2020年大连一中高三模拟测试理科数学(含答案解析)
①复数 z 的虚部为 3 i ； 5
②| z| 2 5 ； 5
③复数 z 对应的点在第三象限； ④ z 1 2i 其中正确命题的个数为
（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3. 已知数列{ an } 的前 n 项的和为 Sn ，且满足 Sn 2an 4 ，则 a5
（）
A.16
B.32
C.64
D.128
且与椭圆交于 C ，D 两点.
（1）求 COD 面积；
（2）动直线
m
与椭圆有且仅有一个交点，且与直线
x
1，x
2
分别交于
A ，B
两点，F2
为椭圆的右焦点，证明
| |
AF2 BF2
| |
为定值.
21.（12 分）已知函数 f (x) 1 x2 ax ln x(a R) . 2
（1）当函数 f (x) 在 (1，3) 内有且只有一个极值点，求实数 a 的取值范围；
理科数学答案全解全析
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】集合 A 满足： x2 3x 4 0 ，( x 4)( x 1) 0 ， x 4 或
x 1 ， A {x | x 4 或 x 1} ， CU A={x | 1 x 4} ， y 2x 2 2 ， B {y | y 2} ，可知 (CU A) B {x | 2 x 4} .故选 D. 2. 【答案】A
f (t 1) ，可知 x2 x t 1 ，t x2 x 1 ，x2 x 1 (x 1)2 2
3 3 ，可知实数 t 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.
44
4
4
6. 【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为 y 3x ，可得双曲线的方程为
l
的参数方程为
x
y
4t 3t
a1，，（
t
为参数，
a
为常数），以坐标原点
O
为极点，
x
轴的正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C
的极坐标方程为 2
6 2 cos2
.
（1）当直线 l 与曲线 C 相切时，求出常数 a 的值；
（2）当 (x ，y) 为曲线 C 上的点，求出 2x 3y 的最大值. 23.[选修 4 – 5:不等式选讲]（10 分）
A. b c a
B. c a b
C. c b a
D. b a c
12.已知函数
f (x)
a
ln x
x
(a
R)
，对于
x1
，x2
[e2
，e4
]
，且
x1
x21 x1 x2
恒成立，则实数 a 的取值范围
为
（）
A. (∞， 1] 3
B. (∞，2]
【解析】可知降落的概率为
p
A22 A55 A66
1 3
.故选
D.
5. 【答案】C
【解析】函数 f (x) 2 020x sin 2x 满足 f (x) 2 020x sin 2x
f (x) ，且 f (x) 2 020 2cos 2x 0 ，可知函数 f (x) 为单调递
增的奇函数， f (x2 x) f (1 t) 0 可以变为 f (x2 x) f (1 t)
1(a 0 ，b 0) 的一条渐近线的倾斜角为 π ，且双曲线过点 P(2，3) ，双曲线两条渐近线与过 3
右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交于 A，B 两点，则 AOB 的面积为
（）
A. 4 3
B. 2 3
C. 8
D.12
理科数学试题第 1 页（共 4 页）
7. 将函数 f (x) sin(x π) sin x cos 2 x 的图象向右平移 π 个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数 g(x) ，则关
（1）求证：平面 EBC 平面 PDB ；
（2）若直线 PB 与平面 PDC 所成角的正切值为 2 ，求二面角 A PB E 的余弦值. 2
19.（12 分）2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情 况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13 ，其中男生 30 人对 于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线上教育不满意. （1）完成 2 2 列联表，并回答能否有 99% 的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
.
y 0
ab
15.设 a ，b ，c 为锐角 ABC 内角 A，B ，C 的对边，且满足 cos A cos B 2 3 sin C ，若 b 4 时，则 ABC 面积的最大值
a
b
3a
为
.
16.已知抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 的准线方程为 x 2 ，在抛物线 C 上存在两点 A，B 关于直线 l ：x y 6 0 对称，且 O
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
0.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828
20.（12 分）已知离心率为
2 的椭圆 x2 y2
2
a2 b2
1，(a b 0) 经过抛物线 x2 4y 的焦点 F ，斜率为 1 的直线 l 经过 (1，0)
x2 y2 ，把点 P(2，3) 代入可得 4 3= ， 1 ，双曲线的 3
方程为 x2 y2 1，c2 1 3 4，c 2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3
B(2， 2
【解析】 z 1 i (1 i)(1 2i) 1 3i ，复数 z 的虚部为 3 ，
1 2i
5
5
5
故错误；② | z | ( 1)2 ( 3)2 10 ，故错误；③复数 z 对应的
5
55
点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55
故错误.故选 A.
17.（12 分）已知数列{ an } 满足 a1 1，an1 2an 1 ，数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn n2 . （1）求出数列 { an }，{ bn } 的通项公式； （2）求数列 cn bn an 的前 n 项的和 Tn .
18.（12 分）在几何体 PEABCD 中， PD 面 ABCD ，直角梯形 ABCD 中， AB AD ，AB P CD ，且 CD 2AB 2 AD 2 ，且 EC P PD ，EC 1 PD . 2
4. 2020 年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情
狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐 6 架我国自主生产的“运 20”大型运输机，编号分为
1，2，3，4，5，6 号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中 1 号与 6 号相邻降落的概率为
（2）若对于 x 0 ，不等式 2 f (x) 2x 2 (a 1)x2 恒成立，求整数 a 的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修 4 – 4:坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系
xoy
中，直线
为坐标原点，则 | OA OB | 的值为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 理科数学试题第 2 页（共 4 页）
学校：
班级：
_______________________________装____________________________________订_______________________________线____________________________________
学校：
班级：
姓名：
考号：
_______________________________装____________________________________订_______________________________线_____________________________________
（）
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
12
6
5
3
5. 函数 f (x) 2 020x sin 2x ，若满足 f (x2 x) f (1 t) 0 恒成立，则实数 t 的取值范围为
（）
A. [2， ∞)
B. [1， ∞)
C. (∞，3] 4
D. (∞，1]
6.
