天津南开中学2020-2021学年上学期高一上册数学期中考试测试卷及答案
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷 (含答案)
高一数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，第一卷为1-8题，共40分，第二卷为9-20题，共110分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
本卷须知：答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
第一卷〔本卷共40分〕一．选择题：〔本大题共8题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．假设{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，那么A B ⋂=( )A.{}1,2B.{}0,1C.{}0,3D.{}32．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 〔 〕A 、41B 、1-C 、4D 、4-3．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，那么〔 〕A 、a b c << B.c b a << C 、c a b << D.b a c <<4．假设0<a ，那么函数1)1(--=xa y 的图象必过点 〔 〕A 、〔0，1〕 B.〔0，0〕 C.()0,1- D.()1,1- 5．假设()()12f x f x +=，那么()f x 等于〔 〕A 、 2x B. 2xC. 2x +D.2log x6．y ＝f (x)是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是〔 〕A. 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩B. 302x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎭⎩C. 350,022x x x ⎧⎫-<<≤<⎨⎬⎭⎩或 D. 35,022x x x ⎧⎫<-≤<⎨⎬⎭⎩或 7. 某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，那么消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).假设顾客购买一件标价为1000元的商品，那么所能得到的优惠额为〔 〕A 、130元 B.330元 C.360元 D.800元8.设方程 xx lg 2=-的两个根为21,x x ，那么〔 〕A. 021<x x B .121=x x C .121>x x D. 1021<<x x 第二卷〔本卷共计110分〕【二】填空题：〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕9．函数y =10．函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，那么[(2)]f f -的值为 ． 11.假设函数()()()3122+-+-=x k x k x f 是偶函数，那么f(x)的递减区间是 。
天津市部分区2020-2021学年高一第一学期期中练习数学试卷
天津市部分区2020－－2021学年度第一学期期中练习高一数学一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}{1,2,3A =，}{21,B y y x x A ==-∈，则 A B =（ ） A.}{1,3 B.}{1,2C.}{2,3 D.}{1,2,3 2. 下列函数中是奇函数的为（ ） A.()21f x x =+ B.()2f x x x=+C.()2f x x x =+D.()21f x x =+ 3. 设x R ∈,则“}{20x x x ∈-≥”是“}{02x x x ∈≤≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 一元二次不等式20x px q ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则p q +=（ ）A.16-B.13-C. 0D.1 5. 命题“2,320x R x x ∃∈++≤”的否定是（ ） A. 2,320x R x x ∀∈++≥ B.2,320x R x x ∃∉++≤ C.2,320x R x x ∀∈++≤ D.2,320x R x x ∃∈++> 6. 下列函数中，在区间(),-∞+∞上是增函数的是（ ）A. ()32f x x =--B.()1f x x =-C.()1f x x x=+ D.()3f x x =7. 下列不等式中成立的是（ ）A. 220a b ac bc >>⇒>B.110a b a b<<⇒< C.220a b a ab b <<⇒<< D.220a b a b >>⇒> 8. 函数()1211y x x x =+>-的最小值是（ ）A.4B.2C.2D. 9. 已知函数(){(4),0,(4),0,x x x x x x f x +≥-≤=若()5f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,1- B.[]5,5- C.(,1][1,)-∞-+∞ D.(,5][5,)-∞-+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分10. 已知全集}{1,2,3,4,5,6U =，集合}{2,3,5A =，}{1,3,4,6B =， 则U A C B =11. 函数y =的定义域为 12. 函数22,[0,2]y x x x =-∈的值域为13. 已知函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()3f = 14. 二次函数()231f x x mx =-+在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m 的取值范围是15. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2+1f x x x =-，则()()1f f -＝三、解答题：本大题共5小题，共60分。
2020-2021学年天津市第二南开学校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市第二南开学校高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5}，集合M ={0,3，5}，N ={1,4，5}，则集合M ∪(∁U N)=( )A. {5}B. {0,3}C. {0,2，3，5}D. {0,1，3，4，5}2. 设a ∈R ，则“a ≥2”是“a 2−3a +2≥0”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3. 设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则￢p 为( )A. ∀n ∈N ，n 2>2nB. ∃n ∈N ，n 2≤2nC. ∀n ∈N ，n 2≤2nD. ∃n ∈N ，n 2=2n4. 下列函数中，与函数y =x +1是同一个函数的是( )A. y =(√x +1)2B. y =√x 33+1C. y =x 2x+1D. y =√x 2+15. 已知函数y =f(x +1)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]6. 已知函数f(x)在[−5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(−4)<f(−2)，则下列不等式一定成立的是( )A. f(−1)<f(3)B. f(2)<f(3)C. f(−3)<f(5)D. f(0)>f(1)7. 已知函数f(x)是定义在区间[−a,a](a >0)上的奇函数，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的最大值与最小值之和为( )A. 0B. 1C. 2019D. 40388. 已知f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 若函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 函数y =−x 2+4x +3，x ∈[0,3]的单调递增区间是______．11. 已知a ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a 2019+b 2019=______． 12. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2+1，则f(−2)+f(0)=______． 13. 函数y =3x+1x−2的值域为______ ．14. 若对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ．15. 已知f(x)={12x +1,x ≤0−(x −1)2,x >0，使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）16. 根据定义证明函数f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增．17. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x x 2+2；(2)f(x)=√1+x +√1−x ．18. 根据所给条件，分别求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x +1)=x 2−2x ，求f(x)的解析式；(2)若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，求函数f(x)的解析式．19.已知函数f(x)=x2+2ax−1．(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(3)若f(x)在(−∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围．20.设函数f(x)=x+a，x∈[0,+∞)x+1(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U={0,1，2，3，4，5}，集合M={0,3，5}，N={l,4，5}，∴∁U N={0,2，3}，则M∪(∁U N)={0,2，3，5}．故选C由全集U以及N，求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由a2−3a+2≥0，得a≤1或a≥2．即由a≥2可得a2−3a+2≥0，反之不一定成立．故“a≥2”是“a2−3a+2≥0”的充分非必要条件．故选：A．求解一元二次不等式，再结合充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结论．【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p：∀n∈N，n2≤2n，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数．【解答】解：对于A，函数y=(√x+1)2=x+1的定义域为{x|x≥−1}，和y=x+1(∈R)的定义域不同，不是同一函数；3+1=x+1的定义域为R，和y=x+1的定义域相同，对应法则对于B，函数y=√x3也相同，是同一函数；+1=x+1的定义域为{x|x≠0}，和y=x+1的定义域不同，不对于C，函数y=x2x是同一函数；对于D，函数y=√x2+1=|x|+1的定义域为R，和y=x+1的对应法则不相同，不是同一函数．故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求解y=f[g(x)]的定义域，只要让g(x)∈[a,b]，求解x即可．根据题目给出的函数y=f(x+1)定义域，求出函数y=f(x)的定义域，然后由2x−1在f(x)的定义域内求解x即可得到函数y=f(2x−1)定义域．【解答】解：∵函数y=f(x+1)定义域为[−2,3]，∴x∈[−2,3]，则x+1∈[−1,4]，即函数f(x)的定义域为[−1,4]，再由−1≤2x−1≤4，得：0≤x≤5，2].∴函数y=f(2x−1)的定义域为[0,52故选：A．6.【答案】D【解析】解：由题意可得，函数f(x)在[−5,0]上也是单调函数，再根据f(−4)<f(−2)，可得函数f(x)在[−5,0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)>f(1)，故选：D．由条件判断函数在[0,5]上是单调减函数，可得f(0)>f(1)，从而得出结论．本题主要考查偶函数的单调性规律，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在区间[−a,a](a>0)上的奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的图象关于点(0,2019)对称，即f(x)+f(−x)=2019×2=4038，则g(x)的最大值与最小值之和为4038，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f(x)的图象关于原点对称，即可得g(x)的图象关于点(0,2019)对称，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题可先由函数奇偶性得到函数解析式满足的条件，再化简原不等式，利用函数单调性得到自变量的大小关系，解不等式，得到本题结论．本题考查了函数的奇偶性、单调性和定义域，本题难度不大，属于基础题．【解答】∵f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，∴−1<x<1，f(−x)=−f(x)．∵f(x)是减函数，∴f(m−2)+f(2m−3)>0可转化为f(m−2)>−f(2m−3)，∴f(m −2)>f(−2m +3)， ∴{−1<m −2<1−1<2m −3<1m −2<−2m +3， ∴1<m <53..故选A ．9.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=2|x −a|+3={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，∵函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调， ∴a >1．∴a 的取值范围是(1,+∞)． 故选：B ．求出函数f(x)={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，由函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，能求出a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查单调性等基础知识，是基础题．10.【答案】[0,2]【解析】解：根据二次函数的性质可知，y =−x 2+4x +3的开口向下，对称轴x =2， 所以x ∈[0,3]的单调递增区间[0,2]． 故答案为：[0,2]由已知结合二次函数的性质即可直接求解．本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．11.【答案】−1【解析】解：∵{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}， ∴b =0，∴{a,0，1}={a 2，a ，0}， 则1=a 2，解得，a =−1或a =1(舍去)．则a2019+b2019=−1．故答案为：−1．由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a，可求a2019+b2019．本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，是基础题．12.【答案】−5【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，函数的概念，是一道典型的计算题，属于基础题．本题利用奇函数的定义，和函数解析式求解函数值．【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又∵当x>0时，f(x)=x2+1，∴f(−2)+f(0)=−f(2)+f(0)=−4−1+0=−5，故答案为：−5．13.【答案】{y∈R|y≠3}【解析】分离常数法：解：化简函数y=3x+1x−2=3(x−2)+7x−2=3+7x−2∵7x−2≠0∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}反函数法：解：化简函数：y=3x+1x−2⇔y(x−2)=3x+1⇔x(y−3)=1+2y⇔x=1+2yy−3分式中分母不等于0，∴y≠3所以：{y ∈R|y ≠3} 故答案为：{y ∈R|y ≠3}当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．14.【答案】[15,+∞)【解析】 【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，不等式恒成立问题，属于中档题． 根据x +1x ≥2，代入x x 2+3x+1中求得x x 2+3x+1的最大值为15，进而a 的范围可得． 【解答】 解：∵x >0，∴x +1x ≥2(当且仅当x =1时取等号)，∴xx 2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15，当且仅当x =1时取等号， 即xx 2+3x+1的最大值为15，因为对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立， 所以a ≥15， 故答案为[15,+∞)．15.【答案】[−4,2]【解析】解：∵f(x)≥−1， ∴{x ≤012x +1≥−1或{x >0−(x −1)2≥−1∴−4≤x ≤0或0<x ≤2， 即−4≤x ≤2．∴使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是[−4,2]， 故答案为：[−4,2]．此是一分段函数型不等式，解此类不等式应在不同的区间上分类求解，最后再求它们的并集．本题考点是分段函数，是考查解分段函数型的不等式，此类题的求解应根据函数的特点分段求解，最后再求各段上符合条件的集合的并集．16.