《2.3.2抛物线的简单几何性质》教学案2

《抛物线的简单几何性质》教学案
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.
教学重点：
抛物线的几何性质及其运用.
教学难点：
抛物线几何性质的运用.
教学过程：
一、复习引入： 1．抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线
2．抛物线的标准方程：
)
焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
4
1
，即2
42p p =
不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x (2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时，焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴(或Y 轴)负向时，焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时，方程右端取负号
二、讲解新课： 抛物线的几何性质 1．范围
因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y 代y ，方程()022
>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线
的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022
>=p px y 中，当y =0时，
x =0，因此抛物线()022
>=p px y 的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e =1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：
py
2py
抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率
附：抛物线不存在渐近线的证明．(反证法) 假设抛物线y 2
＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A (x ，y )为抛
物线上一点，
A 0(x ，y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点如图， 则有px y 2±=和y 1＝mx ＋n ． ∴ px n mx y y 21
+=-
x
p
x n
m x 2 +
⋅= 当m ≠0时，若x →＋∞，则+∞→-y y 1 当m ＝0时，px n y y 21
=-，当x →＋∞，则+∞→-y y 1
这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2
＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．
解：由题意，可设抛物线方程为px y 22
=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p
因此，所求的抛物线方程为x y 42=．
将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是px y 22
= (p ＞0)．
由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302
⨯=p ，
即4
45=
p 所求的抛物线标准方程为x y 2
45
2
=． 例3 过抛物线px y 22
=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，
求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则
｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜
∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜
所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切． 四、课堂练习：
1．过抛物线x y 42
=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果
621=+x x ，那么||AB =( B )
(A )10 (B )8 (C )6 (D )4
2．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则
||||MF MP +的最小值为( B )
(A )3 (B )4 (C )5 (D )6
3．过抛物线()02
>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、
QF 的长分别是p 、q ，则
q
p 1
1+=( C ) (A )a 2 (B )
a 21 (C )a 4 (D )a
4 4．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______(答案：()122
-=x y )
5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标
(答案：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛±22,45M ， M 到y 轴距离的最小值为45) 五、小结 ：
抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.。