2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(★)已知集合A={1，2，4，8}，B={y|y=log 2x，x∈A}，则A∩B=（）
A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{0，3}
2．(★)已知复数z满足（2-i）z=1+2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）
A．1B．-1C．0D．i
3．(★★)函数y=x 2-2 |x|（x∈R）的部分图象可能是（）
A．B．C．D．
4．(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asinB=c-bcosA，则角B 等于（）
A．B．C．D．
5．(★★)两个非零向量，满足| |=| |=2| |，则向量与夹角为（）
A．B．C．D．
6．(★)下列说法正确的是（）
A．命题p，q都是假命题，则命题“￢p∧q”为真命题
B．将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=sin4x
C．∀φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是奇函数
D．函数的图象关于直线x=对称
7．(★★)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）
A．πB．8πC．32πD．64π
8．(★★)已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线C：y 2=8x及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2 ，则m等于（）
A．B．2C．2D．2
9．(★)若函数f（x）= 在（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．（1，3]C．[，1）D．（1，2]
10．(★★)若将函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（）
A．B．C．D．
11．(★★★)设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx•f'（x）＜-f（x），则使得（x 2-1）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（-1，0）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-∞，-1）∪（0，1）
12．(★★★)如图，已知双曲线 C 的左、
右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若△ABF 1为正三
角形，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．(★★)已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 8 ．
14．(★★)某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，
在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合
格零件平均数都为20，则m+n= 11 ．
15．(★★★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，
，a=2，则sinB= ，则b= ．
16．(★★)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a 1=3，对任意的正整数n满足S n+1=S n+ （2n-1）a n a n+1+a n，则a 19= - ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．(★★)已知数列{a n}是首项a 1= ，a 4= 的等比数列，设b n=-2-3log 4a n（n∈N
*）．
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）记c n= ，求数列{c n}的前n项和S n．
18．(★★)2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：
（I）根据如表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？
（Ⅱ）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动
（i）求男、女学生各选取多少人；
（ii）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．
附：K 2= ，其中n=a+b+c+d．
会参与不会参与
男生6040
女生2030
P（K2≥k0）0.100.050.0250.010.005
k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879
19．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
底面ABCD=120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB=2 ，AB=AC=PA=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若V M-PAC= V P-ACD，求三棱锥P-AMB的体积．
20．(★★)已知椭圆C：，圆C 1：x 2+y 2=3，圆C 2：x 2+y 2=4，椭圆C
与圆C 1、圆C 2均相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l与圆C 1相切同时与椭圆C交于A、B两点，求|AB|的最大值．
21．(★★★)设函数f（x）=lnx+2x 2-（m-1）x，m∈R．
（I）当m=6时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=2x 2在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．(★★)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C 1：（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线C 2：ρ2= ．
（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．(★★)已知函数f（x）=|mx+1|+|2x-1|，m∈R．
（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）若0＜m＜2，且对任意x∈R，f（x）≥恒成立，求m的最小值．。
河南省八市中评2020年高考数学三模试题 文(含解析)
2020年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ=．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：感染未感染总计没服用 20 50服用 40总计 100（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2020年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣2a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=ln＞0，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ=﹣1 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1．故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为9 ．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：感染未感染总计没服用 20 50服用 40总计 100（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：感染未感染总计没服用 20 30 50服用 10 40 50总计 30 70 100根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=m++=，m=0时，f′（x）=，f（x）在（0，+∞）递增，m＞0时，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m＞2时，x∈（0，1﹣）时，f′（x）＜0，x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m≤2时，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，m＜0时，x∈（0，1﹣）时，f′（x）＞0，x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=mx+2lnx﹣，∵至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，4，，，则A. B. 1，2， C. 2， D.2.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为A. 1B.C. 0D. i3.函数的部分图象可能是A. B.C. D.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则角B等于A. B. C. D.5.