【答案】证明：任取2<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(1−4x 1x 2)=(x 1−x 2)x 1x 2−4x 1x 2<0，∴f(x 1)<f(x 2)，故f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增【解析】先设2<x 1<x 2，然后根据作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断． 本题主要考查了函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于基础试题．17.【答案】解：(1)f(x)=xx 2+2，其定义域为R ，有f(−x)=−xx 2+2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，(2)f(x)=√1+x +√1−x ，有{1+x ≥01−x ≥0，则有−1≤x ≤1，即函数的定义域为[−1,1]，关于原点对称，f(−x)=√1−x +√1+x =f(x)， 则f(x)是偶函数．【解析】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题． (1)分析可知函数的定义域为R ，结合f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性; (2)由函数的解析式可知x 满足{1+x ≥01−x ≥0，求解科的函数的定义域，根据f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性．18.【答案】解：(1)令x +1=t ，则x =t −1，∴f(t)=(t −1)2−2(t −1)=t 2−4t −1，∴f(x)=x 2−4x −1；(2)∵f(x)是奇函数∴f(−x)=−f(x)对任意的x 都成立，∴f(0)=0，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，∴设x >0，则−x <0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)−2=−x 2−2x −2=−f(x)， ∴x >0时，f(x)=x 2+2x +2，∴f(x)={x 2+2x +2,x >00,x =0−x 2+2x −2,x <0．【解析】(1)利用换元法即可求出函数的解析式．(2)设x >0时，−x <0，利用f(x)=−f(−x)可求f(x)．本题考查了函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．19.【答案】(12分)解：(1)由题可知，f(1)=1+2a −1=2，即a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2≥−2，故当x =−1时，函数f(x)min =−2．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=(−x)2+2a(−x)−1=f(x)=x 2+2ax −1，即4ax =0，故a =0．(3)函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数， ∴4≤−a ，即a ≤−4，故实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)由f(1)=2，解得a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2，由此可得函数f(x)的最小值．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，由此求得实数a 的值．(3)由于函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，可得4≤−a ，由此求得实数a 的取值范围本题主要考查二次函数的性质应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1，当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f(x)min=2√2−1．(2)当0<a<1时，任取0≤x1<x2，f(x1)−f(x2)=(x1−x2)[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0<a<1，(x1+1)(x2+1)>1，∴1−a(x1+1)(x2+1)>0，∵x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在[0,+∞)上为增函数，∴f(x)min=f(0)=a．【解析】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．(1)当a=2时，将函数f(x)变形，然后利用基本不等式即可求出函数f(x)的最小值；(2)先任取0≤x1<x2，然后作差f(x1)−f(x2)，判定其符号即可判定函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，从而求出函数的最小值．。
天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试卷 Word版含解析
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期开学考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设全集U =R ，已知集合{}2|20A x x x =-->，{}1,0,1,2,3B =-，则()UA B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B.1,0,1,2C. {}1,1-D. {}1,2-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 以及集合A 的补集UA ，再根据集合的交集运算即可求出．【详解】因为(){}{(1)202A x x x x x =+-=或}1x <-，所以{}U1|2A x x -=≤≤，即有(){}U1,0,1,2A B ⋂=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题． 2. 已知集合{}23A x x =-≤≤，集合B 满足A B A =，则B 可能为（ ）A. {}13x x -<≤B. {}23x x -<<C. {}32x x -≤≤D.{}33x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】 根据AB A =得到，A 是B 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为集合B 满足AB A =，所以A B ⊆，又{}23A x x =-≤≤，A 选项，{}13x x -<≤显然是集合A 的子集，不满足题意，排除； B 选项，{}23x x -<<显然是集合A 的子集，不满足题意，，排除；C 选项，{}32x x -≤≤不是集合A 的子集，且A 也不是{}32x x -≤≤的子集，不满足题意，D 选项，{}33x x -≤≤包含集合A ，故满足题意，正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型. 3. “x y <”是“x y <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】利用取特殊值法判断即可.【详解】取特殊值代入，当4,0x y =-=时，满足x y <但x y >，所以不充分； 当x 1,y 2==-时，满足x y <，但x y >，所以不必要； 故“x y <”是“x y <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题． 4. 已知全集R ，设集合{}2430P x x x =-+≤，{}240Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A {}23x x ≤≤B. {}13x x <<C. {}23x x <≤D.{2x x ≤-或}1x ≥【答案】D 【解析】 【分析】先求出{}13P x x =≤≤，再求出R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，最后求()RPQ 即可.【详解】解：因为{}2430P x x x =-+≤，所以{}13P x x =≤≤， 因为{}240Q x x =-<，所以{}22Q x x =-<<，则R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，所以(){R2P Q x x ⋃=≤-或}1x ≥，【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.5. 命题“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为（）A. ∀a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立B. ∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立C. ∃a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立D. ∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立【答案】D【解析】【分析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.