2019-2020学年北京市十一学校高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年北京市十一学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 设集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x 2−3x ≤0}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {0,1，2}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2. 命题“存在x 0∈Z ，使2x 0+x 0+1≤0”的否定是( )A. 存在x 0∈Z ，使2x 0+x 0+1<0B. 不存在x 0∈Z ，使2x 0+x 0+1>0C. 对任意x ∈Z ，使2x +x +1≤0D. 对任意x ∈Z ，使2x +x +1>03. 下列四个函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是 ( )A. y =1−xB. y =x 2−xC. y =−1x+1 D. y =−|x|4. 给定映射f:(x,y)→(x +2y,2x −y)，在映射f 下，(3,1)的原象为( )A. (1,3)B. (5,5)C. (3,1)D. (1,1)5. “a <1”是“函数f(x)=x −a 在(0,1)上有零点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若函数f(x)=x 2−2x −3的定义域为[−1,m]，值域为[−4,0]，则m 的取值范围为( )A. (0,2]B. (1,3]C. (2,4)D. [1,3] 7. 使不等式x 2−x −6<0成立的一个充分不必要条件是( )A. −2<x <0B. −3<x <2C. −2<x <3D. −2<x <4 8. 若9a =2，则log 38−2log 36=( )A. 12a −2B. 2a −2C. 10a −2D. 6a −4a 29. 如果f(x)在[−5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则( )A. f(−1)<f(−3)B. f(0)>f(1)C. f(−1)<f(1)D. f(−3)<f(−5) 10. 已知f(x)=ax 2−bx +1是定义域为[a,a +1]的偶函数，则a b −a 2=( )A. 0B. 34C. √2D. 4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 11. 函数f (x )=x 2−3x −18的零点是___________． 12. 函数f(x)=√3−tan 2x √x(π−x)的定义域为______ ． 13. 化简：√√a3√a6=________．14. 设x 0是方程101−x =lgx 的解，且x 0∈(k,k +1)(k ∈Z)，则k =________．15.已知x2−5x+6<0，M=x2+5x+6，则M的取值范围是________．16.若关于x的一元二次方程x2−11x+a+30=0的两不等根均大于5，则实数a的取值范围是______．17.log53.5+2log12√2−log5150−log514=______．18.若函数f(x)=ax2+2x−3的图象与x轴只有一个公共点，则实数a取值的集合是______ ．19.如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料．如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2.把y表示为x的函数，这个函数的解析式为__________(须注明函数的定义域)．20.已知函数f(x)=√x2+mx+1的定义域为R，则实数m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）21.已知集合A={x∈R||x+3|+|x−4|≤11}，B={x∈R|x=4t+1t,t∈(0,+∞)}，求集合A∩B．22.已知二次函数的零点为0和2，且f(1)=−1．(1)求二次函数的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−2ax+2，求g(x)在[1,2]的最小值．23.已知函数f(x)=x+1，试讨论函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性．x24.已知定义在区间[0,1]上两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)=x2−ax+2(a⩾0)，g(x)=x2；x+1(1)求函数f(x)的最小值ℎ(a)；(2)若对任意x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：B ={x|0≤x ≤3}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：D ．解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈Z ，使2x 0+x 0+1≤0”的否定是：对任意x ∈Z ，使2x +x +1>0． 故选：D ．直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.答案：C解析： 【分析】本题考查了常见的基本初等函数在定区间上的单调性问题，是基础题目．根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数在区间(0,+∞)上的单调性进行判断即可． 【解答】解：对于A ，函数y =1−x ，在定义域(−∞,+∞)上是单调减函数，不合题意；对于B ，函数y =x 2−x ，在区间(−∞,12]上是单调减函数，在区间[12,+∞)上是单调增函数，不合题意；对于C ，函数y =−11+x ，在定义域(−1,+∞)上是单调增函数，满足题意； 对于D ，函数y =−|x|，在区间[0,+∞)上是单调减函数，不合题意． 故选：C ．4.答案：D解析：解：设原象为(x,y)， 则有{x +2y =32x −y =1，解得x =1，y =1，则(3,1)在f 下的原象是(1,1)． 故选D ．设点(3,1)的元素原象是(x,y)，由题设条件建立方程组能够求出象(3,1)的原象．本题考查映射的概念、函数的概念，解题的关键是理解所给的映射规则，根据此规则建立方程求出原象．5.答案：B解析：解：因为函数f(x)=x −a 为增函数，所以若函数f(x)=x −a 在(0,1)上有零点，则f(0)f(1)<0， 即−a(1−a)<0，则a(a −1)<0，解得0<a <1，即a <1”是“函数f(x)=x −a 在(0,1)上有零点”的必要不充分条件， 故选：B利用函数的定义，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数零点的存在条件是解决本题的关键，比较基础．6.答案：D解析： 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的定义域和值域的应用问题，属于基础题．根据二次函数f(x)=x 2−2x −3的图象与性质，结合x ∈[−1,m]时函数的值域，求出m 的取值范围． 【解答】解：∵函数f(x)=x 2−2x −3=(x −1)2−4， ∴函数f(x)的对称轴是x =1，且x =1时，f(1)=−4， x =−1或3时，f(x)=0，又∵当x ∈[−1,m]，函数的值域为[−4,0]， ∴1≤m ≤3，∴m 的取值范围是[1,3]， 故选D .7.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键．求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为真子集关系进行求解即可．解析：解：由x2−x−6<0得(x+2)(x−3)<0，得−2<x<3，若使不等式x2−x−6<0成立的一个充分不必要条件，则对应范围是(−2,3)的一个真子集，即−2<x<0，满足条件，故选：A．8.答案：Blog32，则log38−2log36=3log32−2(1+log32)=log32−2=2a−2．解析：可得32a=2，则a=129.答案：A解析：解：∵f(x)在[−5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，∴−f(−3)<−f(−1)，故f(−3)>f(−1)，故选：A．由题意结合计算的性质和不等式的性质可得．本题考查奇函数的性质，属基础题．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．【解答】解：∵f(x)=ax2−bx+1是定义域为[a,a+1]的偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴b=0，∴a+a+1=0，∴a=−1，2∴a b −a 2=(−12)0−(−12)2=34.故选B ．11.答案：6，−3解析： 【分析】本题考查函数零点，属于基础题． 由f(x)=0即可得零点． 【解答】解：f(x)=x 2−3x −18=0， 解得 x 1=6,x 2=−3． 故答案为6，−3．12.答案：[0,π3)∪(2π3,π]解析：解：要使函数有意义，则{x(π−x)≥03−tan 2x >0，即{0≤x ≤π−√3<tanx <√3， 解得0≤x <π3，23π<x ≤π 故函数的定义域为[0,π3)∪(2π3,π]， 故答案为：[0,π3)∪(2π3,π]根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13.答案：1解析： 【分析】本题考查分数指数幂与根式的关系，依题意，根据分数指数幂与根式的关系化简即可． 【解答】 解：原式=(a 13)12a 16=a 16a 16=1．故答案为1．14.答案：99解析： 【分析】本题考查了方程的根，考查了函数零点的判断，关键是掌握零点存在性定理，是基础题． 【解答】解：由101−x =lgx ，得lgx +x −101=0， 令f(x)=lgx +x −101，∵f(99)=lg99+99−101=lg99−2<0， f(100)=lg100+100−101=1>0. ∴x 0∈(99,100).又x 0∈(k,k +1)(k ∈Z)， ∴k =99. 故答案为99.15.答案：(20,30)解析： 【分析】本题考查二次不等式的求解及二次函数，由已知求出x 的范围，然后利用二次函数求解即可． 【解答】解： 因为x 2−5x +6<0， 所以2<x <3，又函数y =x 2+5x +6在(2,3)上单调递增， 所以20<M <30． 故答案为(20,30)．16.答案：(0,14]解析：解：∵关于x 的一元二次方程x 2−11x +a +30=0的两不等根均大于5， ∴{△=121−4(a +30)≥0x 1+x22=112>5x 1x 2=a +30>25f(5)=25−55+a +30>0，解得0<a≤14．∴实数a的取值范围是(0,14].故答案为：(0,14].利用韦达定理、根的判别式、一元二次函数性质，列出方程组，能求出实数a的取值范围．本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.答案：1−log52解析：解：原式=log5(3.5×50÷14)+2log12(12)−12=log5252−1=2−log52−1=1−log52．故答案为：1−log52.进行对数的运算即可．考查对数的定义，以及对数的运算性质．18.答案：{0,−13}解析：解：当a=0时，函数f(x)=2x−3的图象与x轴只有一个公共点，满足题意；当a≠0时，若函数f(x)=ax2+2x−3的图象与x轴只有一个公共点，可得△=4+12a=0，解得a=−13．则实数a取值的集合是：{0,−13}.故答案为：{0,−13}.通过a是否为0，列出关系式，求解即可．本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想的应用，是基础题．19.答案：y=x√2500−x2(0<x<50)解析：∵矩形的一边长为xcm，∴矩形的另一边长为√2500−x2cm，∴y=x√2500−x2，因为直径为50cm，所以0<x<50故答案为y=x√2500−x2(0<x<50)20.答案：[−2,2]解析：【分析】本题主要考查函数定义域的应用，根据根式的性质转化为不等式恒成立是解决本题的关键．根据函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：函数f(x)=2+mx+1的定义域为R，则等价为x2+mx+1≥0恒成立，即判别式Δ=m2−4≤0，即−2≤m≤2，故答案为：[−2,2]．21.答案：解：由绝对值的几何意义可知集合A={x∈R||x+3|+|x−4|≤11}={x|−1≤x≤6}，由基本不等式可得：B={x∈R|x=4t+1t,t∈(0,+∞)}={x|x≥4}所以A∩B=[4,6]．解析：利用绝对值不等式的几何意义求出A，基本不等式求出集合B，然后求解交集即可．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，集合的交集的求法，考查计算能力．22.答案：解：(1)设f(x)=ax(x−2)因为f(1)=−1，所以a=1，则f(x)=x2−2x；(2)由(1)可知g(x)=x2−2x−2ax+2，对称轴方程为x=a+1，①当a+1≤1，即a≤0时，g(1)=1−2a为最小值；②当1<a+1≤2，即0<a≤1时，g(a+1)=−a2−2a+1为最小值；③当a+1>2，即a>1时，g(2)=2−4a为最小值综上可得g min(x)={1−2a,a⩽0−a2−2a+1,0<a⩽12−4a,a>1．解析：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．(1)根据题意设出f(x)的解析式，再利用f(1)=−1即可；(2)对对称轴的位置进行分类讨论，可得函数的最值．23.答案：解：任取x2>x1>1，则f(x2)−f(x1)=(x2−x1)+(1x2−1x1)=(x2−x1)+x1−x2x2x1=(x2−x1)(1−1x2x1)．因为x2>x1，所以x2−x1>0，又因为x2>1,x1>1，所以x2x1>1，所以1x2x1<1，所以1−1x1x2>0，所以(x2−x1)(1−1x2x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在(1,+∞)是单调增函数．第11页，共11页 解析：本题主要考查了函数的单调性，利用定义判断是解题的关键．24.答案：解：(1)由f(x)=(x −a 2)2+2−a 24得： ℎ(a)={2−a 24,0≤a <23−a,a ≥2； (2)易知函数g(x)在[0,1]上为增函数，值域为[0,12]，由题设，得f(x 2)min >g(x 1)max ，故{0≤a <22−a 24>12或{a ≥23−a >12， 解得0≤a <52，所求a 的取值范围为[0,52).解析：(1)根据二次函数的性质通过讨论a 的范围，从而得到函数的最小值；(2)由题意得不等式组解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道基础题．。
2019-2020学年北京十一中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年北京十一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）.1．已知集合A＝{1，2，3}，则下列可以作为A的子集的是（）A．1，2B．{1，2，4}C．{1，4}D．{1，2} 2．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4} 3．函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）4．命题p：“∀x∈（﹣∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，0），3x＜4xB．∀x∈（﹣∞，0），3x≤4xC．D．5．函数取得最小值时的自变量x等于（）A．B．C．1D．36．已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，则f（x）在区间[0，3]的值域为（）A．[3，6]B．[2，6]C．[2，3]D．（3，6）7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣2x D．8．函数的定义域为（）A．B．C．D．9．设p：|x﹣|＜，q：2x≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））＝1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（共6小题；共24分）11．计算：＝．12．不等式＜0的解集为．13．能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为．14．函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的奇函数，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为．15．设函数f（x）＝则①f（）＝；②若f（x）有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是．16．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.2）＝﹣1．若A（2x+1）＝3，则x的取值范围是；若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围是．三、解答题（共4小题；共46分）17．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求集合A，集合B；（2）求（∁R A）∩B．18．某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，设底面一边的长为x米（长方体的容积是长方体的底面积乘以长方体的高）．（1）当x＝1时，求池底的面积和池壁的面积；（2）求总造价y（元）关于底面一边长x（米）的函数解析式；（3）当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？19．已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）为奇函数；（3）求f（x）在[﹣3，6]上的最大值与最小值．20．（16分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．（1）求函数的解析式；（2）g（x）＝b+是奇函数，求常数b的值；（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较与的大小．参考答案一、选择题（共10小题；共50分）1．已知集合A＝{1，2，3}，则下列可以作为A的子集的是（）A．1，2B．{1，2，4}C．{1，4}D．{1，2}【分析】根据子集的定义，即可找出集合A的子集．解：∵1，2∈A，根据子集的定义可知，{1，2}是A的子集．故选：D．2．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【分析】可用并集的定义直接求出两集合的并集．解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}故选：A．3．函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）【分析】先确定函数的定义域，进而利用导数法分析可得函数的单调递减区间．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，当x∈（﹣∞，0），或x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0均恒成立，故函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故选：C．4．命题p：“∀x∈（﹣∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，0），3x＜4xB．∀x∈（﹣∞，0），3x≤4xC．D．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解：命题是全称命题，则￢p：，故选：C．5．函数取得最小值时的自变量x等于（）A．B．C．1D．3【分析】函数f（x）＝x+，且x＞0，运用基本不等式可得f（x）的最小值2，由等号成立的条件，可得x＝．解：函数f（x）＝x+，且x＞0，可得f（x）＝x+，当且仅当x＝，即x＝时，取得最小值2．故选：A．6．已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，则f（x）在区间[0，3]的值域为（）A．[3，6]B．[2，6]C．[2，3]D．（3，6）【分析】由f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的对称轴x＝1可判断函数f（x）在区间[0，1]，[1，3]单调性，从而可判断函数的值域解：∵f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的对称轴x＝1∴函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增∴f（x）在区间[0，1]单调递减，在[1，3]单调递增当x＝1时，函数有最小值2；当x＝3，函数有最大值6∴函数的值域为[2，6]故选：B．7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣2x D．【分析】利用奇函数的定义以及基本初等函数的单调性，依次判断四个选项即可．解：函数y＝2x+1，因为2（﹣x）+1≠﹣（2x+1），所以函数不是奇函数，故选项A错误；函数y＝﹣x2，因为﹣（﹣x）2＝﹣x2，所以函数为偶函数，故选项B错误；函数y＝﹣2x，因为﹣2（﹣x）＝﹣（2x），所以函数为奇函数，又﹣2＜0，则函数为定义域内的减函数，故选项C正确；函数，因为，所以函数不是奇函数，故选项D错误．故选：C．8．函数的定义域为（）A．B．C．D．【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．解：要使函数有意义，则，得，即函数的定义域为，故选：B．9．设p：|x﹣|＜，q：2x≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】分别求解绝对值的不等式及指数不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：由p：|x﹣|＜，得＜x﹣＜，∴0＜x＜1．由q：2x≥1，得x≥0．则p⇒q，但q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））＝1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．解：①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，∴当x为有理数时，ff（（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．