已知双曲线
C
：x a
2 2
y2 b2
1. 已知集合 A {x | y lg(x2 3x 4)} ，集合 B {y | y 2x 2}，U R ， (CU A) B
A. (0，4]
B. (2， ∞)
C. [2，5)
D. (2，4]
（）
2. 已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 z(1 2i) 1 i3 ，则关于复数 z 的四个命题：
一定过定点
（）
A. ( 2 ，2) 33
B. (1，2)
C. (2，3)
D. ( 4 ，4) 33
11. 已知函数
f (x) log2 (x2
e|x| ) ，设 a
f
(( 1 )0.3 ) ，b 2
f (( 5)0.2 ) ，c 4
2020届辽宁省大连市普通高中高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省大连市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，则集合A B 为（ ）A. {}2,1,0,1,2--B. 1,0,1,2C. {}1,0,1,2,3-D. {}2,1,0,1,2,3--【答案】B【解析】【分析】直接判断集合B 有哪些元素在集合A 中即可.【详解】因为集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 所以集合{}1012A B ⋂=-，，， 故选：B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题.2.已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -【答案】B【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，故选B. 3.下列函数中是偶函数，且在()0,∞+是增函数的是（ ） A. ln y x =B. cos y x =C. 2y x =-D. 3y x = 【答案】A【解析】【分析】对于A 选项：函数ln y x =是偶函数且函数ln y x =为增函数；对于B 选项：函数cos y x =是偶函数但当()0,x ∈+∞时不是增函数；对于C 选项：函数2y x =-是偶函数，但当()0,x ∈+∞时为减函数；对于D 选项：函数3y x =是奇函数.【详解】对于A 选项：因为函数ln y x =中自变量x 含有绝对值，所以是偶函数， 当0x >时，函数ln ln y x x ==为增函数，故正确；对于B 选项：根据函数cos y x =的图像可知它是一个偶函数，但当()0,x ∈+∞时有增有减，故错误；对于C 选项：函数2y x =-是开口向下的二次函数是偶函数，但当()0,x ∈+∞时为减函数，故错误；对于D 选项：函数3y x =是奇函数，故错误；故选：A【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题.4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4512a a +=，则8S 的值为（ ）A. 14B. 28C. 36D. 48【答案】D【解析】【分析】。
2020届辽宁省大连一中高三3月模拟测试数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届辽宁省大连一中高三3月模拟测试数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合(){}2|lg 34A x y x x ==--，集合{}|22xB y y ==+，U =R ，()U C A B =I（ ）A ．(0,4]B ．(2,)+∞C ．[2,5)D ．(2,4]答案：D由真数大于零求出集合A ，由指数函数的值域求出集合B ，再根据集合的补集和交集运算即可求出． 解：集合A 满足：2340x x -->，(4)(1)0x x -+>，即4x >或1x <-， ∴{|4A x x =>或1}x <-，∴{|14}U C A x x =-≤≤，由222xy =+>，∴{|2}B y y =>，可知()(]2,4U C A B =I .故选：D. 点评：本题主要考查集合的补集和交集运算，涉及对数函数和指数函数的性质应用，属于基础题．2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足3(12)1z i i +=+，则关于复数z 的四个命题： ①复数z 的虚部为35i -；②||5z =； ③复数z 对应的点在第三象限； ④12z i <+其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：A根据复数代数形式的运算法则，求出z ，即可判断各个命题的真假． 解： 因为1(1)(12)1313125555i i i i z i i -----====--+， 对于①，复数z 的虚部为35-，故①错误；对于②，||z ==，故②错误； 对于③，复数z 对应的点为13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限内，故③正确； 对于④，虚数不能比较大小，故④错误. 故选：A. 点评：本题主要考查复数代数形式的运算法则的应用，以及复数的虚部，复数的模，复数的几何意义等知识的理解，属于基础题．3．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足24n n S a =-，则5a =（ ） A ．16 B ．32C ．64D ．128答案：C根据n S 与n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出n a ，进而求得5a ．解：因为24n n S a =-，当1n =时，1124a a =-，∴14a =；当2n ≥时，1124n n S a --=-，与24n n S a =-相减，得12n n a a -=，又14a =，∴0n a >，即可得12nn a a -=， 由此可知，数列{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，即有()1*42n n a n N -=⨯∈∴454264a =⨯=. 故选：C. 点评：本题主要考查n S 与n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用，属于基础题．4．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ） A ．112B ．16C ．15D ．13答案：D根据捆绑法以及古典概型的概率计算公式即可求出． 解：六架飞机降落的排列总数为66A ，而1号与6号相邻降落的排列总数为2525A A ，所以所求事件的概率为25256613A A p A ==. 故选：D. 点评：本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用以及利用捆绑法解决排列中的相邻问题，属于基础题．5．函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞答案：C根据函数()f x 的奇偶性和单调性，即可将()2(1)0f x x f t ++-≥化为21x x t +≥-，再根据不等式恒成立问题的解法，分参，求出21x x ++的最小值，即可求解． 解：∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x x f t f t +--=-…，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤，故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ． 点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，以及不等式恒成立问题的解法应用，涉及利用导数判断函数的单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为3π，且双曲线过点(2,3)P ，双曲线两条渐近线与过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（ ）A ．B ．C ．8D ．12答案：A根据双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程223y x λ-=，再根据双曲线过点(2,3)P ，可求出双曲线的方程，然后由双曲线的简单几何性质即可求出． 解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为223y x λ-=，把点(2,3)P 代入可得，43λ-=，∴1λ=，即双曲线的方程为2213yx -=．∴2,(2,0)c F =，(2,A ，(2,B -，可得122AOB S ∆=⨯⨯=故选：A. 