多元函数的积分概念和性质

2. 三重积分 当几何形体Ω为空间上的区域 V 时, 则 f(Ω) 就是V上的 三元函数 f(x, y, z), △Ωi就是小立体区域的体积△Vi , 这时称
∫ f (Ω) dΩ 为函数f(x, y, z)在空间区域V上的三重积分, ∫∫∫ f (x, y ) dV
Ω
记做
V
即
∫∫∫ f (x, y ) dV = lim ∑ f (ξi , ηi , ζ i ) ΔVi λ →0
k =1
一元为区间 体现分点的自由选择 二元（如平面区域） 直角坐标网 分割为多种多样: 极坐标网
k =1
① 关于分割和取点的任意性
Δσ k ≈ 0
• •
② 关于分割精细程度
一元用小区间最大者 (使任意两点距离很小) 二元（如平面区域）小区域直径最大者 而不是小区域面积的大小
类似地, 使用同样的方法可以讨论其他几何形体上的物体的 质量问题。 它们都可以归结为上面形式的极限，这一类型的极限， 在物理、力学、几何和工程技术中有广泛的应用。 当一个几何形体分别为区间[a, b]、平面区域D 、空间区域V 平面曲线弧l 、空间曲线弧L及曲面时, 分别有 μ (ξ k ) 、 (ξ k ,η k ) 、 (ξ k ,ηk , ζ k ) 、 (ξ k ,ηk ) 、 (ξ k ,ηk , ζ k ) 、 (ξ k ,ηk , ζ k ) μ μ μ μ μ
d →0 k =1
n
两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
“分划, 代替, 求和, 取极限” 平面薄片的质量:
V = lim ∑ f (ξ k , η k )Δσ k
d →0
n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k ) Δσ k
d →0
n
【注】
∫1dΩ = ∫ dΩ = Ω
Ω Ω
性质2 线性性质 设α,β为常数，则
∫
Ω
[α f ( M ) + β g ( M )]d Ω =α ∫ f ( M )d Ω + β ∫ g ( M )d Ω Ω
Ω
性质3 积分区域的可加性 若将Ω分为两部分Ω1 , Ω2 ,则
∫
Ω
f ( M ) d Ω = ∫ f ( M ) dΩ + ∫
n i =1
d →0
∑
i=1
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∫
Ω
i=1
积分区域
被积函数
积分和
定理7-1(可积的必要条件) 若函数f(M)在几何形体Ω上可积， 则 f(M) 在Ω闭有界。 定理7-2(可积的充分条件 )若函数f(M)在有界闭几何形体Ω 上连续，则f(M)在上必可积。 7.1.3 多元数量值函数积分的性质 性质1 当 f(M)≡1时，它在Ω上的积分等于Ω的度量，即
第七章 多元数量值函数积分学
重积分(二、三重积分) 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第七章
7.1 多元数量值函数积分的概念与性质
7.1.1 非均匀分布的几何形体的质量问题 7.1.2 多元数量值函数积分的概念 7.1.3 多元数量值函数积分的性质 7.1.4 多元数量值函数积分的分类
第七章
回顾 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
1 1 ⋅ S ( D) I = ∫∫ dσ = 2 2 2 2 100 + cos ξ + cos η 100 + cos x + cos y D
这里S(D)表示区域D的面积, 易知S(D)=200。 又
故
1 1 1 ≤ ≤ 2 2 102 100 + cos ξ + cos η 100
200 200 100 ≤I≤ , 即 ≤ I ≤ 2。 102 100 51
3)“求和”
n
n
(k = 1, 2 ,L, n )
(ξ k ,η k )
D
Δσ k
V = ∑ ΔVk ≈ ∑ f (ξ k , η k ) Δσ k
k =1
k =1
第七章
4)“取极限”
定义Δσ k 的直径为
d (Δσ k ) = max{ P P2 P ,P2 ∈ Δσ k } 1 1
d = max{ d (Δσ k )
f (ξ i ) ΔAi
ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]
y
( )
ΔAi ≈ f (ξ i )Δx i
o a
x1
L x i −1 ξ ix i L b x
( Δx
i
= xi − xi −1 , i = 1, 2, L , n
)
第七章
3) 求和
A = ∑ ΔA i ≈ ∑ f (ξ i ) ⋅ Δx i
Ω1