二、填空题（共6小题；共24分）11．计算：＝+1．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．解：原式＝++（+1）＝+1，故答案为：+1．12．不等式＜0的解集为（﹣2，）．【分析】将原不等式转化为（2x﹣1）（x+2）＜0，再求解即可．解：不等式可转化为（2x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜，所以不等式的解集为（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．13．能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为a＝1，b＝﹣1．【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但＜为假命题，故答案可以是a＝1，b＝﹣1，故答案为：a＝1，b＝﹣1．14．函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的奇函数，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．【分析】根据题意，利用函数的奇偶性作出函数的简图，结合图象分析可得答案．解：根据题意，奇函数的图象关于原点对称，则f（x）在（﹣5，0]上的图象如下所示：结合图像可得：f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）；故答案为：（﹣2，0）∪（2，5）．15．设函数f（x）＝则①f（）＝；②若f（x）有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是（1，]．【分析】①由分段函数代入计算可得所求值；②由一次函数的单调性和指数函数的单调性，可得f（x）的值域，由题意可得a的不等式，即可得到所求范围．解：设函数f（x）＝，①f（）＝（）＝；②当﹣2≤x＜0时，f（x）＝x+a∈[﹣2+a，a），当0≤x＜1时，f（x）＝（）x∈（，1]，由f（x）有最小值，且无最大值，可得a＞1，且a﹣2≤，解得1＜a≤，故答案为：；（1，]．16．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.2）＝﹣1．若A（2x+1）＝3，则x的取值范围是（，1]；若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x 的取值范围是（1，]．【分析】由A（2x+1）＝3可得2＜2x+1≤3，从而解得；由A（2x•A（x））＝5可化简得2＜x•A（x）≤，从而可将x的范围缩小到1＜x≤2，从而解得．解：∵A（2x+1）＝3，∴2＜2x+1≤3，解得，x∈（，1]；由A（2x•A（x））＝5知，4＜2x•A（x）≤5，即2＜x•A（x）≤；可判断1＜x≤2，则上式可化为2＜x•2≤，故1＜x≤；故答案为：（，1]；（1，]．三、解答题（共4小题；共46分）17．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求集合A，集合B；（2）求（∁R A）∩B．【分析】（1）分别解不等式x2﹣2x﹣3＜0和不等式x2+x﹣6＜0即可得到集合A，B．（2）根据补集和交集的定义计算即可．解：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0可化为（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，所以该不等式的解集为A＝{x|﹣1＜x＜3}，不等式x2+x﹣6＜0可化为（x+3）（x﹣2）＜0，解得﹣3＜x＜2，所以该不等式的解集为B＝{x|﹣3＜x＜2}．（2）由（1）可得∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥3}，所以∁R A∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣1}．18．某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，设底面一边的长为x米（长方体的容积是长方体的底面积乘以长方体的高）．（1）当x＝1时，求池底的面积和池壁的面积；（2）求总造价y（元）关于底面一边长x（米）的函数解析式；（3）当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？【分析】（1）由容积为8立方米，深为2米，即可求得池底面积，再根据池壁的面积公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合总造价y（元）等于池底的造价×池底面积+池壁的造价×池壁的面积公式，即可求解．（3）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可公式．解：（1）因为容积为8立方米，深为2米，所以池底面积为平方米，因为深为2米，底面一边长x米，底面积为4平方米，所以另一边长为米，则四面池壁的面积为平方米．（2）∵池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，120×4＝320x+（x＞0），（3）由（2）知，．所以，当且仅当，即x ＝2＞0时，取得最小值1760，∴当x＝2时，总造价最低，最低造价为1760元．19．已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）为奇函数；（3）求f（x）在[﹣3，6]上的最大值与最小值．【分析】（1）利用题中的恒等式，由赋值法x＝y＝0，代入求解即可；（2）利用题中的恒等式，由赋值法x＝﹣y，代入求解，可得f（﹣x）＝﹣f（x），由奇函数的定义即可证明；（3）利用函数单调性的定义可得，f（x）在R上为减函数，从而确定函数的最大值为f （﹣3），最小值为f（6），再利用恒等式以及已知的解析式，求解即可得到答案．【解答】（1）解：定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝f（0+0）＝f（0），从而f（0）＝0；（2）证明：定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；（3）解：对任意x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，于是f（x1﹣x2）＜0，则f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2），从而f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）＜0，所以f（x）在R上为减函数，故函数的最大值为f（﹣3），最小值为f（6），因为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣[f（2）+f（1）]＝﹣[2f（1）+f（1）]＝﹣3f（1）＝2，f（6）＝﹣f（﹣6）＝﹣[f（﹣3）+f（﹣3）]＝﹣4，所以f（x）在[﹣3，6]上的最大值为2，最小值为﹣4．20．（16分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．（1）求函数的解析式；（2）g（x）＝b+是奇函数，求常数b的值；（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较与的大小．【分析】（1）将A、B的坐标代入f（x），求出k，a的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据函数奇偶性的定义求出b的值即可；（3）分别求出与的表达式，根据基本不等式的性质判断其大小即可．解：（1）将A（0，1）和点B（2，16）代入f（x）得：，解得：，故f（x）＝4x；（2）由（1）g（x）＝b+，若g（x）是奇函数，则g（﹣x）＝b+＝b+＝﹣b﹣，解得：b＝﹣；（3）∵f（x）的图象是凹函数，∴＜，证明如下：＝，＝≥＝，故＜．。
北京市十一学校2019-2020学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
D． an
3，n 2n, n
1 2
7．下列说法正确的是（ ） A．“ f (0) 0 ”是“函数 f (x) 是奇函数”的充要条件
B．若 p : x0 R, x02 x0 1 0，则 p : x R, x 2 x 1 0
C．若 p q 为假命题，则 p, q 均为假命题
D．“若 ，则 sin 1 ”的否命题是“若 则 sin 1 ”
1
（2）求数列
Sn
前
n
项和为
Tn
.
19．已知函数 f (x) ax (a 0, a 1)在区间[-1，2]上的最大值是最小值的 8 倍．
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）当 a＞1 时，解不等式 loga (2a 2x) loga (x2 1) ． 20．已知函数 f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）． （1）求函数 f（x）的定义域并判断函数 f（x）的奇偶性； （2）记函数 g（x）=10 f（x） +3x，求函数 g（x）的值域； （3）若不等式 f（x）＞m 有解，求实数 m 的取值范围．
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
4．用数学归纳法证明不等式
1 n 1
n
1
2
1 2n
1 2
n
2
的过程中，由
n
k
递推到
n k 1时不等式左边（ ）
1
A．增加了 2k 1
B．增加了
1 2k 1
1 2k
2
C．增加了
1 2k 1
1 2k
2
，但减少了
k
1
1
D．以上各种情况均不对
ax, x 1
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中数学+答案
2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，a∈A，则a的值可以为（）A．﹣2B．1C．0D．﹣12．（5分）已知命题p：∃x∈Q，x2﹣3＝0，则￢p为（）A．∃x∈Q，x2﹣3≠0B．∃x∉Q，x2﹣3＝0C．∀x∈Q，x2﹣3≠0D．∀x∉Q，x2﹣3＝03．（5分）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）4．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝[m，+∞），若A⊆B，则实数m的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．2a＞a+b B．a+b＞b C．a2＞ab D．b2＞ab6．（5分）“x＞1”是“1x＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，T＝{x|x=ba，a，b∈A，a＞b}，则集合T中元素的个数为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）=1x，x∈（0，1）；②g（x）=√x；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）=11+x2其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）已知a，b，c，d为互不相等的实数，若|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝．10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）+f（1）＝．11．（5分）若函数f （x ）为一次函数，且f （x +1）＝f （x ）﹣2，f （x ）的零点为1，则函数f （x ）的解析式为 ．12．（5分）某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数．且当年产量为200时，总成本为15000．记该产品的平均成本为f （Q ）（平均成本=总成本年产量），则当Q ＝ ，f （Q ）取得最小值，这个最小值为 ．13．（5分）设a ，b 为互不相等的实数，若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 满足f （a ）＝f （b ），则f （2）＝ ．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝ ．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有 个不同的零点．三、解答题（共80分） 15．解下列关于x 的不等式： （1）x 2﹣2x ﹣8≤0； （2）x 2+4x +5＞0； （3）x 2≤ax ．16．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |2x ≥a }， （Ⅰ）当a ＝0时，求A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记集合C ＝A ∩B ，若C 中恰好有两个元素为整数，求实数a 的取值范围． 17．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1（a ≠0）．（Ⅰ）比较f （1−√2）与f （1+√2）的大小，并说明理由； （Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）在[﹣1，2]上的最大值为4，求a 的值． 18．已知集合M ＝（﹣1，1），对于x ，y ∈M ，记φ（x ，y ）=x+y1+xy． （Ⅰ）求φ（0，12）的值；（Ⅱ）如果0＜x ＜1，求φ（x ，1﹣x ）的最小值； （Ⅲ）求证：∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．19．已知函数f （x ）满足：函数y =f(x)x 在（0，3]上单调递增． （Ⅰ）比较3f （2）与2f （3）的大小，并说明理由；（Ⅱ）写出能说明“函数y ＝f （x ）在（0，3]单调递增”这一结论是错误的一个函数； （Ⅲ）若函数的解析式为f （x ）＝ax 3+（1﹣a ）x 2，求a 的取值范围．20．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B 均为整数．|x B ﹣x A |+|y B ﹣y A |＝3，则称点B 为点A 的“相关点”．点P 1是坐标原点O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，…，依此类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”．注：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2． （Ⅰ）直接写出点O 与点P 1间的距离所有可能值； （Ⅱ）求点O 与点P 3间的距离最大值； （Ⅲ）求点O 与点P 2019间的距离最小值．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．【解答】解：x 2＞1，解得：x ＞1，或x ＜﹣1． 集合A ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＞1，或x ＜﹣1}，a ∈A ， 则a 的值可以为﹣2． 故选：A ．2．【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为∀x ∈Q ，x 2﹣3≠0， 故选：C ．3．【解答】解：∵﹣2≤x ≤3，∴x ＝0时，y ＝x 2取最小值0；x ＝3时，y ＝x 2取最大值9， ∴y ＝x 2（﹣2≤x ≤3）的值域为[0，9]． 故选：B ．4．【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝[m ，+∞），A ⊆B ， ∴m ≤1，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．5．【解答】解：由a ＜b ＜0，取a ＝﹣2，b ＝﹣1，可排除A ，B ，D ． 故选：C ．6．【解答】解：当“x ＞1”则“1x ＜1”成立，当x ＜0时，满足“1x＜1”但“x ＞1”不成立，故“x ＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．7．【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去． a ＝2时，b ＝1，可得：ba=12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a=13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a=14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a=15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a=16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =ba ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11． 故选：C ．8．【解答】解：①|1x 1−1x 2x 1−x 2|=|1x 1x 2|≥1(x 1，x 2∈(0，1))，故①正确； ②|√x1−√x 2x 1−x 2|=x +x ，当x 1＞4，x 2＞4时，√x 1+√x 2＞4，√x +√x 14，故②不正确；③|x 12−x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2|，当x 1≤﹣1，x 2≤﹣1时，|x 1+x 2|≥2，故③正确；④|11+x 12−11+x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2(1+x 12)(1+x 22)|≤|x 11+x 12|+|x 21+x 22|， 因为|x 1+1x 1|≥2，所以|x 11+x 12|≤12，同理|x 21+x 22|≤12，所以|x 11+x 12|+|x 21+x 22|≤1，故④不正确， 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分）9．【解答】解：∵|a ﹣c |＝|b ﹣c |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴a ﹣c +b ﹣c ＝0即a +b ﹣2c ＝0．①∵|b ﹣c |＝|d ﹣b |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴b ﹣c ＝d ﹣b 即2b ﹣c ﹣d ＝0．②①②相加可得：a +3b ﹣3c ﹣d ＝0．即a ﹣d ＝3（c ﹣b ）， 又因为|a ﹣c |＝|b ﹣c |＝|d ﹣b |＝1， 则|a ﹣d |＝3|b ﹣c |＝3． 故答案为：3．10．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣4x +1， 则f （0）＝0，f （1）＝1﹣4+1＝﹣2， 则f （0）+f （1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：﹣211．【解答】解：设f （x ）＝kx +b ，k ≠0， ∵f （x +1）＝f （x ）﹣2， ∴k （x +1）+b ＝kx +b ﹣2， 即k ＝﹣2，∵f （x ）＝﹣2x +b 的零点为1，即f （1）＝b ﹣2＝0， ∴b ＝2，f （x ）＝﹣2x +2 故答案为：f （x ）＝﹣2x +2．12．【解答】解：某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数，且当年产量为200时，总成本为15000． 可得15000＝40000a +3000，解得a =310， 所以C =310Q 2+3000， 该产品的平均成本为f （Q ）=3Q10+3000Q ≥2√3Q 10×3000Q=60．当且仅当3Q 10=3000Q，即Q ＝100时，f （Q ）取得最小值，最小值为60．故答案为：100；60．13．【解答】解：二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 的对称轴x =−a2， 又f （a ）＝f （b ）， ∴a +b ＝2•（a2），∴b ＝﹣2a∴f （2）＝4+2a +b ＝4， 故答案为：4．14．【解答】解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k＝4或k＝0．（2）∵g（x）={2x+1，x≤0x3+2x−16，x＞0，当x≤0时，2x+1＝0，得x=−1 2；此时f（x）=−12，由图可知有一个解；当x＞0时，g（x）＝x3+2x﹣16单调递增，∵g（2）＝﹣4，g（3）＝17，∴g（x）在（2，3）有一个零点x0，即f（x）＝x0∈（2，3）由图可知有三个解，∴共有四个解．故答案为4或0；4．三、解答题（共80分）15．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（x+2）≤0，所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}；（2）因为x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，所以不等式x2+4x+5＞0的解集为R；（3）由x2≤ax，得x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a＞0时，0≤x≤a；当a＜0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a＞0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．16．【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，B＝{x|x≥0}，且A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A ∩B ＝[0，1]； （Ⅱ）∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，且B ={x|x ≥a2}， ∴a2≤−1，∴a ≤﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （Ⅲ）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴−1＜a 2≤0，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ， 则f （1−√2）＝1+a ，f （1+√2）＝1+a ， 故f （1−√2）＝f （1+√2）；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有{a ＞04a 2＜4a，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（Ⅲ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3； 综合可得：a ＝1或﹣3．18．【解答】解：（1）φ(0，12)=0+121+0×12=12；（II ）φ(x ，1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈（0，1）时，−x 2+x +1∈(1，54]，所以φ(x ，1−x)∈[45，1)，即最小值为45；（III ）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＜1；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＞−1，综上，x+y1+xy∈M ．即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ． 19．【解答】解：（I ）3f （2）＜2f （3）， ∵y =f(x)x 在（0，3]上单调递增， ∴f(2)2＜f(3)3，∴3f （2）＜2f （3）；（II ）f （x ）＝﹣1或﹣x 2﹣9（III ）方法一：∵y =f(x)x =ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增， ∴y ′＝2ax +（1﹣a ）≥0在（0，3]上恒成立， 2ax ≥a ﹣1，当a ＞0时，因为x ≥a−12a 在（0，3]上单调递增， 所以0≥a−1a，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，x ≤a−12a在（0，3]上单调递增， 所以3≤a−12a ，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上：a ∈[−15，1]．方法二：当a ＞0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，a ∈[−15，1]．20．【解答】解：（Ⅰ）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3或√5；（Ⅱ）因为点O （0，0），所以由第一问可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大， ∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N *）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P2016（0，0）﹣﹣P2017（2，1）﹣﹣P2018（1，3）﹣﹣P2019（0，1），所以点O与点P2019间的距离最小值为1．。