点评：本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，以及由双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 7．将函数2()sin sin cos 3f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数()g x 的图象，则关于函数()g x 的结论正确的是（ ） A ．最小正周期为πB ．关于6x π=对称C ．最大值为1D ．关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 答案：B首先根据两角和的正弦公式，二倍角公式将函数()f x 化简成()13sin 2264x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据平移法则即可得到函数()g x 的解析式，即可对各选项的结论判断，由此解出． 解：2()sin sin cos 3f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos2sin cos cos sin sin 332x x x x ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭131132cos22cos24442224x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 13sin 2264x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图象向右平移6π单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数()g x ，可得13()sin 4264g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最小正周期为242ππ=，故选项A 错误；若6x π=，∴446662x ππππ-=⨯-=，故选项B 正确；最大值为135244+=，故选项C 错误；对称中心的坐标为3,()4244k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以关于点3,244π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选项D 错误.故选：B. 点评：本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的性质应用，以及两角和的正弦公式，二倍角公式，平移法则的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．8．已知在等边三角形ABC V 中，2AB =，AD 为BC 的中线，以AD 为轴将ABD △折起，得到三棱锥A BCD -，使得B AD C --为120°，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．7π答案： D画出三棱锥A BCD -的图形，根据题意可知，120BDC ∠=︒，3AD =，1BD DC ==．再根据球的几何性质可知，球心与截面圆的圆心所在直线垂直于底面，然后根据球心距，截面圆的半径和球的半径之间的关系即可求出球的半径，从而得出外接球的表面积． 解：如图所示：根据二面角的定义结合题意可知，120BDC ∠=︒，3AD =，1BD DC ==．在BDC V 中，根据余弦定理可得，211211cos1203BC =+-⨯⨯⨯︒=，∴3BC =． 据正弦定理可得2sin120BCr =︒3322r =，∴1r =，1O 为BDC V 的外心．设O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，半径为R ，连接1OO ，则1O O ⊥平面BDC ，过点O 作OK AD ⊥，因为OA OD R ==，所以K 为AD 的中点， 2237122R ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 即外接球的表面积为227447S R πππ==⨯=⎝⎭.故选：D. 点评：本题主要考查三棱锥外接球的表面积求法，涉及二面角的定义，球的几何性质以及余弦定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题． 9．已知二项式()nx y +的展开式的二项式项的系数和为64，2012(23)(1)(1)n x a a x a x +=+++++⋅⋅⋅+(1)n n a x +，则2a =（ ）A ．20B ．30C ．60D ．80答案：C根据题意赋值可得264n =，从而求出n ，再换元，设1x t +=，将二项式展开，即可根据二项展开式的通项公式求出2a ． 解：根据题意，令1,1x y ==可得264n =，即66,(23)(23)nn x x =+=+ 设1x t +=，即2321x t +=+66260126(23)(23)(21)n x x t a a t a t a t +=+=+=++++L ，即()6+1621rrr r T C t -=⨯⨯，令62r -=，解得4r =．∴464442224166(2)1260T C t C t t -+===⨯⨯⨯⨯，可知260a =.故选：C. 点评：本题主要考查利用二项展开式的通项公式求某指定项的系数，以及二项式定理，赋值法的应用，解题关键是换元法的使用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．10．已知圆22:4C x y +=，直线:60l x y -+=，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为,A B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点（ ） A ．22,33⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．(1,2) C ．(2,3)-D ．44,33⎛⎫-⎪⎝⎭答案：A设点()00,P x y ，根据圆系知识可求出直线AB 的方程，再根据点()00,P x y 在直线l 上，可得00,x y 的关系，代入直线AB 的方程，消去0y ，即可求出定点． 解：如图所示：设点()00,P x y ，则0060x y -+=．过点P 向圆C 作切线，切点为,A B ，连接AB ， 以CP 为直径的圆的方程为：()()000x x x y y y -+-=，又圆22:4C x y +=，作差可得直线AB 的方程为004xx yy +=，可得006y x =+，代入可得0()640x y x y ++-=，满足0640x y y +=⎧⎨-=⎩2323x y ⎧=-⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，故过定点为22,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A. 点评：本题主要考查直线过定点问题的解法，涉及利用圆系求直线方程，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 11．已知函数()2||2()log x f x x e=+，设0.30.212155,,log 244a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<答案：B先判断出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性将,,a b c 转化为()0,∞+上的函数值，再根据指数函数，对数函数的单调性确定各自变量的范围，比较出大小关系，即可根据函数()f x 在()0,∞+上的单调性得出,,a b c 的大。
2020届辽宁省大连一中高三3月模拟测试数学(理)试题(解析版)
【解析】先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线 的方程，再根据点差法求出 的中点坐标，从而得出 的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．
【详解】
拋物线 的准线方程为 ，可知抛物线 的方程为： ．
设点 ， 的中点为 ，则
两式相减可得， ， ，所以 ，解得 ，可得 ，则 ，
可得 .
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查点差法的应用，以及中点公式，向量的模的坐标计算公式，抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知数列 满足 ，数列 的前 项的和为 .
（1）求出数列 ， 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项的和 .
