高考文科数学第一轮复习学案22

2013届高三数学（文）复习学案：正弦定理与余弦定理
一、课前准备：
【自主梳理】
1．正弦定理：_________________________________．（其中R 为△ABC 的外接圆的半径，下同）
变式：(1) ______,_______,________a b c ===．
(2) sin _____,sin _____,sin _____A B C ===．
(3) ::________________a b c =． (4) ____________sin sin sin a b c A B C
++=++． 2．余弦定理：
2_______________,a =2_______________,b =2_______________c =．
变式：cos _____________,A =cos _____________,B =cos _____________C =．
3．利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）____________________________________________
（2）____________________________________________
4．利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）____________________________________________
（2）____________________________________________
5．已知,a b 和A ，用正弦定理求B 时解的情况如下：
（1）若A 为锐角，则
（2）若A 为直角或钝角，则,_______,_______a b a b ≤⎧⎨>⎩解解
6．由正弦定理，可得三角形的面积公式：
________________________________________ABC S =====．
7．判断三角形的形状一般都有两种思路： _____或____ _____．
【自我检测】
1．在ABC ∆中，已知12,60,45BC A B ==︒=︒，则________AC =．
2．在ABC ∆
中，已知10,30a c A ===︒，则________B =．
3．在ABC ∆中，已知60,A a =︒=________sin sin sin a b c A B C ++=++．
4．在ABC ∆中，30bc =，ABC S ∆=，则A = ． 5．在ABC ∆中，已知()()3a b c b c a bc +++-=，则A = ．
6．在ABC ∆中， sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则这个三角形的最大角是________．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）在ABC ∆中,2,60a b A ===，则_____c =．
（2）在ABC ∆中,12,60a A ==，三角形有两解，则边b 的取值范围为 ．
（3）在ABC ∆中，若2cos c a B =，则ABC ∆的形状为 ．
（4）在ABC ∆中，周长为20，面积为60A =，则_____BC =．
【例2】如图，已知圆内接四边形ABCD 中，264AB BC AD CD ====，，，求
（1）四边形ABCD 的面积；
（2）圆O 的直径．
【例3】在下列条件下，试判断ABC ∆的形状：
（1）cos cos a A b B =；
（2）sin 2sin cos A B C =；
（3）2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=．
三、课后作业
1．在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，
2．在ABC ∆中，若4tan ,3
c C ==则ABC ∆的外接圆半径R 为__________．
3．在ABC ∆中，若510,15,6
b c C π===，则此三角形有 解． 4．在ABC ∆中，B a b 222sin 4=，则A = __ _．
5．在ABC ∆中，已知120,5,7A c a =︒==，则
sin sin B C
=__________．
6．在ABC ∆中， 60,1A b ∠==,求23sin 2sin 3sin a b c A B C ++=++ _________． 7．在ABC ∆中，设CB a =,AC b =，且||2a =,||3b =,3a b ⋅=-，则_____c =．
8．在ABC ∆中，面积222
4
a b c S +-=，且2sin sin sin B C A =，则ABC ∆的形状为__________．
9．已知ABC ∆中，45,B AC C =︒==
（1）求BC 边的长；
（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．
10．如果ABC ∆内接于半径为R 的圆，且222(sin sin )()sin ,R A C a b B -=-
（1）求C 的大小；
（2）若2,c =求ABC ∆的面积的最大值．
四、纠错分析
正弦定理与余弦定理答案
一、课前准备：
【自我检测】
1．64 2．︒105或︒15
3．2 4．︒60或︒120 5．︒60 6．120︒ 二、课堂活动：
例1 ．（1）4 （2）()38,12 （3）等腰三角形 （4）7
例2．（1）连接AC ，B B BC AB BC AB AC cos 2440cos 2222-=⋅⋅-+=
又B D D DC AD DC AD AC cos 3232cos 3232cos 2222+=-=⋅⋅-+=
37
4sin 71cos =⇒=∴B B 38sin 2
1sin 21=⋅⋅+⋅⋅=∴D DC AD B BC AB S （2）7256cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ，77
16=∴AC 直径=213
4sin 2==B AC R 例3．（1）B A B B A A 2sin 2sin cos sin cos sin =⇒=
①B A B A =⇒=22；
②︒=+⇒︒=+9018022B A B A 。

∴三角形为等腰三角形或者直角三角形。

（2）c b c b ab
c b a b C b a =⇒=-⇒-+⋅⇒=022cos 2222
22 ∴三角形为等腰三角形。

（3）
C B C B C B C B B C C B cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin sin sin 2222=⇒=+
()︒=+⇒=+⇒900cos C B C B
∴三角形为直角三角形。

三、课后作业：
1.()128-
2.385
3.0
4.︒30或︒150
5.53
6.393
2 7.327- 8.等腰直角三角形
9．（1）由题知55sin =C ，()1010
3sin sin =+=C B A 645sin sin sin sin =︒
⋅=⇒=A AC BC B AC A BC 。

（2）232cos 22
22-=⋅⋅-+=C BC AC BC AC AB ，13232-=⇒-=∴BD AB
4cos 2222=⋅⋅-+=B BC BD BC BD CD
2=∴CD
10．（1）()()B b a C A A
a A a R sin sin sin sin sin 222-=-⇒=， ()222
b ab b b a
c a -=-=-∴，
︒=⇒=⇒-+=∴602
1cos 222C C ab b a c 。

（2）ab ab ab b a c -≥-+=∴=24222 ，当且仅当b a =时等号成立，
323421sin 21=⋅⋅≤=
∴C ab S ，(23max ====∴c b a S 时等号成立)。