2006典型例题解析--第3章-静定结构位移计算
位移计算
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
∫ Mi MK dx = ω1 y1 + ω2 y2 + ω3 y3 = ∑ω j y j
(2) 梯-梯同侧组合
ω1
ω2
(2c + d ) ⎧ y1 = ⎪ ⎪ 3 ∫ Mi MKdx = ω1 y1 +ω2 y2 ⎨ (c + 2d ) ⎪ y2 = ⎪ ⎩ 3
例 3：求对称桁架D点的竖向位移
−1 2
ΔDy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
(10 m ) ，设 E=210GPa。
FN
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态 中各杆的内力
N
代入公式得：
Δ Dy =
∑
NN P l = 8 mm ( ↓ ) EA
3.制造误差引起的位移
Δλ =
∑ ∫ N dλ = ∑ N λ
虚拟状态
单位荷载内力图为：
N
图
M 图
( −30) + ( −20) t= = −25 0 C 2
, Δt = −20 − ( −30) = 10 0 C
Δ Ay =
∑ α tω
N
+∑
αΔ t
h
ω M = − 0 .005 m ( ↑ )
多种因素下的位移计算一般公式
Δ = − ∑ Ri ci + ∑ ∫ Ndλ + ∑ ∫ Q dη + ∑ ∫ Mdθ
= −∑ Ri ci + ∑ ∫ N [(dλ ) P + (dλ )t ] + ∑ ∫ Q[(dη ) P
等于0
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
01静定结构位移计算
§4.2 变形体虚功原理
五、直杆系虚功方程
q FPx p
δWe = δW =δWi q(s) 取任一单元
* FQj
* FNi
* FNj
M i* F i m(s) * Qi
j
p(s)
θ(s)
M* j
δWe 的计算:
δWei,j [ pδu qδv mδ ]d s
i 当无集中荷载时： δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
l
M 2 ( x) FP 2l 3 dx 2 EI 6 EI
V FPl 3 FP 3EI
?
推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构
§4.0 理力材力相关内容回顾 四、摩尔定理（公式）
l
FN ( x)FN 0 ( x) T ( x)T 0 ( x) M ( x)M 0 ( x) dx dx dx EA GI p EI
l
l
FN ( x)、T ( x)、M ( x) - -结 构 在 原 载 荷 下 的 内 力 FN ( x)、T ( x)、M ( x) - -去 掉 原 载 荷 ， 在 所 义 广 求 位移点，沿所求广移的方向加广义单时， 义位 位力 结构产生的内力
0 0 0
推导过程使用了两种力施加不同顺序得出结果相同， 所以只适用线弹性结构
X AΔ 0
YA
YB
§4.2 变形体虚功原理
一、虚位移、虚力
对一变形体
FP 力状态：平衡方程 FP/2 FP/2 满足平衡条件 FP 位移状态：协调方程 满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小
§4.2 变形体虚功原理
一、虚位移、虚力
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
力学 静定结构的位移计算
1.平面杆系结构位移计算的一般公式
SIPIVT Eva
第三节
结构位移计算的 一般公式
2.设置单位荷载时，应注意的问题
A虚拟单位力必须与所求位移相对应； B虚拟单位力的方向可以任意假定，若计算结果为正， 表示实际位移的方向与虚拟力方向一致，反之位移方 向与虚拟力的方向相反。
cy
ω2
ω1
1 2 1 Pl , 2 pl 2 2
1 y1
EI
2 y2
EI
ω2 ω2
图 图 图
ω 1 ω1
1 EI 4 3
1 2 2 2 2 pl 3 l pl l ) pl 2 () EI
图 图
示例2 I AB I CD I，I AB 2 I , 求 Ax。
SIPIVT Eva
第十四章
静定结构的位移计算
SIPIVT Eva
第一节
计算结构位移的目的
计算结构位移的目的
SIPIVT Eva
第二节
一、相关概念
1.广义位移
变形体的虚功原理
工程结构在荷载作用下结构的 原有形状将发生改变，结构上各点 的位置也将发生相应的移动。
广义位移：线位移、角 位移等等的统称。
结构的第一组外力在第二组外力所引起的位移上 所作的外力虚功，等于第一组内力在第二组内力所引 起的变形上所作的虚功。
W12＝W12
SIPIVT Eva
第二节
变形体的虚功原理
对于杆系结构（变形体系），虚功原理可以表述如下： 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功总和等于各 微段上内力在变形体上所作的虚功总和，即外力虚功等于 内力虚功。
05.静定结构的位移计算
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
《结构力学习题》(含答案解析)
《结构力学习题》(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One120 第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.M C.=1=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M kM p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
Aa a21 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
q15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l ll/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
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第3章 静定结构位移计算
§3 – 1 基本概念
3-1-1 虚拟单位力状态构造方法
●虚拟单位力状态构造方法：
（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；
（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。
如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ∆和C 截面转角
C ϕ，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位
力状态。
3-1-2 位移计算公式
虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：
N Q ,,,Ri F M F F
实际荷载作用下，引起的内力：
NP P QP ,,F M F
●位移计算一般公式
N Q Ri i F du Md F ds F c ∆ϕγ=++-∑∑∑∑⎰⎰⎰
●荷载作用产生位移的计算公式
Q N QP NP P
k F F F F M M ds ds ds EA EI GA
∆=++∑∑∑⎰
⎰⎰ 1、梁或刚架结构 P
M M ds EI
∆=∑⎰ 2、桁架结构 N NP
F F ds EA
∆=∑⎰
图3-1虚拟单位力状态
)
a ()
b ()
c (
2 结构力学典型例题解析
3、混合结构
N NP P
F F MM ds ds EA EI
∆=+∑∑⎰
⎰ ●支座移动引起位移计算公式
Ri i F c ∆=-∑
●温度引起位移计算公式
()N 0t
F t dx M
dx h
α∆∆α=+±∑∑⎰⎰
()N 0M
t
t lF A h
α∆∆α=+±∑∑
式中：0,,t t α∆为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度
M A 虚拟状态弯矩图面积
●有弹性支座情况的位移计算公式
()P RP
R 0RP
R M M F
ds F EI k
Ay F F EI k
∆=+⨯±=+⨯
∑∑⎰
∑∑
3-1-3 图乘法
图乘法公式：
0P
()Ay MM dx EI EI
±∆==∑∑⎰
图乘法公式条件：
●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定：
面积A 与y 0同侧取“+”号
注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。
为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。
图3-2 图乘法示意图
第3章静定结构位移计算3
4结构力学典型例题解析
第3章静定结构位移计算5
6结构力学典型例题解析
第3章静定结构位移计算7
8结构力学典型例题解析
第3章静定结构位移计算9
10结构力学典型例题解析
第3章静定结构位移计算11
12结构力学典型例题解析
第3章静定结构位移计算13
14结构力学典型例题解析
第3章静定结构位移计算15。