图形计算器二次函数实例
几何画板二次函数案例
几何画板二次函数案例二次函数在几何画板中的应用非常广泛，下面我将为你提供一个案例，详细解释如何使用二次函数来构建一个几何图形。
案例：构建一个抛物线喷泉喷泉是一种常见的城市景观和装置，它通过一个喷水装置将水以特定的形式喷射出来，形成美丽的水柱。
在这个案例中，我们将使用二次函数来模拟喷泉的形状。
首先，让我们定义一个二次函数来描述喷泉的形状。
假设水柱的高度(h)是和喷射距离(x)相关的，我们可以使用以下二次函数来描述这种关系：h(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是需要确定的常数。
喷泉的形状通常是一个开口朝下的抛物线，所以a的值应该小于0。
接下来，我们将确定a、b和c的值。
为了简化问题，我们假设喷泉的最高高度是10米，并且喷射的最远距离是20米。
我们可以选择两个点来确定这个二次函数的值。
假设我们选择喷泉的两个关键点分别是(0,0)和(20,10)。
将这两个点带入二次函数的方程，我们可以得到以下两个方程：0=a*0^2+b*0+c=>c=010=a*20^2+b*20+0=>400a+20b=10通过解这个方程组，我们可以得到a和b的值。
解方程组可以得到a=-0.0125和b=0.25、所以二次函数的方程为：h(x)=-0.0125x^2+0.25x现在，我们可以使用这个二次函数来绘制喷泉的形状。
通过在几何画板上画出一系列点，然后使用平滑曲线连接这些点，我们可以得到整个喷泉的形状。
首先，我们选择几个x的值，例如x=0,2,4,...,20。
然后，我们使用二次函数计算对应的h(x)的值。
最后，在几何画板上画出这些点，并使用平滑曲线连接它们。
通过加入适当的颜色和细节，我们可以使这个几何图形更加真实和立体感。
我们还可以添加其他元素，如水柱顶部的喷雾效果。
通过调整二次函数的参数，我们可以自由地改变喷泉的形状和高度。
这使得几何画板成为优秀的工具，用于设计和模拟各种喷泉的形状，并选择出最佳的设计。
二次函数例子
二次函数例子
1. 哇塞，你知道投篮时篮球的轨迹吗？那其实就是一个二次函数的例子呀！当篮球被投出后，它的高度会先上升然后再下降，这不就和二次函数图像一模一样吗！
2. 嘿，想想公园里的喷泉，水喷上去又落下来的样子！那水的高度变化不就是二次函数的典型案例嘛，多有意思呀！
3. 哎呀，你有没有注意到秋千荡起来的弧度呀？一上一下的，这和二次函数多像啊，简直太神奇了！
4. 哇哦，每个月手机流量使用的情况其实也可以用二次函数来表示呢，开始用得少，中间猛用，然后又慢慢减少，可不是像二次函数图像一样嘛！
5. 你看那抛物线桥，多壮观啊！它的形状不正是二次函数在生活中的完美体现嘛，超酷的！
6. 嘿呀，烟花绽放的轨迹也是个二次函数呀！烟花升上去再炸开，那轨迹多美妙，绝对是二次函数的精彩呈现！
7. 哎呀，家里的吊灯摆动起来的轨迹也是二次函数呢，你好好想想，是不是很神奇呀！
我觉得二次函数真的是无处不在呀，在我们生活中好多地方都能看到它的影子，太有趣啦！。
生活中的二次函数例子5个
生活中的二次函数例子5个1.某种小商品的销量Y件与售价X元成一次函数关系。
某商场以每件4元的单价进了一批这种商品第一天以每件8元试销，结果售出60件，第二天以每件10元试销，结果售出50件。
（1）求销量Y与售价X的函数关系式。
（2）每件商品的售价定位多少元时，才能每天获得最大利润？每天的最大利润是多少元？2.某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？3.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件调查表明：这种衬衣售价每上涨1元其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．4.一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？5. 为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x 米．（注：取π＝3.14）（1）试用含x的代数式表示y；（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；（3）设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；（4）若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
二次函数的应用举例
二次函数的应用举例一、圆的方程在数学中，圆的方程可以通过二次函数来表示。
假设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，那么圆的方程可以写为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(x, y)表示圆上的任意一点。