两个非零向量，满足，则向量与夹角为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题p，q都是假命题，则命题“”为真命题B. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到C. ，函数都不是奇函数D. 函数的图象关于直线对称7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为A.B.C.D.8.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D.9.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D.10.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为A. B. C. D.11.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则______．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，，则，则______．16.设数列的前n项和为，已知，对任意的正整数n满足，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是首项，的等比数列，设Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，求数列的前n项和．18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030根据如表说明，能否有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？Ⅱ现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动求男、女学生各选取多少人；若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：，其中．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，底面，侧面底面ABCD，，．Ⅰ求证：面PAC；Ⅱ过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆C：，圆：，圆：，椭圆C与圆、圆均相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线l与圆相切同时与椭圆C交于A、B两点，求的最大值．21.设函数，．当时，求函数的极值；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个实数解，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线：．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若，且对任意，恒成立，求m的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，对数的运算性质，以及交集的运算．【解答】解：2，4，，1，2，；．故选：A．2.答案：A解析：解：由，得．则z的虚部为1．故选：A．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解；显然原函数是偶函数，立即排除B，取，则排除A．故选：C．先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题4.答案：A解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，可得，，．故选：A．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量与夹角．本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中档题．【解答】解：两个非零向量，满足，如图，设，，则，，则四边形OACB为矩形，．设向量与夹角为，则，，，，故选：A．6.答案：D解析：解：选项A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，所以命题“”为假命题，即A错误；选项B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，即B错误；选项C，例如，当时，函数，是奇函数，即C错误；选项D，，所以其图象关于直线对称，即D正确．故选：D．A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，根据复合命题中“”命题一假则假的原则，所以命题“”为假命题；B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到；C ，举特例，当时，函数，是奇函数；D ，把代入函数解析式中计算其结果是否为1或，由于，所以其图象关于直线对称．本题考查命题的真假判断，主要包含复合命题的真假判断、正弦函数的性质及图象变换，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体．所以几何体的外接球的半径设为r，则：，解得，所以，故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：因为，所以点A，B，F共线，所以直线经过抛物线的焦点，所以，因为抛物线的准线为，所以得，即因为，所以，所以，解得，将点A的坐标代入抛物线方程得：，解得，所以．故选：B．因为，所以点A，B，F共线，即直线经过抛物线的焦点，得，联立得，因为，所以，解得A坐标，将点A的坐标代入抛物线方程解得，进而得出结论．本题考查直线与抛物线方程，向量问题，属于中档题．9.答案：B解析：解：当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又函数在上是单调函数，，解得．故选：B．先利用导数与函数单调性的关系可知，当时，单调递增，于是在R上单调递增，还需要满足，解之即可得a的取值范围．本题考查分段函数的单调性，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，的图象关于原点对称，，．令，可得的最小值为，故选：A．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数奇偶性的应用，属于难题．根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，然后将不等式变形转化可得关于x的不等式组，求解得答案．【解答】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，由，得或，解可得：或，则x的取值范围是．故选：C．12.答案：D解析：解：设，根据双曲线的定义可知：，即，且，即，所以，则，在中，，整理得，所以，则，所以渐近线方程为，故选：D．设，利用双曲线定义，可得，，利用余弦定理可得，进而得到a，b关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线求法，余弦定理，整体思想，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由得：，将直线向上平移，可知当直线经过点时，的截距取得最大值，z的最大值，，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，由得：，将直线向上平移，结合图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：11解析：解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20，即，解得；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即，解得．故；故答案为：11．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出m、n的值．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题目．15.答案：解析：解：，，，由正弦定理可得：，，，可得，或，若，由于，可得，可得舍去，，可得，可得：，，，，由，可得，由余弦定理可得．故答案为：．由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键，属于难题．16.答案：解析：解：，，，，；；；；；；；故答案为：．根据递推关系式得到；再利用累加法即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及累加法的应用，属于中档题目．17.答案：解：由，得，，所以．．由，得，．所以数列的前n项和．解析：利用已知条件推出数列的公比，然后求解数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：因为，所以有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；根据分层抽样方法得，男生有人，女生有2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人；设抽取的6名男生分别为A，B，C，D，E，F；2名女生为a，b；从中抽取两人，分别记为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情形；其中2男的共15种情形，所以所求的概率值为．解析：根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；根据分层抽样法求得男生、女生抽取人数；利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：由题意，，，则，又侧面底面ABCD，面面，面PAB，面ABCD．面ABCD，则，又，ABCD为平行四边形，则，又，则为等边三角形，可得ABCD为菱形，则．