【答案】（1） . ， .（2）
【解析】（1）根据构造法即可求出数列 的通项公式，根据 与 的关系 即可求出 的通项公式；
4．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】假设 ，可将 变形为 ，即可知函数 在 上单调递减，然后利用导数和单调性的关系，可得 在 上恒成立，分参得， ，求出函数 在 上的最大值，即可求解出 的取值范围．
【详解】
不妨设 ，由 可得 ，
即 ．设函数 ，则函数 在 上单调递减，可知 ，即有 ，而函数 在 单调递增， ，可知实数 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数 的奇偶性和单调性，即可将 化为 ，再根据不等式恒成立问题的解法，分参，求出 的最小值，即可求解．
2020年辽宁省大连市高考数学第一次模拟试卷(理科)(Word版 含解析)
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cos x C．y＝﹣x2D．y＝x34．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．(4，√3) 7．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，π3B．1，−π6C．2，−π6D．2，π69．设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．已知a＞0，b＞0，1a +1b=1，则a+b的最小值为（）A．14B．12C．2D．411．已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．15B．16C．17D．314二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．已知x，y满足约束条件{x−y≤0，x≥0，y≤2则z＝x+y的最大值为．14．双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，二面角A 1﹣BD ﹣P 的平面角为α，用图中字母表示角α为 ，sin α的最小值是 ．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设函数f （x ）＝2sin x cos x ﹣2cos 2（x +π4）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （B 2）＝0，a ＝1，c ＝1，求b ．18．某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s 12，s 22，试比较s 12，s 22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2=√142.75≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若∠CBB1=60°，cos∠ACC1=√24，在线段C1A1上是否存在点F（F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为√37．若存在，求出C1FC1A1的值；若不存在，说明理由．20．已知过点P(1，32)的曲线C的方程为√(x−1)2+y2+√(x+1)2+y2=2a．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求|BD||AF|最大值．21．已知函数f（x）＝2sin x﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：1−π2π(x2−x1−2π)≥a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b 的最小值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．1【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cos x C．y＝﹣x2D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cos x，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．48【分析】由等差数列的性质得S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)，由此能求出结果．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)=4×12＝48．故选：D．5．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是43【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．(4，√3)【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若“|a→+2b→|＝|a→−2b→|，则平方得|a→|2+4|b→|2+4a→•b→=|a→|2+4|b→|2﹣4a→•b→，即4a→•b→=−4a→•b→，得a→•b→=0，即a→⊥b→，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的充要条件，故选：C．8．如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，π3B．1，−π6C．2，−π6D．2，π6【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．解：∵由函数图象可知T＝2×（2π3−π6）＝π，∴ω＝2，∵x=π6时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×π6+φ）＝2，可得：2×π6+φ＝2kπ+π2，即φ＝2kπ+π6，k∈Z，∵|φ|＜π2，∴φ=π6．故选：D．9．设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．40【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．已知a＞0，b＞0，1a +1b=1，则a+b的最小值为（）A．14B．12C．2D．4【分析】根据1a +1b=1，可以得到a+b＝（a+b）×（1a+1b），展开后再运用基本不等式可求得最小值．解：∵1a+1b=1，∴a+b＝（a+b）×（1a+1b）＝1+1+ba+a b≥2+2√1=4，当且仅当ba =ab时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．15B．16C．17D．314【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：∁31⋅∁51+∁32=18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：∁32=3种；故P（A|B）=318=16；故选：B ．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13．已知x ，y 满足约束条件{x −y ≤0，x ≥0，y ≤2则z ＝x +y 的最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z ＝x +y 的最优解，代入坐标求得z ＝x +y 的最小值．解：由x ，y 满足约束条件{x −y ≤0，x ≥0，y ≤2作出可行域如图，联立{y =2x =y，解得A （2，2）．由图可知，使目标函数z ＝x +y 取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标， ∴z ＝x +y 的最大值为：4． 故答案为：4．14．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝x ，则该双曲线的离心率e＝ √2 ．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab 关系式，然后求解离心率．解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝x ，可得a＝b，则c=√2a，∴e=√2．故答案为：√2．15．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是2．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（32）来表示即可求解．解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（32）＝4×（2−32）＝2．故答案为：2．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为∠A1OP，sinα的最小值是√63．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P 的位置，求解最小值即可．解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A 1OP ，设正方体的列出为2，则A 1O =√6，OC =√2，A 1C ＝2√3， 由题意可知P 在C 处时，cos ∠A 1OP =2×√2×√6=−√33，此时sin ∠A 1OP =√63，是最小值．故答案为：∠A 1OP ；√63．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设函数f （x ）＝2sin x cos x ﹣2cos 2（x +π4）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （B 2）＝0，a ＝1，c ＝1，求b ．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f （x ）＝2sin2x ﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f （B 2）＝2sin B ﹣1＝0，可得sin B =12，结合B 为锐角，可得B =π3，进而根据余弦定理即可求解b 的值．解：（Ⅰ）由题意可得：f(x)=2sinxcosx −2cos 2(x +π4)=sin2x ﹣[1+cos （2x +π2）]＝2sin2x﹣1，由2kπ−π2≤2x≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π4≤x≤kπ+π4，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ−π4，kπ+π4]，k∈Z．（Ⅱ）由f（B2）＝2sin B﹣1＝0，可得sin B=12，由题意可得B为锐角，可得B=π3，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b=√a2+c2−2accosB=√1+1−2×1×1×12=1．18．某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2=√142.75≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）求解即可．（Ⅲ）x=26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）＝0.42．