北师大版高中数学(必修12.2对函数的进一步认识映射同步测试题

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北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．以下说法正确的有（）（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =；（3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞；（4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,44．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（） A ．0B ．12C ．1D ．25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，且()2f x +是偶函数，不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]4,6-B ．[]4,3-C ．(][),46,-∞-+∞ D ．(][),43,-∞-⋃+∞6．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对7．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（）A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f9．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>10．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．函数2log xy x x=的大致图象是（） A ． B ． C ． D ．12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．设函数()y f x =的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则m 的取值范围是_____.14．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{}*2,A x x n n N==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______.15．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意x y +∈R ，都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．16．已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________．17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．18．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .19．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为______． 20．函数()()122x x f x x N +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_______（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）三、解答题21．已知函数()22f x mx mx n =-+ ()0m >在区间[]1,3上的最大值为5，最小值为1，设()()=f xg x x. （1）求m 、n 的值；（2）证明：函数()g x 在)+∞上是增函数；（3）若函数F ()()22xxx g k =-⋅=0，在[]1,1x ∈-上有解，求实数k 的取值范围.22．已知函数()1f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）证明：函数()f x 在[)1，+∞上是增函数；（3）求函数()f x 在[]41--，上的最大值与最小值.23．已知22()2x af x x -=+.（1）若0a =，证明：()f x 在递增，若()f x 在区间(12,1)m m --递增，求实数m 的范围；（2）设关于x 的方程1()f x x=的两个非零实根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立？如果存在求出m 的范围，如果不存在请说明理由.24．已知奇函数()()2?2,1,1xxf x a x -=+∈-．（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性并进行证明；（3）若函数()f x 满足()()1120,f m f m -+-<求实数m 的取值范围． 25．已知函数()2mf x x x=++（m 为实常数）. （1）当4m =时，试判断函数在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1[,1]2x ∈有解，求实数k 的取值范围. 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在0,1上是增函数；（3）解不等式()2(120)f t f t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．B解析：B 【分析】根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确；（3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误；（4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个，故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.3．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-；（2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.4．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．5．C解析：C 【分析】根据已知条件可知()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增，由不等式在[]1,0x ∈-恒成立，结合()f x 的单调性、对称性即可求m 的取值范围.【详解】对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，知：()f x 在[2,)x ∈+∞上单调递增，()2f x +是偶函数，知：()f x 关于2x =对称，∴()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增；∵不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，且3211x -≤-≤-， ∴max (1)(21)(3)f m f x f +≥-=-即可，而根据对称性有(1)(7)f m f +≥， ∴综上知：13m +≤-或17m +≥，解得(][),46,x ∈-∞-+∞，故选：C 【点睛】结论点睛：注意抽象函数单调性、对称性判断对任意的()1212,x x x x ≠：()()21210f x f x x x ->-有()f x 单调递增；()()21210f x f x x x -<-有()f x 单调递减；当()f x n +是偶函数，则()f x 关于x n =对称；思路点睛：对称型函数不等式在一个闭区间上恒成立：在对称轴两边取大于或小于该闭区间最值即可，结合函数区间单调性求解.6．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+．当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<；当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．7．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数；当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数，则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.8．D解析：D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.9．A解析：A 【分析】函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案．【详解】函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>，故选：A 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．10．D解析：D 【解析】因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.11．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ．由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x 22433aa-+-=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12433aa---＜＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜．综上可得：53-＜a 34-＜．故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．【分析】由得得分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】时时；时；时；当时由解得或若对任意都有则故答案为：【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征考查函数的图象以及一元二次不等式的解法解题的关键解析：9(,)4-∞【分析】由(1)2()f x f x +=，得()2(1)f x f x =-，得分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围．【详解】(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-，(1,2]x ∴∈时，1(0,1],()2x f x -∈=1(1)2(1)(2),02f x x x ⎡⎤-=--∈-⎢⎥⎣⎦；(2,3]x ∴∈时，1(1,2],()2(1)4(2)(3)[1,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-； (3,4]x ∴∈时，1(2,3],()2(1)8(3)(4)[2,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-；当(2,3]x ∈时，由34(2)(3)4x x --=-，解得114x =或94x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则94m <．故答案为：9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征，考查函数的图象，以及一元二次不等式的解法，解题的关键点是可借助函数图象直观性找到解题思路.14．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③ 【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩， ∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②，例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i AB ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③；故答案为：①③关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.15．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13，【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff =+，得()231f f ==-，所以12f =-，令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-，得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3）【点睛】思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路：第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.16．【解析】解：当k=0时满足条件当时综上：点睛：定义域为分母在上都不为0注意分母不一定为二次所以先考虑二次项系数为零解析：0k ≤<3.解：当k=0时，13 y=，满足条件当k0≠时，24120k k-<综上：0k3≤<．点睛：定义域为R，分母在R上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析：33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x的符号去绝对值，得到()f x的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间【详解】函数22223,0()23||23,0x x xf x x xx x x⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞-故答案为：33(,],[0,]44-∞-【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题18．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析：7 【解析】由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =, 从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.19．【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点由函数的草图确定不等式的解集【详解】在R 上是奇函数且在上是增函数∴在上也是增函数由得由得作出的草图如图所示：则或由图象得所以或所以的解集为故答案为：【点睛解析：(3,0)(0,3)-⋃【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点，由函数()f x 的草图确定不等式的解集. 