又，面PAC；Ⅱ解：由，得M为PB中点，由Ⅰ知，ABCD为菱形，又，，．又面ABCD，且，．解析：Ⅰ由题意，，得到，再由平面与平面垂直的性质可得面ABCD，从而得到，结合已知条件证明ABCD为菱形，则由直线与平面垂直的判定可得面PAC；Ⅱ由，得M为PB中点，然后利用求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题易知的半径，圆的半径，又椭圆与、同时相切，则，则C：．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意，斜率不为0时，设l：，原点到l的距离．则，由，可得：，设，由根与系数的关系得：，，，将代入得，令则，在上单调递增，则，即时，．解析：Ⅰ利用已知条件求出椭圆的长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意；斜率不为0时，设l：，通过原点到l的距离则，由，，设，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，是难题．21.答案：解：依题意知的定义域为，当时，，，令，解得则单调递增，，单调递减．所以当时函数取得极小值，且极小值为，当时函数取得极大值，且极大值为．由，可得，又，所以，．令，则，由，得；由，得，在区间上是增函数，在区间上是减函数．当时函数有最大值，且最大值为，又，当时，方程在区间上有两个实数解．实数m的取值范围为．解析：当把代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值的关系即可求解；由，可得，构造函数，然后对函数求导，结合导数可分析函数的性质，进而可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用分离法求解参数范围问题，构造函数并利用导数知识是求解问题的关键．22.答案：解：Ⅰ直线l的参数方程为：为参数，转换为曲线的普通方程为：，曲线：根据整理得普通方程为：；Ⅱ将为参数代入：化简整理得：，设A、B两点对应的参数分别为、，则恒成立，，，，所以：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：Ⅰ当时，，原不等式等价于或或，解得：或无解或，所以，的解集为分Ⅱ，．则所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，．因为对任意恒成立，所以．又因为，所以，解得不合题意．所以m的最小值为分解析：Ⅰ通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。
2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷（文科）（三模）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I.(5 分)已知集合A = {1, 2, 4, 8}, 3={)*=log 小.正A},则 AC1B=(A. {1, 2}B. {0, 1, 2, 3}C. {L 2, 3}D. {().3}【解答】解：A = {1, 2, 4, 8}, B={0,1, 2, 3}；•.•AC8={1, 2).故选：2.（5分）己知复数z 满足（2・D z=l+2/3为虚数单位），则z 的虚部为（A. 1B. - 1C. 0D. /)【解答】解：由（2・i ） z=l+2nl+2i (l+20(2+i) Si 得2 =打=(2r)(2+i) =5='则Z 的虚部为1.故选：A.3.（5分）函数y=A- - 2lr, （.veR ）的部分图象可能是（【解答】解：显然原函数是偶函数，立即排除D.取x=0,则），排除A・故选：C.4.（5分）在△A8C 中，角A, B, C 所对的边分别为s b 9c 若=c ・ bcosA .则7T A.—67T B.-47T c.—3n D・—12【解答】解:•/v ；3</sinB=c - bcos4,角B 等于（)由正弦定理可得：V^sia4sinB=sinC - sinFcosA./. V3sia4sinB+sinBco5i4 = sinC,VsinC=s in(A+B)=sin/lcosB+coSsinB,/.V3sin4sin5=siMcosB，VsinA^O..•.V5sinB=cos8，可得taiiB=孕,VBE(0.n).••・b=m故选：5.（5分）两个非零向量b满足诺+刎=福一州=2局,则向量b与，方夹角为（5 A.一7T6nB.-62C.-7T3nD.-3【解答】解：•.•两个非零向量"，E满足馈+；1=苻一；1=2赤如图.设OA=a.OB=b.贝lj OC=a+b9BA=a—b9则四边形OAC8为矩形BA=2OA.OB=yj^OA.设向量b与a-b夹角为S则NOBA=n・。
2020年郑州市高三三测数学文科试题及参考答案
2020 年郑州市高三三测数学文科试题
评分参考
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C A A D B B B A D B
二、填空题
13. 8 ； 14.11； 15. 6 ； 16. − 3 . 17
三、解答题
17．（1）由 a1
=
1 4
所以 m 的最小值为 1．……………………………………………10 分
7 读万卷书 行万里路
，………8
分
= 1 1−1+1−1+⋯+ 1 − 1 = 1 1− 1 =
3
447
32 31 3
31 3
1.12 分
1
读万卷书 行万里路
旗开得胜
18．（1）因为 K2 = 150(30 × 60 − 40 × 20)2 ≈ 5.357 > 5.024. ，……………2 分 100× 50×80× 70
所以有 97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3 分
（2）（i）根据分层抽样方法得，男生8× 3 = 6 人，女生 2 人， 4
所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.……………5 分
（ii）设抽取的6名男生分别为 A, B,C, D, E, F ，2 名女生为 a,b ；
从中抽取两人，分别记为( , )， (A,C),(A, D),(A, E),(A, F) , (A, a),( A,b) ,( , ),
∴所以当 x = 1 时函数 f (x) 取得极小值，且极小值为 f (1) = −3 ，
旗开得胜
当 x = 1 时函数 f (x) 取得极大值，且极大值为 f (1) = − ln 4 − 9 ． …………5 分
河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)解析版
中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2， ），则该双曲线
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D. 3
5. 同时具有性质“①最小正周期是 π；②图象关于（ ，0）对称；③在[0， ]上是增
函数”的一个函数可以是（ ）
（x）=loga（ax+t）（a＞0 且 a≠1）是“半保值函数”，则正实数 t 的取值范围是（ ）
A. （0， ]
B. （0， ）
C. （0，+∞）
D. （ ，+∞）
12. 已知椭圆 C1：
（a＞b＞0）与双曲线 C2：
有公共焦点，C2 的一
条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 C1 恰好将线段 AB 三等 分，则（ ）
（2）对数据作出如下处理：令 ui=lnxi，vi=lnyi，得到相关统计量的值如表：
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中
e=2.71828…），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一 年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu
的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =
， =- ．
第 3 页，共 16 页
20. 已知抛物线 y2=-2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（-2，m）在抛物线上， 且|MF|= ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA， MB 的斜率分别为 k1，k2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当 k1+k2=-2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
【精准解析】河南省郑州市2020届高三第三次质量预测数学(文)试题
右两支分别交于点 A，B，若 ABF1 为等边三角形，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
A. y 7x
B. y 6x
C. y 2 2x
D.
y 2 7x,
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据双曲线的定义得到 BF2 2a ， AB AF1 BF1 4a ， 进而得到 AF2 AB BF2 6a ，再利用余弦定理得到 c2 7a2 ，再求渐近线方程即可.
a
的取值范围是
（）
A. 1,
B. 1,3
C.
1 2
,1
D. 1, 2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数可知函数 y f x 在区间 0, 上为增函数，由此可知该函数在区间 , 0 上也
为增函数，且有 3a 2 e0 2a ，进而可得出关于 a 的不等式组，即可解得实数 a 的取值范
围.
【详解】
f
x
e x
a
x 2a, x 0
1 x 3a 2,
x
，当
0
x
0 时，
f
x
ex
1
0，
所以，函数 y f x 在区间 0, 上为增函数，