通过这个方程，我们可以得到圆上的所有点的坐标。
举例：假设有一个圆，圆心坐标为(2, 3)，半径为4。
那么圆的方程可以写为：(x - 2)² + (y - 3)² = 16通过这个方程，我们可以求解出圆上的任意点的坐标。
二、抛物线抛物线是二次函数的一种特殊形式。
它可以用来模拟抛体在重力作用下的运动轨迹。
抛物线的方程可以写为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c都是实数，而a不等于0。
抛物线的开口方向由a的正负号决定。
举例：假设有一个抛物线，方程为y = 2x² - 3x + 1。
我们可以通过这个方程来分析抛物线的特性。
1. 开口方向：由于a的值为正，所以该抛物线开口向上。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标可以通过公式计算得到。
公式为：x = -b / (2a)y = f(x) = a(x - h)² + k将a、b、c代入公式，可以计算出该抛物线的顶点坐标为：x = -(-3) / (2 * 2) = 3/4y = 2 * (3/4)² - 3 * (3/4) + 1 = 7/8所以该抛物线的顶点坐标为(3/4, 7/8)。
3. 对称轴：抛物线的对称轴垂直于x轴，并通过顶点。
所以这个抛物线的对称轴方程为x = 3/4。
通过这个抛物线的方程，我们可以确定它的基本特性，并进行更进一步的分析。
三、最优化问题二次函数还可以用来解决最优化问题，即在一定条件下寻找使某个函数值达到最大或最小的变量取值。
举例：假设有一个二次函数f(x) = 2x² + 3x - 5。
我们要找到使得函数f(x)取得最小值的x的取值。
九年级数学下册《二次函数的应用》优秀教学案例
（一）导入新课
在导入新课环节，我将结合学生的实际生活，提出以下问题：“同学们，你们在生活中遇到过抛物线运动吗？比如抛硬币、投篮等。这些现象与数学中的哪个知识点有关？”通过这个问题，引导学生回顾之前学过的抛物线知识，为新课的学习做好铺垫。
接着，我会展示一些与二次函数相关的图片和实例，如拱桥、卫星轨道等，让学生观察并思考这些图像的共同特点。在此基础上，引出本节课的主题——二次函数的应用，激发学生的好奇心和探究欲望。
小组合作是本章节教学的重要组成部分。我将根据学生的学习特点和兴趣，合理分组，使学生在合作交流中共同进步。在小组合作过程中，引导学生明确分工、相互协作，共同探讨二次函数的性质、图像以及应用问题。通过小组讨论、成果展示等形式，培养学生的团队协作能力和表达能力。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价，让学生在反思中总结经验，不断提高。在每节课结束后，引导学生回顾所学内容，总结二次函数的性质、图像和应用方法，查找自己在学习过程中的不足之处，并进行针对性的改进。同时，开展多元化的评价方式，如自我评价、同伴评价、教师评价等，全面了解学生的学习情况，激发学生的学习积极性，促进学生的全面发展。此外，我还将关注学生的情感态度与价值观的培养，鼓励学生积极参与课堂活动，充分展示自己的个性特长，使学生在数学学习中获得成功的体验。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组选出一名组长负责组织讨论。以下为讨论的主题和步骤：
1.各小组结合教材和实例，探讨二次函数在实际问题中的应用方法。
2.各小组分享自己在讨论过程中的发现和心得，相互交流、学习。
3.针对本节课的重点和难点，引导学生相互提问、解答，共同提高。
4.学会使用数学软件或图形计算器绘制二次函数图像，以便更好地理解二次函数的几何性质。
二次函数实例解析
初中二次函数实例解析已知：如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(1)求抛物线的解析式.由OA=OC=3,得A(-3,0),C(O,-3)把A,C坐标带入y=x²+bx+c中(−3)2=−3+b×(-3)+c=0⇀=2=−3故y=x²+2x-3(2)判断△ACD的形状，并说明理由.由y=x²+2x-3=(x+1)²-4得D(-1,-4)又A(-3,0),C(0,-3)由两点间距离公式，得AC2=18CD²=2AD²=20则AC2+CD2=AD2故△ACD为直角三角形已知：如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(3)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小，求出点P的坐标及△BCP的周长.