（Ⅲ）x=26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，A 在侧面BB 1C 1C 上的投影恰为B 1C 的中点O ，E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：OE ∥平面ACC 1A 1；（Ⅱ）若∠CBB 1=60°，cos∠ACC 1=√24，在线段C 1A 1上是否存在点F （F 不与（C 1，A 1重合）使得直线EF 与平面ACC 1A 1成角的正弦值为√37．若存在，求出C 1FC 1A 1的值；若不存在，说明理由．【分析】（I ）连接BC 1，AC 1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC 1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II ）由AO ⊥侧面BB 1C 1C ，侧面BB 1C 1C 为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC ＝2，由∠CBB 1＝60°，cos ∠ACC 1＝cos ∠ACO •cos ∠OCC 1，可得cos ∠ACO =√22，AO＝1．设C 1F →=λC 1A 1→（0＜λ＜1），可得F （−√3，λ，λ），EF →=（−3√32，λ，λ−12）．设平面ACC 1A 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），可得n →•CA →=n →•CC 1→=0．利用√37=|EF →⋅n →||EF →|⋅|n →|，解得λ．即可得出．【解答】（I ）证明：连接BC 1，AC 1，∵O 为B 1C 的中点，E 为AB 的中点，∴OE ∥AC 1， ∵OE ⊄平面ACC 1A 1，AC 1⊂平面ACC 1A 1． ∴OE ⊄平面ACC 1A 1．（II ）解：∵AO ⊥侧面BB 1C 1C ，侧面BB 1C 1C 为菱形，∴AO ⊥OB ，AO ⊥OB 1，OB ⊥OB 1．∴以点O 为坐标原点，OB ，OB 1，OA 为x ，y ，z 轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ．设BC ＝2，∵∠CBB 1＝60°，cos ∠ACC 1＝cos ∠ACO •cos ∠OCC 1∴cos ∠ACO =√22，∴AO ＝1．∴B （√3，0，0），C （0，﹣1，0），C 1（−√3，0，0），A （0，0，1），A 1（−√3，1，1），∴E （√32，0，12），设C 1F →=λC 1A 1→（0＜λ＜1），∴F （−√3，λ，λ），∴EF →=（−3√32，λ，λ−12）．设平面ACC 1A 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），∵CA →=（0，1，1），CC 1→=（−√3，1，0）．∴n →•CA →=n →•CC 1→=0．∴y +z ＝0，−√3x +y ＝0．取n →=（1，√3，−√3）． ∴√37=|EF →⋅n →||EF →|⋅|n →|=√3√7×√274+λ2+(λ−12)2，解得λ=12． ∴C 1F C 1A 1=12．20．已知过点P(1，32)的曲线C 的方程为√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2a ．（Ⅰ）求曲线C 的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求|BD||AF|最大值．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出|BD||AF|的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：x24+y23=1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立{x=my+1x24+y23=1，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2=84+3m2，所以中点M （44+3m 2，−3m 4+3m 2），因为k OA =−3m 4=k OM ， 所以OA 平分线段BD ；（ii ）|AF |＝3√1+m 2，|BD |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12(1+m 2)4+3m 2， 所以|BD||AF|=4√1+m 24+3m 2，令t =√1+m 2≥1， 所以|BD||AF|=4t3t 2+1=43t+1t ≤1，当且仅当t ＝1时取等号，所以|BD||AF|最大值为1．21．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣x 2+2πx ﹣a ．（Ⅰ）当a ＝0时，求f （x ）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：1−π2π(x 2−x 1−2π)≥a ．【分析】（Ⅰ）将a ＝0带入，求导得f ′（x ）＝2cos x ﹣2x +2π，f ''（x ）＝﹣2sin x ﹣2＜0，进而可知存在x 0，使得f ′（x 0）＝0，且f （x ）在x ∈（﹣∞，x 0）上单调递增，在x ∈（x 0，+∞）上单调递减，进一步可得x ＝0，x ＝2π是f （x ）的两个零点，再求得f ′（0）＝2+2π，f ′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F （x ）＝（2+2π）x ﹣2sin x +x 2﹣2πx ，F ′（x ）＝2﹣2cos x +2x ，F ''（x ）＝2sin x +2≥0，可知（2+2π）x ≥2sin x ﹣x 2+2πx ，设y ＝（2+2π）x 与y ＝a 的交点横坐标为x 3，可得x 3=a (2+2π)≤x 1；设G （x ）＝（2﹣2π）（x ﹣2π）﹣2sin x +x 2﹣2πx ，G ′（x ）＝2﹣4π﹣2cos x +2x ，G ''（x ）＝2sin x +2≥0，可知（2﹣2π）（x ﹣2π）≥2sin x ﹣x 2+2πx ，设y ＝（2﹣2π）（x ﹣2π）与y ＝a 的交点横坐标为x 4，可得x 4=a 2−2π+2π≥x 2，由此即可得证．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sin x﹣x2+2πx，定义域为一、选择题，则f′（x）＝2cos x﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sin x﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sin x+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cos x+2x，F''（x）＝2sin x+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sin x﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则(2+2π)x1≥2sinx1−x12+2πx1=a=(2+2π)x 3，∵y ＝（2+2π）x 为增函数，∴x 3=a (2+2π)≤x 1；同理设G （x ）＝（2﹣2π）（x ﹣2π）﹣2sin x +x 2﹣2πx ，则G ′（x ）＝2﹣4π﹣2cos x +2x ，G ''（x ）＝2sin x +2≥0，∴y ＝G ′（x ）在R 上为增函数，又G ′（2π）＝0，∴当x ∈（﹣∞，2π）时，G ′（x ）＜0，即G （x ）在（﹣∞，2π）上单调递减， 当x ∈（2π，+∞）时，G ′（x ）＞0，即G （x ）在（2π，+∞）上单调递增，∴G （x ）≥g （2π）＝0，即（2﹣2π）（x ﹣2π）≥2sin x ﹣x 2+2πx ，设y ＝（2﹣2π）（x ﹣2π）与y ＝a 的交点横坐标为x 4，则(2−2π)(x 2−2π)≥2sinx 2−x 22+2πx 2=a =(2−2π)(x 4−2π)，又y ＝（2﹣2π）（x ﹣2π）为减函数，则x 4=a 2−2π+2π≥x 2，故x 2−x 1≤x 4−x 3=4πa (2−2π)(2+2π)+2π=aπ1−π2+2π， ∴1−π2π(x 2−x 1−2π)≥a ，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），B （1，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为﹣4．记M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0．（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求C 上的点到1距离的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）已知点A （﹣1，0），B （1，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为﹣4．整理得y x+1⋅y x−1=−4，化简得：x 2+y 24=1（x ＝±1）． 直线1的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0．转换为直角坐标方程为2x +√3y +11=0．（Ⅱ）把方程x 2+y 24=1（x ＝±1）转换为{x =cosθy =2sinθ（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C （cos θ，2sin θ）到直线2x +√3y +11=0的距离d =√3sinθ+11|√7=|4cos(θ−π3)+11|√7，当θ=−2π3，所以d min =√7=√7． [选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m ，带入得到a ，b 等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立， ∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min又∵|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5 ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]（2）令f （x ）≥0，∴m ≥||若m ≤0，则解集为∅，不合题意；若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ] 又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1∴ab ﹣2a ﹣b ＝2∴b =2a+2a−1∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1 ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a −1+4a−1+3 ∴a +b ≥2√(a −1)(4a−1)+3＝7 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4 ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥−1}C. {x|x>2}D. {x|1≤x<2}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()．A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3.若f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0)4.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 325.