由于该函数在 -,+ 上是单调函数，则该函数在 -,+ 上为增函数，
-6-
a 1 0 所以 3a 2 e0 2a ，解得1 < a £ 3 .
7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接
球的体积为（
）
A. 6
【答案】B
B. 8 6
C. 32 3 π
D. 64 6
-4-
【解析】 【分析】 根据三视图得到三棱锥是从长为 4，宽为 2，高为 2 的长方体中截取而来，其外接球即为长方 体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=ln(x−1)}，B={0,1，2，3}，则A∩B=()A. {0}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2.若z=−2+3ii(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A. 2iB. −2iC. −2D. 23.函数e|x|3x的部分图象可能是()A. B.C. D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A=bsin A，且B>π2，则sin A+sin C 的最大值是()A. √2B. 98C. 1 D. 785.已知|a⃗|=1,|b|=6,a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=2则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π2B. π3C. π4D. π66.下列说法正确的是()A. “f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B. 若p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则¬p：∀x∈R，x2−x−1<0C. “若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”D. 若p∧q为假命题，则p,q均为假命题7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2√5+4√2+10B. 43 C. 83D. 1638. 已知直线y =kx +m(k >0)与抛物线C ：y 2=4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 等于( ) A. −√2 B. −2√2 C. −2√3 D. −2√69. 函数f(x)={ax 2+1,x ≥0(a +2)e ax ,x <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (−2,0)D. (−∞,−2)10. 将函数的图象向右平移π6个单位长度可得函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π611. 函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x ∈R ，都有2f′(x)>f(x)成立，则( )A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定12. 如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线分别交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为( )A. ±√3B. ±2C. ±√6D. ±√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{1≤x +y ≤2x ≥0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为______ ．14. 如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a ，乙加工零件个数的平均数为b ，则a +b =______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA =13，a =√2，b =√32，则sinB =______ 16. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，则a 3+a 4=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的首项为a 1=1，且a n+1=2(a n +1)(n ∈N ∗)．(Ⅰ)证明数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =log 2(a n+1+23)，求数列{1bn b n+1}的前n 项和T n ．18. 进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220 (Ⅰ)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；(Ⅱ)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.100.050.0100.0050.001 k 2.706 3..841 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥A−BCDE中，侧面ABC⊥底面BCDE，△ABC是等边三角形，BE//CD，BC⊥CD，BC=CD=2BE=2，F是棱AD的中点．(1)证明：EF⊥平面ACD；(2)求三棱锥D−ACE的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆经过点M(−√2,1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f(x)=ln(x+a)−x2−x在x=0处取得极值．(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)=−52x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−4|+a|x+1|，a>0．(1)若a=1，求关于x的不等式f(x)≤7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥3恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|x>1}；∴A∩B={2,3}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵z=−2+3ii =(−2+3i)(−i)−i2=3+2i，∴复数z的虚部是2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的解析式，利用函数图象的特点进行排除是解决本题的关键．属于中档题.根据函数解析式，分别从对称性，单调性以及函数取值进行排除即可．解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=e3<1，排除A，当x→+∞时，e|x|3x→+∞，排除D，故选：C．4.答案：B解析：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用正弦定理求出C的大小是解决本题的关键．根据正弦定理求出角B和A的关系，利用辅助角公式即可得到结论．解：∵acosA=bsinA，∴由正弦定理可得sinAcosA=sinBsinA,∴cosA=sinB,∴A=B−π2,C=3π2−2B，∴sinA+sinC=sin(B−π2)+sin(3π2−2B)=−2cos2B−cosB+1,当cosB=−14,(sinA+sinC)max=98，故选B．5.答案：B解析：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于基础题．由条件求得a⃗⋅b⃗ =3，再由cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，求得向量a⃗与b⃗ 的夹角．解：由于a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=a⃗⋅b⃗ −a⃗2=2，所以a⃗⋅b⃗ =3，所以cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，所以<a⃗,b⃗ >=π3，故选B．6.答案：C解析：本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．根据充分必要条件、复合命题、含量词命题的真假判断对选项中的命题分析、判断正误即可．解：A.f(0)=0时，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)=x2，x∈R；函数f(x)是奇函数时，f(0)不一定等于0，如f(x)=1x，x≠0；是既不充分也不必要条件，故A错误；B.命题p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则￢p：∀x∈R，x2−x−1≤0，故B错误；C.若α=π6，则sinα=12的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”，故C正确．。
2020年河南郑州高三三模数学试卷
则 容易分析出 则当
；
在
，
时，
单调递增， ，
单调递减，
这里需要求
和
的取值范围．
由上面分析可得
，则
，
）， ，
，
，
16
设
，
，
；
易知
在
上单调递增，
，则
，
∴
，
同理
，
，
由上面分析
在
单调递减，且
时，
，
∴
，
∴
．
综上：
．
22.（ 1 ）
；
．
（2） ． 解析: （1）
由①得
② ①， ，
由②得
，
，
， ； ，
，
，
令
，
，
，
∴平面
平面 ．
（ 2 ）∵