由A(-3,0),C(O,-3)得AC:y=-x-3由y=(x+1)²-4得对称轴x=-1∵点A,B关于x=-1对称∴AC与x=-1的交点即为点P=−−3=−1⇀=−1=−2故P(-1,-2)由A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)得AC=32,BC=10故△BCP的周长为BP+CP+BC=AC+BC=32+10已知：如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(4)在直线AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l//y轴，交AC 于点M,当点N 在什么位置时，线段MN 的长度最大，并求出最大值.设N(t,t²+2t-3)由AC:y=-x-3,则M(t,-t-3)则MN=y m -y n =-(t+32)2+94故当t=-32时，MN有最大值94此时N(-32,-154)(5)在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使得△ACN 的面积最大，最大值为多少?过N作直线l//y 轴，交AC于M,交x轴于H作CP ⊥l于点P,则l⊥x轴S △ACN =S △AMN +S △CHN=12MN×|x a -x c |=32MN故当MN 取最大值时，△ACN面积最大(S △ACN )max =278已知：如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(6)在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点P,使得P到直线AC的距离为2.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.在y轴上取点E(0,-5),作EF⊥AC,则CE=2又OA=OC,则∠OAC=∠OCA=∠ECF=45°,故EF=2过点E 作l/AC,则l上所有点到AC 的距离均为2由AC:y=-x-3,则l:y=-x-5联立=−−5=2+2−3得=−1=−4或=−2=−3故P(-1,-4)或(-2,-3)(7)在直线AC上是否存在一点P,使得BP+OP最小.若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由.作B关于AC的对称点B’,连接BB'交AC于M,则PB=PB'连接OB',故OB'即为所求由AC:y=-x-3,OA=OC,则∠MAB=∠MBA=45°又A,B关于x=-1对称故M必在对称轴x=-1上，即M(-1,-2)由AB=4,得MA=MB=22,则MB'=MA=22故AB'=4且AB'⊥x轴，则B'(-3,-4)已知：如图抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D. (8)在直线AC上是否存在一点P,使得BP+12AP最小，若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由.如图，作直线l与AC夹角为30°,作PM⊥l,则BP+12AP=BP+PM作BN⊥l于点N,交AC于P此即为所求P点，BP+12AP最小值为BNBN=AB×sin75°=AB×sin(45°+30°)=4×(sin45°cos30°+cos45°sin30°)=4×(22×32+22×12)(9)点E是线段AC 上的一动点，点P是线段AB 上的一动点，PE//BC,是否存在这样的点P,使得△PEC的面积最大.若存在，求出点P的坐标，并求出△PEC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.设P(t,0),AP=t+3,BP=1-t,AC:y=-x-3,BC:y=3x-3由PE//BC,设PE:y=3x+6则O=3t+6,解得b=-3t,即PE:y=3x-3t联立：=3K3=−K3得=3−34=−3−94即E(3K34,−3K94)S △PAE =12PA×|y E |=38(t+3)2S △PBC =12PB×OC=32(1-t)S △ABC =12AB×OC=6故S △PEC =S △ABC -S △PAE =-38(t+1)2+32当t=-1时S △PEC 取最大值32已知：如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(10)点P是直线AC 下方的抛物线的一个动点，作PE⊥x轴交AC 于点E,PF⊥AC 与点F,是否存在这样的点P,使得△PEF 周长的最大.若存在，求出点P 的坐标，并求出△PEF周长的最大值；若不存在，请说明理由.由OA=OC,得∠OAC=45°又PE⊥x轴，PF⊥AC,则∠PEF=∠EPF=45°故PE=2PF=2EF,则△PEF的周长为PE+PF+EF=(2+2)PF 故PF取最大值时即可(PF)max 92故△PEF周长最大值:94(2+1)(11)点E是对称轴上的一个动点，是否存在这样的点E,使得△ACE是等腰直角三角形。