第四章 静定结构的位移

二、 虚单位荷载的设置
1. 若欲求的位移是结构上某一点沿某一方向的线位 移，则虚单位荷载应该是作用于该点沿该方向的单 位集中力(a)。 2. 若欲求的位移是结构上某两点沿指定方向的相对 线位移，则虚单位荷载应该是作用于该两点沿指定
方向的一对反向共线的单位集中力(b)。 F 1
F 1
F 1
(b)
W e= 0
2. 虚功方程的两种应用
（1）虚拟位移状态，求未知力
F
A
F
FA
a
b
l
We＝FB B FδF =0
B
FB

F
F B
B
FB
根据几何关 系有:
F a B l
FB

a l
F
可令δB =1，这种沿未知力方向虚设单位位移的方法称 为单位位移法 上述计算是在虚拟位移状态与给定的实际力状态之间应 用虚功方程，这种形式的虚功原理又称为虚位移原理。 1. 用虚位移原理建立的虚功方程形式上是功的方程，
3.若欲求的位移是结构上某一截面的角位移，则虚单 位荷载应该是作用于此截面上的单位集中力偶(c)。 4.若欲求的位移是结构上某两个截面的相对角位移， 则虚单位荷载应该是作用于这两个截面上的一对反 向单位集中力偶(d)。
Me 1
(c)
Me 1
Me 1
(e)
(d)
5.若欲求的位移是结构（如桁架）中某一杆件的角 位移，则应在该杆件的两端沿垂直于杆件方向施加 一个由一对大小相等、方向相反的集中力所构成的 虚单位力偶，每一集中力的大小等于杆件长度的倒 数。
FN、FS、M——原结构由实际荷载引起的内力。 式（4.6）即为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。
二、 几种典型结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 2. 桁架 3. 组合结构
K


l
MM EI
ds
K
FN FNl EA
K
MM ds FNFNl
l EI
EAபைடு நூலகம்
【例4.3】 求图4.11(a)所示简支梁的中点C的竖向位 移ΔCV。已知梁的弯曲刚度EI为常数。
三、 变形体的虚功原理
对于变形体系，如果力状态中的力系满足平衡条件， 位移状态中的位移和变形彼此协调、并与约束几何相 容，则体系的外力虚功等于体系的内力虚功，即
We= Wi We——外力虚功，即力状态的外力在位移状态的相 应位 移上所作的虚功总和； Wi——内力虚功，即力状态的内力在位移状态的相 应变形上所作的虚功总和。
第四章 静定结构的位移
学习要求
5. 熟练掌握用图乘法计算静定梁和静定平面刚架在荷载 作用下的位移。
6. 掌握静定结构由于支座移动、温度改变引起的位移计 算。
7. 了解功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。
第四章 静定结构的位移
4.1 概述 4.2 变形体的虚功原理 4.3 结构位移计算的一般公式 4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 4.5 图乘法 4.6 静定结构由于支座移动、温度改变
8GA
设梁的截面为矩形， =1.2，I h2 泊松比v = 1
则 E 2(1 ) 8 。于是有 A 12
3
G
3
CV 2.56( h )2
CV
l
当梁的高度为跨度的 1 时，CV 10 CV
2.56%
因此对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。 但对深梁（h>l/5）则不能忽略。
FKK Rc l FNds l FSds lMkds
K lFNds lFSds lMkds Rc （4.3）
注意：式（4.3）为平面杆件结构位移计算的一般公式。 它既适用于静定结构，也适用于超静定结构； 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；既 适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由支 座移动、温度改变等因素影响下的位移计算。
图4.9
【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C
点的竖向位移
Δ
，可虚拟一力状态如图所示。
CV
应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0
F
A
FAy