【详解】()f x 在R 上是奇函数，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴()f x 在(,0)-∞上也是增函数，由(3)0f -=，得(3)0f =，由(0)(0)f f =--，得(0)0f =，作出()f x 的草图，如图所示：()0xf x <，则0()0x f x >⎧⎨<⎩ 或0()0x f x <⎧⎨>⎩，由图象得，所以03x <<或30x -<<，所以()0xf x <的解集为(3,0)(0,3)-⋃．故答案为：(3,0)(0,3)-⋃．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．属于中档题．20．【分析】由题设中的定义可对分区间讨论设表示整数综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设表示整数①当时此时恒有②当时此时恒有③当时此时恒有④当时此时此时恒有综上可知故答案为：【点睛】此题是新定义一个解析：{}0,1【分析】由题设中的定义，可对x 分区间讨论，设m 表示整数，综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设m 表示整数．①当2x m =时，1[0.5]2x m m +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，[]2x m m ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦． ∴此时恒有0y =．②当21x m =+时，1[1]12x m m +⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，[0.5]2x m m ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦． ∴此时恒有1y =．③当221m x m <<+时， 21122m x m +<+<+ 0.52xm m ∴<<+ 10.512x m m ++<<+ 2x m ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦，12x m +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∴此时恒有0y =④当2122m x m +<<+时， 22123m x m +<+<+ 0.512xm m ∴+<<+ 11 1.52x m m ++<<+ ∴此时2x m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112x m +⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ ∴此时恒有1y =．综上可知，{}0,1y ∈．故答案为：{}0,1．【点睛】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[]x 表示数x 的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想三、解答题21．（1）12m n =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析；（3）1[5]2，. 【分析】（1）二次函数()f x 的对称轴为1x =，得到()f x 为[]13，上的增函数，从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩ 得解（2）()()22f x g x x x x==+-，设任意的12)x x ∈+∞，且12x x <，用单调性的定义证明即可.（3）分离变量得2112()2()122x x k -=+，令 1()2x t =，换元得2112()22k t =-+ 利用函数在1[2]2，上单调递增，求得函数最大小值得解【详解】（1）因为0m >，二次函数()f x 的对称轴为1x =，所()f x 为[]13，上的增函数，从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+（2）()()22f x g x x x x==+-，设任意的12)x x ∈+∞，且12x x <，则()()22121122(2)(2)g x g x x x x x -=+--+- ()21x x =-+2122()x x -=()21122(1)x x x x --=()()2112122x x x x x x --12211202x x x x x x ≤∴-<>>，，所以()()1221200x x g x g x ->->，， ()()12g x g x ∴> 所以g ()2x x x=+—2为)+∞上的增函数. （3）因为函数(20)()2x xF x g k =-⋅=，在[]11x ∈-，上能成立即222202xx xk +--⋅= 在[]11x ∈-，有解整理得2112()2()122x xk -=+ 令 1()2xt =，因为[]111[2]2x t ∈-∴∈，，， 221122(2221)k t t t =--++=在1[2]2，上单调递增，12t ∴=，时min 12k =，2,t =时max 5k =，所以k 的取值范围为1[5]2，【点睛】利用函数的单调性求解函数最值的步骤： (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．22．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）172,4-- 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断即可；（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论；（3）利用（2）的结论，得到函数在区间上的单调性，进一步求得最值．【详解】函数1()f x x x=+的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞ （1）因为对任意的0x ≠，都有11()()()()()f x x x f x x x-=+-=-+=--，故函数()f x 为奇函数．（2）对区间[)1，+∞上的任意两个数1x 、2x ，且12x x <，则121212121212111()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-．由于1x 、[)21x ∈+∞，且12x x <，则121x x >，1210x x ->，120x x -<．从而12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，因此函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数．（3）由（2）知，函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数，由（1）知，函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在区间(],1-∞-上为增函数，则函数()f x 在区间[]41--，上为增函数，故()min f x =()1744f -=-，()()12max f x f =-=-．【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 23．（1）证明见解析；23m <≤2）存在；2m ≥或2m ≤-. 【分析】（1）运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤，可得f （x）在递增，由奇函数的性质推得f （x）在(递增，可得m 的不等式组，解得m 的范围；（2）运用韦达定理和配方，可得|x 1﹣x 2|的最大值，再由m 2+tm ﹣2≥0对任意t ∈[﹣1，1]恒成立，设g （t ）＝m 2+tm ﹣2＝tm +m 2﹣2，由一次函数的单调性可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当0a =时，任取12,x x ∈，12x x <，则()()()()()()()()()()2212212112121222222212212122222222222222x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，12x x <∈()()211220x x x x ∴--<，()()120f x f x ∴-<，即()f x在递增；∵()f x 为R 上的奇函数，∴()f x在(递增，又∵()f x 在区间(12,1)m m --递增，则121121m m m m ⎧≤-⎪⎪-≤⎨⎪-<-⎪⎩，解得2132m +<≤（2）由2212x a x x-=+，得220x ax --=，此时280a ∆=+>恒成立，由于1x ，2x 是方程220x ax --=的两实根，所以12122x x a x x +=⎧⎨=-⎩，从而12x x -==11a -≤≤，123x x ∴-=，不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立，当且仅当213m tm ++≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，即220m tm +-≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，设22()22g t m tm tm m =+-=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，(1)0(1)0g g ≥⎧∴⎨-≥⎩，即222020m m m m ⎧+-≥⎨-+-≥⎩，解得2m ≥或2m ≤-. 【点睛】方法点睛：证明函数的单调性.定义法：在定义域内任意取值、作差和变形、定符号和下结论；导数法：给函数求导，在定义域内判断导数的正负，若导数为正，则函数递增，若导数为负，则函数递减.24．（1）1-；（2）增函数，证明见解析；（3）2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据奇函数()00f =得1a =-，再检验即可得答案；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）由奇函数性质得()()121f m f m -<-，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】解：()1函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，()0010f a ∴=+=，，1a ∴=-，此时().22x x f x -=- 任取()()()()112222x x x x x f x f x --∈--=-=--=-，，，所以()f x 是奇函数．故1a =-. ()()2f x 在()11-，上是增函数；证明：由()1可知()122x xf x =-，，任取1211x x -<<<，则 ()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ()()12121212122212222122x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为121211,20x x x x +-<<><所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ，所以()f x 在()11-，上单调递增．()()3f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-．由已知()f x 在()11-，上是奇函数，()()1120f m f m ∴-+-<，可化为()()()11221f m f m f m -<--=-，又由()2知()f x 在()11-，上单调递增，11211m m ∴-<-<-<．解得213m <<．故实数m 的取值范围是213⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查根据奇函数性质求参数，函数单调性的证明，奇偶性与单调性解不等式，考查回归转化思想，与运算求解能力，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据奇偶性将不等式转化为()()121f m f m -<-，进而根据单调性得11211m m -<-<-<求解.25．（1）增函数；证明见解析；（2）当23m ≤-时，[)45,k m ∈++∞;当203-<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【分析】（1）用函数单调性的定义进行证明得解；（2）参变分离得到221m k x x ++≤，再换元转化为二次函数求最值得解. 【详解】（1）()f x 为[)2,+∞上的增函数证明如下：任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x < 则()121212121212444()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=- 21120,4x x x x ->>所以12()()f x f x <；所以()f x 为[)2,+∞上的增函数（2）由()f x kx ≤，得2m x kx x++≤ 212[,1],12m x k x x ∈∴++≤ 令1t x =，[]2211()21()1,(1,2)g t mt t m t t m m=++=++-∈ 则1[,1]2x ∈有解，当且仅当[]min ()(1,2)k g t t ≥∈0m <当132m ->即203-<<m 时，min ()(1)3g t g m ==+ 当1302m <-≤即23m ≤-时，min ()(2)45g t g m ==+ 综上，当23m ≤-时，[)45,k m ∈++∞. 当203-<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【点睛】函数不等式恒成立问题通常转化为函数最值问题，注意对参数进行讨论.26．（1）2()1x f x x =+；（2）证明见解析；（3）102t <<. 【分析】（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）利用增函数的定义证明即可；（3）由于函数是奇函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，再利用单调性可求解不等式【详解】（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即01b =，得0b =，因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221514a =+，解得1a =，所以2()1x f x x =+ （2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在(0,1)上是增函数.（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数，所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，所以2211112121t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得102t <<. 【点睛】关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2(120)f t f t -+<转化为()2()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题。