【详解】“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为：∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立.故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.6. 二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，对称轴是直线1x=.下列结论：①0abc<；②30a c+>；③()220a c b+-<.其中结论正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ， 图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <， 又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <， 所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -， 又12ba-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-， 又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题. 7. 已知集合{}1A x x =≥-，1212B x a x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥B. 23a ≥C. 0a ≥D.203a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为{}1A x x =≥-，1212B xa x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭， 若A B ⋂≠∅，则只需211a -≥-，解得0a ≥【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.8. 在平面直角坐标系中，先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A. 223y x x =-+-B. 2y x 2x 3=-++C. 223y x x =--+D.223y x x =++【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称得到解析式为2y x 2x 3=-++，再将抛物线关于y 轴作轴对称得到解析式为223y x x =--+，最后给出答案即可.【详解】解：先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，得到2[()2()3]y x x =--+--，整理得2y x 2x 3=-++；再将抛物线2y x 2x 3=-++关于y 轴作轴对称变换，得到2()2()3y x x =--+-+，整理得223y x x =--+；所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为223y x x =--+. 故选：C【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.9. 菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==段AP 的长为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断点P在对角线AC上，再分“点P在线段OA上”和“点P在线段OC上”两种情况讨论分别求线段AP的长.【详解】解：因为点P是菱形内一点，且23 PB PD==，所以点P在对角线AC上，设对角线AC与BD的交点为O，所以点P可能在线段OA上，也有可能在线段OC上，①当点P在线段OA上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA=，又因为23PD=，在Rt PDO△中，223OP PD OD=-=，此时23AP=，②当点P在线段OC上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA =又因为23PD=Rt PDO△中，223OP PD OD=-，此时3AP=故选：D.【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.10. 设集合{}1,3,5,6,9M=，1S，2S，，kS都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i iS a b=，{}{}(),,,1,2,3,,j j jS a b i j i j k=≠∈都有max,max,j ji ii i j ja ba bb a b a⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max,x y表示两个数x，y中的较大者），则k的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者），”的把握，即可得答案．【详解】根据题意，对于M ，含2个元素的子集{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,9}，{3,5}，{3,6}，{3,9}，{5,6}，{5,9}，{6,9}，有10个，但{1,3}、{3,9}只能取一个； 故满足条件的两个元素的集合有9个； 故选：B ． 【点睛】本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.【答案】-3 【解析】【详解】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.12. 集合A 满足{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先求出所有的集合A ，再确定个数即可.【详解】解：因为{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以{}1,3 {}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =， 所以集合A 的个数有3个. 故答案为：3【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.13. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+，若A B ⊇，则m 的取值范围是________.【答案】][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 【解析】 【分析】先化简确定集合A ，再根据A B ⊇分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论，最后解不等式确定m 的取值范围．【详解】解：因为{}116A x x =-≤+≤，所以{|25}A x x =-≤≤， 因为A B ⊇，所以B 是A 的子集，当B =∅时，则121m m -≥+，解得2m ≤-，符合题意；当B ≠∅时，则12215121m m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得12m -≤≤，符合题意；综上所述，m 的取值范围是][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 故答案为：][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题． 14. 已知2514x x -=，则()()()212111x x x ---++=________ 【答案】15 【解析】 【分析】先解方程，得到7x =或2x =-，再分别代入所求式子，即可得出结果. 【详解】由2514x x -=得()()720x x -+=，解得7x =或2x =-， 当7x =时，()()()22121116138115x x x ---++=⨯-+=； 当2x =-时，()()()()212111351115x x x ---++=-⨯--+=. 故答案为：15.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.15. 已知:3x α>或1x <，124m x m β+≤≤+:，m R ∈，若β是α⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是________. 【答案】102m -≤≤ 【解析】 【分析】先由题意，得到:13x α⌝≤≤，根据β是α⌝的必要不充分条件，得到[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为:3x α>或1x <，所以:13x α⌝≤≤；又124m x m β+≤≤+:，m R ∈，β是α⌝的必要不充分条件， 所以[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，因此11243m m +≤⎧⎨+≥⎩（不能同时取等号）， 解得102m -≤≤.故答案为：102m -≤≤ 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.16. 设0a >，若只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，则a =________.