高中北京市十一学校高一上学期期中数学试题
北京市十一学校【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}320A x Z x =∈+<，{}29B x R x =∈≤，则AB =（ ） A ．23,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．2,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．{}2,1--D ．{}3,2,1--- 2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x, 都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13．下列函数中，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A ．3y x a =-+B ．2y x =C ．3y x =D ．21y x =-+ 4．已知映射:f A B →，其中(){},,A B x y x R y R ==∈∈，对应法则()():,,f x y x y xy →+．则集合B 中的元素()1,2-的原象为（ ） A ．()1,2- B ．()2,1-C ．()1,2-或()2,1-D ．以上答案都不对 5．“()f x 在[a,b]上为单调函数”是“函数()f x 在[a,b]上有最大值和最小值”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件6．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,3]B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．使得“0x >”成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．1x >B ．20x >C ．12x ≤D 0≥ 8．已知3log 12a =，试用a 表示3log 24的结果为（ ）A ．32aB ．312a -C ．3aD ．以上结果都不对9．已知()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，且当0x >时，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是（ ）A ．[]3,3-B ．(][)3,22,3--C ．[)(]3,22,3--D ．[){}(]3,202,3-- 10．已知函数()()213f x ax b x a b =+-++是偶函数，且其定义域为[]1,2a a -，则a和b 的值分别为（ ）A ．13a =，0b =B ．13a =，1b = C ．12a =-，0b = D ．以上结果都不对二、填空题11．函数()22f x x x =+-的零点为______________. 12．函数0()(1)f x x =+-的定义域为_____________________.13____________． 14．满足()2log lg 1x =的实数x 的值为__________________．15．使得代数式2151112x x +-的值恒为正值的实数x 值的集合为_____________． 16．若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=的两个根都大于1，则实数a 的取值范围是___________________.17．化简1lg9lg22100-的值为________________________． 18．若函数22y ax ax a =++-的图象与x 轴没有公共点，则实数的取值范围为______. 19．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 上从B 点运动到D 点，设运动路程长度为x ，记线段AP 的长度为y ，则y 与x 之间的函数关系()y f x =可表示为___________________.20．若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围为_________．三、解答题 21．设集合{}13A x x x =+-≤，413B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭. （1）求集合A B ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值.22．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==．（1）求()f x 的解析式．（2）在区间[－1,1]上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．23．设函数()2f x x x=-. （1）试写出函数()f x 的单调区间，并对于0x >的情况用函数单调性的定义给予证明； （2）解不等式()1f x ≥.24．设二次函数()21f x x ax =++，其中常数a R ∈. （1）求()f x 在区间[]22-,上的最小值（用a 表示）；（2）解不等式()0f x ≥；（3）若()0f x ≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，试求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】解出不等式320x +<和29x ≤，再由交集的定义可得出集合A B .【详解】 {}23203A x Z x x Z x ⎧⎫=∈+<=∈<-⎨⎬⎩⎭，{}{}2933B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤， 因此，{}233,2,13A B x Z x ⎧⎫⋂=∈-≤<-=---⎨⎬⎩⎭. 故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 2．C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．C【分析】分析各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出正确选项.【详解】对于A 选项，函数3y x a =-+在R 上为减函数，该函数在区间()0,∞+上是减函数； 对于B 选项，函数2y x=在区间()0,∞+上是减函数； 对于C 选项，函数3y x =在R 上为增函数，该函数在区间()0,∞+上是增函数；对于D 选项，二次函数21y x =-+的图象开口向下，对称轴为y 轴，该函数在区间()0,∞+上是减函数.故选：C.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上单调性的判断，熟悉基本初等函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.4．C【分析】设集合B 中的元素()1,2-的原象为(),x y ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出即可.【详解】设集合B 中的元素()1,2-的原象为(),x y ，则12x y xy +=⎧⎨=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩. 因此，集合B 中的元素()1,2-的原象为()1,2-或()2,1-.故选：C.【点睛】本题考查原象的求解，建立方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 5．A【解析】充分性成立但必要性不一定成立，连续函数()f x 在,a b 上有最大值和最小值但可能不单调．6．C【分析】 根据二次函数性质可确定其最小值为254-，由4y =可求得10x =，23x =；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到m 的取值范围.【详解】234y x x =--为开口方向向上，对称轴为32x =的二次函数 min 99254424y ∴=--=- 令2344x x --=-，解得：10x =，23x = 332m ∴≤≤即实数m 的取值范围为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C【点睛】本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的性质可确定定义域.7．D【分析】解出每个选项中的不等式，根据集合包含关系可找出使得“0x >”成立的一个充分而不必要条件.【详解】对于A 选项，解不等式1x >，得1x <-或1x >，则“1x >”是“0x >”成立的既不充分也不必要条件；对于B 选项，解不等式20x >，得0x ≠，则“20x >”是“0x >”成立的必要不充分条件；对于C 选项，解不等式12x ≤，即210x x -≥，解得0x <或12x ≥，则“12x ≤” 是“0x >”成立的既不充分也不必要条件；对于D 0≥，得1≥x 0≥” 是“0x >”成立充分不必要条件.故选D.【点睛】本题考查充分不必要条件的寻找，一般转化为集合的包含关系来寻找，考查推理能力，属于中等题.8．B【分析】利用对数的运算性质并结合题中等式解出3log 2，然后利用对数的运算性质可得出3log 24关于a 的表达式.【详解】()2233333log 12log 32log 3log 212log 2a ==⨯=+=+，31log 22a -∴=， 因此，()3333131log 24log 122log 12log 222a a a --=⨯=+=+=. 故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9．D【分析】 由图象得出函数()y f x =在区间(]0,2上的值域，并得出()00f =，利用奇函数的性质求出函数()y f x =在区间[)2,0-上的值域，由此可得出函数()y f x =的值域.【详解】由图象可知，当02x <≤时，()23f x <≤， 由于函数()y f x =是定义在[]22-,上的奇函数，则()00f =. 当20x -≤<时，02x <-≤，则()23f x <-≤，即()23f x <-≤，解得()32f x -≤<-. 即函数()y f x =在区间[)2,0-上的值域为[)3,2--.因此，函数()y f x =的值域为[){}(]3,202,3--. 故选：D.【点睛】本题考查奇函数值域的求解，解题时应充分利用奇函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．B【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称得出a 的值，再利用二次函数图象的对称轴为y 轴可求出b 的值.【详解】由于偶函数()()213f x ax b x a b =+-++的定义域为[]1,2a a -，关于原点对称， 则120a a -+=，得13a =，此时，()()21113f x xb x b =+-++，二次函数()y f x =图象的对称轴为直线()3110223b b x --=-=-=，得1b =. 因此，13a =，1b =. 故选：B.【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数，在利用函数奇偶性的定义求参数时，还应注意函数的定义域关于原点对称这一条件的应用，考查运算求解能力，属于中等题.11．2-和1【分析】解方程220x x +-=，即可得出函数()y f x =的零点.【详解】令()0f x =，得220x x +-=，解得1x =或2x =-.因此，函数()22f x x x =+-的零点为2-和1. 故答案为：2-和1.【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.12．()()1,11,3-【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零、零次幂中底数不为零，列出关于x 的不等式组，即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】 由题意得223010x x x ⎧+->⎨-≠⎩，即22301x x x ⎧--<⎨≠⎩，解得131x x -<<⎧⎨≠⎩. 因此，函数()y f x =的定义域为()()1,11,3-. 故答案为：()()1,11,3-.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则，考查运算求解能力，属于基础题.13．1-【分析】利用根式的运算性质和指数的运算性质可求出所求代数式的值.【详解】原式12362112112=-=-==-. 故答案为1-.【点睛】本题考查根式的运算性质，同时也考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题. 14．100±【分析】由外到内逐步将对数式化为指数式，可解出x 的值.【详解】 ()2log lg 1x =，lg 2x ∴=，则210100x ==，解得100x =±.故答案为100±.【点睛】本题考查对数方程的求解，在解题时应将对数式化为指数式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.15．43x x ⎧<-⎨⎩或35x ⎫>⎬⎭【分析】解不等式21511120x x +->即可得出实数x 的取值集合.【详解】由题意得21511120x x +->，即()()34530x x +->，解得43x <-或35x >. 因此，使得代数式2151112x x +-的值恒为正值的实数x 值的集合为43x x ⎧<-⎨⎩或35x ⎫>⎬⎭.故答案为：43x x ⎧<-⎨⎩或35x ⎫>⎬⎭.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 16．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】设()224f x x ax =-+，分析二次函数()y f x =的对称轴、判别式∆的符号以及()1f 的符号，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】设()224f x x ax =-+，由题意知，函数()y f x =的两个零点都大于1.则()2141601520a a f a ⎧>⎪∆=-≥⎨⎪=->⎩，解得522a ≤<.因此，实数a 取值范围是52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要结合二次函数的图象分析其开口方向、对称轴、判别式的符号以及端点（与零点比大小的数）函数值的符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．94【分析】根据对数、指数的运算性质、对数恒等式即可计算出结果. 【详解】 原式192lg9lg 2lglg9lg 42491010104⎛⎫- ⎪-⎝⎭====.故答案为94. 【点睛】本题考查指数、对数的运算，熟悉指数、对数的运算律以及对数恒等式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 18．(]8,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，在0a =时验证即可，在0a ≠时得出∆<0，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】当0a =时，函数为2y =-，该函数的图象与x 轴没有公共点； 当0a ≠时，由于函数22y axax a =++-的图象与x 轴没有公共点，则()2420a a a ∆=--<，整理得2380a a ->，解得0a <或83a >. 因此，实数a 的取值范围是(]8,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：(]8,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查变系数的二次函数的零点个数求参数，解题时要分析首项系数与判别式符号，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.19．()12x f x x ≤≤=<≤【分析】分点P 在线段BC 、CD （不包括点C ），利用勾股定理计算出AP 的长度，即可得出函数()y f x =的解析式.【详解】①当点P 在线段BC 上时，即当01x ≤≤时，BP x =，AP ∴== ②当点P 在线段CD （不包括点C ）时，即当12x <≤时，2PD x =-，AP∴===因此，()12xf xx≤≤=<≤.故答案为()12xf xx≤≤=<≤.【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．[]0,4【分析】由题意得出不等式210mx mx-+≥对任意的x∈R恒成立，然后对m分0m=和0m≠两种情况讨论，在0m=时验证即可，在0m≠时分析二次函数图象的开口方向和判别式符号，可求出实数m的取值范围.【详解】由题意得出不等式210mx mx-+≥对任意的x∈R恒成立.①当0m=时，则有10≥，合乎题意；②当0m≠时，则有240mm m>⎧⎨∆=-≤⎩，解得04m<≤.综上所述，实数m的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4.【点睛】本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数的取值范围，解题时要对首项系数的符号以及判别式的符号进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 21．（1）[)1,1-；（2）4a=，6b=-.【分析】（1）分0x≤、01x<<、1≥x三种情况解不等式13x x+-≤，可得出集合A，解不等式413x >+，可得出集合B ，再利用交集的定义可得出集合A B ； （2）由（1）得知()3,1B =-，由题意知，关于x 的方程220x ax b ++=的两根为3-和1，然后利用韦达定理可求出a 、b 的值. 【详解】（1）先解不等式13x x +-≤.①当0x ≤时，由13x x +-≤得1213x x x -+-=-+≤，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； ②当01x <<时，由13x x +-≤得113x x +-=≤，成立，此时01x <<； ③当1≥x 时，由13x x +-≤得1213x x x +-=-≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式13x x +-≤的解集为[]1,2A =-. 解不等式413x >+，即411033x x x --=<++，解得31x -<<，()3,1B ∴=-. 因此，[)1,1⋂=-A B ； （2）不等式220x ax b ++<的解集为B ，3∴-、1是方程220x ax b ++=的两实根.根据韦达定理得312312ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩，解得4a =，6b =-.【点睛】本题本题考查交集的运算，同时也考查了绝对值不等式、分式不等式的解法以及二次方程根与系数的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.22．（1）2()243f x x x =-+；（2）(,1)-∞-【解析】 【分析】(1)已知函数是二次函数，求解析式可以采用待定系数法，再由已知条件可以设二次函数的顶点式.(2)由二次函数图像在直线上方可得到不等式：2243221x x x m -+>++，问题转化为不等式在[－1,1]恒成立求参数的范围，可以用分离参数法.【详解】（1）由已知()f x 是二次函数，且()()02f f =，得()f x 的对称轴为1x =， 又()f x 的最小值为1， 故设()()211f x a x =-+，又()03f =， ∴()013f a =+=，解得2a =， ∴()()22211243f x x x x =-+=-+．（2）由于在区间[－1,1]上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方， 所以在[－1,1]上恒成立，即231m x x <-+在[]1,1-上恒成立．令()231g x x x =-+，则()g x 在区间[－1,1]上单调递减，∴()g x 在区间[－1,1]上的最小值为()11g =-， ∴1m <-，即实数m 的取值范围是(),1-∞- 【点睛】本题综合考查二次函数的解析式求解和其性质应用，解析式求解中，如何设函数解析式很关键，将会影响后续计算量的大小，因此需要根据已知条件选择合适的解析式；在求解参数范围时一般采用分离参数和构造函数法，在分离参数后要分清是恒成立问题还是存在性问题然后求解产生的新函数的最值.