指数函数知识点总结

指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果a x n

=,那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 〉1，且n ∈N *

. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是０,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m )1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

(1）r

a ·s

r r

a

a += ),,0(R s r a ∈>;

（2）rs

s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)

s

r r a a ab =)(ﻩ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数,

其中x 是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2

注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1)在[a,b]上,)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [

（2)若0x ≠,则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

(3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域:

(1)y 3

(2)y (3)y 12x

＝＝＝-+---21

3321x x

解 （1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域ｙ＞0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥０，得定义域｛x|x ≥－2｝,值域为y ≥0.

（3)由3－3x —1≥0,得定义域是{x ｜ｘ≤２｝,∵0≤3-3ｘ－1＜3,

∴值域是≤＜．0y 3

练习:(1）

4

1

2-=x y ; (２)||

2()3

x y =; （3）12

41

++=+x x y ；

【例2】指数函数y=a ｘ,y ＝b x ，ｙ＝c x ,y ＝d x 的图像如图２.６－2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]

A.a

B.a ＜b ＜1<ｄ＜c Ｃ. b<ａ＜1

解 选(c),在x 轴上任取一点(ｘ,0), 则得b ＜a ＜1＜d ＜ｃ. 练习:指数函数① ②

满足不等式

,则它们的图象是

（ ）。

【例３】比较大小:

(1)2(2)0.6

、、、、的大小关系是：．

2481632

358945

12--()

（3)4．54。1_____＿__3.73.6

解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491

2

28416212

313

525

838

949

3859=====

解 (2)0.6110.6∵＞，＞，

∴＞．

----

45

12

451

232

32

()() 解 （3）借助数4。５3。６打桥，利用指数函数的单调性,４.54.1>4.5３.6,作函数ｙ1=4。５x ，y 2＝3.7ｘ的图像如图2．６－３,取x=３。６，得4.53．６＞３.73.6 ∴ ４。５4。1＞3.73。6.

说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(１）．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例２中的(2）.其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4。5４。１同底与３。７3.６同指数的特点，即为4.5３。6(或３.7４.1),如例2中的(3)． 练习: (１）1。7

2。５

与 1。7

３

( 2 )0.1

0.8

-与0.2

0.8

-

( 3 ） 1。７

0.３

与 0.9

3.1

(4）

5

.31

.2和

7

.20

.2

【例4】解

比较大小与＞且≠，＞．

当＜＜，∵＞，

＞，

a a a a

a

n n n n n n n

n n n

n n -+-+-=-111

1

111

1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()

()

∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n a

a a n n n n n n n n n n n n 1111

1111

1

1()

()

()--+--+-1a 1n 101

【例5】作出下列函数的图像:

(1)y (2)y 22x ＝＝－，()1

2

1

x +

(3)y=２|x －1| (4)y ＝|1-３ｘ｜

解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．

是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．

()()121

212

1x x

+ 解 (2)ｙ＝2x -２的图像(如图２.6-5）是把函数ｙ＝2ｘ的图像向下平移２个单位得到的．

解 （3)利用翻折变换,先作y ＝2|x ｜的图像，再把ｙ=2｜x ｜的图像向右平移１个单位,就得ｙ=2|x －１|的图像（如图2.6-6).

解 （4)作函数y=3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－３ｘ的图像,再把y