，
平面
，
∴
平面
，
∵
和
均为等腰直角三角形，且
，
∴
，
∴
，又
平面
，
∴
平面
，
∵
，
∴平面
平面
．
延长 到点 ，使得
，又
，
连 、 ，易证
是平行四边形，
∴
，
∴
是平行四边形，
∴
，
过点 作 的平行线，交 于点 ，
即
，（
平面
），
14
∴
平面
，即此点 为所求的 点，
又
，
∴
，
又
，
．
20.（ 1 ） （2）
某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月 个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，
2020年6月郑州市三测试文科数学试题答案
2020年郑州市高三三测数学文科试题评分参考一、选择题二、填空题13. 8 ； 14.11； 15.6； 16.3.17- 三、解答题 17．（1）由2561,4141==a a ，得41,641143=∴==q a a q ，所以n n a )41(=.……………2分 23)41(log 324-=--=n b n n .……………………………………5分由（1），得)131231(31)13)(23(111+--=+-==+n n n n b b c n n n ，………8分 S n =13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1.12分18．（1）因为.024.5357.5708050100)20406030(150K 22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=，……………2分 所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3分 （2）（i ）根据分层抽样方法得，男生6438=⨯人，女生2人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.……………5分 （ii ）设抽取的6名男生分别为F E D C B A ,,,,,，2名女生为b a ,；从中抽取两人，分别记为(A,B)，),(),,(),,(),,(F A E A D A C A ,),(),,(b A a A ,(B,C),),(),,(),,(F B E B D B ,),(),,(b B a B ,),(),,(),,(),,(),,(b C a C F C E C D C ,),(),,(F D E D ,),(),,(b D a D ,),(),,(),,(b E a E F E ,),(),,(),,(b a b F a F 共28种情形，……………8分其中2男的共15种情形，……………10分 所以，所求概率2815=p .……………12分19．（1）证明：由题意222PB AB PA =+， 所以∠BAP =90°，则PA ⊥AB （……………2分又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ∩面ABCD =AB ，PA ⊂面PAB （ 则PA ⊥面ABCD.……………4分BD ⊂面ABCD ，则PA ⊥BD,又因为∠BCD =120∘，ABCD 为平行四边形， 则∠ABC =60∘，又AB =AC ，则ΔABC 为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD ⊥AC. 又PA ∩AC =A ，则BD ⊥面PAC.……………6分 （2）由ACD P PAC M V V --=21，则M`为PB 中点， 由AB =AC =2，∠BCD =120°，得BD =2√3.……………8分 由(I )知，,21PAB D PAB M AMB P V V V ---==……………10分11122233P ABD V -==⨯=……………12分 20.⑴由题易知C 1的半径r 1=√3，C 2圆的半径r 2=2.……………2分又∵椭圆与C 1、C 2同时相切，则212,a r b r ==⎧⎪⎨==⎪⎩……………4分则C ：x 24+y 23=1.……………5分⑵①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意.……………6分 ②l 斜率不为0时，设l ：x =my +n ， 原点到l 的距离d =√m 2+1=r 1=√3.则n 2=3m 2+3 (i )由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩……………7分可得：(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0， 设A (x 1,y 1) B (x 2,y 2)，由求根公式得: y 1+y 2=−6mn3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4，|AB |=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√48(3m 2−n 2+4)(3m 2+4)2，将(i )代入得|AB |=√m 2+14√33m +4=√3√2+1+12，……………9分令t =2+1则t ≥1，g (t )=3t +1t在[1，+∞)上单调递增，……………11分则t =1，即m =0时，|AB |max =√3.……………12分21.（1）依题意知f (x )的定义域为(0,+∞)，……………1分 当6=m 时，,52ln )(2x x x x f -+=（,)1)(14(541)(xx x x x x f --=-+='……………2分 令0)(=x f ，解得41,1==x x则当0<x <14或x >1时，f ′(x )>0,f (x )单调递增，……………3分当14<x <1时，f ′(x )<0，)(x f 单调递减．……………4分 （所以当1=x 时函数)(x f 取得极小值，且极小值为3)1(-=f ， 当41=x 时函数)(x f 取得极大值，且极大值为894ln )41(--=f ．…………5分 （2）由22)(x x f =，可得x m x )1(ln -=， 又x >0，所以lnx x=m −1，1ln +=∴xxm ．……………7分 令g (x )=1+lnx x(x >0)，则g ′(x )=1−lnx x 2，由g ′(x )≥0，得1≤x ≤e ；由g ′(x )≤0，得4≤≤x e ，……………8分 （ g (x )在区间[1,e]上是增函数，在区间]4,[e 上是减函数.（当x =e 时函数g (x )有最大值，且最大值为g (e )=1+1e ，……………9分又,22ln 1)4(g ,1)1(g +==……………10分 （ 当em 1122ln 1+<≤+时，方程在区间]4,1[上有两个实数解.……………11分 （实数m 的取值范围为em 1122ln 1+<≤+．……………12分 22.（（）曲线1C 的普通方程为：0sin cos sin =--θθθy x ,曲线2C 的普通方程为：13422=+y x ;………………………………………………5分 （（）将⎩⎨⎧θ=θ+=.sin t ,cos t 1:1y x C （t 为参数）代入2C ：13422=+y x 化简整理得：(sin 2θ+3)t 2+6tcosθ−9=0, 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则Δ=36cos 2θ+36(sin 2θ+3)=144>0恒成立， t 1+t 2=−6cosθsin 2θ+3,t 1t 2=−9sin 2θ+3，∴|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=12sin 2θ+3,∵sin 2θ∈[0,1] ∴|PA |+|PB |∈[3,4].……………………………………………10分 23.（1）当3=m 时，1213)(-++=x x x f ，原不等式4)(>x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<4531x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-422131x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>>4521x x （解得：54-<x 或无解或54>x （ 所以，4)(>x f 的解集为),54()54,(+∞--∞Y （………………………………………5分（2（02,02,211,20<->+<-∴<<m m m m Θ（则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+--<+-=-++=21,)2(,211,2)2(,1,)2(121)(x x m x m x m m x x m x mx x f所以函数)(x f 在)1,(m --∞上单调递减，在]21,1[m -上单调递减，在),21(+∞上单调递增． 所以当x =12时，f(x)取得最小值，21)21()(min m f x f +==（因为对任意m x f R x 23)(,≥∈恒成立，所以mm x f 2321)(min ≥+=.又因为0>m （所以0322≥-+m m （解得1≥m （3-≤m 不合题意）．所以m 的最小值为1．……………………………………………10分。
2020届河南省郑州市高考数学三模试卷(含解析)