如果采用构造函数法，则需要解决构造函数的性质来求参数的范围.23．（1）()f x 的单调减区间为(),0-∞、()0,∞+，证明见解析； （2）(](],20,1-∞-.【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式写出函数的单调递减区间，然后利用定义证明出函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性；（2）分0x >和0x <解不等式21x x-≥，即可得出不等式()1f x ≥的解集. 【详解】（1）函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞、()0,∞+. 下面证明函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性. 任取120x x >>，则()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-()()()2121211212221x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，120x x >>，210x x ∴-<，12210x x +>，()()120f x f x ∴-<，()()12f x f x ∴<. 因此，函数()2f x x x=-在区间()0,∞+上为减函数； （2）由()1f x ≥得，21x x -≥，即210x x +-≤，即220x x x+-≤.当0x >时，则220x x +-≤，解得21x -≤≤，此时01x <≤； 当0x <时，则220x x +-≥，解得2x -≤或1x ≥，此时2x -≤. 综上所述，不等式()1f x ≥的解集为(](],20,1-∞-.【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了分式不等式的解法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.24．（1）()2min52,44,44452,4a a a f x a a a -≥⎧⎪-⎪=-<<⎨⎪+≤-⎪⎩；（2）见解析；（3）[]22-,. 【分析】（1）就二次函数()y f x =的对称轴与区间[]22-,的位置关系进行分类讨论，分析二次函数()y f x =在区间[]22-,上的单调性，从而可得出函数()y f x =在区间[]22-,上的最小值；（2）分0∆≤、0∆>两种情况解不等式()0f x ≥，即可得出各种情况下不等式()0f x ≥的解集；（3）由（1）中的结论，将问题转化为函数()y f x =在区间[]22-,上的最小值()min 0f x ≥，然后解出该不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）二次函数()21f x x ax =++对称轴为直线2ax =-，且图象开口向上. 若22a-≤-，即4a ≥时，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递增， 则()()min 252f x f a =-=-； 若222a -<-<，即44a -<<时，函数()y f x =在区间2,2a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,22a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则()2min 424a af x f -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 若22a-≥，即4a ≤-时，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递减， 则()()min 252f x f a ==+.因此，()2min52,44,44452,4a a a f x a a a -≥⎧⎪-⎪=-<<⎨⎪+≤-⎪⎩； （2）24a ∆=-.当240a ∆=-≤时，即当22a -≤≤时，则不等式()0f x ≥的解集为R ；当240a ∆=->时，即当2a <-或2a >时，解不等式()0f x ≥，即210x ax ++≥.解得x ≤x ≥.此时，不等式()0f x ≥的解集为a a ⎛⎡⎫-+-∞+∞ ⎪⎢⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （3）由题意知，函数()y f x =在区间[]22-,上的最小值()min 0f x ≥. 由（1）知，当4a ≥时，则520a -≥，解得52a ≤，此时a ∈∅； 当44a -<<时，则2404a -≥，解得22a -≤≤，此时22a -≤≤；当4a ≤-时，则520a +≥，解得52a ≥-，此时a ∈∅. 综上所述，实数a 的取值范围是[]22-,. 【点睛】本题考查二次函数在定区间上的最值的求解，同时也考查了含参二次不等式的解法以及二次不等式在区间上恒成立问题，解题时要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，在处理不等式恒成立问题时，应转化为与最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想以及化归与转化思想的应用，属于中等题.。
北京市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
xC. y = x 2 - 4 x +5D. y = x -1 +27.已知函数 f ( x ) = ⎨ 2a是(－∞，＋∞)上的减函数，则 a 的取值范围是 ⎪⎩ x北京市 2019-2020 学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 8 小题）1.方程-x 2-5x +6=0 的解集为（）.A. {-6,1}B. {2,3}C. {-1,6}D. {-2, -3}2.“ x > 2 ”是“ x 2 > 4 ”的 （）A. 必要不充分条件C. 充分必要条件B. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）.A. y = -3x - 1B. y = 24.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x 2 ，则 f (-1 ) = 2A. -C. -14 94B.D.1 4 9 45.设函数 f （x ）=4x + A. 有最大值 36.若函数 f ( x ) = x + A. －2C. 11 xax-1（x ＜0），则 f （x ）（ ）.B. 有最小值 3C. 有最小值 -5D. 有最大值 -5(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则 a 的值可能是( )B. 0D. 3⎧(a - 3)x + 5, x ≤ 1 ⎪, x > 1A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2]8.设函数 f （x ）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的 x ，y ∈R ，有|f （x ）-f （y ）|＜|x-y|并且函数 f （x +1）的对称中心是（-1，0），若函数 g （x ）-f （x ）=x ，则不等式 g （2x-x 2）+g （x-2）＜0 的解集是（）.A. (-∞,1)⋃ (2, +∞)C. (-∞, -1] ⋃ (2 , +∞ )B. (1,2 )D. (-1,2 )14.已知函数f (x)=⎨x,x<a．二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为______．110.已知方程ax2+bx+1=0两个根为-，3，则不等式ax2+bx+1>0的解集为______．411.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．的12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．⎧-x x+2x,x≥a⎩①若a=0，则函数f(x)的零点有______个；②若f(x)≤f(1)对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______．15.设集合A={x2，x-1}，B={x-5，1-x，9}．（1）若x=-3，求A∩B；（2）若A∩B={9}，求A∪B．16.已知函数f(x)=ax-2 x．（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）+f（2）=0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在区间[1，4]上的最值．17.一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求x1•x2的最值；（3）如果x-x＞5，求m的取值范围．1218.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19.已知函数f（x）=x2+b x+c，其中b，c∈R．（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=______；（2）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；（3）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．f -⎪=-f ⎪=- ⎪=-x(-4x)⋅参考答案1【答案】A【详解】∵-x2-5x+6=0，∴x2+5x-6=0，∴(x+6)(x-1)=0，∴x=-6或1，方程-x2-5x+6=0的解集为{-6，1}．故选：A．2【答案】B【详解】因为x2>4⇔x>2或x<-2，所以，“x>2”能推出“x2>4”，“x2>4”不能推出“x>2”，“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件，故选B.3【答案】D【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=2x在区间(1，+∞)上为减函数，由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选：D．4【答案】A【详解】由奇函数的性质结合题意可得：⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭本题选择A选项.5【答案】D 1 4.【详解】当x＜0时，f(x)=4x+11-1=-[(-4x)+]-1≤-2-x1-x-1=-5．当且仅当-4x=-11，即x=-时上式取“=”．x2∴f(x)有最大值为-5．21112∴0＜g(x)-g(y)故选：D．6【答案】A【详解】函数f (x)=x+a(a∈R)的图象在(1，)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2 x时，f(1)＝－2＜0，f(2)＝2－＝＞0，.故f(x)在区间(1，)上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.7【答案】D【详解】因为函数f(x)为R上的减函数，所以当x≤1时，f(x)递减，即a-3<0，当x>1时，f(x)递减，即a>0，且(a-3)⨯1+5≥2a，解得a≤2，1综上可知实数a的取值范围是(0,2]，故选D.8【答案】A【详解】由函数f(x+1)的对称中心是(-1，0)，可得f(x)的图象关于(0，0)对称即f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∵g(x)-f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，∴g(x)-g(y)-(x-y)x-yg(x)-g(y)即|-1|＜1，x-yx-y＜2，＜1，由对任意实数x,y(x≠y)有g(x)-g(y)x-y>0得g(x)单调递增，∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，< x < 3⎬ ⎧ ⎧ b ⎧4 ⎪⎪ a⎪⎪⎩ ⎩⎪ 本题正确结果： ⎨ x -< x < 3⎬∴2x-x 2＜2-x ，整理可得，x 2-3x +2＞0，解可得，x ＞2 或 x ＜1，故选：A ．9【答案】0【详解】∵x 1，x 2 是方程 x 2+2x-5=0 的两根，则 x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5． ∴x 12+2x 1+x 1x 2=5-5=0．故答案为：0．10【答案】 ⎨ x -⎩ 1 4⎫⎭- = - + 3 a =- 43【详解】由题意得： ⎨⇒⎨ ⎪ 1 = - 1 ⨯ 3 ⎪b = 11 ⎪ a 431则不等式可化为： 4 x 2 - 11x - 3 < 0⇒- < x < 34⎧ ⎩1 ⎫4 ⎭11【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x-3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0， 故答案为：∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．12【答案】2【详解】f (x )，g (x )分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，∴f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )，∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+2，∴f (-x )+g (-x )=x 3+x 2+2，则 f (1)+g (1)=-1+1+2=2．故答案为：213【答案】{-3，3}【详解】因为函数 f (x )=x 2-2x +1=(x-1)2，⎨ （ 所以对称轴为 x =1，顶点坐标为(1，0)．令 x 2-2x +1=4 得：x 2-2x-3=0，解得：x =-1 或 3，所以 a +2=-1 或 a =3，即：a =-3 或 3．故答案为：{-3，3}14【答案】(1). 2(2). ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦【详解】 ① ⎧- x 2 + 2 x , x ≥ 0当 a=0， f ( x ) = ⎨⎩ x, x < 0当 x ≥ 0 ,时， -x 2 + 2x =0，解得 x=2 或 x=0，当 x < 0 ，x=0 无解故有两个零点② （1）当 a > 1 时，f （1）=1，此时 f (a) > 1 ，不成立，舍；（2）当 a=1，此时 f （x ）的最大值为 f （1），所以成立；（3）当 a < 1 ， f ( x ) = ⎧- x x + 2x, x ≥ a⎩x, x < a⎧ x 2 + 2 x , x < 0令 g ( x ) = - x x + 2x = ⎨⎩- x 2 + 2 x, x > 0f ( x ) ≤ f (1) = 1∴ g ( x ) ≤ 1当 x<0 时， x 2 + 2 x ≤ 1, x ∈ [-1 - 2,0)当 x ≥ 0 时， - x 2 + 2 x ≤ 1 ，恒成立；故 a ≥ -1 - 2 ，综上 -1 - 2 ≤ a ≤ 1故答案为 ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦15【答案】 1）{9}（2）x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时， A ∪B={-9，5，9，100}．（ =(x 1-x 2)(1+)， ∴(x 1-x 2)(1+ )＜0，即 f (x 1)＜f (x 2)，（2）最小值为 - ，最大值为 1 （3） -1，- ⎪ （ 5 4【详解】(1)x =-3 时，A={9，-4}，B={-8，4，9}，∴A ∩B={9}；(2)∵A ∩B={9}，∴9∈A ，∴x 2=9，或 x-1=9，解得 x =±3 或 10，x =3 时，不满足集合 B 中元素的互异性，∴x =-3 或 10，由(1)知，x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时，A={100，9}，B={5，-9，9}，∴A ∪B={-9，5，9，100}．16【答案】 1） {x|x ≠ 0} ，奇函数 （2）单调递增，证明见详解，最大值【详解】(1)由题意可得，x ≠0，故定义域为 {x|x ≠ 0}7 2，最小值-1；∵f (-x )=-ax + 2 x=-f (x )，∴f (x )奇函数；(2)由 f (1)+f (2)=a-2+2a-1=0，∴a =1，f (x )=x-设 0＜x 1＜x 2，2 x，则 f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2 +∵0＜x 1＜x 2，2 2 2- x x x x2 1 1 2∴x 1-x 2＜0，1+ 2 x x1 2＞0，2x x1 2∴f (x )在(0，+∞)上的单调递增，∴函数 f (x )在区间[1，4]上的最大值为 f (4)=72，最小值为 f (1)=-1．17【答案】 1） -2 ≤ m ≤ 2 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎝ 3 ⎭【详解】(1)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴ △=(-m )2-4(m 2+m -1)≥0，2 从而，x 1•x 2 最小值为 - ，最大值为 1．()从而解得： -1＜m ＜ - ，∴ m ∈ -1，- ⎪ ．()（从而解得：-2 ≤ m ≤2．3(2)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．1∴由根与系数关系得： x ⋅ x = m 2 + m - 1 = (m + )2 - 125 4，又由(1)得：-2 ≤ m ≤ 2 3，5 1 5∴ - ≤ (m + )2 - ≤ 1 ，4 2 45 4(3)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴由根与系数关系得： x + x = m ，x ⋅ x = m 2 + m - 1 ，1 212∴ x - x = ( x - x )2 = ( x + x )2 - 4 x x = m 2 - 4 m 2+ m - 1 ＞ 5 ，1212121 21 32又由(1)得： -2 ≤ m ≤ ，3⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭18【答案】 1） S = 4000 x 2 +400000 x 2+ 38000, 0 < x < 10 2 ；（2）118000 元200 - x 2【详解】(1)由题意，有 AM = ，由 AM ＞0，有 0＜x ＜10 2 ；4x则 S=4200x 2+210(200-x 2)+80×2× (200 - x 2 4x)2 ；400000 - 4000x 2 + 10x 4400000 S=4200x 2+42000-210x 2+ =4000x 2+ +38000；x 2x 2∴S 关于 x 的函数关系式：S=4000x 2+400000 x 2+38000，(0＜x ＜102 )；(2)S=4000x 2+ 400000 400000+38000≥2 4000x 2 ⋅x 2 x 2+38000=118000；当且仅当 4000x 2=400000 x 2时，即 x = 10 时， 10 ∈(0，10 2 )，S 有最小值；2]2•[s+(1-s)2]2=1 -+c=c-∴当x=10米时，S m in=118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．19【答案】（1）-2（2）证明见解析（3）（0，1 16）【详解】(1)函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=-由f(x)的图象关于直线x=1对称，b 2，可得-b2=1，解得b=-2，故答案为：-2．(2)证明：由f(x)在[-1，1]上不单调，可得-1＜-b2＜1，即-2＜b＜2，b b2b2b2对任意的x∈R，f(x)≥f(-)=，2424b2由-2＜b＜2，可得f(x)≥c-＞c-1；4(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r，s，(r≠s)，r，s∈(0，1)，可设f(x)=(x-r)(x-s)，由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，且0＜rs(1-r)(1-s)＜[r+(1-r)16，则c2+(1+b)c∈(0，1 16)．1．已知集合 A = {-1，0,1,2}, B = x -2 < x ≤1 ，则 A ， } ，，北京市丰台区 2019-2020 学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：90 分钟第 I 卷（共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中+答案 (2)