高中数学对函数的进一步认识映射同步练习北师大版必修一

对函数的进一步认识映射同步练习一、选择题1．对映射Bf：，下面命题A（1）A中的每一个元素在B中有且仅有一个象；（2）A中不同的元素在B中的象必不相同；（3）B中的元素在A中都有原象；（4）B中的元素在A中可以有两个以上的原象，也可以没有原象．A．1 B．2 C．3 D．42．点(x,y)在映射f下的象是(2x－y,2x＋y)，则点（4，6）在映射f下的原象是（）A． B． C．D．3．给出下列对应关系，⑴A=R、B=R＋、x∈A, 对应法则f: x→|x|；⑵A=R、B={y|y∈R且y≥1}，x∈A,对应法则f: x→y=x2－2x＋2.则可以判断（）A．⑴是从A到B的映射，⑵是从A到B的一一映射B．⑴是从A到B的一一映射，⑵是从A到B的映射C．⑴不是从A到B的映射，⑵是从A到B的映射，但不是一一映射D．⑴ 、⑵都是是从A到B的映射4．设2x x f →：是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝｛1，2｝，则B A ＝( )A ．∅B ．{1}C ．∅ 或 {2}D ．∅ 或 {1}二、填空题5．集合}0,0),{(<<+=y x y x P ，f 是集合P 到集合Q 的映射，在f 作用下，点（x ，y ）的象是（2x ,y ），则集合Q 中所有的象元素在直角坐标系中的第_________象限．6．已知从A 到B 的映射是1121+→x x f ：，则从A 到C 的映射→x f ：______．三、解答题7．判断下面的对应是否是从集合A 到集合B 的映射？是否是A 到B 上的一一映射？ },2|{Z x x x A ∈≥=，},0|{N y y y B ∈≥=，A x ∈，222+-=→x x y x f ：；8．设},,{c b a M =，N ＝｛－2,0,2｝（1）求从M 到N 的映射个数；（2）从M 到N 的映射满足：)()()(c f b f a f ≥>，试确定这样的映射f 的个数。

2019_2020年高中数学第二章函数2对函数的进一步认识2.3映射练习北师大版必修1(精编)