【答案】2 【解析】 【分析】先判断函数1y cx =+单调递增，再由题意建立方程组求解a 的值即可.【详解】解：因为10cx y -+=，所以1y cx =+，因为0c >， 所以函数1y cx =+单调递增，因为只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，所以1231a ca a ca =+⎧⎨=+⎩，解得：2a =故答案为：2.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）17. 已知{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】{1a a =或}1a ≤- 【解析】 【分析】求出集合A ，对集合B 中的元素个数进行分类讨论，结合B A ⊆可得出实数a 所满足的等式或不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】{}{}2404,0A x x x =+==-，(){}222110B x x a x a =+++-=，对于方程()222110x a x a +++-=，()()()22414181a a a ∆=+--=+，且B A ⊆.①当B =∅时，∆<0，可得1a <-，合乎题意；②当集合B 中只有一个元素时，0∆=，可得1a =-，此时{}{}200B x x A ===⊆，合乎题意；③当集合B 中有两个元素时，B A =，则()221410a a ⎧+=⎨-=⎩，解得1a =.综上所述，实数a 的取值范围是{1a a =或}1a ≤-.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18. 已知{}28200A x x x =--≤，{}2B x x m =-≤.（1）当1m =时，求集合B ；（2）若“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）{}13B x x =-≤≤；（2）[4,12]-；（3）[0,8].【解析】【分析】（1）先化简得到{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再将1m =代入求集合B 即可；（2）先化简得到{}210A x x =-≤≤和{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再转化已知条件得到A B ⋂≠∅，最后建立不等式求m 的取值范围；（3）先判断存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到B A ，最后建立不等式求m 的取值范围. 【详解】解：因为{}2B x x m =-≤，所以{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，（1）当1m =时，解得{}13B x x =-≤≤；（2）因为{}28200A x x x =--≤，所以{}210A x x =-≤≤，因为“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，所以A B ⋂≠∅，所以2210m -≤+≤或2210m -≤-≤，解得412m -≤≤，所以m 的取值范围是[4,12]-，（3）存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，假设存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，则B A所以21022m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得08m ≤≤， 当0m =时，{}22B x x =-≤≤，符合题意；当8m =时，{}610B x x =≤≤，符合题意； 所以存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，此时m 的取值范围是[0,8].【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.19. 设全集I R =，集合{}220,A x x x m m R =-+<∈，{2440,B a R ax ax =∈+-<对任意实数x 恒成立}.，()I A B ≠∅，求实数m 的范围. 【答案】(3,)-+∞【解析】【分析】 先由题意求出{}10B a a =-<<，再化简得到{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈，最后分1m =，1m 和1m <三种情况讨论求实数m 的范围. 【详解】解：因为{2440B a R ax ax =∈+-<，对任意实数x 恒成立}.， 所以20(4)4(4)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩或040a =⎧⎨-<⎩，解得10a -<≤，则{}10B a a =-<≤， 因为{}220,A x x x m m R =-+<∈，所以{}220,I A x x x m m R =-+≥∈ 则{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈当10m -=即1m =时，{}1I A x x =≠，此时()I A B ≠∅成立，符合题意； 当10m -<即1m 时，I A R =，此时()I A B ≠∅成立，符合题意；当10m ->即1m <时，{1I A x x =≥或1x ≤，使得()I A B ≠∅成立，则11>-解得3m >-，所以31m -<<；综上所述：3m >-，故答案为：(3,)-+∞.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.。
2023-2024学年天津市南开区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的）1．下列给出的对象能构成集合的有（）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②√2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x﹣10＜0的所有正整数；A．1个B．2个C．3个D．4个2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∃n∈N，n2＝2n D．∀n∈N，n2≤2n3．已知集合M＝{a|65−a∈N+，且a∈Z}，则M等于（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，6}D．{﹣1，2，3，4} 4．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列各组函数不是同一函数的是（）A．f（x）＝4x﹣1，g（x）=2(x−1)2B．f（x）＝x（x≠0），g（x）=x 2xC．f（x）=1|x|，g（x）=1√x2D．f（x）＝|x﹣2|，g（t）={t−2，t≥22−t，t＜26．已知奇函数y＝f（x）为R上的减函数，且在区间[﹣4，3]上的最大值为8，最小值为﹣6，则f（﹣3）+f（4）的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．27．已知有限集M，N，定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，|M|表示集合M中的元素个数．若M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，3，5}，则|（M﹣N）∪（N﹣M）|＝（）A．3B．4C．5D．6（多选）8．若a＞0，b＞0，与不等式﹣b＜1x＜a不等价的是（）A．−1b ＜x＜0或0＜x＜1aB．−1a＜x＜1bC ．x ＜−1a 或x ＞1bD ．x ＜−1b 或x ＞1a9．从盛装20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水加满，再倒出1升酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果第k 次时共倒出了纯酒精x 升，则倒出第k +1次时，共倒出了纯酒精f （x ）的表达式是（ ） A ．f(x)=1920x +1 B ．f(x)=120x +1 C ．f(x)=1920(x +1) D ．f(x)=120x 10．已知函数f （x ）={−3x ，x ≥02x −x 2，x ＜0，若 f （2﹣a 2）＞f （﹣|a |），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B ．(−2，−√2)∪(√2，2)C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）11．已知幂函数f （x ）＝（k +4）x α的图象过点（8，2），则k α＝ ． 12．函数y =1√7−6x−x 2的定义域为 ．13．设集合A ＝{2，a +2，2a 2+a }，若3∈A ，则a ＝ ． 14．函数y =(12)x 4+14x 的值域为 ．15．已知函数f （x ）＝9x ﹣m •3x +m +6，若方程f （﹣x ）+f （x ）＝0有解，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分。
2020-2021高一数学上期中试题(附答案)(2)