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．−1a ＜−1b3．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =√x −1B ．y =1x−1C ．y =√x 2+1D ．y =√1x−14．（5分）已知f （x ）＝ax 3+bx ﹣4，若f （2）＝6，则f （﹣2）＝（ ） A ．﹣14B ．14C ．﹣6D ．105．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f(x)=x 2−1x−2在区间（1，3）内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）已知命题“∃x ∈R ，2x 2+（a ﹣1）x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣3，+∞）D ．（﹣3，1）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83]二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．（5分）已知x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4，则x 2﹣5xy +6y 2的值为 ．10．（5分）已知α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则α2﹣2αβ+β2＝ ． 11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）已知函数f （x ）={x 2+1(x ≥0)−2x(x ＜0)，若f （x ）＝10，则x ＝ ．13．（5分）若二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解，求实数k ＝ ． 14．（5分）已知λ∈R ，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ，当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．（10分）已知集合A ＝{x |﹣4+a ＜x ＜4+a }，B ＝{x |x+1x−5≥0}．（1）若a ＝1，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．16．（10分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时有f （x ）=4xx+4 （1）判断函数f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （2）求函数f （x ）的解析式（写成分段函数的形式）．17．（10分）已知关于x 的不等式（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2的解集为A ，且3∉A ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．（4分）函数y =√x +1+√3−x 的定义域是 ． 19．（4分）已知函数f （x ）=11+x 2，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14）＝ ．20．（4分）设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则√xy的最小值为 ．21．（4分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．（4分）设函数f （x ）的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x ∈D ，都有f （x +m ）＞f （x ），则称f （x ）为D 上的“m 型增函数”．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0．（1）若方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）如果k是满足（1）的最大整数，且方程x2﹣4x+2k＝0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m ﹣1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．24．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x＝1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．25．（10分）对于区间[a，b]（a＜b），若函数y＝f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y＝x2的所有“保值”区间；（2）函数y＝x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．2．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，可得1a =−121b=−1，∴1a＞1b，故A不正确．可得ab＝2，b2＝1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab＝﹣2，﹣a2＝﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．3．【解答】解：A．y=√x−1≥0，故A不符合；B.y=1x−1∈(−∞，0)∪(0，+∞)，故B不符合；C.y=√x2+1≥1，故C不符合；D.y=√1x−1的定义域为{x|x＞1}，当x＞1时，1x−1＞0，∴y=√1x−1＞0，故D符合．故选：D．4．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）＝ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4＝﹣8∴f（x）+f（﹣x）＝﹣8∵f（2）＝6∴f（﹣2）＝﹣14故选：A．5．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：f′（x）＝2x+1x2，当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）=203＞0，∴f（x）在（1，3）上有1个零点．故选：B．7．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+12＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×12＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．8．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x ∈（2，3]时，由4（x ﹣2）（x ﹣3）=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m ≤73． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．【解答】解：∵x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4， ∴x 2﹣5xy +6y 2＝（x ﹣2y ）（x ﹣3y ） ＝6×4＝24． 故答案为：24．10．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣7，则α2﹣2αβ+β2＝（α+β）2﹣4αβ＝（﹣2）2﹣4×（﹣7）＝32． 故答案为：32．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x ≥4×2×√900x ⋅x =240（万元）． 当且仅当x ＝30时取等号． 故答案为：30．12．【解答】解：令x 2+1＝10， 解得，x ＝3或x ＝﹣3（舍去）； 令﹣2x ＝10，解得，x ＝﹣5； 故答案为：3或﹣5．13．【解答】解：由3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1得，两直线的交点坐标为（2，﹣1）， ∵二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解， ∴点（2，﹣1）在直线y ＝kx ﹣9上， ∴﹣1＝2k ﹣9，∴k ＝4． 故答案为：4．14．【解答】解：当λ＝2时函数f （x ）={x −4，x ≥2x 2−4x +3，x ＜2，显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．【解答】解：B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞5}， （1）若a ＝1，则A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ， ∴{−4+a ≤−14+a ＞5， ∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围为（1，3]．16．【解答】解：（1）函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增．证明：设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)−f(x 2)=4x 1x 1+4−4x2x 2+4，=16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，又x 1＞x 2≥0，所以x 1﹣x 2＞0，x 1x 2≥0，x 1+x 2＞0， 所以16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16＞0．则f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），故函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增； （2）由于当x ≥0时有f(x)=4x x+4， 而当x ＜0时，﹣x ＞0，则f(−x)=−4x−x+4=4xx−4=f(x)， 即f(x)=4xx−4（x ＜0）． 则f(x)={4xx+4(x ≥0)4xx−4(x ＜0)． 17．【解答】解：（I ）∵3∉A ，∴当x ＝3时，有（ax ﹣1）（x ﹣2）≤2， 即3a ﹣1≤2； 解得a ≤1，即a 的取值范围是{a |a ≤1}；…（3分） （II ）（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2， ∴（ax ﹣1）（x ﹣2）﹣2＞0， ∴ax 2﹣（2a +1）x ＞0，…（4分） 当a ＝0时，集合A ＝{x |x ＜0}；…（5分）当a ＜−12时，集合A ={x|0＜x ＜2+1a }；…（6分） 当a =−12时，原不等式的解集A 为空集；…（7分） 当−12＜a ＜0时，集合A ={x|2+1a ＜x ＜0}；…（8分） 当0＜a ≤1时，集合A ={x|x ＜0或x ＞2+1a}．…（9分）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．【解答】解：要使函数y =√x +1+√3−x 的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{x +1≥03﹣x ≥0 即∴{x ＜−1x ≤3解得∴﹣1≤x ≤3∴y =√x +1+√3−x 定义域为[﹣1，3] 故答案为：[﹣1，3]19．【解答】解：∵f （x ）=11+x 2，∴f （1x ）=x 21+x 2，∴f （x ）+f （1x）=11+x 2+x 21+x 2=1， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14） ＝f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+f （4）+f （14）＝312，故答案为：312．20．【解答】解：x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5， 则√xy=√xy=√xy=2√xy +6xy； 由基本不等式有： 2√xy 6xy ≥2√2√xy ⋅6xy=4√3； 当且仅当2√xy =6xy 时，即：xy ＝3，x +2y ＝5时，即：{x =3y =1或{x =2y =32时；等号成立， 故(x+1)(2y+1)√xy的最小值为4√3；故答案为：4√321．【解答】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%， 即有x ≤m8恒成立， 由题意可得m ≥120， 可得x ≤1208=15， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1522．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ∈R ），得f （x ）={|x −a|−a ，x ＞00，x =0−|x −a|+a ，x ＜0，f （x +20）＞f （x ），∵f （x ）为R 上的“20型增函数”， ∴f （x +20）＞f （x ），当x ≥0时，|20+x ﹣a |﹣a ＞|x ﹣a |﹣a ，式子|x +20﹣a |＞|x ﹣a |的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点a ﹣20的距离， 又x ＞0，∴a +a ﹣20＜0，解得a ＜10；当x ＜0＜x +20时，|x +20﹣a |﹣a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20﹣a |+|x +a |＞2a 恒成立， ∴根据几何意义得|2a ﹣20|＞2a ，即a ＜5；当x ＜x +20＜0时，﹣|x +20+a |+a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20+a |＜|x +a |恒成立， ∴﹣a ﹣a ﹣20＞0，即a ＜10． ∴实数a 的取值范围是a ＜5． 故答案为：（﹣∞，5）五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴16﹣8k ≥0， ∴k ≤2．（2）由题意k ＝2，方程x 2﹣4x +2k ＝0的根，x 1＝x 2＝2， ∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的一个根为2， ∴4﹣4m +3m ﹣1＝0， ∴m ＝3，方程为x 2﹣6x +8＝0， ∴x ＝2或4，∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的另一个根为4．24．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f （x ）＝（x ﹣2）（x +a ）＝x 2+（a ﹣2）x ﹣2a ， 所以，f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2． 由2−a 2=1，得a ＝0．解法二：因为函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 所以必有f （0）＝f （2）成立， 所以﹣2a ＝0，得a ＝0．（Ⅱ）解：函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2．①当2−a 2≤0，即 a ≥2时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （0）＝﹣2a ．②当0＜2−a 2＜1，即 0＜a ＜2时， 因为f （x ）在区间(0，2−a 2)上单调递减，在区间(2−a 2，1)上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f(2−a 2)=−(2+a 2)2．③当2−a 2≥1，即 a ≤0时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （1）＝﹣（1+a ）．25．【解答】解：（1）因为函数y ＝x 2的值域是[0，+∞），且y ＝x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 所以[a ，b ]⊆[0，+∞），所以a ≥0，从而函数y ＝x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{a 2=a b 2=b.解得{a =0，或a =1b =0，或b =1.又a ＜b ，所以{a =0b =1.所以函数y ＝x 2的“保值”区间为[0，1]．…（3分） （2）若函数y ＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则有：①若a ＜b ≤0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递减，所以 {a 2+m =b b 2+m =a.消去m 得a 2﹣b 2＝b ﹣a ，整理得（a ﹣b ）（a +b +1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b +1＝0，即 a ＝﹣b ﹣1．又{b ≤0−b −1＜b所以 −12＜b ≤0． 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−34(−12＜b ≤0)，所以 −1≤m ＜−34．…（6分） ②若b ＞a ≥0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递增，所以 {a 2+m =a b 2+m =b.消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以 a +b ﹣1＝0，即 b ＝1﹣a ．又{a ≥0a ＜1−a所以 0≤a ＜12． 因为 m =−a 2+a =−(a −12)2+14(0≤a ＜12)，所以 0≤m ＜14．因为 m ≠0，所以 0＜m ＜14．…（9分）综合①、②得，函数y＝x2+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[−1，−34)∪(0，14)．…（10分）。
【精品高一数学试卷】2019-2020北京高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（ ） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0； （2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（ ）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为 ．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为 ．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 ．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝ ；不等式f （x ）＜0的解集为 ． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为 ，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ． 三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}． （1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由． （2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式． （3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数． 故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }， 对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ， 则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确； 对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ）， 又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确； 对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ； 则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”， 反之不成立． 则a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14， 所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列： 如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25， 由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2． （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40， 即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10； 当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58； 当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ， 所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。
北京高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
