离为线段 A′B′的长。
A
B′ B
拓展提高
1.已知x=2t−5，y=10−t，S=xy.求S的最大值或最小值， 以及相应t的值.
解：设每箱应降价x元，得： (100+2x)(120-x)=14000, 即 x2-70x+1000=0, ∴ x1=20,x2=50. 答：每箱应降价20元或50元,都能获利14000元.
某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱，每 箱利润120元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适 当降价.据测算，若每箱每降价1元，每天可多售出2箱. (2)当每箱饮料降价多少元时,超市平均每天获利最多？ 请你设计销售方案．
拓展提高
1.已知x=2t−5，y=10−t，S=xy.求S的最大值或最小值， 以及相应t的值.
拓展提高
2.一次足球训练中，一球员从球门正前方10m处将球射向球门.当 球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已 知球门高度为2.44m，问球能否射入球门?
初三数学最新课件-二次函数的应用[上学期]浙教版 精品
![初三数学最新课件-二次函数的应用[上学期]浙教版 精品](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/92a3daf987c24028915fc3ef.webp)
例
一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经 过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动 中，h=v0t－ ½ gt²（v0表示物体运动上弹开始时的速度， g表示重力系数，取g=10m/s²）。
问题?
地面
课内练习
1.一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离
不用画图,试判断下列抛物线同x轴交点情况:
1.y=X²-4x+4
一个交点
2.y=2X²-x-1
两个交点
3.y=3X²-4x+6
没有交点
4.y=-9X²-4x+3
两个交点
作业: 1.作业本2.4(3) 2.作业本中复习题.
6 5 4 3 2 1
●
0
1
2x
ห้องสมุดไป่ตู้
想到……
近似解 图象解
其它解法?
fx = x2 gx = 1-x
y=1-x
10
y=x2
8
6
4
●
2
-15
-10
-5
●
5
10
15
-2
多想出智慧 -4
-6
课内练习
3.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个 解。若有解，求出它们的解（精确到0.1）。 ①X²=2x-1 ②2x²-x+1=0 ③2x²-4x-1=0
10 8 6 4 2
-15
-10
-5
一解 x=1-2 -4
-6
y=X²-2x+1
10
8
y=2X²-x+1
6
4
2
-15
-10
-5
1.4二次函数的应用 (第一课时)课件-浙教版数学九年级上册
∴
当x=
0+4 2
=2时，S最大值=-3×2×(-2)=12.
答：当AB=2米，BC=6米时，花圃 O 1 2 3 4 5 6 x 的面积最大，最大面积为12平方米.
探索 当自变量范围发生变化时，面积最值是否会发生变化？
【问题1】如图，在一面靠墙的空地上用长为12 m的 篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，怎样设计
∴∴当当xx==2-时2ba，=2S时最大，值S=最1大2值.=
4ac－b2 4a
=12.
探索 【归纳】通过配方或公式或图象如，何求最值大及面其积相？
应自变量的值.
S=x(12－3x). (0＜x＜4)
S=－3x(x－4) y=a(x﹣x1)(x﹣x2)
当S=0时，x1=0，x2=4.
S 12
∴与x轴的交点为(0，0)，(4，0)，
能使花圃的面积最大？若墙的长度为3 m，靠墙这一
边不超过墙，又该如何设计面积最大的花圃呢？
3
解：设AB长为x m，则
A
D
xx
x
S=x(12－3x) x＞0，
B
C
12﹣3x
0＜12－3x≤3， ∴3≤x＜4.
探索 当【自发变现量】范最围值发不生一变定化会时在，顶面点积取最得值，是必否须会在发自生变变化？
两船同时出发，A船以12 km/h的速度朝正北方向行驶，
B船以5 km/h的速度朝正西方向行驶. 何时两船相距最
近？最近距离是多少？
解：设经过t(h)后，A，B两 船分别到达A′,B′处，则
A′B′= AB′2＋AA′2
12t
26－5t
= (26－5t)2+(12t)2
= 169t2－260t+676
1.4二次函数的应用 (第二课时)课件-浙教版数学九年级上册
抛运动中，h
v0t
1 2
gt
2
(v0表示物体运动上弹开始时
的速度，g表示重力系数，取g=10m/s2). 问：小球运
动多少时间时，小球最高？最大高度是多少？
【发现】1、函数表达式已知；2、自变量取值范 围的确定，可结合实际或根据图象，用转化思想.
