随机过程习题答案

随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。

解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。

（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）（2）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9．解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，令矩阵则有：因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。

记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。

如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。

根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：第四讲作业：P113/13．解：画出状态转移图，有：P113/14. 解：画出状态转移图，有：P113/16．解：画出状态转移图，有：（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。

（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。

（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。

第六讲作业：P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：解得极限分布即可。

P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，因此可计算极限分布如下：解以上方程，得极限分布：P115/19．解：见课上讲稿。

P116/21．解：记，则有：（1）因为：(A)当时，有：由（A）可得：当且时，有：由（A）可得：当且时，有：由（A）可得：另外：下列等式是明显的因此我们有：即{是一齐次马氏链。

一步转移矩阵为：（2）画出转移矩阵图，可得：由：及，并且取，由递归可得：（3）由于：因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。

（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。

因此我们有：随机过程习题解答（二）P228/1。

证明：由于t s <，有{}{}{}{}{}n t N P k n s t N P k s N P n t N P n t N k s N P n t N k s N P =-=-⋅=========)(})({)()()(,)()(/)(其中{})()!())((!)(})({)(s t k n s k e k n s t e k s k n s t N P k s N P ------⋅=-=-⋅=λλλλ{}tn e n t n t N P λλ-==!)()(所以{}kn k k n k n k k tn s t k n s k k s k s k n k n k n t s t t s e n t e k n s t e k s n t N k s N P --------⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=--⋅===1)!(!!)(!)()!())((!)()(/)()(λλλλλλ证毕。

P229/3. 解：（1）因为}0),({≥t t N 是一Poission 过程，由母函数的定义，有：()()()()()())()(})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({)()()(00000000)(s s s j t N P sl t N P s l k t N P sl t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P l t N P s k t N P s t N t N j jl ll k lk l ll lk l k l k kl l k l k k k l k kt t N ∆∞=∞=∞=-∞=∞=∞=-∞==-∞==∞=∆+ψ⋅ψ=⋅=∆⋅==⋅-=∆⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=∆⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=∆⋅⋅==⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆⋅==⋅==ψ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）有上面（1）的结果，可得：ts s t s s s ts s ts t N t t N t N t N t N t t N t t N t t N ∆-ψ⋅ψ=∆ψ-ψ⋅ψ=∆ψ-ψ=∂ψ∂∆→∆∆→∆∆+→∆1)()()()()()()(ˆ)()(0)()()()(0)()(0)(limlimlim（3）当t ∆充分小时，由于：[][]∑∑∞=∞=∆⋅∆+⋅∆+∆+⋅∆+∆-=⋅=∆=ψ2100)()()()(1})({)(k kk kt N s t s t t s t t s s t N P s οολολ因此，当1<s 时，有：)1()()(1)(20)(0lim lim-=⋅∆∆+∆∆+∆+∆-=∆-ψ∑∞=→∆∆→∆s s tt t t s t t ts kk t t N t λοολλ由（2）的结果，我们有：)()1()()()(s s ts t N t N ψ-=∂ψ∂λP229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：t s t N N t N t N e s s s s t s )1()()0()()()(1)()()1()(-=ψ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=ψψ-=∂ψ∂λλ （2）由于)()(s t N ψ是随机过程)(t N 的母函数，且t s t N e s )1()()(-=ψλ，将函数t s e )1(-λ关于)1(<s s 展开成级数形式，我们可得：∑∞=--⋅⋅==ψ0)1()(!)()(k kt k ts t N s e k t es λλλ由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：2,1,0,!)(})({=⋅==-k e k t k t N P tk λλP230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：{}{}[]{}{}()nY u i n tn Y Y Y u i n tn t X u i n t X u i t X e E e n t e E e n t n t N e E n t N P e E u n 1210)(0)()(!)(!)()(})({)(⋅⋅=⋅⋅==⋅===Φ∑∑∑∞=-++∞=-∞=λλλλ令{})(11u e E Y Y u i φ=，则有：[]{}1)(exp !))(()(110)(-=⋅=Φ∑∞=-u t e n u t u Y n t nY t X φλφλλ （*）若),2,1( =n Y n 的概率分布为：212211}1{,}1{λλλλλλ+=-=+==n n Y P Y P则{}u i u i Y u i Y e e e E u nn-⋅++⋅+==212211)(λλλλλλφ （**）将（**）代入（*），我们有：{}te t e t e e t u u i u i ui u i t X )(exp 1)(exp )(212121221121)(λλλλλλλλλλλλ+-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅++⋅++=Φ--P230/7. 解：先求}0),({0≥t t N 的特征函数：{}{}{}{}{}{}{}t et e t e e t e e t e m e t e n e t ee m t e e n t eE eE e E e E u ui u i tu i t u i m tmu i n t nu i mu i m t m n u i n t n t N u i t N u i t N t N u i t N u i t N )(exp exp exp !)(!)(!)(!)()(2121)(210)(201)(0201)()()())()(()()(212121212100λλλλλλλλλλλλλλλλ+-+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅===Φ----∞=--∞=--∞=-∞=---∑∑∑∑由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知}0),({0≥t t N 是复合Poission 过程。

P231/10. 解：由于{}{}{}n t X t X t X P n t X t X t X j t X k t X P n t X t X t X j t X k t X P =++=++=====++==)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121因为)(t X i 的母函数为：{}t s s i t N )1(ex p )()(-=ψλ，由独立性，可知)()()(321t X t X t X ++的母函数为：()(){}∏=-++=ψ=ψ31321)()(1ex p )()(i t Xt X t s s s λλλ，所以)()()()(321t X t X t X t X ++=是参数为321λλλ++的泊松过程，即{}()()()tn en t n t X t X t X P 321!)()()(321321λλλλλλ++-++==++因此我们有：{}()()()()()()njk n j k tn tkj n tjtkj k n j k n en t ek j n t ej t ek t n t X t X t X j t X k t X P )()!(!!!!)!(!!)()()()(,)(32132132111132121321321λλλλλλλλλλλλλλλλλλ++⋅--=++--⋅⋅===++==--++------P231/12. 解：（1）由{}())(}1)({1})({}1)(,1)({}0)(,)({)(t o t P k t X P t P k t X P t X k t X P t X k t X P k t t X P r r ∆+∆-=+∆-==+=∆-=+=∆====∆+λλ 令0→∆t ，有)()()(1t P P t P P dtt dP k r k r k -=+λλ 解得{}tP k r r e k t P k t X P λλ-==!)()(（2）由（1）知，)(t X 服从参数为r P λ的泊松分布。