2019—2020学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {| 2 x x >或1}x <2.已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A. ∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B. ∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C. ∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解D. ∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y 5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c +6.函数f (x 的最大值为 （ ）A. 2 5B. 1 2C.2D. 17.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3B. 0C. -3D.139.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中的横线上.11.计算210.00013427--12.函数y 11x -的定义域为____________. 13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 14.如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 15.能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.三、解答题：共40分.17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.19.如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”. （1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论） （2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .参考答案1【答案】B【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<. 故选：B . 2【解析】【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 3【答案】C【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 4【答案】B【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除； 对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减； 对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y ，其为非奇非偶函数，故排除， 故选：B. 5【答案】D 【详解】A.当0c时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 6【答案】B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=1x =时取等号．故选B ． 7【答案】A【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．8【答案】C 【解析】 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 9【答案】D【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 10【答案】B【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题. 11【答案】134【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 12【答案】[12，1）∪（1，+∞）【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 13【答案】-1或1【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 14【答案】（-∞，-12） 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 15【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =-【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-． 16【答案】 (1). R (2). []0,1【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤ 所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案为：(1). R (2). []0,117【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【详解】（1）||2x a -<22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+∵2112x x -<+ ∴302x x -<+ ∴(2)(3)0x x +-< ∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，18【答案】⑴b ＝2；⑵见解析.【详解】解：（1）把（4，3）代入f （x ）得16﹣8b +3＝3，∴b ＝2． （2）f （x ）的图象开口向上，对称轴为x ＝b ． ①若b ≤﹣1，则f （x ）在[﹣1，2]上是增函数， ∴f min （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝1，解得b ＝﹣32． ∴f max （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝13．②若b ≥2，则f （x ）在[﹣1，2]上是减函数， ∴f min （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝1，解得b ＝32（舍）． ③若﹣1＜b ＜2，则f （x ）在[﹣1，b ]上是减函数，在（b ，2]上增函数．∴f min （x ）＝f （b ）＝﹣b 2+3＝1，解得b 或b （舍）．∴f max （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝．综上，当b ≤﹣1时，f （x ）的最大值为13，当﹣1＜b ＜2时，f （x ）最大值为． 19【答案】（1）炮的最大射程是10千米． （2）当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标． 【解析】试题分析：（1）求炮的最大射程即求()221120y kx k x =-+（k ＞0）与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 试题解析：（1）令y ＝0，得kx －120（1＋k 2）x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝2201k k +＝201k k+≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．考点：函数模型的选择与应用20【答案】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”.（2）（0，+∞）（3）A=[0，+∞），B=（-∞，0）【详解】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”；（2）∵f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，∴f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x≠0，若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.高一上学期期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题（请把答案填在机读卡相应位置.每小题3分，合计42分）1.已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}5,6,3A =，{}1,2,3B =，()U C A B ⋃=则( )A. φB. {}1,2,3C. {}4,7D. U2.已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ）A. 3,1x yB. ()3,1-C. {}31，-D. 3,13.命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是（ ）A. x R ∀∈，20x ≥B. x R ∀∈，20x <C. x R ∃∈，20x <D. x R ∃∈，20x ≥ 4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. ()f x x =，()2x g x x= B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈C. ()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x x =，()2g x = 5.下列函数中为偶函数的是（ ）A. y =B. y x =C. 21y x =+D. x y x =6.下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（ ）A. 32y x =+B. 5y x =C. 21y x =-D. 2 y x =7.已知某幂函数的图象过点(，则此函数解析式是（ ）A. 2y xB. 2y x =C. y x =D. 21y x = 8.已知命题:30p x -=，2:560q x x -+=，p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9.若a ，b 是任意实数，且a b >，则（ ）A. 22a b >B. 1b a <C. 1a b ->D. 1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10.下列不等式中正确的是（ ）A. 224a b ab +≥B. 44a a +≥C. 221222a a ++≥+D. 2244a a +≥ 11.某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了km a ，休息了一段时间，又沿原路返回km()b a b >，再前进km c ，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）．A. B. C. D. 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+上是减函数，则（ ）A. ()()()354f f f <-<-B. ()()()453f f f -<-<C. ()()()345f f f <-<-D. ()()()543f f f -<-< 13.已知()72f x ax bx =-+且()517f -=，则()5f =（ ）A. 13B. 13-C. 15D. 15-14.设()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则7.5f =（ ）A. 1.5B. -1.5C. 0.5D. -0.5第Ⅱ卷二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每题3分，合计15分）15.函数()232f x x x =-+的定义域是________.16.在①112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）. 17.已知函数()3,1,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2f -=________；()()1f f =________. 18.已知1x >，则31x x +-的最小值为________，此时x 的值为________. 19.如果函数224423y x ax a a =-+-+在区间[]0,2上有最小值3，那么实数a 的值为_________.三.解答题（请把详细过程写在答题纸上，合计43分）20.计算: ()130.5010.25327π--⎛⎫+- ⎪⎝⎭21.已知集合{}2450A x x x =-++>，{}220B x x x m =--<（Ⅰ）3m =，求()R A B ； （Ⅱ）若{}14AB x x =-<<，求实数m 的值.22.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()24x f x =- （1）当(),0x ∈-∞时，求函数()f x 的解析式；（2）求方程()2f x =-的解集.23.已知函数()2m f x x x =-，且()742f =. （1）求m 的值；（2）判定()f x 的奇偶性并证明；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义给予证明.24.已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =.（1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1【答案】C【解析】 本题考查的是集合运算．由条件可知,所以，应选C ． 2【答案】D【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.3【答案】C【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C4【答案】C【详解】当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数.A. ()f x x =的定义域是R ，()2x g x x=的定义域是{|0}x x ≠，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈，两个函数的定义域显然不同，所以两个函数不是同一函数；C. ()f x x = ,0,0x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数；D. ()f x x =的定义域是R ，()2g x x =的定义域是{|0}x x ≥，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数.故选：C【点睛】本题主要考查同一函数的定义和判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5【答案】C【详解】A. y x ={|0}x x ≥，定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数；B. 函数y x =为奇函数；C. 二次21y x =+图象的对称轴为y 轴，该函数为偶函数；D. 对于函数x y x =，该函数在12x =有定义，在12x =-没定义，即函数x y x =的定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数.故选：C.6【答案】D【详解】A. 32y x =+，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；B. 5y x =，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；C. 21y x =-，在()0,+∞上单调递增，所以该选项不符合题意；D. 2y x=，在()0,+∞上单调递减，所以该选项符合题意. 故选：D.7【答案】C【详解】设幂函数为()a f x x ，因为幂函数的图象过点(，112212=2,()2a a f x x =∴=∴==，故选：C.8【答案】A【详解】由题得命题:3p x =由题得命题:2q x =或3x =.因为命题:3p x =成立时，命题:2q x =或3x =一定成立，所以p 是q 的充分条件；因为命题:2q x =或3x =成立时，命题:3p x =不成立，所以p 是q 的非必要条件.所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.9【答案】D【详解】A.取1a =，2b =-，则22a b <，所以该选项错误；B.取1a =-，2b =-，则1b a>，所以该选项错误；C.取2a =，32b =，则1a b -<，所以该选项错误； D.由于指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，a b >，1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该选项正确. 故选：D.10【答案】D 【详解】A. 224a b ab +≥，取1a b ==不成立，排除； B. 44a a+≥，取1a =-不成立，排除；C. 221222a a ++≥=+，等号成立的条件为22122a a +=+，无解，排除；D. 2244a a +≥=，等号成立的条件为224a a=，即a =. 故选：D .11【答案】C【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A ；又按原路返回bkm ，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D ；C 选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B 故选C ．12【答案】D【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(3)(3)f f =-.因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在()0,∞+上是减函数，所以函数()f x 在(),0-∞上是增函数，因为543,(5)(4)(3)(3)f f f f -<-<-∴-<-<-=.故选：D.13【答案】B【详解】()775(5)5217,(5)515f a b a b -=-++=∴⋅-=-, 所以()7555215213f a b =⋅-+=-+=-. 故选：B.14【答案】D【详解】由()()2f x f x +=-有7.5(5.5)(3.5)(1.5)(0.5)f f f f f , 又()f x 是R 上的奇函数则(0.5)(0.5)0.5f f .故选：D15【答案】{|2x x >或1}x <. 【详解】由题得2320,2x x x -+>∴>或1x <.所以函数()f x 的定义域为{|2x x >或1}x <.故答案为：{|2x x >或1}x <.16【答案】 (1). ③. (2). ①. 【详解】①1122-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②122-==1122122-⎛⎫== ⎪⎝⎭1122-=. 所以最大的是③，最小的是①.故答案为：(1). ③. (2). ①.17【答案】 (1).19. (2). 13. 【详解】()21239f --==； ()()111(1)33f f f -=-==. 故答案为：(1). 19. (2). 13. 18【答案】(1). 1.(2).1.【详解】33111111x x x x +=-++≥=--， 当且仅当1311x x x >⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即当1x =+时取到最小值. 故答案为：(1). 1.(2).1. 19【答案】0或8 【详解】由题得抛物线的对称轴为2a x =，当02a <即0a <时，2min ()(0)233,0f x f a a a ==-+=∴=或2a =， 因0a <，所以舍去； 当即04a ≤≤时，22min 16(23)16()()3,0216a a a a f x f a -+-===∴=； 当22a >即4a >时，2min ()(2)168233,2f x f a a a a ==-+-+=∴=或8a =， 因为4a >，所以8a =.综上所述，0a =或8a =.故答案为：0或8.20【答案】2【详解】原式1330.5210.533--⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1110.533--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 233=+-2=.21【答案】（Ⅰ）(){}35R A B x x ⋂=≤<；（Ⅱ）8. 【详解】（Ⅰ）集合{}15A x x =-<<， 3m =时，{}13B x x =-<<，所以{3R B x x =≥或}1x ≤-， (){}35R A B x x ∴⋂=≤<；（Ⅱ）{}14A B x x ⋂=-<<，4∴是方程220x x m --=的一个根，1680m ∴--=，所以8m =.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22【答案】（1）()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩；（2）{}1,1-. 【详解】（1）设(),0x ∈-∞，所以(0,)x -∈+∞，所以()24x f x --=-，由于函数()f x 为偶函数，所以()()24x f x f x -=-=-，所以函数()f x 的解析式为()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩. （2）当0x <时，()24=2,1x f x x -=--∴=-； 当0x ≥时，()242,1x f x x =-=-∴=.所以方程()1f x =-的解集为{}1,1-.析.23【答案】（1）1m =；（2）()f x 为奇函数，证明见解析；（3）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解【详解】（1）()742f =，()274442m f =-=∴，1m ∴=； （2）()f x 为奇函数，()2f x x x=-，所以函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()22f x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=---=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为奇函数； （3）()f x 在()0,∞+上单调递增.证明：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()()12121212212222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212121212221x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，120x x ∴-<，12210x x +>， ()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，()f x ∴在()0,∞+上单调递增.24【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立.设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.高一上学期数学期中考试试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间为120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上.第Ⅰ卷（选择题，共75分）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上） 1.已知集合{}1,0,1A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ）A. {}0B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,0,1- 2.函数1y=-x x +的定义域是（ ） A. {|1}x x ≤ B. {|0}x x ≥ C. {|1x x ≥或0}x ≤ D. {|01}x x ≤≤ 3.在直角坐标系内，函数y x =的图象（ ）A. 关于y 轴对称B. 关于x 轴对称C. 关于原点对称D. 不具有对称性 4.函数()(2)f x x x =--的一个单调递减区间可以是（ ）A. [2,0]-B. [0,2]C. [1,3]D. [0,)+∞ 5.函数()22f x x x =-在R 上的最小值是（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1 6.函数111y x =--的图象是（ ） A. B. C. D. 7.如果二次函数21y ax bx =++图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)A -，则（ ） A. a =2，b =4 B. a =2，b =－4C. a =－2，b =4D. a =－2，b =－4 8.a b =（0a >且1a ≠），则（ ）A. 2log 1a b =B. 1log 2a b =C. 12log a b =D. 12log b a = 9.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( )A. (),1∞-B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,∞+ 10.下列说法中,正确的是A. 对任意x ∈R ,都有32x x >B. y =x -是R 上的增函数C. 若x ∈R 且0x ≠,则222log 2log x x =D. 