二、填空题
1 7．已知集合 A 到集合 B＝ {0 ，1，2，3} 的映射 ?：x→| x| ，那么集合 A中的元素最多有
________ 个．
1
11
1
解析：
当 |
x|
取
1， 2， 3
时， x
可取± 1，±
，± ，又不可能有 23
x 使| x| ＝ 0，∴ A 最多
有 6 个元素．答案： 6
2
8．?：A→ B是集合 A 到集合 B 的映射， A＝B＝ {( x，y)| x∈R，y∈ R}，?：( x，y) →（kx，
0≤ x≤４时，－ 4≤－ | x| 0≤ x≤４时，－ 2≤ x－2≤ 2，
答案： A
3．设集合
A 到集合
B映射为
1 g：y＝2x，集合 B 到集合
C 的映射
h：z＝ y2＋ 1，则集合
A
到集合 C的映射 ? 是( )
A．
1 2x(
y
2
＋
1)
B．
1 2x
2
＋
1
C． 1x2 ＋1 4
D．
1 (
y2
(1) 若 A＝ R， B＝ { x| x≥1} ，求 5，－ 5 的像；
(2) 若 A＝ { x| x≥0} ， B＝{ x| x≥1} ，求 228 的原像．解： (1) a＝ 5 时， a2＋ 3＝ 28， a＝－ 5 时， a2＋ 3＝28，
所以 5 与－ 5 的像都是 28. (2) 令 a2＋ 3＝ 228，又 a≥０得 a＝ 15，即 228 的原像为 15.
f
：
x→
2x＋ 2
1 是
A→ B 的映射，∴

北师大版高中数学必修一同步练习检测、映射

2-1、2-3 映射基础巩固一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N ＋，对应法则f ：x →y ＝|x －2|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎨⎧1x 0xC ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] A 中元素2无象，排除A ；C 中一个x 对应两个y ，与映射定义不符，排除C ；D 中元素0无像，排除D ，故只有B 正确．2．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面的命题为真命题的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有像 B ．B 中的每一个元素在A 中必有原像 C ．B 中的每一个元素在A 中的原像唯一 D ．A 中的不同元素的像必定不同 [答案] A[解析] 由映射的定义可知，集合A 中的每一个元素在B 中必有像，故选A. 3．已知(x ，y )在映射下的像是(x ＋y ，x －y )，则像(1,2)在f 下的原像为( ) A ．(52，32) B ．(－32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，－12)[答案] D[解析] 根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－12.4．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )[答案] D[解析] 对于A ，当x ＝0，y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，不是从A 到B 的映射；对于B ，当x ＝2时y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，也不是从A 到B 的映射；对于C ，当x ＝0时，y ＝1且y ＝2，即集合A 中的一个元素0与集合B 中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，所以是从A 到B 的映射．5．(2012·广州高一检测)下列说法正确的有( )①函数是从定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋1－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈Z )的图像是一条直线．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] B[解析] ①根据定义可知此命题是正确的；②要使f (x )有意义，必须满足⎩⎨⎧x －2≥0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≥2，x ≤1，故x ∈∅，定义中明确指出，函数建立在两个非空数集上，故此命题是错误的； ③因为函数y ＝2x 的定义域是Z ，故y ＝2x (x ∈Z )的图像是一些孤立的点，所以此命题是错误的．故应选B.6．下列各组中，集合P 与M 不能建立映射的是( ) A ．P ＝{0}，M ＝∅B ．P ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{2,4,6,8}C ．P ＝{有理数}，M ＝{数轴上的点}D ．P ＝{平面上的点}，M ＝{有序实数对} [答案] A[解析] 选项A 中，M ＝∅，故集合P 中的元素在集合M 中无元素与之对应，故不能建立映射．二、填空题7．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{m ，n }，则由A 到B 的一一映射的个数为________． [答案] 2[解析] 由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a ，b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．[答案] 1[解析] 因为f ：x →x ，∴M ＝N ， ∴b a＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1. 三、解答题9．已知映射f ：A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y )．(1)求A 中元素(5,5)的像； (2)求B 中元素(5,5)的原像；(3)A 中是否存在这样的元素(a ，b )，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝5， ∴(x ＋2y ＋2,4x ＋y )＝(17,25)． ∴A 中元素(5,5)的像是(17,25)．(2)设元素(5,5)的原像是(m ，n )，得⎩⎨⎧m ＋2n ＋2＝5，4m ＋n ＝5，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A 中存在这样的元素(a ，b )，则由题意得⎩⎨⎧a ＋2b ＋2＝a ，4a ＋b ＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－1，∴A 中存在元素(a ，b )使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).能力提升一、选择题1．已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝32x D ．f ：x →y ＝x[答案] C[解析] 对于A ，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，f ：x →y ＝12x 能构成A 到B 的映射；对于B,0≤13x ≤43，也能构成集合A 到集合B 的映射；对于C,0≤32x ≤6，而[0,6][0,2]，所以不能构成从A 到B 的映射；对于选项D,0≤x ≤2，能构成从A 到B 的映射．2．(2012·东营高一检测)已知集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，若f 是M →N 的映射，且f (a )＝0，则这样的映射共有( )A ．4个B ．6个C ．9个D ．27个[分析] 通过本题考查映射的概念．同时又加深了像与原像的关系理解，是一道“源于课本，高于课本”的好题．[答案] C[解析] ∵f (a )＝0.本题就转化为M ＝{b ，c }到N ＝{－1,0,1}的映射个数问题．当f (b )＝－1时f (c )可以等于－1,0,1三种情况．同理当f (b )＝0或1时，f (c )也各有三种情况．∴共构成9个映射，故选C. 二、填空题3．下列对应是集合A 到集合B 的一一映射的是________(填正确序号)． (1)A ＝N ，B ＝{－1,1}，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝(－1)x ； (2)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}，f ：x →y ＝13x ；(3)A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥1}，f ：x →y ＝1x；(4)A ＝{三角形}，B ＝R ，f ：三角形与它面积的对应． [答案] (2)[解析] (1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A 中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．4．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1，2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下A →B 的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数是________．[答案] 4[解析] ∵|－3|＝3，|－2|＝2，|－1|＝1，∴－3,3→3，－2,2→2，－1,1→1,4→4，B 中元素有4个．三、解答题5．下列对应是不是从A 到B 的函数？是不是从A 到B 的映射？ (1)A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；(2)A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →y ＝1x.[解析] (1)当x ∈N 时，则|x －3|∈N ，即A 中的元素在B 中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，它是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，y ＝10没有意义，即A 中元素0在B 中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？对于关系式x ＝1，显然有x ∈{1}，y ∈R ，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x ＝1”不是y 关于x 的函数．6．从集合A 到B 的映射是f ：x ―→y ＝x2x ＋1，从集合B 到C 的映射是f ：y ―→z ＝y 2－4y ，则A 中元素1在C 中的像是什么？C 中的元素0对应A 中的原像是什么？[解析] A 中元素1在B 中对应的元素为12×1＋1＝13，B 中元素13在C 中对应的元素是(13)2－4×13＝－119，故A 中元素1在C 中的像是－119. C 中的元素0在B 中的原像是0或4.B 中的元素0在A 中的原像是0；B 中的元素4在A 中的原像是－47，所以C 中的元素0在A 中的原像是0或－47.7．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像；(2)试探索B 中元素满足什么条件时在A 中存在原像？[解析] (1)由题意知⎩⎨⎧－xy ＝3，x －y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝1.所以B 中元素(3，－4)在A 中的原像为(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足⎩⎨⎧－xy ＝a ①x －y ＝b ②，由②得y ＝x －b 代入①式并化简，得x 2－bx ＋a ＝0③当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实根，所以，只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原像．。