问：球的飞行高度能否达到6m？为什么？
再探
问：球的飞行高度能否达到6m？为什么？
润=每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多 少元？ （每瓶售价－每瓶进价）×日均销售量=日均毛利润
每瓶售价 每瓶毛利润 日均销售量 日均毛利润
调价前
12
12－9=3
400
3×400=1200
ห้องสมุดไป่ตู้
涨价1元后
13
13－9=4 400－80=320 4×320=1280
探索 （每瓶售价－每瓶进价）×日均销售量=日均毛利润
=－80x2+2080x－12240 (10≤x≤14)
b 当x=－ 2a =13时， y最大值=－80×132+2080×13－12240=1280.
10≤x≤14 1360－80x≥0
探索
解：设销售价格定为每瓶x元，日均毛利润为y元，则 【归纳】
y=(x－9)(1360－80x) (10≤x≤14)
x≥40 20(60－x)≥0
40≤x≤60.
当x=－
b 2a
=57.5时，
4ac－b2 4×(－20)×(－60000)－23002
y最大值= 4a =
4×(－20)
=6125.
答：售价定为每箱57.5元时，利润最大，最大利 润为6125元.
巩固
浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共24张PPT)
(3)一个温室 连同外围通道的矩形平面图如图,
周长为120m , 设一条边长为 x (m), 种植面积
为 y (m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
种植用地
x外围通道
3
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2
=2x2+4x+2 3.y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
(2) y 1 不是
x2
(3) y x(1 x) 是
(4) y (x 1)2 x 2 不是
(5)y=3x-1 不是
先化简后判断
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
下列函数中,哪些是二次函数? 若是，请说出该 函数的二次项系数、一次项系数、常数项
(1) y x2 是
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=aHale Waihona Puke ²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0 )的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项,
自变量x的取值范围
浙教版初中数学九年级上册 1.4 二次函数的应用 课件
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
• • 0
(x1,0)
x
(x2,0)
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0 Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
２、图象位置与a、b、c、 的 正负关系
y
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
x
0
c>0
c=0
(3)a、b确定对称轴
c<0
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
３、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点 ,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有 交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方 程ax2+bx+c=0的根.
浙教版-数学-九年级上册-1.4二次函数的应用(第1课时) (共13张PPT)
最值问题的一般步骤
(1)列出二次函数的解析式.列解析式时,要根据自变量 的实际意义,确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式或配方法求出 二次函数的最大值或最小值.
探究与建模
图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如 果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设计这个窗户边框 的尺寸,使透光面积最大?(结果精确到0.01米) 解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l米，
2
再设透光面积为y, 由题意得： y x
6 3x
3 x2 3x
2
2
根据窗框的长、宽都必须大于零，即
6 3 x 0, ax30 0, b
2
得0
3, c 0
x
又
2
b 2a
1在0
x
x
2的范围内
当x 1时，y最大值
4ac b2 4a
3 2
3
3
答：当长为１米，宽为 2 米时，窗户的透光面积最大，最大面积是 2 平方米.
求函数的最值问题，
应注意对称轴是否在自变量的取值范围内.
探究实践 用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问长和高各是多少米时，窗户的透光面积
最大？最大面积是多少？
(1)设什么为自变量x? (窗框的长或高)
(2)如果学生设窗框长为x,则高为多少?
面积为多少?
x
6
3x 2
m2
6
3x 2
m
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解析式， 及自变量x的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最大（结 果精确到0.01米）？
解：∵隧道的底部宽为x，周长为16，