2020届河南省郑州市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−1<x<1}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. ϕB. {x|0<x<1}C. {x|x<1}D. {x|x>0}2.若复数z1=1+2i与复数z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1z2=()A. 5B. −5C. 3D. −33.盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为A. B. C. D.4.抛物线y2=−4x的焦点恰好是双曲线x2m+ny2=1的实轴端点，又双曲线的离心率为2，则实数n的值为()A. 1B. 13C. −3 D. −135.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图，BC⊥x轴，DE⊥x轴，四边形BCDE的面积为4，CD=2√2，则()A. A=2，ω=π2，φ=π3B. A=2，ω=π2，φ=π6C. A=√2，ω=√24π，φ=π4D. A=√2，ω=√22π，φ=π46.在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 16AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AB⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗7.函数f(x)=x+sinx，x∈R()A. 是奇函数，但不是偶函数B. 是偶函数，但不是奇函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 既不是奇函数，又不是偶函数8. 若三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为8，过AB ，AC ，A 1B 1中点截去一个小的三棱柱，则剩下的几何体的体积为( )A. 1B. 4C. 6D. 79. 在等差数列{a n }中，a 1011=5，a 1+2a 4=9则a 2019=( )A. 9B. 8C. 7D. 610. 已知三个球的体积之比为1：8：8，则它们的表面积之比为( )A. 1：2：2B. 1：4：8C. 1：4：4D. 1：8：811. 判断下面两个计算结果的对错( )①已知lg(3x)+lgy =lg(x +y +1)，则xy 的最小值为1 ②已知a >b >0，ab =2，a 2+b 2a−b的最小值为4．A. ①对②对B. ①错②错C. ①对②错D. ①错②对12. 过点M(−1,1)作斜率为12的直线与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32 D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0，则z =|x −y|的最大值是______．14. 已知三棱锥P −ABC 三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC =2，则三棱锥P −ABC外接球的体积为______．15. 若数列{a n }满足，a 1=1且a n =2a n−1+1，则此数列的通项公式为______ ． 16. 设函数f(x)=sinx2+cosx ，若对所有x ≥0都有f(x)≤a ，则a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=cos(2x −π3)+2sin(x −π4)sin(x +π4)．(1)求函数y =f(x)的对称轴方程，并求在区间[−π12,π2]上的最值；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足c =√3，f(C)=1，且sinB =2sinA ，求a 、b 的值．18.如图，在六面体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD//平面A1B1C1D1，DD1//平面A1B1BA，DD1//平面B1BCC1．(1)证明：DD1//BB1；(2)已知六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，且BB1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，M，N分别为棱A1B1，B1C1的中点，求四面体D−MNB的体积．19.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(ab∈R)(1)若函数f(x)在x=1处有极值10，求b的值；(2)若对任意a∈[−4,+∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的取值范围．20. 已知点P(2,0)，抛物线y 2=4x ，过P 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于A ，B ，C ，D四点，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点． (Ⅰ)若k 1⋅k 2=−1，求△PMN 的面积的最小值； (Ⅱ)若k 1+k 2=1，求证：直线MN 过定点．21. 已知函数f(x)=alnx +1x ，a ∈R ．(Ⅰ)当a =1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)的极值；(Ⅲ)若y =f(x)在x =1时取得极值，设g(x)=f(x)−1x ，当0<x 1<x 2时，试比较g(x 2)−g(x 1)2与x 2−x 1x 2+x 1的大小，并说明理由．22. (选做题)直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为{x =4cosϕy =2sinϕ,(φ为参数)． (1)在极坐标系下，曲线C 与射线θ=π4和射线θ=−π4分别交于A ，B 两点，求△AOB 的面积；(2)在直角坐标系下，直线l 的参数方程为{x =6√2−2ty =t −√2(t 为参数)，求曲线C 与直线l 的交点坐标．23. 已知函数f(x)=2|x +1|+|2x −a|(x ∈R)．(1)当a >−2时，函数f(x)的最小值为4，求实数a 的值；(2)若对于任意，x ∈[−1,4]，不等式f(x)≥3x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合M={x|−1<x<1}，N={x|x>0}，∴M∩N={x|0<x<1}．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：由已知求得z2，再由复数代数形式的乘除运算求z1z2的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．解：∵复数z1=1+2i与复数z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴z2=−1+2i，则z1z2=(1+2i)(−1+2i)=−1+2i−2i−4=−5．故选：B．3.答案：C解析：试题分析：根据题意得：含有红色球的基本事件有9个，其中一红球、一黄球的基本事件有6个，由此结合古典概型的概率公式即可算出所求的概率．解：记红色球分别为a、b、c，黄色球分别为d、e，∵随机取出2个球，其中一个为红色，∴所有的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)共9个符合题意的基本事件为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)共6个因此，另一个为黄色的概率为：P=，故选：C考点：古典概型点评：本题给出摸球事件，求在其中一个为红色的情况下，另一个为黄色的概率．着重考查了等可能事件的概率及其求法等知识，属于基础题．4.答案：D解析：解：抛物线y2=−4x的焦点为(−1,0)，由题意可得a=1，则双曲线中的m=1，双曲线的离心率等于2，即有e=ca=2，解得c=2，m−1n =4，解得n=−13，故选：D．求出抛物线的焦点，可得m=1，运用离心率公式可得c=2，求得n，即可得到结果．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的离心率公式，考查运算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，(T2)2+A2=CD2=8，又A⋅T2=4，解得T2=A=2，∴T=4，∴ω=2π4=π2，又f(0)=2sinφ=1，∴sinφ=12，又|φ|<π2，∴φ=π6；综上，A=2，ω=π2，φ=π6．故选：B．根据函数f(x)的部分图象列方程组求出A、T2的值，再求出ω和φ的值．本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题．6.答案：D解析：本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．利用向量加法、减法的三角形法则，转化为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 解：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选D ．7.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性的判断，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题． 运用奇偶性的定义，首先求出定义域，再计算f(−x)，与f(x)比较，即可得到奇偶性． 解：函数f(x)=x +sinx 的定义域为R ， f(−x)=−x +sin(−x)=−x −sinx =−f(x)， 则f(x)为奇函数． 故选A ．8.答案：C解析：本题考查几何体的体积的求法，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．取AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点D 、E 、F 、G ，V ADE−A 1FG =S △ADE ×AA 1=14S △ABC ×AA 1 =14V ABC−A 1B 1C 1，由此能出剩下的几何体的体积．解：如图，取AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点D 、E 、F 、G ，∵三棱柱ABC−A1B1C1的体积为8，∴三棱柱ADE−A1FG的体积：V ADE−A1FG =S△ADE×AA1=14S△ABC×AA1=14V ABC−A1B1C1=2，∴剩下的几何体的体积为V=V ABC−A1B1C1−V ADE−A1FG=8−2=6．