如图是2020年1月到10月的某公司利润(单位：千元)的折线图，利润在35千元以下为亏损，在35∼75千元为盈利，超过75千元可投资扩大生产，则下列说法错误的是()A. 这10个月中利润最低的是1月份B. 从1月份到6月份利润逐渐升高C. 这10个月中有2个月可投资扩大生产D. 这10个月中利润的中位数是436.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是()A. (6,6√2)或(6,−6√2)B. (4,4√3)或(4,−4√3)C. (3,6)或(3,−6)D. (9,6√3)或(9,−6√3)7.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=−sin(ωx +φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π3 B. −π3 C. −2π3 D. π3或−2π39. 已知数列{a n }的前项和S n =2n 2+1,n ∈N ∗，则a 5−a 1=( )A. 13B. 14C. 15D. 1610. 已知m >2，n >0，m +n =3，则1m−2+1n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 下列命题正确的是( )①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②若③如果直线a,b 和平面α满足④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β, 则α //β.A. ①③B. ②④C. ③D. ① ④12. 已知P (AB )=310，P (A )=35，则P (B|A )等于( )A. 950B. 12C. 910D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为________．14. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x,x ≤0，则f(f(19))=_________．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−D1C1−C的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=cosxcos(x−π3)−14,x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，求a的值．18.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2正方形．(Ⅰ)求侧视图的面积；(Ⅱ)求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．21. 已知函数f (x )=2x −sinx −cosx ．(Ⅰ)求曲线y =f (x )在x =0处的切线方程；(Ⅱ)当x ∈[−π,π]时，求函数f (x )的值域．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． (1)求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据复数的四则运算计算即可．+1=2−i，由已知得z=1+ii故选C．3.答案：B解析：∵f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，∵f(−2)=f(2))，且2>1>0，∴f(2)> f(1)>f(0)，即f(−2)>f(1)>f(0)．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可．解：∵等差数列{a n}的前11项和S11=88，=88，∴S11=11(a1+a11)2∴a1+a11=16，根据等差数列性质：a3+a9=a1+a11=16．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查了统计中折线图的应用，属于基础题．根据折线图中的数据判断A、B、C；由给出的数值和中位数的概念判断D．解：根据折线图知，这10个月中利润最低的是1月份的30千元，所以A正确；从1月到6月的利润是先升高后降低，再升高，所以B错误；这10个月中第6个月和第7个月利润超过75千元，可投资扩大生产，所以C正确；×(41+45)=这10个月中利润从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，其中中位数是1243，所以D正确．故选B．6.答案：A解析：解：∵抛物线方程为y2=12x，∴抛物线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3．设所求点为P(m,n)，∵P到焦点F的距离为9，P到准线的距离为m+3，∴根据抛物线的定义，得m+3=9，解得m=6，将点P(6,n)代入抛物线方程，得n2=12×6=72，解之得n=±6√2，∴满足条件的点的坐标为(6,±6√2).故选A．求出抛物线焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3.设所求点为P(m,n)，根据题意利用抛物线的定义建立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点P的坐标．本题求抛物线上满足指定条件的点P的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．8.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．9.答案：C解析：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2的灵活运用． 根据数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+1(n ∈N ∗)，由a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2能够求出a 5和a 1的值．解：a 5=S 5−S 4=(2×25+1)−(2×16+1)=18． a 1=S 1=3，所以a 5−a 1=18−3=15 故选C ．10.答案：B解析：本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用“乘1法”进行转化，然后利用基本不等式求最值． 解：因为m >2，n >0，m +n =3， 所以m −2+n =1，m −2>0，则1m−2+1n =(1m−2+1n )(m −2+n)=2+nm−2+m−2n ≥2+2=4，当且仅当nm−2=m−2n且m +n =3，即m =52，n =12时取等号，故选：B ．11.答案：C解析：本题主要考查空间平面与直线的位置关系和命题的真假判断，属于基础题． 解：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；故错误； ②若α与β相交时，a ，b 可能相交，可能平行，可能重合，可能异面，故错误； ③如果直线a,b 和平面α，满足正确；④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β,则α //β或相交；故错误； 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题． 利用P(B|A)=P(AB)P(A)进行求解即可．解：P(AB)=310，P(A)=35， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选B ．13.答案：10解析：本题考查线性规划求最值，属较易题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：作出可行域，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，当直线z =2x +y 经过可行域内的点A 时，z 取得最大值． 由{x +y =4y =−2解得{x =6y =−2，即A(6,−2)，故z max =2×6−2=10． 故答案为10．14.答案：x ±2√2y =0解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题． 利用双曲线的离心率，先求出a ，b 的关系式，然后求渐近线方程． 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，可得 ca =3， 则 ab =√a 2c 2−a 2=√1c 2a 2−1=12√2． 则其渐近线的方程为y =±ab x 即x ±2√2y =0． 故答案为：x ±2√2y =0．15.答案：14解析：本题考查了分段函数和函数求值，先求内函数则f(19)的值，然后再依次求出其外函数f[f(19)]的函数值，注意函数自变量的取值范围，属于基础题． 解：∵19>0，，由已知得：；∵−2<0， ∴f(x)=2x ,x ≤0； ∴f[f(19)]=2−2=14． 故答案为14．16.答案：解析：本题主要考查了二面角，考查了利用空间向量求夹角问题，属于基础题； 如图，连接AD 1，BC 1，得到∠BC 1C 为二面角A −D 1C 1−C 的平面角，即可得解． 解：如图，连接AD 1，BC 1，因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，，C1C,C1B⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角A−D1C1−C的平面角，等于；故答案为．17.答案：解：，由，解得，所以函数f(x)的单调递增区间．，又因为A∈(0,π)，所以，所以，所以，又，，所以b=√32由余弦定理得，所以a=√7．2解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，余弦定理，属于中档题．(1)利用两角和与差的三角函数公式化简得，再根据正弦函数性质即可；(2)由，解得，再根据，解得b ，再根据余弦定理即可．18.答案：解：(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，∵x −=10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5， ∴估计三镇基层干部平均每人走访28.5家贫困户．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为0.3+0.2+0.1=35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P8125361255412527125∴数学期望EX =3×35=95．解析：本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了计算能力，属于中档题．(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，进而得出x −．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，即可得出P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，及其数学期望EX ．19.答案：解：(Ⅰ)∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1， ∴等边三角形的高为√3，由题意知左视图是一个高为2，宽为√3的矩形，∴左视图的面积为2√3；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．∵AO =√3，AC 1=2√2， ∴sin∠AC 1O =AO AC 1=√32√2=√64．