在同一坐标系中,2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.11.如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(,4]-∞]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A. 9a ≥B. 3a ≤－C. 5a ≥D. 7a ≤－12.设函数()()()1()f x x a x b a b =---<的两个零点是(,)m n m n <，则（ ）A. a m n b <<<B. m a n b <<<C. a m b n <<<D. m a b n <<< 13.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A. (0,1)B. 1(0,)3C. 11[,)73D. 1[,1)7 14.已知514b <<，则方程2|1|x x b -=+的不等实根一共有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D. ()1f x +为偶函数第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上）16.已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则m ＝_______17.若函数2()2|f x x |x =+-，则(1)f =________.18.若(21)y k x b =-+是R 上的减函数，则实数k 的取值范围是________.19.某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是 元20.已知()12x f x a -=，则a 的值为________.21.已知函数**(),,y f x x N y N =∈∈满足：①对任意的*,,m n N m n ∈≠，都有()()()()mf m nf n mf n nf m +>+；②对任意的*a N ∈都有[()]3f f a a =.则(1)(6)(28)f f f ++=_____．三、解答题：（本大题共4小题，共45分.把答案作答在答题纸上）22.已知函数2()3f x x bx =-+，且(0)(4)f f =.（1）求函数的解析式；（2）求函数()y f x =的零点；（3）求函数()y f x =在区间[0,3]上的最大值和最小值.23.已知函数26()1x f x x =+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）求满足方程(2)2x xf =的实数x 的值.24.已知函数1()x f x a -=（0a >且1a ≠）.（1）若函数()y f x =的图象经过(3,4)P 点，求a 的值；（2）比较1lg100f ⎛⎫ ⎪⎝⎭与2110f ⎛⎫- ⎪⎝⎭大小，并写出比较过程.25.已知二次函数2()f x ax bx c =++.（1）若(1)0f -=，试判断函数()f x 零点个数；（2）是否存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足以下条件①当1x =-时，函数()f x 有最小值0； ②对任意x ∈R ，都有2(1)0()2x f x x -≤-≤.若存在，求出a ，b ，c 的值，若不存在，请说明理由.参考答案1【答案】B【解析】因为1,0,1,B B B -∈∈∉所以{}1,0A B ⋂=-.2【答案】D【详解】解：由已知得100x x -≥⎧⎨≥⎩，解得01x ≤≤， 故定义域为{|01}x x ≤≤， 故选：D.3【答案】A 【详解】解：()f x x =，则()()f x x x f x -=-==， 故函数y x =为偶函数，其图像关于y 轴对称， 故选：A.4【答案】C【详解】解：函数2()(2)2f x x x x x =--=-+， 其对称轴为1x =，单调递减区间为[1,)+∞， 因为仅有选项C ：[1,3][1,)⊆+∞，故选：C.5【答案】B【详解】解：函数()22f x x x =-其对称轴为1x =，故()()n 2mi 1211f x f =-=-=， 故选：B.6【答案】B 【详解】解：函数111y x =--可由1y x=-向右移动1个单位，向上移动1个单位得到，如图，故选：B.7【答案】B 【详解】由题得1271b a a b ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，解之得a =2，b =－4.故选：B8【答案】A a b =即12a b =， 所以1log 2a b =，即2log 1a b =， 故选A.考点：指数式与对数式．9【答案】C【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，由图知满足()()230f f <，根据零点存在定理可知()f x 在()2,3一点存在零点.故选C.10【答案】D【解析】令0x =,则32x x =,排除A;y =3x -是R 上的减函数,排除B;当0x >时,222log 2log x x =成立,当0x <时,222log 2log x x =不成立,排除C.选D.11【答案】A【解析】因为二次函数开口向上，对称轴为12a x -=，所以其减区间为1(,]2a --∞，又函数在(,4]-∞上是减函数，故1(,4](,]2a --∞⊆-∞，所以142a -≤，解得9a ≥，故选A. 12【答案】D【详解】解：设()()1()()g x f x x a x b =+=--，将函数()g x 的图像向下平移1个单位可得函数()f x ，如图：，由图像可得m a b n <<<，故选：D.13【答案】C【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =. 要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C.14【答案】D【详解】解：由方程2|1|x x b -=+得2|1|x x b --=，令2|1|,y x x y b =--=作出函数2|1|,y x x y b =--=图像如图：由图像可得：函数2|1|,y x x y b =--=的图像有4个交点，即方程2|1|x x b -=+的不等实根一共有4个，故选：D.15【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 16【答案】2【详解】考查并集的概念，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集 显然m=2故答案为217【答案】2【详解】解：由已知得2(1)1|12|2f =+-=， 故答案为：2.18【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【详解】解：(21)y k x b =-+是R 上的减函数，则210k -<，解得12k <，故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 19【答案】2250 解：设彩电原价为X 则：X×(1+0.4)×0.8-X=270 ，解得X=2250． 20【答案】10 或1210-【解析】()1lg2lg a f a a -==，则1lg log 2a a -=，所以1111lg 12lg log 222lg 2lg a a a a a +=+==+=， 所以()22lg lg 10a a --=，解得lg 1a =或1lg 2a =-， 解得10a =或1210a -=．21【答案】66【解析】 令m=n+1,(1)(1)()(1)()(1)n f n nf n n f n nf n +++>+++,得(1)()f n f n +>，说明f(x)为单调递增函数，设(1)f a =，则1a ≥，显然1a ≠，否则f(f(1))=f(1)=1，与f(f(1))=3矛盾．从而1a >,而由f(f(1))=3, 即f(a)=3,又()(1),f a f a >=，即13a <<，所以2a =，同时(2)3f =，(3)((2))6,(6)((3))39f f f f f f a =====，(18)((9))27f f f ==，(27)((18))54f f f ==，(54)((27))81f f f ==，54-27=81-54=27，又()f n 单调递增，()**,,y f x x N y N =∈∈，所以当2754,*n n N ≤≤∈,()27f n n =+,(28)55f =,()()()1628f f f ++=2+9+55=6622【答案】（1）2()43f x x x =-+（2）1，3（3）最小值为-1，最大值为3.【分析】（1）把(0)(4)f f =代入函数解析式，即可求得b 的值，即可得函数的解析式；（2）令()0f x =，解方程即可求得函数()y f x =的零点；（3）求出函数()f x 对称轴，根据二次函数的性质得最值.【详解】解：（1）由(0)(4)f f =，得4b =，所以，2()43f x x x =-+；（2）由243=0x x -+所以，函数的零点为1，3 ；（3）由于函数()f x 对称轴为2x =，开口向上，所以，()f x 的最小值为(2)1f =-，()f x 的最大值为(0)3f =.23【答案】（1）奇函数. 见解析（2）21log 52x =【详解】解：（1）因为26()1x f x x =+， 所以26()()1x f x f x x --==-+. 所以()f x 为奇函数.（2）由(2)2x xf =，得262221xx x ⋅=+. 整理得225x =，所以22log 5x =，即21log 52x =. 24【答案】（1）2a =（2）1lg ( 2.1)100f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.见解析 【详解】解：（1）函数()y f x =图象经过(3,4)P ， ∴3-14a =，即24a =.又0a >，所以2a =.（2）当1a >时，1lg ( 2.1)100f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭； 当01a <<时，1lg( 2.1)100f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.因为31lg (2)100f f a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 3.1( 2.1)f a --=， 当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞上为增函数，∵3 3.1->-，∴3 3.1a a -->，即1lg( 2.1)100f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. 当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞上为减函数，∵3 3.1->-，∴3 3.1a a --< 即1lg ( 2.1)100f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查指数函数的性质的综合应用，属于基础题.25【答案】（1）见解析（2）存在,,a b c ∈R【详解】解：（1)∵(1)0f -=，∴0a b c -+=，即b a c =+，∵2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=- ，当a c =时，0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，>0∆，函数()f x 有两个零点；（2）假设a ，b ，c 存在，由①得12b a -=-，2404ac b a -=，2b a ⇒=，22444b ac a ac a c =⇒=⇒= ，由②知对x ∀∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-， 令1x =得0(1)10(1)10(1)11f f f a b c ≤-≤⇒-=⇒=⇒++=，由12a b c b a a c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得14a c ==，12b =， 当14a c ==，12b =时，221111()(1)4244f x x x x =++=+，其顶点为(1,0)-满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x ∀∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-，满足条件②. ∴存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足条件①、②.。
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2，3，4} B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3}2．（4分）已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为（ ） A ．a +bB ．a ﹣bC ．abD ．ab3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝ln |x |B ．f （x ）＝2﹣xC ．f （x ）＝x 3D ．f （x ）＝﹣x 24．（4分）设函数D(x)={1，x ∈Q 0，x ∉Q，则f[f(−√2)]的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．不存在5．（4分）已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．（4分）设a 、b 是实数，则“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f （x ）=6x −log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）8．（4分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则E 1E 2的值所在的区间为（ ）A ．（1，2）B ．（5，6）C ．（7，8）D ．（15，16）二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．（4分）函数f （x ）=√2x −4的定义域为 ．10．（4分）已知函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))= ；若f （x ）＝1，则x＝ ．11．（4分）函数f(x)=x+2x−1（x＞1）的最小值是；取到最小值时，x＝．12．（4分）设a为常数，函数f（x）＝x2﹣6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a＝．13．（4分）定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．14．（4分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．15．（4分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．16．（4分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，那么：（1）函数g（x）＝x2﹣2的“不动点”为；（2）集合A与集合B的关系是．17．（4分）若x、y∈R+，且1x+3y=4，则yx的最大值为．18．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2ax+a，其中a∈R①f（−12）＝②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（13分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x（x﹣2）≥0}，M＝{x|a＜x＜a+3}．（Ⅰ）求集合∁U P；（Ⅱ）若a＝1，求集合P∩M；（Ⅲ）若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．20．（13分）解下列关于x的不等式（Ⅰ）（x﹣1）（x﹣2）＜0；（Ⅱ）|2x﹣1|＜3；（Ⅲ）x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＞0．21．（13分）已知函数f(x)=x+1 x+2．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅲ）判断函数在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．22．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1，x∈[0，2]上．（Ⅰ）若a＝﹣1，则f（x）的最小值；（Ⅱ）若a=12，求f（x）的最大值；（Ⅲ）求f（x）的最小值．23．（13分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）＝x与g（x）＝2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24．（13分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）＝ax2+bx+c 的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．2．【解答】解：∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2 ln3∴log32=a b故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）＝2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）＝x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）＝﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．4．【解答】解：∵函数D(x)={1，x∈Q 0，x∉Q，∴f（−√2）＝0，∴f[f(−√2)]=f（0）＝1．故选：B．5．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52=1log25，c＝0.50.2=(12)15=√125=1√25．而log25＞log24＝2＞√25，∴1log 25√25．∴a ＜c ， ∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．6．【解答】解：若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2成立，若a ＝﹣2，b ＝1，满足a 2＞b 2，但a ＞b ＞0不成立， 故“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件， 故选：C ．7．【解答】解：∵f （x ）=6x−log 2x ， ∴f （2）＝2＞0，f （4）=−12＜0， 满足f （2）f （4）＜0，∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C ．8．【解答】解：lgE ＝4.8+1.5M ，∴lgE 1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE 2＝4.8+1.5×7.5＝16.05， ∴E 1＝1016.8，E 2＝1016.05， ∴E 1E 2=100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×√3＞5， ∴E 1E 2的值所在的区间为（5，6），故选：B ．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．【解答】解：由题意得：2x ﹣4≥0，解得：x ≥2， 故函数的定义域是[2，+∞）， 故答案为：[2，+∞）．10．【解答】解：函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))=f （log 1214）＝f （2）＝22＝4，若f （x ）＝1，若x ＞1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）； 若0＜x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12． 故答案为：4，12．11．【解答】解：∵x ＞1， ∴x ﹣1＞0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x ﹣1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x ﹣1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1． 故答案为：2√2+1；1+√2．12．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣6x +3＝（x ﹣3）2﹣6，为二次函数且其对称轴为x ＝3，f （x +a ）＝（x +a ﹣3）2﹣6，为偶函数，必有a ＝3； 故答案为：313．【解答】解：∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （﹣3）＝0，得﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，由f （﹣0）＝﹣f （0），得f （0）＝0， 作出f （x ）的草图，如图所示：∴f （x ）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞）， 故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．14．【解答】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题， 则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣315．【解答】解：∵（ⅰ）A ∪B ＝{1，2，3，4}，A ∩B ＝∅；（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合， 若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1} 若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1，2，4} 故答案为：{3}或{1，2，4}（答对一个给3分）16．【解答】解：（1）∵若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”，即即A ＝{x |f （x ）＝x }，设函数g （x ）＝x 2﹣2的“不动点”为x 0，x 02﹣2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝﹣1，故A ＝{2，﹣1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝﹣1．