北师大版高中数学(必修122对函数的进一步熟悉同步测试题

第二章函数函数概念(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每题5分，共20分)1.以下两个函数完全相同的是…………………………………()A.y＝x2x与y＝x B.y＝x2与y＝xC.y＝(x)2与y＝xD.y＝3x3与y＝x【解析】A中y＝x2x的概念域为{x|x≠0}，而y＝x的概念域为R；C中y＝(x)2的概念域为［0，＋∞)，而y＝x的概念域为R，故A、C错；B中y＝x2＝|x|与y＝x的对应关系不同，因此B错；D中y＝3x3＝x与y＝x概念域与对应关系均相同，故D对.【答案】D2.函数y＝1x＋1的概念域是…………………………………()A.［－1，＋∞)B.［－1,0)C.(－1，＋∞)D.(－1,0)【解析】要使函数式成心义，须知足x＋1>0，∴x>－1，故概念域为(－1，＋∞).【答案】C3.如下图，可表示函数图象的是…………………………………()A.①B.②③④C.①③④D.②【解析】因为在②图中，给定x的一个值，有两个y值与它对应，不知足函数的概念，而①、③、④均知足函数概念.【答案】 C4.已知f(x)＝x 2＋1，那么f ［f(－1)］的值等于[JY 。

] …………………………………( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】 f(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝5.【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5.用区间表示以下数集：(1){x|x ≥1}＝ . (2){x|2<x ≤4}＝ .(3){x|x>－1且x ≠2}＝ .【答案】 (1)［1，＋∞) (2)(2,4］ (3)(－1,2)∪(2，＋∞)6. 函数y ＝－x 2＋2x ＋1的值域为 .【解析】 ∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2，∴函数的值域是(－∞，2］.【答案】 (－∞，2］.三、解答题(每题10分，共20分)7.求以下函数的概念域(1)f(x)＝x ＋1x －1； (2)f(x)＝11＋1x . 【解析】 (1)要使函数成心义，须⎩⎨⎧ x ＋1≥0x －1＞0⎩⎨⎧ x ≥－1x ＞1x ＞1∴f(x)的概念域为(1，＋∞)(2)要使函数成心义，须⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠01＋1x ≠0x ≠0且x ≠－1∴f(x)的概念域为{x|x ∈R 且x ≠0且x ≠－1}.(]22111113(1)(1)(,1,1)11f x x a x x x ⎛⎤+=++-∞⊆-∞-+-=++ ⎥⎝⎦ 8.已知函数f(x)＝x 2＋x －1.(1)求f(2)；(2)求f(1x＋1)；(3)假设f(x)＝5，求x 的值. 【解析】 (1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2)2211113(1)(1)(1)11f x x x x x+=+++-=++. (3)f(x)＝5，即x 2＋x －1＝5，即x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.9.(10分)已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1］上成心义，求实数a 的取值范围.【解析】已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)，∵ax ＋1≥0，a ＜0， ∴x ≤－1a ，即函数的概念域为1,a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. ∵函数在区间(－∞，1］上成心义，∴(]1,1,a ⎛⎤-∞⊆-∞- ⎥⎝⎦， ∴－1a≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0，即a 的取值范围是［－1,0).。