故选C．9.答案：C解析：解：数列{a n}是等差数列，a1011=a1+1010d=5，a1+2a4=3a1+6d=9，解得1008d=2，所以a2019=a1011+1008d=5+2=7．故选：C．因为数列{a n}为等差数列，且a1011=5，a1+2a4=9，将a1011和a1+2a4转化为a1和d的式子，解出1008d，再根据a2019=a1011+1008d可得．本题考查了等差数列的通项公式．整体代入是解决本题的技巧，否则运算量较大．本题属于基础题．10.答案：C解析：本题主要考查了球的表面积、半径、体积之比的关系，考查了学生的计算能力，属于基础题．首先通过三个球的体积之比求出半径之比，然后求出它们的表面积之比即可．解：因为三个球的体积之比为1：8：8，所以三个球的半径之比为1：2：2，因此三个球的表面积之比是1：4：4．故选：C．11.答案：A解析：解：对于①，∵lg(3x)+lgy=lg(x+y+1)，∴lg(3xy)=lg(x+y+1)，且x>0，y>0，则3xy=x+y+1，∵3xy=x+y+1≥2√xy+1，解得，即xy≥1.即xy的最小值为1，故①对；对于②，∵a>b>0，ab=2，∴a>√2>b>0．则令f(b)=a2+b2a−b =b4+42b−b3，则f′(b)=−(b 2+2)[b2−(4+2√3)][b2−(4−2√3)](2b−b3)2，令f′(b)=0，解得b2=4+2√3，b2=4−2√3，则b=√3−1，且当b∈(0,√3−1)时函数单调递减，b∈(√3−1,√2)时函数单调地增，因此在b=√3−1时函数f(b)取最小值，最小值f(√3−1)=4，故②对；故选：A．①先根据对称的运算性质化简得到3xy=x+y+1，再根据基本不等式即可求出答案．②a>b>0，ab=2，可得a>√2>b>0.则a2+b2a−b =b4+42b−b3=f(b)，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了对数函数基本性质，考查利用导数研究其单调性极值与最值，基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.答案：B解析：本题考查椭圆的性质和中点弦问题，考查学生的计算能力，属于中档题．利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为12，即可求出椭圆C的离心率．解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12a2+y12b2=1①，x22a2+y22b2=1②，∵M是线段AB的中点，∴x1+x22=−1，y1+y22=1，∵直线AB的方程是y=12(x+1)+1，∴y1−y2=12(x1−x2)，①②两式相减可得：x12−x22a2+y12−y22b2=0，∴(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，∴−2x1−x2a2+2y1−y2b2=0，∴−2x1−x2a2+2·12·(x1−x2)b2=0，∴−2a2+1b2=0，∴a=√2b，∴c=√a2−b2=b，∴e=ca =√22，故选B．13.答案：1解析：解：依题画出实数x，y满足{2x−y+1≥0x+y≥0x≤0，可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m=y−x，则m为直线l：y=x+m在y轴上的截距，由图知在点A(0,1)处m取最大值是1，在O(0,0)处最小值是0，所以m∈[0,1]，而z=|x−y|=|m|，所以z的最大值是1，故答案为：1．根据题意，作出实数x，y满足{2x−y+1≥0x+y≥0x≤0，的可行域，令m=y−x，分析可得m的取值范围，而z=|x−y|=|m|，分析可得z的最大值，即可得答案．本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域．14.答案：4√3π解析：解：三棱锥P−ABC三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，设外接球的半径为r，则4r2=4+4+4，解得r=√3，所以V=43⋅π⋅(√3)3=4√3π．故答案为：4√3π首先求出球的半径，进一步求出球的体积．本题考查的知识要点：球的半径和三条侧棱之间的关系，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：a n=2n−1解析：解：∵a n=2a n−1+1，∴a n+1=2(a n−1+1)，a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列根据等比数列的通项公式可得，a n+1=2⋅2n−1=2n即a n=2n−1故答案为：2n−1由a n=2a n−1+1，可得a n+1=2(a n−1+1)，a1+1=2，从而可得{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了构造特殊数列(等比数列、等差数列)这一知识点，属于基础题．16.答案：[√33,+∞)解析：解：f′(x)=cosx⋅(2+cosx)−sinx⋅(−sinx)(2+cosx)2=1+2cosx (2+cosx)2，f′(x)=0，cosx =−12，cosx <−12，f′(x)<0，cosx >−12，f′(x)>0，y =cosx 单调递减，所以f(x)先增后减，所以cosx =−12，sinx =√32时，f(x)最大， 所以f(x)≤√322−12=√33，所以的取值范围[√33,+∞)，故答案为：[√33,+∞)．求导，令导数为令求出极值点，由题意求出函数的最大值，进而求出a 的取值范围． 考查用导数求函数的最大值，使a 大于等于函数f(x)的最大值，属于中档题．17.答案：解：(1)f(x)=cos(2x −π3)+2sin(x −π4)sin(x +π4)=12cos2x +√32sin2x +2×√22(sinx −cosx)×√22(sinx +cosx)=12cos2x +√32sin2x −cos2x =sin(2x −π6)，∵2x −π6=kπ+π2，4分 ∴对称轴方程为：x =kπ2+π3， ∵x ∈[−π12,π2]，∴(2x −π6)∈[−π3,5π6]，f(x)在区间[−π12,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 所以，当x =π3时，f(x)取最大值 1 ，又 f(−π12)=−√32<f(π2)=12，当x =−π12时，f(x)取最小值−√32.(2)f(C)=sin(2C −π6)=1，∵0<C <π，0<2C <2π， ∴−π6<2C −π6<11π6，∴2C −π6=π2，C =π3， 因为sinB =2sinA ，所以由正弦定理得b =2a ，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcos π3，即c 2=a 2+b 2−ab =3， 解得：a =1，b =2．解析：本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用和差公式、倍角公式可得：f(x)=sin(2x−π6)，再利用三角函数的图象与性质即可得出．(2)f(C)=sin(2C−π6)=1，由于0<C<π，可得：−π6<2C−π6<11π6，可得C.因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．18.答案：证明：(1)∵DD1//平面A1B1BA，DD1⊂平面DD1A1A，平面DD1A1A∩平面A1B1BA=AA1，∴DD1//AA1．同理可得DD1//CC1，∴AA1//CC1，又AA1⊄平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴AA1//平面BCC1B1，又AA1⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴AA1//BB1，又DD1//AA1．∴DD1//BB1．(2)连接AC，BD交点为O，取OB的中点E，设D1B1交MN于F，连接EF，∵M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，∴B1F.//BE，∴BB1//EF，又BB1⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥D1B1，∵四边形A1B1C1D1是菱形，∴D1B1⊥A1C1，∴D1B1⊥平面MNE，∴DB⊥平面MNE．∵六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，BB1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，∴MN=12AC=√3，EF=2，BD=2，∴V D−MNB=V D−MNE+V B−MNE=13S△MNE⋅DE+13S△MNE⋅BE=13S△MNE⋅DB=13×12×√3×2×2=2√33．解析：(1)利用线面平行的性质可证DD 1//AA 1，DD 1//CC 1，于是可得AA 1//平面BCC 1B 1，再利用线面平行的性质得出AA 1//BB 1，从而由平行公理可得出DD 1//BB 1；(2)连接AC ，BD 交点为O ，取OB 的中点E ，设D 1B 1交MN 于F ，连接EF ，则可证DB ⊥平面MNE ，于是V D−MNB =V D−MNE +V B−MNE =13S △MNE ⋅DE +13S △MNE ⋅BE =13S △MNE ⋅DB ． 