（2）∵满足f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”，即B ＝{x |f [f （x ）]＝x }． ∵函数g （x ）＝x 2﹣2，∴函数g [g （x ）]＝g 2（x ）﹣2＝[x 2﹣2]2﹣2＝x 4﹣4x 2+2， 由g [g （x ）]＝x 2，可得 x 4﹣4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}， ∴B ⫋A ， 故答案为：B ⫋A ．17．【解答】解：∵x 、y ∈R +，且1x+3y =4，∴y =43−13x ， ∵x ＞0，y =43−13x＞0， ∴0＜1x ＜4， 则yx =43x−13x 2=−13(1x)2+43⋅1x，结合二次函数的性质可知，当1x=2即x =12时，y x取得最大值43．故答案为：4318．【解答】解：①f （−12）＝﹣f （12）＝﹣[（12）2﹣a +a ]=−14；②因为f （x ）是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x ＞0时，△＝（﹣2a ）2﹣4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；故答案为：①−14；②（﹣∞，0]∪[1，+∞）三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U ＝R ，集合P ＝{x |x （x ﹣2）≥0}＝{x |x ≤0或x ≥2}， ∴集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}．（Ⅱ）a ＝1时，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}＝{x |1＜x ＜4}． ∴集合P ∩M ＝{x |2≤x ＜4}．（Ⅲ）∵集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}， ∁U P ⊆M ，∴{a ≤0a +3≥2，解得﹣1≤a ≤0． ∴实数a 的取值范围是[﹣1，0]．20．【解答】解：（Ⅰ）由（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，可得1＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）由|2x ﹣1|＜3，可得﹣3＜2x ﹣1＜3，求得﹣1＜x ＜2， 故原不等式的解集为（﹣1，2）．（Ⅲ）由x 2﹣（3a +1）x +2a （a +1）＞0，可得[x ﹣（2a ）][x ﹣（a +1）]＞0， 当2a ＞a +1时，即a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，a +1）∪（2a ，+∞）； 当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当2a ＜a +1时，即a ＜1时，不等式的解集为（﹣∞，2a ）∪（a +1，+∞）．21．【解答】解：（Ⅰ）f [f （1）]=f(23)=23+123+2=58； （Ⅱ）由f （x ）＞1得，x+1x+2＞1，化简得，1x+2＜0，∴x ＜﹣2，∴x 的取值范围为（﹣∞，﹣2）； （Ⅲ）f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数，证明如下： 设x 1＞x 2＞﹣2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)， ∵x 1＞x 2＞﹣2，∴x 1﹣x 2＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0， ∴x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)＞0，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数．22．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+2x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）min ＝1； （Ⅱ）当a =12，f （x ）＝x 2﹣x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）max ＝3； （Ⅲ）当a ＜0时，f （x ）min ＝1， 当0≤a ≤2时，f （x ）min ＝1﹣a 2， 当a ＞2时，f （x ）min ＝5﹣4a ， 综上：f(x)={1a ＜01−a 20≤a ≤25−4aa ＞2．23．【解答】解：（Ⅰ）①显然，在[0，1]上满足f （x ）＝x ≥0，g （x ）＝2x ≥0； ②f （1）＝1，g （1）＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]＝x 1+x 2﹣[x 1+x 2]＝0，即f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立；∴f （x ）＝x 是“梦幻函数”，g （x ）＝2x 不是“梦幻函数”；（Ⅱ）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1]，∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2﹣x 1+x 1）≤f （x 1）﹣[f （x 1）+f （x 2﹣x 1）]＝﹣f （x 2﹣x 1）≤0， ∴f （x 1）≤f （x 2），∴f （x ）在[0，1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立， ∴0≥2f （0），又f （x ）≥0，∴f （0）＝0，∴当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，当x ＝1时，f （x ）取最大值f （1）＝1．24．【解答】解：（1）函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）， 可得a ﹣b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2， 则f （x ）＝x 2+2x +1，由新定义可得g （x ）＝x 为函数f （x ）的一个承托函数；（2）假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f （x ）的一个承托函数， 且f （x ）为函数y =12x 2+12的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤12x2+12恒成立，令x＝1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a＝c；又（a−12）x2+bx+c−12≤0恒成立，可得a＜12，且b2﹣4（a−12）（c−12）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a−12）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a＝c＜12，b＝1﹣2a，可取a＝c=14，b=12．满足题意．。
北京高一上学期期中考试数学试卷含答案(word版)
高一上学期期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题（请把答案填在机读卡相应位置.每小题3分，合计42分）1.已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}5,6,3A =，{}1,2,3B =，()U C A B ⋃=则( )A. φB. {}1,2,3C. {}4,7D. U2.已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ）A. 3,1x yB. ()3,1-C. {}31，-D. 3,1 3.命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是（ ）A. x R ∀∈，20x ≥B. x R ∀∈，20x <C. x R ∃∈，20x <D. x R ∃∈，20x ≥ 4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. ()f x x =，()2x g x x = B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈C. ()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x x =，()2g x = 5.下列函数中为偶函数的是（ ）A. y =B. y x =C. 21y x =+D. x y x = 6.下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（ ）A. 32y x =+B. 5y x =C. 21y x =-D. 2 y x =7.已知某幂函数的图象过点(，则此函数解析式是（ ）A. 2y xB. 2y x =C. y =D. 21y x =8.已知命题:30p x -=，2:560q x x -+=，p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9.若a ，b 是任意实数，且a b >，则（ ）A. 22a b >B. 1b a <C. 1a b ->D. 1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10.下列不等式中正确的是（ ）A. 224a b ab +≥B. 44a a +≥C. 221222a a ++≥+D. 2244a a+≥ 11.某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了km a ，休息了一段时间，又沿原路返回km()b a b >，再前进km c ，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）．A. B. C. D. 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+上是减函数，则（ ）A. ()()()354f f f <-<-B. ()()()453f f f -<-<C. ()()()345f f f <-<-D. ()()()543f f f -<-< 13.已知()72f x ax bx =-+且()517f -=，则()5f =（ ）A. 13B. 13-C. 15D. 15-14.设()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则7.5f =（ ）A. 1.5B. -1.5C. 0.5D. -0.5第Ⅱ卷二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每题3分，合计15分）15.函数()232f x x x =-+的定义域是________. 16.在①112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）. 17.已知函数()3,1,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2f -=________；()()1f f =________.18.已知1x >，则31x x +-的最小值为________，此时x 的值为________. 19.如果函数224423y x ax a a =-+-+在区间[]0,2上有最小值3，那么实数a 的值为_________. 三.解答题（请把详细过程写在答题纸上，合计43分）20.计算: ()130.5010.25327π--⎛⎫+- ⎪⎝⎭21.已知集合{}2450A x x x =-++>，{}220B x x x m =--<（Ⅰ）3m =，求()R A B ； （Ⅱ）若{}14AB x x =-<<，求实数m 的值.22.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()24x f x =- （1）当(),0x ∈-∞时，求函数()f x 的解析式；（2）求方程()2f x =-的解集.23.已知函数()2m f x x x =-，且()742f =. （1）求m 的值；（2）判定()f x 的奇偶性并证明；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义给予证明.24.已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =.（1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1【答案】C【解析】 本题考查的是集合运算．由条件可知,所以，应选C ． 2【答案】D【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.3【答案】C【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C4【答案】C【详解】当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数.A. ()f x x =的定义域是R ，()2x g x x=的定义域是{|0}x x ≠，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈，两个函数的定义域显然不同，所以两个函数不是同一函数；C. ()f x x = ,0,0x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数；D. ()f x x =的定义域是R ，()2g x x =的定义域是{|0}x x ≥，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数.故选：C【点睛】本题主要考查同一函数的定义和判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5【答案】C【详解】A. y x ={|0}x x ≥，定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数；B. 函数y x =为奇函数；C. 二次21y x =+图象的对称轴为y 轴，该函数为偶函数；D. 对于函数x y x =，该函数在12x =有定义，在12x =-没定义，即函数x y x =的定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数.故选：C.6【答案】D【详解】A. 32y x =+，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；B. 5y x =，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；C. 21y x =-，在()0,+∞上单调递增，所以该选项不符合题意；D. 2y x=，在()0,+∞上单调递减，所以该选项符合题意. 故选：D.7【答案】C【详解】设幂函数为()a f x x ，因为幂函数的图象过点(，112212=2,()2a a f x x =∴=∴==，故选：C.8【答案】A【详解】由题得命题:3p x =由题得命题:2q x =或3x =.因为命题:3p x =成立时，命题:2q x =或3x =一定成立，所以p 是q 的充分条件；因为命题:2q x =或3x =成立时，命题:3p x =不成立，所以p 是q 的非必要条件.所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.9【答案】D【详解】A.取1a =，2b =-，则22a b <，所以该选项错误；B.取1a =-，2b =-，则1b a>，所以该选项错误；C.取2a =，32b =，则1a b -<，所以该选项错误； D.由于指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，a b >，1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该选项正确. 故选：D.10【答案】D 【详解】A. 224a b ab +≥，取1a b ==不成立，排除； B. 44a a+≥，取1a =-不成立，排除；C. 221222a a ++≥=+，等号成立的条件为22122a a +=+，无解，排除；D. 2244a a +≥=，等号成立的条件为224a a=，即a =. 故选：D .11【答案】C【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A ；又按原路返回bkm ，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D ；C 选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B 故选C ．12【答案】D【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(3)(3)f f =-.因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在()0,∞+上是减函数，所以函数()f x 在(),0-∞上是增函数，因为543,(5)(4)(3)(3)f f f f -<-<-∴-<-<-=.故选：D.13【答案】B【详解】()775(5)5217,(5)515f a b a b -=-++=∴⋅-=-, 所以()7555215213f a b =⋅-+=-+=-. 故选：B.14【答案】D【详解】由()()2f x f x +=-有7.5(5.5)(3.5)(1.5)(0.5)f f f f f , 又()f x 是R 上的奇函数则(0.5)(0.5)0.5f f .故选：D15【答案】{|2x x >或1}x <. 【详解】由题得2320,2x x x -+>∴>或1x <.所以函数()f x 的定义域为{|2x x >或1}x <.故答案为：{|2x x >或1}x <.16【答案】 (1). ③. (2). ①. 【详解】①1122-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②122-==1122122-⎛⎫== ⎪⎝⎭1122-=. 所以最大的是③，最小的是①.故答案为：(1). ③. (2). ①.17【答案】 (1).19. (2). 13. 【详解】()21239f --==； ()()111(1)33f f f -=-==. 故答案为：(1). 19. (2). 13. 18【答案】(1). 1.(2).1.【详解】33111111x x x x +=-++≥=--， 当且仅当1311x x x >⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即当1x =+时取到最小值. 故答案为：(1). 1.(2).1. 19【答案】0或8 【详解】由题得抛物线的对称轴为2a x =，当02a <即0a <时，2min ()(0)233,0f x f a a a ==-+=∴=或2a =， 因0a <，所以舍去； 当即04a ≤≤时，22min 16(23)16()()3,0216a a a a f x f a -+-===∴=； 当22a >即4a >时，2min ()(2)168233,2f x f a a a a ==-+-+=∴=或8a =， 因为4a >，所以8a =.综上所述，0a =或8a =.故答案为：0或8.20【答案】2【详解】原式1330.5210.533--⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1110.533--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 233=+-2=.21【答案】（Ⅰ）(){}35R A B x x ⋂=≤<；（Ⅱ）8. 【详解】（Ⅰ）集合{}15A x x =-<<， 3m =时，{}13B x x =-<<，所以{3R B x x =≥或}1x ≤-，(){}35R A B x x ∴⋂=≤<；（Ⅱ）{}14A B x x ⋂=-<<，4∴是方程220x x m --=的一个根，1680m ∴--=，所以8m =.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22【答案】（1）()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩；（2）{}1,1-. 【详解】（1）设(),0x ∈-∞，所以(0,)x -∈+∞，所以()24x f x --=-，由于函数()f x 为偶函数，所以()()24x f x f x -=-=-，所以函数()f x 的解析式为()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩. （2）当0x <时，()24=2,1x f x x -=--∴=-； 当0x ≥时，()242,1x f x x =-=-∴=.所以方程()1f x =-的解集为{}1,1-.析.23【答案】（1）1m =；（2）()f x 为奇函数，证明见解析；（3）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解【详解】（1）()742f =，()274442m f =-=∴，1m ∴=； （2）()f x 为奇函数，()2f x x x=-，所以函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()22f x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=---=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为奇函数； （3）()f x 在()0,∞+上单调递增.证明：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()()12121212212222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212121212221x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，120x x ∴-<，12210x x +>， ()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，()f x ∴在()0,∞+上单调递增.24【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，11 所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==， 所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立， 即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立. 设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.。