2019—2020年最新北师大版高一数学映射同步练习(精品试题)

映射1．已知集合M ＝{x|0≤x ≤6}，P ＝{y|0≤y ≤3}，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x 解析选项C 中，集合M 中元素6没有像，不是映射．答案 C2．已知集合A ＝N ＋，B ＝{a|a ＝2n －1，n ∈Z}，映射f ：A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是( )．A ．3B ．5C ．17D ．9解析利用对应法则转化为解方程．由题意，得2a －1＝17，解得a ＝9.答案 D3．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )．A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析将函数y＝f(x)的图像向左平移一个单位得函数y＝f(x ＋1)的图像，由于定义域均是R，则这两个函数图像上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．故选择A.答案 A4．设集合A和B都是自然数集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，则在映射f下，A中的元素________对应B中的元素3.解析对应法则为f：n→2n＋n，根据题意2n＋n＝3，可得n ＝1.答案 15．已知：A ＝{a ，b ，c}，B ＝{1,2}，从A 到B 建立映射f ，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析 ∵B ＝{1,2}，f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，∴f(a)，f(b)，f(c)当中有一个取2，另两个取1.∴只有3种对应方法．答案 36．A ＝R ，B ＝{(x ，y)|x 、y ∈R}，f ：A →B ，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)．(1)求A 中元素2的像；(2)B中元素⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，54的原像．解 (1)x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3， ∴2的像是(2＋1,3)．(2)设B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，54的原像为x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 32＝x ＋1，54＝x 2＋1，得x ＝12. ∴B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，54的原像为12. 综合提高 257．下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )．A ．S ＝N ，T ＝{－1,1}，对应法则是(－1)n ，n ∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法则是取倒数 D ．S ＝{x|x ∈R}，T ＝{y|y ∈R}，对应法则是x →y ＝1＋x 1－x解析判断映射方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受f 作用，作用的结果是否一定在B 中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A符合定义；B是一对多的对应；C 命题中的元素0没有像；D命题集合S中的元素1也无像．答案 A8．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：表1 映射f的对应法则原1 2 3 4像像 3 4 2 1表2 映射g的对应法则原1 2 3 4像像 4 3 1 2则与f[g(1)]相同的是( )．A．g[f(1)] B．g[f(2)] C．g[f(3)] D．g[f(4)]解析f(a)表示在对应法则f下a对应的像，g(a)表示在对应法则g下a对应的像．由表1和表2，得f[g(1)]＝f(4)＝1，g[f(1)]＝g(3)＝1，g[f(2)]＝g(4)＝2，g[f(3)]＝g(2)＝3，g[f(4)]＝g(1)＝4，则有f[g(1)]＝g[f(1)]＝1.答案 A9．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P 能建立不同映射的个数是________．解析集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M 到P能建立34＝81个不同的映射．答案8110．已知(x，y)在映射f作用下的像是(x＋y，xy)，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．解析根据条件可知x＝3，y＝4，则x＋y＝3＋4＝7，xy＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x，y)，则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2.所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)．答案 (7,12) (－2,3)或(3，－2)11．已知集合A ＝{1,2,3，k}，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a}，且a ∈N ，k ∈N ，x ∈A ，y ∈B ，映射f ：A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，求a 及k 的值．解 ∵B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，∴A 中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a 4＝10或a 2＋3a ＝10.∵a ∈N ，∴由a 2＋3a ＝10，得a ＝2.∵k 的像是a 4，∴3k ＋1＝16，得k ＝5.∴a ＝2，k ＝5.12．(创新拓展)已知集合A ＝{x|(x －1)(x 2＋3x －4)＝0}，集合B＝{a，a＋5，a2－2a－5}，映射f：A→B是“加2”，求实数a的值，并判断映射f：A→B是不是一一映射？解∵(x－1)(x2＋3x－4)＝0，∴x1＝x2＝1，x3＝－4，∴集合A＝{1，－4}，∵映射f：A→B是“加2”，∴1＋2＝3∈B，－4＋2＝－2∈B.①当a＝3时，a＋5＝8，a2－2a－5＝－2，∴B＝{3，－2,8}．此时8无原像，∴f：A→B不是一一映射．②当a＝－2时，a＋5＝3，a2－2a－5＝3.∴B＝{－2,3}，与B有三个元素矛盾，∴a≠－2.③当a＋5＝－2时，a＝－7，a2－2a－5＝58，∴B＝{7，－2,58}，与3∈B矛盾，∴a≠－7.④当a2－2a－5＝－2时，a1＝3，a2＝－1.当a＝3时，B＝{3，－2,8}；当a＝－1时，a＋5＝4，B＝{－2，－1,4}，与3∈B矛盾，则a≠－1.∴a＝3，B＝{－2,3,8}，映射f：A→B不是一一映射．。

