2020河南中考数学复习专题专题类比探究题

专题七 类比探究题专题类型突破类型一 图形旋转引起的探究 (2019·河南)在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP.(1)观察猜想如图1，当α＝60°时，BD CP的值是________，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是________．(2)类比探究如图2，当α＝90°时，请写出BD CP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．(3)解决问题当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．【分析】(1)延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O.证明△CAP≌△BAD，即可解决问题．(2)设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E.证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．(3)分两种情况：当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明AD＝DC即可解决问题；当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC，解决问题．【自主解答】1．(2018·河南)(1)问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为________；②∠AMB的度数为________；(2)类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．2．(2017·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图23．(2015·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AE BD＝________；②当α＝180°时，AE BD＝________； (2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)解决问题当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．类型二 动点引起的探究(2016·河南)(1)发现如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含a ，b 的式子表示)；(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P的坐标．【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE的最大值＝线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果．(3)将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN ＝PA ＝2，BN ＝AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为22＋3；过P 作PE⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到点P 的坐标．【自主解答】4．(2019·河南模拟)(1)问题发现如图1，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，ABAC ＝1，点P 是边BC 上一动点(不与点B重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD.填空：①PB CD＝________； ②∠ACD 的度数为________；(2)拓展探究如图2，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB AC＝k.点P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD ，请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在△ABC 中，∠B＝45°，AB ＝42，BC ＝12，P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接CD.若PA ＝5，请直接写出所有CD 的长．类型三 图形形状变化引起的探究(2019·信阳一模)(1)观察猜想如图1，点B，A，C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC，BD，CE之间的数量关系为________；(2)问题解决如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)拓展延伸如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC，可得结论：BC＝AB＋AC＝BD＋CE；(2)过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，同理证明△ABC≌△DEA，可得DE＝AB ＝2，AE＝BC＝4，最后利用勾股定理求BD的长；(3)同理证明三角形全等，设AF＝x，DF＝y，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．【自主解答】5．(2014·河南)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD，BE之间的数量关系为________；(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．参考答案类型一【例1】(1)1 60°(2)BDCP 的值为2，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数为45°.理由如下： 如图，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E.∵∠PAD＝∠CAB＝45°， ∴∠PAC＝∠DAB. ∵AB AC ＝ADAP ＝2， ∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，BD PC ＝ABAC＝ 2.∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°，∴直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数为45°. (3)ADCP的值为2＋2或2－ 2. 如图，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H.∵CE＝EA ，CF ＝FB ，∴EF∥AB， ∴∠EFC＝∠ABC＝45°.∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH.∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO.∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA.∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°.∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC.设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝2 2a，∴ADCP＝aa＋22a＝2－ 2.如图，当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC.设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝22a，∴PC＝a－22a，∴AD PC ＝a a －22a＝2＋ 2. 综上所述，点C ，P ，D 在同一直线上时，ADCP 的值为2－2或2＋ 2.跟踪训练 1．解：(1)①1提示：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA ＝∠DOB.∵OC＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ，∴ACBD ＝1.②40°提示：∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝40°，∴∠OAB＋∠ABO＝140°.在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB ＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)ACBD ＝3，∠AMB＝90°.理由如下： 在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴OD OC ＝tan 30°＝33. 同理得OB OA ＝tan 30°＝33.∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴AC BD ＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO， ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB －MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)23或3 3.提示：①点C 与点M 重合时，如图，同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ACBD ＝ 3.设BD ＝x ，则AC ＝3x. 在Rt△COD 中， ∵∠OCD＝30°，OD ＝1， ∴CD＝2，∴BC＝x －2.在Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB ＝7. ∴AB＝2OB ＝27.在Rt△AMB 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(3x)2＋(x －2)2＝(27)2， 解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)， ∴AC＝3 3.②点C 与点M 重合时，如图，同理得∠AMB＝90°，ACBD＝ 3.设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△AMB 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2. 解得x 1＝－3，解得x 2＝2(舍去)， ∴AC＝2 3.综上所述，AC 的长为33或2 3. 2．解：(1)PM ＝PN PM⊥PN 提示：∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN ＝12BD.∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM ＝12CE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ，∴BD＝CE ，∴PM＝PN. ∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA.∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN.(2)△PMN 为等腰直角三角形．理由如下： 由旋转知，∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠AB D ＝∠ACE，BD ＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理得 PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形． 同(1)的方法得PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE. 同(1)的方法得PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB ＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形． (3)492.提示：同(2)的方法得△PMN 是等腰直角三角形， ∴当MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN. 如图，连接AM ，AN.在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝2 2.在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52， ∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492.3．解：(1)①52提示：当α＝0°时， ∵在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∴AC＝AB 2＋BC 2＝（8÷2）2＋82＝4 5. ∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴AE＝45÷2＝25，BD ＝8÷2＝4， ∴AE BD ＝254＝52. ②25提示：如图，当α＝180°时，则可得AB∥DE.∵AC AE ＝BC BD， ∴AE BD ＝AC BC ＝458＝52. (2)当0°≤α≤360°时，AEBD的大小没有变化．∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA∽△DCB， ∴AE BD ＝EC DC ＝52. (3)BD 的长为45或125 5提示：a.如图，∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD ，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵AD＝BC ，AB ＝DC ，∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD＝AC ＝4 5.b ．如图，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P.∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6， 由(2)得AE BD ＝52，∴BD＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255.类型二【例2】(1)CB 的延长线 a ＋b (2)①CD＝BE.理由：∵△ABD 与△A CE 是等边三角形， ∴AD＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， 即∠CAD＝∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD＝∠EAB，AC ＝AE ， ∴△CAD≌△EAB， ∴CD＝BE. ②4提示：∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值， 由(1)知，当线段CD 取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴线段BE 的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4.(3)线段AM的最大值为22＋3，点P的坐标为(2－22，2)．提示：如图，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM.∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM的最大值等于线段BN的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM的最大值为22＋3.如图，过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2，∴P(2－2，2)．跟踪训练4．解：(1)①1②45°(2)∠ACD＝∠B，PB CD＝k. 理由如下：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∠B＝∠APD，∴△ABC∽△APD，∴AB AC ＝AP AD＝k. ∵∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAD＝90°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP∽△CAD，∴∠ACD＝∠B，PB CD ＝AB AC＝k. (3)102或7102. 类型三【例3】(1)BC ＝BD ＋CE提示：∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC.∵∠B＝∠C＝90°，AD ＝AE ，∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC ，EC ＝AB ，∴BC＝AB ＋AC ＝BD ＋CE.(2)如图，过D 作DE⊥AB，交BA 的延长线于E.由(1)同理得△ABC≌△DEA，∴DE＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4.在Rt△BDE 中，BE ＝6，∴由勾股定理得BD ＝62＋22＝210.(3)如图，过点D 作DE⊥BC 于E ，作DF⊥AB，交BA 的延长线于F.同理得△CED≌△AFD，∴CE＝AF ，ED ＝DF.设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴BF＝2＋1＝3，DF ＝3，由勾股定理得BD ＝32＋32＝3 2.跟踪训练5．解：(1)①60°提示：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD＝∠BCE，CD ＝CE ，∴△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝60°.②AD＝BE(2)∠AEB＝90°，AE ＝BE ＋2CM.理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ，∠ACD＝∠BCE，CD ＝CE ，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE ，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)点A到BP的距离为3－12或3＋12.提示：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．(i)当点P在如图所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A 作AE⊥AP，交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝ 3.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴点A，P，D，B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得BP＝2AH＋PD，∴3＝2AH＋1，∴AH＝3－1 2.(ii)当点P在如图所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E.同理可得BP＝2AH－PD，∴3＝2AH－1，∴AH＝3＋1 2.综上所述，点A到BP的距离为3－12或3＋12.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。