Ω2
f ( M ) dΩ
性质4 (比较性质) 如果在Ω上, f(x) ≤g(x)，则
∫
由此显然有
Ω
Ω
f ( M )dΩ ≤ ∫ g ( M )dΩ
Ω
∫ f (M ) dΩ ≤ ∫ f (M ) dΩf(M) 在闭几何形体Ω上的 最大值和最小值，则
m ⋅ Ω ≤ ∫ f ( M )dΩ ≤ M ⋅ Ω
m = lim ∑ μ (ξ k )Δ xk
d →0 k =1 n d →0 n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k )Δσ k
d →0 k =1
n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k , ζ k )ΔVk
k =1 n
m = lim ∑ μ (ξ k , η k )Δ sk
d →0 k =1 n
i=1 i=1
n
n
4) 取极限 令 d = max{Δx i },
1≤ i ≤ n
则曲边梯形面积
小区间长度最大者
y
f (ξ i ) ΔAi
A = lim ∑ ΔAi = lim ∑ f ξ i Δx i
d →0 i =1
n
n
d →0
i =1
( )
o a
x1
L x i −1 ξ ix i L b x
第七章
1≤ k ≤ n n
取小区域直径为
}
z = f ( x, y )
f (ξ k , ηk )
(ξ k ,η k )
Δσ k
V = lim ∑ f (ξ k , η k )Δσ k
d →0 k =1
第七章
2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密度为
μ ( x, y ) ∈ C , 计算该薄片的质量 M。 若 μ ( x, y ) ≡ μ (常数 ) , 设D 的面积为σ , 则 M = μ ⋅σ y 若 μ ( x, y ) 非常数 , 仍可用
1≤ i ≤ i
n
△Ωi怎样选取, 只要d→0, 上述和式都趋于同一常数 I, 则称 f (M) 并把 I 称为函数 f (M) 在的积分, 记做 ∫Ω f ( M )dΩ 在上Ω可 积, 积分号 积分表达式 积分元素
n
∫
Ω
f ( M )dΩ = I = lim ∑ f (M i ) ΔΩ i d →0
n
V
i =1
其中 dV 叫做体积微元。
2. 对弧长的曲线积分 当几何形体Ω为平面或空间上的曲线弧段L时, 则 f(Ω)是 定义在L上的二元或三元函数 f(x, y)或 f(x, y, z), △Ωi 是小弧段
Ω
的弧长△si , 这时称 ∫ f (M )dΩ 为函数 f(x, y)或 f(x, y, z)在曲线L 上的曲线积分,
多元数量值函数积分的概念 定义 设Ω是可度量（即可求长度、面积或体积）的有界闭 几何形体，f (M)是定义在Ω上的数量值函数。 将Ω任意划分为 n个小几何形体△Ωi (I=1, 2, …, n ), △Ωi同时表示其度量。 在△Ωi上任取一点 Mi , 作乘积 f(Mi) △Ωi , 并作和式 ∑ f ( M i ) ΔΩ i i =1 记 d = max{ΔΩ i的直径 } , 如果不论对Ω怎样分划, 也不论点Mi在上
“分划, 代替, 求和, 取极限” 解决。 1)“分划” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域。
D
x
Δσ 1, Δσ 2 , L, Δσ n ,
第七章
2)“代替”
在每个 Δσ k 中取一点 (ξ k ,η k ) , 则第 k 小块的质量
Δmk ≈ μ (ξ k , η k ) Δσ k
Ω
即
∫∫
S
f ( x, y , z ) dS = lim d →0
∑ f (ξ ,η ζ ) ΔS
i =1 i i i
n
S
i
其中dS为曲面的面积微元。
7．2 二重积分的计算
7. 2. 1 二重积分的几何意义 7. 2. 2 直角坐标系下二重积分的计算 7. 2. 3 极坐标系下二重积分的计算
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 z = f ( x, y ) ≥ 0
z = f ( x, y )
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积。 . 解法: 类似定积分解决问题的思想: “分划, 代替, 求和, 取极限”
D
第七章
∫∫ f (x, y )d x d y
D
例2 试估计二重积分
10
y
D
10
1 I = ∫∫ dσ 2 2 100 + cos x + cos y D
的取值范围, 其中 D = ( x, y ) x + y ≤ 10
− 10