北师大版高中数学必修一课后训练2.2.3映射.docx

课后训练基础巩固1．在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为( )．①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像③集合B中可能有元素在集合A中无原像④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个A．①②B．②③C．③④D．①④2．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是( )．A．12y x= B．13y x=C．23y x= D．18y x=3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )．A．M＝N＝R，f：x→y＝1x-，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝1||x x+，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N4．已知(x，y)在映射f下的像是(x＋y，x－y)，则(2 010，2 012)在映射f下的原像是( )．A．(2 011，－1) B．(－1,2 011)C．(4 022，－2) D．(－2,4 022)5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )．A．4 B．5 C．6 D．76．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果B中的元素都是A 中的元素在f下的像，则这样的映射有( )．A．16个 B．14个C．12个 D．8个能力提升7．设映射：f：x→－x2＋2x是实数集M到实数集N的映射．若对于实数p∈N，在M中不存在原像，则p的取值范围是________．8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．9．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并且满足：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中的元素(3，－4)在A中的原像；(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系．10．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．11．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→1||1x-，试问集合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.12．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．13．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B 中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)A中是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是它本身？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．(2)判断这个映射是不是一一映射．参考答案1．A 点拨：映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，允许A中不同的元素在B中有相同的像，故①②不正确．2．C 点拨：对于选项C，A中的元素843→∉B，∴f：x→y＝23x不能构成A到B的映射．3．D 点拨：A中集合M的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.4．A 点拨：∵2010,2012,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴2011,1,xy=⎧⎨=-⎩5．A 点拨：∵a∈A，A＝{－3，－2，－1，1,2,3,4}，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．6．B 点拨：由题意知，从集合A到集合B的映射总个数是24＝16个，因为B中的元素都是A中的元素在f下的像，所以要除去A中1,2,3,4都对应－1和1,2,3,4都对应－2这两个，故满足题意的映射共有16－2＝14个，故应选B.7．(1，＋∞) 点拨：由题意可得，若p在M中不存在原像，说明方程－x2＋2x＝p无实解，即方程x2－2x＋p＝0的判别式Δ＝4－4p＜0，∴p＞1.8．6,4,1,7 点拨：根据题意得214,29,2323,428,a bb cc dd+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩解得6,4,1,7.abcd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∴明文为6,4,1,7.9．解：(1)设(x，y)是B中的元素(3，－4)在A中的原像，∴3,4,xyx y-=⎧⎨-=-⎩解得1,3xy=-⎧⎨=⎩或3,1.xy=-⎧⎨-⎩∴(3，－4)在A中的原像有两个，分别为(－1,3)与(－3,1)．(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足,.xy ax y b-=⎧⎨-=⎩①②由②可得y＝x－b，将它代入①式并化简得x2－bx＋a＝0③.当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数解，因此只有当B中的元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知：只有当B中的元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像．10．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴仅有a2＋3a＝10，得a＝2.则有k的像是a4.∴3k＋1＝24，得k＝5.11．解：∵f：x→1||1x-是从集合A到集合B的映射，∴A中每一个元素在集合B中都应该有像．令1||1x-＝0，该方程无解．故0没有原像．分别令1||1x-＝1,2,3可得x＝±2，32±，43±.故集合A 中的元素最多为6个，即33442,2,,,,2233A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭. 12．解：①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a ，2a ]⊆[－1,1]，即2121,a a -≥-⎧⎨≤⎩ ∴0≤a ≤12. ②当a ＜0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即21,21,a a ≥-⎧⎨-≤⎩∴12-≤a ＜0. 综合①②可知1122a -≤≤. 13．解：(1)假若A 中存在元素(a ，b )，使它的像仍是它本身，则有321,431,a b a a b b -+=⎧⎨+-=⎩解得，0,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 这说明，存在元素10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，使它在B 中的像还是它本身． (2)由(1)的求解及结果可知，在A 中的任意元素(x ，y )(x ，y ∈R )使得方程组321,431x y x x y y -+=⎧⎨+-=⎩都有唯一解，这说明对B 中任意元素，在A 中有唯一的原像，所以映射f ：A →B 是A 到B 的一一映射．。