b l
F
CV
a
b
l
FBy

a l
F
B
c
令F=1。得 ΔCV=
a c l
沿所求位移方向虚设单位荷载F=1的方法称为单位 荷载法，或称为单位力法。
相对角位移
A1 AH A
F
B BH B1
F
C
图4.2
D
二、位移计算的目的
1. 验算结构的刚度 2. 为分析超静定结构打下基础 补充变形协调方程 3. 施工方面的需要 如图4.3所示
图4.3 建筑起拱
三、 位移计算的假定
在计算结构位移时，通常采用以下几个假定： 1. 结构的材料在弹性范围内工作，且符合胡克定律，
c1
c2
k s ds
R2 R1
ds εds
FN
FN
实际状态
γds dφ=κds
图4.10
FS
FS
M
M
虚拟状态
外力虚功为: We FKK R1c1 R2c2 FKK Rc
内力虚功为: Wi l FNds l FSds lMkds
外力虚功等于内力虚功:
当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单位荷 载法来求解，其计算步骤如下：
1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出 在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方 程
3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值，表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致；如果求得的位移为负值，表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
2）求截面C的转角 C 。虚拟力状态如图4.12(c)所示。
两种状态的内力分别为
竖柱AB： M 1， 横梁BC： M 1，
M 1 ql2 2
M 1 qx2 2
B
x
C Mc 1
x
A
（c）
图4.12
代入式
K


l
MM EI
ds得截面C的转角为
C

1 EI
l
1
第四章 静定结构的位移
内容提要
本章在虚功原理的基础上建立了结构位移 计算的一般公式，着重介绍静定结构在荷载作 用、支座移动和温度改变时所引起的位移计算。 静定结构的位移计算是超静定结构的内力、位 移计算以及结构刚度计算的基础。
第四章 静定结构的位移
学习要求
1. 了解结构位移的概念。了解结构位移计算的目的。 2. 了解刚体和变形体的虚功原理。 3. 了解结构在荷载作用下位移计算的公式。 4. 掌握用单位荷载法计算静定结构在荷载作用下的位移。
杆件
杆长l(mm)
表4.2 例4.5计算表
截面积
FN
A(mm2)
引起的位移 4.7 互等定理
第一节 概述
一、位移的概念
｛线位移（挠度） 指截面形心所移动的距离 结构的位移：结构位置的变化 水平位移 竖向位移
角位移（转角） 截面转动的角度
m
MC
C c
m
C’
c
（a）
B t oC ME
t oC
C
CH
cC
C2
C1 c
c
cv
C1
A （b）
｛ 相对位移
相对线位移 △ =△AH+ △BH
q
【例4.4】 求图4.12(a)所示刚架
上点C的水平位移ΔCH和截面C
的转角C。已知各杆的弯曲刚
度EI为常数。
l
B
C
x
x
A l
图4.12（a）
【解】1）求点C的水平位移ΔCH。虚拟力状态如图4.12(b) 所示。两种状态的内力分别为
竖柱AB：M x ， M 1 ql2
2
B
x
C
x F 1
K l FNds l FSds lMkds (4.4)
FN ，
EA
FS ，
GA
k

M EI
（4.5）
将式（4.5）代入式（4.4），得
K
FNFN ds l EA
FSFS ds
l GA
MM ds l EI
FN 、 FS 、 M——在虚拟状态中由广义虚单位荷载引起的虚内力，
示多跨静定梁的支座B处的反力。
FB

3
1 2

2
1 3
1
1
2
B
1 2
δB=1

2
1 2

C
2
3
B
2 3
图4.8
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0 (a)
1
2
1
FB 2 F1 3 F2 3 F3
(2)虚拟力状态，求未知位移 在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用虚 功原理，这种形式的虚功原理又称为虚力原理 。 【例4.2】 已知图4.9(a)所示静定梁的支座B向下 移动距离c，试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
l
MM EI
ds得
CV

2
l 2 0
1 EI

x 2

q 2
(lx

x2 )dx

5ql 4
（↓）
384EI
现在考察剪切变形对位移的影响。由图4.11(b)可得，
FS

1 2
，