解析：(Ⅰ)分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．20.答案：解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．解析：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据题意可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程；(Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)由f (x )=2x −sinx −cosx 得f′(x )=2−cosx +sinx ，所以，f (0)=−1，f′(0)=1．所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y +1=x ，即y =x −1； (Ⅱ)因为f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0， 所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，故有f (−π)≤f (x )≤f (π)，即1−2π≤f (x )≤1+2π． 因此，当x ∈[−π,π]时，函数y =f (x )的值域为[1−2π,1+2π]．解析：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究闭区间上函数的最值，是基础题． (Ⅰ)先求导，代入切点横坐标可得切线斜率，即可得出切线方程；(Ⅱ)由f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0，所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，可得函数f (x )的值域． 22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)， 消去参数，得(x −2)2+y 2=1，即P点的轨迹C的方程为(x−2)2+y2=1直线l：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4⇒x+y=4，所以直线l的直角坐标方程为x+y−4=0．(2)由(1)，可知P点的轨迹C是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C到直线l的距离为d=√2=√2>r=1．所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)≤1，即|2x+1|≤1,−1≤2x+1≤1，解得x∈[−1,0]，∴不等式f(x)≤1的解集为[−1,0]；(2)g(x)=f(x)+f(x−1)=|2x+1|+|2x−1|≥|2x+1−(2x−1)|=2，∴a+b=2(a,b>0)，∴4a +1b=12(a+b)(4a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+2√4ba⋅ab)=92，当且仅当4ba =ab(a,b>0)，即a=2b，又a+b=2，即a=43,b=23时等号成立，综上：4a +1b的范围为[92,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，属中档题．(1)去掉绝对值可解得；(2)先根据绝对值不等式求出g(x)的最小值，然后根据基本不等式求出最小值，从而得值域．。
辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(含答案)
(D) 3 14
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答，第 22 题~第 23
题为选考题,考生根据要求做答｡
二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)
x − y 0,
(13)已知
x,y
如图,三棱柱 ABC − A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O,E 为
满足约束条件
x
0,
则 z=x+y 的最大值为___.
y 2
(14)已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的一条渐近线方程为
y=x,则该双曲线的离心率为___.
(15)定义在(1,+∞)上的函数 f(x)满足下列两个条件:(1)对任意的 x∈(1,+∞)恒有 f(2x)=2f(x)成立;(2)当 x∈
(D)40
( A) 1
(B) 1
(C)2
(D)4
4
2
(11)已知 a,b 是两条直线,α,β,γ 是三个平面,则下列命题正确的是()
(A)若 a//α,b//β,a//b,则 α//β
(B)若 α⊥β,a⊥α,则 a//β
(C)若 α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则 a⊥α
(D)若 α//β,a//α,则 a//β
(12)《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经后天八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦),每一
卦由三根线组成(
表示一根阳线,
表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件 A=“两卦的六根线
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷和答案(理科)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cosx C．y＝﹣x2D．y＝x3 4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．（5分）已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．7．（5分）设，是非零向量，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（5分）如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，B．C．D．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．（5分）已知a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．411．（5分）已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x+y的最大值为．14．（5分）双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD 的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为，sinα的最小值是．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，c＝1，求b．18．（12分）某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若，在线段C1A1上是否存在点F （F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知过点的曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF 的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b的最小值．2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cosx，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．【分析】由等差数列的性质得S8＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8＝＝＝4×12＝48．故选：D．5．【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．【解答】解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．【解答】解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“|+2|＝|﹣2|，则平方得||2+4||2+4•＝||2+4||2﹣4•，即4•＝﹣4•，得•＝0，即⊥，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的充要条件，故选：C．8．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：∵由函数图象可知T＝2×（﹣）＝π，∴ω＝2，∵x＝时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝．故选：D．9．【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．【分析】根据，可以得到a+b＝（a+b）×（），展开后再运用基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵，∴a+b＝（a+b）×（）＝1+1+≥2+2＝4，当且仅当时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．【解答】解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：+＝18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：＝3种；故P（A|B）＝＝；故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z＝x+y的最优解，代入坐标求得z＝x+y的最小值．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2）．由图可知，使目标函数z＝x+y取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标，∴z＝x+y的最大值为：4．故答案为：4．14．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab关系式，然后求解离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为y ＝x，可得a＝b，则c＝，∴e＝．故答案为：．15．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（）来表示即可求解．【解答】解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（）＝4×（2﹣）＝2．故答案为：2．16．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P的位置，求解最小值即可．【解答】解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD ⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A1OP，设正方体的列出为2，则A1O＝，OC＝，A1C＝2，由题意可知P在C处时，cos∠A1OP＝＝﹣，此时sin∠A1OP＝，是最小值．故答案为：∠A1OP；．