《2.3.2抛物线的简单几何性质》教学案2

《抛物线的简单几何性质》教学案

教学目的：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.

教学重点：

抛物线的几何性质及其运用.

教学难点：

抛物线几何性质的运用.

教学过程：

一、复习引入： 1．抛物线定义：

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线

2．抛物线的标准方程：

)

焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

4

1

，即2

42p p =

不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x (2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时，焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴(或Y 轴)负向时，焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时，方程右端取负号

二、讲解新课： 抛物线的几何性质 1．范围

因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

2．对称性

以－y 代y ，方程()022

>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线

的对称轴叫做抛物线的轴．

3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022

>=p px y 中，当y =0时，

x =0，因此抛物线()022

>=p px y 的顶点就是坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e =1．

对于其它几种形式的方程，列表如下：

py

2py

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率

附：抛物线不存在渐近线的证明．(反证法) 假设抛物线y 2

＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A (x ，y )为抛

物线上一点，

A 0(x ，y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点如图， 则有px y 2±=和y 1＝mx ＋n ． ∴ px n mx y y 21

+=-

x

p

x n

m x 2 +

⋅= 当m ≠0时，若x →＋∞，则+∞→-y y 1 当m ＝0时，px n y y 21

=-，当x →＋∞，则+∞→-y y 1

这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2

＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线

三、讲解范例：

例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．

解：由题意，可设抛物线方程为px y 22

=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p

因此，所求的抛物线方程为x y 42=．

将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得

点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．

例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．

设抛物线的标准方程是px y 22

= (p ＞0)．

由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302

⨯=p ，

即4

45=

p 所求的抛物线标准方程为x y 2

45

2

=． 例3 过抛物线px y 22

=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，

求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则

｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜

∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜

所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切． 四、课堂练习：

1．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果