本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：(1)f′(x)=3x 2+2ax +b ，∵f(x)在x =1处有极值10，∴{1+a +b +a 2=103+2a +b =0解得{a =4b =−11或{a =−3b =3， 当a =4，b =−11时，f′(x)=3x 2+8x −11，其中△>0，所以函数有极值点， 当a =−3，b =3时，f′(x)=3(x −1)2≥0，所以函数无极值点， ∴b 的值为−11，a 的值为4；(2)解法一：f′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立， 则F(a)=2xa +3x 2+b ≥0对任意的a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立， ∵x ≥0，F(a)在a ∈[−4,+∞)单调递增或为常数函数，所以得F(a)min =F(−4)=−8x +3x 2+b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立， 即b ≥(−3x 2+8x)max ，又−3x 2+8x =−3(x −43)2+163≤163，当x =43时(−3x 2+8x)max =163，得b ≥163；解法二：f′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立 即b ≥−3x 2−2ax 对任意的a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立， 即b ≥(−3x 2−2ax)max .令F(x)=−3x 2−2ax =−3(x +a3)2+a 23，①当a ≥0时，F(x)max =0，∴b ≥0； ②当−4≤a <0时，F(x)max =a 23，∴b ≥a 23．又∵(a 23)max =163，∴b ≥163．解析：(1)先对函数求导f′(x)=3x 2+2ax +b ，由题意可得f(1)=10，f′(1)=0，结合导数存在的条件可求；(2)解法一：f′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立，构造关于a 的函数F(a)=2xa +3x 2+b ≥0对任意a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立，结合函数单调性可得F(a)min =F(−4)从而有b ≥(−3x 2+8x)max ，解法二：f′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥−3x 2−2ax 对任意的a ∈[−4,+∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(−3x 2−2ax)max ． 构造函数F(x)=−3x 2−2ax =−3(x +a3)2+a 23，结合二次函数的性质进行求解函数F(x)的最大值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用构造函数的思想把恒成立转化为求解函数的最值问题，要注意构造思想在解题中的应用．20.答案：解：(Ⅰ)∵k 1⋅k 2=−1，∴两直线互相垂直，设AB ：x =my +2，则CD ：x =−1m y +2， x =my +2代入y 2=4x ，得y 2−4my −8=0， 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8， ∴M(2m 2+2,2m)． 同理N(2m 2+2,−2m )，∴|PM|=2|m|⋅√m 2+1，|PN|=2m 2⋅√m 2+1， ∴S △PMN =12|PM||PN|=1|m|(m 2+1)=2(|m|+1|m|)≥4， 当且仅当m =±1时取等号， ∴△PMN 面积的最小值为4； (Ⅱ)证明：由题意知，k 1+k 2=1，不妨设AB 的斜率k 1=k ，则CD 的斜率k 2=1−k ，所以AB 的直线方程是：y =k(x −2)，CD 的直线方程是y =(1−k)(x −2)， 设A(x 1′,y 1′)，B(x 2′,y 2′)，由{y =k(x −2)y 2=4x 得，k 2x 2−(4k 2+4)x +4k 2=0， 则x 1′+x 2′=4+4k 2，x 1′x 2′=m 2，所以y1′+y2′=k(x1′−2)+k(x2′−2)=k(4+4k2)−4k=4k，因为M是AB的中点，所以点M(2+2k2,2k )，同理可得，点N(2+2(1−k)2,21−k)，所以直线MN的方程是：y−2k =2k−21−k2k2−2(1−k)2(x−2−2k)，化简得，y=(k−k2)(x−2)+2，令x=2，得y=2，所以直线MN过定点(2,2)．解析：本题主要考查抛物线的几何性质，直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．(Ⅰ)若k1⋅k2=−1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值；(Ⅱ)不妨设AB的斜率k1=k，求出CD的斜率k2=1−k，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线过的定点坐标．21.答案：解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=lnx+1x(x>0)，f(1)=1，f′(x)=1x −1x2=x−1x2，f′(1)=0，所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=1．(Ⅱ)由f(x)=alnx+1x (x>0)，得f′(x)=ax−1x2=ax−1x2(x>0)．①若a>0，当x∈(0,1a )时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1a)上单调递减；当x∈(1a ,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(1a,+∞)上单调递增．所以，当x=1a 时，f(x)有极小值f(1a)=a−alna，f(x)无极大值；②若a=0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)=−1x2<0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)无极值．③若a<0，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=ax−1x 2<0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)无极值．综上，当a >0时，f(x)有极小值f(1a )=a −alna ，f(x)无极大值； 当a ≤0时，f(x)无极值．(Ⅲ)由f′(x)=ax −1x 2，f′(1)=0，所以a =1． 由g(x)=f(x)−1x =lnx ， 所以g(x 2)−g(x 1)2−x 2−x 1x 2+x 1=lnx 2−lnx 12−x 2−x 1x 2+x 1=12lnx 2x 1−x 2x 1−1x 2x 1+1．又0<x 1<x 2，所以x 2x 1>1． 构造函数φ(x)=12lnx −x−1x+1， 则φ′(x)=12x −x+1−(x−1)(x+1)2=12x −2(x+1)2=(x−1)22x(x+1)2．当x >1时，φ′(x)=(x−1)22x(x+1)>0恒成立，所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增， 所以当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，即12lnx >x−1x+1， 所以12ln x 2x 1>x 2x 1−1x 2x 1+1成立，所以lnx 2−lnx 12>x 2−x 1x 2+x 1，即g(x 2)−g(x 1)2>x 2−x1x 2+x 1．解析：(Ⅰ)把a =1代入函数f(x)后，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；(Ⅱ)先对函数求导，然后结合导数与极值关系即可求解； (Ⅲ)结合题意作差g(x 2)−g(x 1)2−x 2−x1x 2+x 1，然后进行合理的变形后，构造函数，转化为求解函数的范围，结合导数可求．本题主要考查了利用导数求解曲线的切线方程及极值，灵活构造函数是求解(Ⅲ)的关键．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =4cosϕy =2sinϕ,(φ为参数)．消去参数得它的普通方程为：x 216+y 24=1，将其化成极坐标方程为：ρ2cos 2θ16+ρ2sin 2θ4=1，分别代入θ=π4和θ=−π4得|OA|2=|OB|2=325，因∠AOB =π2，故△AOB 的面积S =12|OA||OB|=165．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得(t −2√2)2=0， ∴t =2√2，代入l 的参数方程，得x =2√2，y =√2， ∴曲线C 与直线l 的交点坐标为(2√2,√2).解析：(1)先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 的值，再代入l 的参数方程，得曲线C 与直线l 的交点坐标．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 23.答案：解：(1)将函数分段为：f(x)={4x −a +2,x ≥a2a +2,−1<x <a2−4x +a −2,x ≤−1a ，∴当且仅当−1≤x ≤a2时，f(x)min =a +2， 由题意得a +2=4，即a =2．(2)当x ∈[−1,4]时f(x)≥3x 恒成立⇔|2x −a|≥x −2恒成立， 若−1≤x <2，不等式恒成立，此时a ∈R ；若2≤x ≤4，|2x −a|≥x −2⇔2x −a ≥x −2或2x −a ≤(x −2)， 即a ≤x +2或a ≥3x −2在x ∈[2,4]恒成立，所以a ≤4或a ≥10， 综上知，所求实数a 的取值范围是(−∞,4]∪[10,+∞)．解析：(1)求出函数的分段函数的形式，求出f(x)的最小值，得到关于a 的方程，解出即可；(2)问题等价于|2x −a|≥x −2恒成立，通过讨论x 的范围，求出a 的范围即可． 本题考查了分段函数问题，考查解不等式问题，是一道中档题．。