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝2sin2x﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，结合B为锐角，可得B＝，进而根据余弦定理即可求解b的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：＝sin2x ﹣[1+cos（2x+）]＝2sin2x﹣1，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，由题意可得B为锐角，可得B＝，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b＝＝＝1．18．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）求解即可．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝0.42．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．【分析】（I）连接BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II）由AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC＝2，由∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1，可得cos∠ACO＝，AO＝1．设＝λ（0＜λ＜1），可得F（﹣，λ，λ），＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），可得•＝•＝0．利用＝，解得λ．即可得出．【解答】（I）证明：连接BC1，AC1，∵O为B1C的中点，E为AB的中点，∴OE∥AC1，∵OE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．∴OE⊄平面ACC1A1．（II）解：∵AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，∴AO⊥OB，AO⊥OB1，OB⊥OB1．∴以点O为坐标原点，OB，OB1，OA为x，y，z轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设BC＝2，∵∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1∴cos∠ACO＝，∴AO＝1．∴B（，0，0），C（0，﹣1，0），C1（﹣，0，0），A（0，0，1），A1（﹣，1，1），∴E（，0，），设＝λ（0＜λ＜1），∴F（﹣，λ，λ），∴＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），∵＝（0，1，1），＝（﹣，1，0）．∴•＝•＝0．∴y+z＝0，﹣x+y＝0．取＝（1，，﹣）．∴＝＝，解得λ＝．∴＝．20．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF 的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：+＝1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，所以中点M（，），因为k OA＝＝k OM，所以OA平分线段BD；（ii）|AF|＝3，|BD|＝＝，所以＝，令t＝≥1，所以＝＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以最大值为1．21．【分析】（Ⅰ）将a＝0带入，求导得f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，进而可知存在x0，使得f′（x0）＝0，且f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，在x∈（x0，+∞）上单调递减，进一步可得x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，再求得f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，可得；设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y ＝a的交点横坐标为x4，可得，由此即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sinx﹣x2+2πx，定义域为R，则f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y ＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则，∵y＝（2+2π）x为增函数，∴；同理设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，则G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝G′（x）在R上为增函数，又G′（2π）＝0，∴当x∈（﹣∞，2π）时，G′（x）＜0，即G（x）在（﹣∞，2π）上单调递减，当x∈（2π，+∞）时，G′（x）＞0，即G（x）在（2π，+∞）上单调递增，∴G（x）≥g（2π）＝0，即（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y＝a的交点横坐标为x4，则，又y＝（2﹣2π）（x﹣2π）为减函数，则，故，∴a，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．整理得，化简得：（x＝±1）．直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）把方程（x＝±1）转换为（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C（cosθ，2sinθ）到直线的距离d＝，当，所以．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．【解答】解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b＝∵，解得a＞1∴a+b＝a++3∴a+b≥2+3＝7当且仅当a﹣1＝，即a＝3时，等号成立，此时b ＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7。
辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含 答案
G( x) = 2 − 4 − 2cos x + 2x ， G( x) = 2sin x + 2 0 ，
G( x) = 2 − 4 − 2cos x + 2x 在 x R 上为增函数， G(2 ) = 0 ，
当 x 2 , +) 时， G( x) 0 ，即 G ( x) 在 x 2 , +) 上为增函数，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
，
故：
x2
−
x1
x4
−
x3
=
4 a
(2 − 2 )(2 +
（Ⅱ）因为AO ⊥ 平面BB1C1C, BB1C1C为菱形，
E
如图建立空间直角坐标系O − xyz,
x
y
设BC = 2,因为CBB1 = 60 ,
cos ACC1 = cos ACO cos OCC1,
大连市高三一模数学理科参考答案第 | 页 2
所以cos ACO =
2 , 所以AO = 1, 所以B( 2
f (0) = 2 + 2 0, f ( ) = −2 0 ........................ ......2 分
由零点存在定理可知， f ( x) 在 x (0, ) 上必存在一点 x0 使 f ( x0 ) = 0 当 x (−, x0 ) 时， f ( x) 0，即 f ( x) 在 x (−, x0 ) 上为增函数，
| |
BD AF
| |
=
3t
4t 2+
1
=
4 3t + 1
1(当且仅当“t
= 1”时取得等号）.....
......11 分
t
2020大连高三第一次模拟考试数学理科试卷 答案
16．
A1
OP ， 6 . 3
三. 解答题 （17）(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）由题意可知 f (x) = 2sin x cos x − 2 cos2 (x + ) = 2sin 2x −1，...3 分 4
由 2k − 2x 2k + (k z) ，．.. ....... .... ..................4 分
所以 y + z = 0, , 所以n的一组解为n = (1, 3, - 3),9分 − 3x + y = 0
由题可得 3 = EF n =
3
, 解得= 1 ，=0(舍），
7 EF n 7 27 + 2 + ( − 1 )2
2
4ห้องสมุดไป่ตู้
2
所以 C1F = 1 . 12分 C1 A1 2
(20) （本小题满分 12 分）
2
2
所以 f (x) 的单调递增区间是[k − , k + ](k Z ) ．.. ................6 分
4
4
（Ⅱ）由
f
(B) 2
=
2 sin
B −1 = 0 ，可得 sin
B
=
1 2
，.....
...............
........8
分
由题意知 B 为锐角， B = ，. .............. ............... .......10 分 3
事件 B ：在高二学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间不大于 20 分钟， 事件 C ：在高一、高二学生中随机抽取 1 人 ，恰有一个学生锻炼时间大于 20 分钟，
【附加15套高考模拟试卷】辽宁省大连市2020年高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
7．已知 A，B，C 三点都在表面积为100 的球 O 的表面上，若 AB 4 3，ACB 60 .则球内的三棱锥
O ABC 的体积的最大值为（ ）
A． 8 3 B．10 3 C．12 3 D．16 3
8．团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数
1~50
51~100
100 以上
门票价格
13 元/人
11 元/人
9 元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票 游览公园，则共需支付门票费为 1290 元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，
则需支付门票费为 990 元，那么这两个部门的人数之差为( )
A． 20 B． 30 C． 35 D． 40
有两个不同的
实数根.若
为真命题，求实数 的取值范围；
若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
22．（10 分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到
如下数据：
单价 x(元)
8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量 y(件)
90 84 83 80 75 68
辽宁省大连市 2020 年高三第一次模拟考试数学（理）试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．若函数 f x 图象上存在两个点 A，B 关于原点对称，则点对 A, B 称为函数 f x 的“友好点对”且点
x2 2ex m 1, x 0
l
即是曲线
C1
:
y
ex
的切线，又是曲线