2020-2021高一数学上期中试题(附答案)(2)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．137．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±8．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．19．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>> D ．1log log a bb aa b a b >>> 10．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）11．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数12．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．14．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______． 18．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数） 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.23．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．24．已知定义域为R 的函数()122x x bf x a++=+－ 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围． 25．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．26．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<.故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.9．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.10．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．11．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .12．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当考点：函数单调性与最值17．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.18．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案． 【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0， 则，或 当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解. 综上实数的取值范围是（，1） 故答案为（，1）．本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是 解析：68【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233k k a e a e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kt e -=，则1ln 3kt -= 两式相除可得2ln2531ln 3k kt -=-，即2lg 25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天 点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3 解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.22．（1）2()22f x x x =++；（2）min252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„；（3）7m < 【解析】【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+, ∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.23．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2【解析】【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦, 由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==. 【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.24．（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）16k <-【解析】【分析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a =（Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311()2236k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案.【详解】（Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x b f x a ++=+是奇函数 则()100,12b f b a-+===+ ()-2114f a+=+，()12-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数（Ⅱ）12111()22221x x x f x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11()221x f x =-++为减函数 22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－即22222t t t k ->-+所以223311()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min 3111()2366k t ⎡⎤<--=-⎢⎥⎣⎦ 当13t =时，有最小值16- 故k 的取值范围是16k <- 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.25．（1）；（2）；（3）()0,2 【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--） 而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．26．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞U U ，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4>∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃（i ）若C ∅=，即1m m 1->-，解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-，解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃ 1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞， .。
2023-2024学年天津市第二南开中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，2，5，6}B ．{1，2，3，4}C ．{2}D ．{1}2．设a ∈R ，则“a ≥2”是“a 2﹣3a +2≥0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．下列函数中，与函数y ＝x +1是相等函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =x 2x+1D ．y =√x 2+14．已知a ＞b ，且ab ≠0，c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．1a ＜1bC ．a+b 2≥√abD ．a c 2+1＞b c 2+15．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]6．已知函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（ ） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)7．若函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]8．下列结论正确的是（ ）A ．若正实数x ，y 满足8x +1y =1，则x +2y 的最小值为25B ．若x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝1，则xy 的最大值为14C ．若a ，b 为正实数，且a +2b ＝2，则4a +ab的最小值为6D ．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为39．若函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣2，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共18分）10．（6分）函数f(x)=2x 21−x+(2x −1)0的定义域为 ．11．（6分）函数y ＝﹣x 2+4x +3，x ∈[0，3]的单调递增区间是 ． 12．（6分）不等式x 2x−1≥1的解集为 ．13．（6分）若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．（6分）若存在x ∈R ，使得4x+m x 2−2x+3≥2成立，则实数m 的取值范围是 ．15．（6分）已知f （x ）={12x +1，x ≤0−(x −1)2，x ＞0，使f （x ）≥﹣1成立的x 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（13分）已知集合P ＝{x |a +1≤x ≤2a +1}，Q ＝{x |x 2﹣3x ≤10}． （1）若a ＝3，求（∁R P ）∩Q ；（2）若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．17．（13分）（1）已知函数f （x ﹣1）＝2x +5，求f （x ）的解析式； （2）已知f （x ）﹣3f （﹣x ）＝8x +2，求f （x ）的解析式． 18．（15分）求下列函数的值域： （1）f （x ）=3x+1x−2； （2）f （x ）=x +√x +1； （3）f （x ）=√2√x 2−2x+3．19．（15分）设命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p ，q 一真一假，求实数m 的取值范围． 20．（13分）设函数f （x ）＝x +ax+1，x ∈[0，+∞）． （1）当a ＝2时，求函数f （x ）的最小值； （2）当0＜a ＜1时，求函数f （x ）的最小值．2023-2024学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，∴∁U B＝{1，5，6}，又∵A＝{1，2}，∴A∩（∁U B）＝{1}，故选：D．2．设a∈R，则“a≥2”是“a2﹣3a+2≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解：由a2﹣3a+2≥0，得a≤1或a≥2．即由a≥2可得a2﹣3a+2≥0，反之不一定成立．故“a≥2”是“a2﹣3a+2≥0”的充分非必要条件．故选：A．3．下列函数中，与函数y＝x+1是相等函数的是（）A．y=(√x+1)2B．y=√x33+1C．y=x 2x+1D．y=√x2+1解：对于A，函数y＝（√x+1）2＝x+1的定义域为{x|x≥﹣1}，和y＝x+1（∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数y=√x33+1＝x+1的定义域为R，和y＝x+1的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C，函数y=x2x+1＝x+1的定义域为{x|x≠0}，和y＝x+1的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y=√x2+1＝|x|+1的定义域为R，和y＝x+1的对应法则不相同，不是同一函数．故选：B．4．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a 2＞b 2B ．1a ＜1bC ．a+b 2≥√abD ．a c 2+1＞b c 2+1解：对于A ，令a ＝3，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但a 2＝b 2，故A 错误， 对于B ，令a ＝3，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但1a ＞1b ，故B 错误，对于C ，令a ＝﹣2，b ＝﹣4，满足a ＞b ，但a+b2＜√ab ，故C 错误，对于D ，∵c 2+1＞0，a ＞b ，∴a c 2+1＞b c 2+1，故D 正确．故选：D ．5．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]解：∵函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]， ∴由﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1， ∴f （2x ﹣1）的定义域是[0，1]， 故选：A ．6．已知函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（ ） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解：因为函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，且满足f(2x −1)＜f(13)，所以0≤2x −1＜13，解得12≤x ＜23．故选：D ．7．若函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]解：∵函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3={2x −2a +3，x ≥a−2x +2a +3，x ＜a ，∵函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调， ∴a ＞1．∴a 的取值范围是（1，+∞）． 故选：B ．8．下列结论正确的是（ ）A ．若正实数x ，y 满足8x +1y =1，则x +2y 的最小值为25B ．若x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝1，则xy 的最大值为14C ．若a ，b 为正实数，且a +2b ＝2，则4a +ab的最小值为6D ．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为3解：A 选项：因为x ＞0，y ＞0，所以x +2y =(x +2y)(8x +1y )=8+2+16y x +x y ≥10+2√16y x ×xy=18，当且仅当x ＝4y ＝12时取等号，故A 选项错误； B 选项：因为x ＞0，y ＞0，所以1=x +4y ≥2√x ⋅4y =4√xy ，当且仅当x =4y =12时取等号，所以116≥xy ，故B 选项错误；C 选项：因为a ＞0，b ＞0，a +2b ＝2，所以4＝2a +4b ，所以4a +a b =2a+4b a +a b =2+4b a +a b ≥2+2√4b a ⋅a b=6，当且仅当a ＝2b ＝1时取等号，故C 选项正确； D 选项：a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab=4ab +1ab≥4，当且仅当a 2＝2b 2且4ab =1ab ，即a 2=√22，b 2=√24时取等号，故D 选项错误． 故选：C ．9．若函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣2，0）解：∵函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，∴{a ＜0−a ≥14+2a ≥1+a 解得﹣3≤a ≤﹣1．故a 的取值范围是[﹣3，﹣1]．故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共18分）10．（6分）函数f(x)=2x 21−x +(2x −1)0的定义域为 （﹣∞，12）∪（12，1） ．解：函数f(x)=2x 2√1−x(2x −1)0中， 令{1−x ＞02x −1≠0，解得x ＜1且x ≠12，所以f （x ）的定义域为（﹣∞，12）∪（12，1）．故答案为：（﹣∞，12）∪（12，1）．11．（6分）函数y ＝﹣x 2+4x +3，x ∈[0，3]的单调递增区间是 [0，2] ． 解：根据二次函数的性质可知，y ＝﹣x 2+4x +3的开口向下，对称轴x ＝2， 所以x ∈[0，3]的单调递增区间[0，2]． 故答案为：[0，2] 12．（6分）不等式x2x−1≥1的解集为 （12，1] ． 解：不等式x 2x−1≥1，即x−12x−1≤0，故（x ﹣1）•（2x ﹣1）≤0且2x ﹣1≠0，解得12＜x ＜1，故不等式的解集为（12，1]．故答案为：（12，1]．13．（6分）若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是 （﹣1，0] ． 解：命题：“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题⇔命题：“∀x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1＜0”恒成立． ∵a ＝0时，符合题意，∴a ≠0时，需{a ＜0△＜0⇒{a ＜0(2a)2−4a ⋅(−1)＜0⇒﹣1＜a ＜0，∴﹣1＜a ≤0． 故答案为：（﹣1，0]． 14．（6分）若存在x ∈R ，使得4x+m x 2−2x+3≥2成立，则实数m 的取值范围是 {m |m ≥﹣2} ．解：∵x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0， ∴不等式4x+m x 2−2x+3≥2可化为4x +m ≥2（x 2﹣2x +3），∴由题意得，不等式m ≥2x 2﹣8x +6有解， ∴g （x ）＝2x 2﹣8x +6，g （x ）＝2（x ﹣2）2﹣2，∴g（x）min＝g（2）＝﹣2，故要使m≥2x2﹣8x+6有解，则m≥﹣2，∴m的取值范围为{m|m≥﹣2}．故答案为：{m|m≥﹣2}．15．（6分）已知f（x）={12x+1，x≤0−(x−1)2，x＞0，使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是[﹣4，2]．解：∵f（x）≥﹣1，∴{x≤012x+1≥−1或{x＞0−(x−1)2≥−1∴﹣4≤x≤0或0＜x≤2，即﹣4≤x≤2．∴使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是[﹣4，2]，故答案为：[﹣4，2]．三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|x2﹣3x≤10}．（1）若a＝3，求（∁R P）∩Q；（2）若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．解：（1）因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，∁R P＝{x|x＜4或x＞7}．又Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，所以（∁R P）∩Q＝{x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}＝{x|﹣2≤x＜4}．（2）当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，所以{a+1≥−22a+1≤52a+1≥a+1解得0≤a≤2；当P＝∅，即2a+1＜a+1时，有P⊆Q，得a＜0．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．17．（13分）（1）已知函数f（x﹣1）＝2x+5，求f（x）的解析式；（2）已知f（x）﹣3f（﹣x）＝8x+2，求f（x）的解析式．解：（1）f（x）＝f（x+1﹣1）＝2（x+1）+5＝2x+7；（2）f（x）﹣3f（﹣x）＝8x+2①，x 用﹣x 代换得f （﹣x ）﹣3f （x ）＝﹣8x +2②， 解①②得f （x ）＝2x ﹣1． 18．（15分）求下列函数的值域： （1）f （x ）=3x+1x−2； （2）f （x ）=x +√x +1； （3）f （x ）=√21√x −2x+3．解：（1）f （x ）=3x+1x−2=3(x−2)+7x−2=7x−2+3， 则f （x ）的值域为{y |y ≠3}；（2）∵f （x ）=x +√x +1的定义域为x ≥0，且该函数在定义域内单调递增， 则函数的值域为[1，+∞）；（3）由x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2≥2，可得√x 2−2x +3≥√2，则01√x 2−2x+3≤√22，∴f （x ）=√2+√x 2−2x+3的值域为（√2，3√22]．19．（15分）设命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p ，q 一真一假，求实数m 的取值范围．解：（1）命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根； 所以Δ＝（2m ﹣4）2﹣4m ＝4（m ﹣1）（m ﹣4）＞0，解得m ＞4或m ＜1， 所以m 的取值范围{m |m ＞4或m ＜1}．（2）命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立． 整理得（x ﹣2）2≥m 2﹣9， 当x ＝2时，（x ﹣2）2min ＝0， 所以0≥m 2﹣9，解得﹣3≤m ≤3． 由于命题p 和q 一真一假， 故①p 真q 假，{m ＜1或m ＞4m ＜−3或m ＞3，解得m ＜﹣3或m ＞4．②p假q真，{1≤m≤4−3≤m≤3，解得1≤m≤3．综上所述实数m的取值范围为{m|m＜﹣3或m＞4或1≤m≤3}．20．（13分）设函数f（x）＝x+ax+1，x∈[0，+∞）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．解：（1）当a＝2时，f（x）＝x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f（x）min＝2√2−1．（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，∴1−a(x1+1)(x2+1)＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min＝f（0）＝a．。
2020-2021天津市高一数学上期中模拟试卷(及答案)
2020-2021天津市高一数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，4．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．16．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 8．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 11．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 15．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．16．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.18．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 19．已知312ab +=a b =__________. 20．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 三、解答题21．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.22．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求AB ，()RC A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.25．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000． 26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.6．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.7．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 8．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .9．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 12．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴= 10 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值 16．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3 【解析】 【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】 13212233333a b a b aa b a+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4 【解析】 【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x-++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．三、解答题21．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,322{42,22a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122xax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ． 22．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}， ∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】 【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心. 24．(1) {|25}A B x x =≤< (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭25．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。