新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（） A ．30a -≤< B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <3．若函数()f x =在[]1,3-上具有单调性，则实数a 的可能取值是（）A ．4-B ．5C ．14D ．234．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（） A ．52B ．1C ．0D ．-15．对于每个实数x ，设()f x 取24y x =-+，41y x =+，2y x =+三个函数值中的最小值，则()f x （） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值83，最小值1 C ．有最大值3，无最小值D ．有最大值83，无最小值 6．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为（） A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-7．已知函数()3221x f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<8．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞9．若定义运算,,b a b a b a a b≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2242g x x x x =--+*-+的值域为（） A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞10．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f11．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（） A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-二、填空题13．关于函数21()11x f x x -=+-的性质描述，正确的是_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.14．若函数f (x )=(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(,1]-∞，则a=_____.15．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．16．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2x g x f f x =+-的定义域是________.17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．18．当12x x ≠时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称函数()f x 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是__________． ①y x =②||y x =③2y x ④2log y x =19．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，则不等式()()f x f x >-的解集为_______________．20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题21．已知函数2()f x x bx c =++的图象经过坐标原点，且()1y f x =+为偶函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤；（3）记函数|()2|y f x x m =--在区间[]0,4的最大值为()G m ，直接写出()G m 的最小值．22．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 23．已知函数()x af x x+=（a 为常数），其中()0f x <的解集为()4,0-. （1）求实数a 的值；（2）设()()g x x f x =+，当()0x x >为何值时，()g x 取得最小值，并求出其最小值. 24．已知二次函数()2f x ax bx =+满足()20f =，且方程()f x x =有两个相等实根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .若存在，求,m n 的值，若不存在，请说明理由. 25．已知函数()()kf x x x R x=+∈，且()()12f f =. （1）求k ；（2）用定义证明()f x在区间)+∞上单调递增.26．已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数；（3）求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．B解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，01215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.3．C解析：C 【分析】令函数()218g x x ax =-++，则只需使当[]1,3x ∈-时，()0g x ≥且单调，然后针对()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩两种情况讨论求解. 【详解】由题意可设()218g x x ax =-++，则当[]1,3x ∈-时，()218g x x ax =-++单调，且()0g x ≥恒成立，因为()218g x x ax =-++的对称轴方程为2a x =，则()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩，解得617a ≤≤或32a --≤≤，即[][]6,173,2a ∈--，则只有14满足题意．故选：C ．【点睛】本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围，解答时注意不仅要使原函数在所给区间上单调，且必须使原函数在所给区间上有意义.4．B解析：B 【分析】首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B 【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数()f x 的解析式. 5．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可得出结论. 【详解】由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++，作出函数()f x 的图象如下图所示：函数()f x 的图象如上图中的实线部分，联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由图象可知，函数()f x 有最大值83，无最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数()f x 的定义，进而作出函数()f x 的图象，利用图象得出结论.6．C解析：C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，()10,112x∴∈+，()11,012x∴-∈-+， 1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭，即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由高斯函数定义可知：函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.7．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增，令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<．故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.8．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞）故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.9．A解析：A 【分析】根据,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.【详解】由,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，得()()()222,[2,1]24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩，当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]，当(1,)(,2)x ∈+∞-∞-，()2()154g x x =-++<，可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.10．D解析：D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.11．D解析：D 【解析】因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.12．B解析：B 【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]；当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤．故选：B ．二、填空题13．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④．【详解】函数21()x f x -=21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒，当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()11f x x x==+-，则()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.14．【分析】根据函数f(x)=(x ＋a)(bx ＋a)(常数ab ∈R)是偶函数利用得到进而得到或然后分类讨论即可求解【详解】函数f(x)=(x ＋a)(bx ＋a)(常数ab ∈R)是偶函数明显可知该函数定义域解析：±1【分析】根据函数f (x )=(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，利用()()f x f x -=，得到(1)0a b +=，进而得到0a =或1b =-，然后，分类讨论即可求解【详解】函数f (x )=(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，明显可知，该函数定义域为x ∈R ，令1x =和1x =-得(1)(1)()f a b a =++(1)(1)()f a a b =-=--，得22a b ab a a ab a b +++=--+⇒a ab ab a +=--(1)0a b ⇒+=，可得0a =或1b =-；若0a =，则2()f x bx =，若0b >，不满足()f x 的值域为(,1]-∞，0b =，明显不成立，0b <时，不满足()f x 的值域为(,1]-∞，所以，0a =时，不符题意；若1b =-时，22()()()f x x a a x a x =+-=-，由于20x -≤，则2()f x a ≤，所以，21a =，求得1a =±故答案为：±1 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用()()f x f x -=，得到(1)0a b +=，然后，分别讨论0a =和1b =-两种情况进行分类讨论，主要考查学生分类讨论的思想，难度属于中档题 15．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函解析：[1,2]【分析】由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论．【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤．故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．16．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的解析：()0,2【分析】根据题意，得到函数()g x 满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即2202x x -<<⎧⎨<<⎩，解得02x <<，即函数()g x 的定义域为()0,2. 故答案为：()0,2. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析：33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间【详解】函数22223,0()23||23,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞- 故答案为：33(,],[0,]44-∞- 【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题18．③【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数如①不满足严格下凸函数的定义对于②当同号时相等不满足定义；对于③作差可知对于④因为所以不正确故选③点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较属于创新题有一定难度解析：③按照严格下凸函数的定义检测四个函数，如①121222x x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x ++=，不满足严格下凸函数的定义，对于②，121222x x x xf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()121222x x f x f x ++=，当1x ，2x 同号时，相等，不满足定义；对于③2121222x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22121222f x f x x x ++=，作差可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，对于④12122l 22x xx x f og ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()122122212l l 1l 222f x f x og x og x og x x og ++===，因为122x x +>不正确，故选③.点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较，属于创新题，有一定难度.解决此类问题时，要紧扣新给出的定义、法则、运算，然后去甄别那些符合这些要求，本题在给出严格下凸函数的定以后，要去应用定义，看看那个函数符合这一要求，解题中遇到大小比较时可以作差比较.19．【分析】由表达式可知函数为奇函数则等价转换为解不等式即可【详解】因为当时则；同理当时又综上所述为奇函数则即当时解得；当时解得故的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式函数奇偶性解析：()()2,02,-+∞【分析】由表达式可知，函数()f x 为奇函数，则()()f x f x >-等价转换为()0f x >，解不等式即可【详解】因为2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，当0x >时，0x -<，则()()()2222f x x x x x -=----=-+，()()f x f x -=-；同理当0x <时，()()()220,22x f x x x x x ->-=---=+，()()f x f x -=-，又()00f =，综上所述()f x 为奇函数，则()()()()f x f x f x f x >-⇔>-，即()20f x >，当0x >时，()2020f x x x >⇔->，解得2x >；当0x <时，()2020f x x x >⇔-->，解得20x -<<，故()()f x f x >-的解集为()()2,02,-+∞故答案为：()()2,02,-+∞方法点睛：本题考查由分段函数解不等式，函数奇偶性的判断，常用以下方法：（1）对于分段函数判断奇偶性可用定义法，也可采用数形结合法，结合图象判断；（2）由函数性质解不等式可采用代数法直接运算求解，也可结合函数图象求解.20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和解析：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，所以()2221m m -<，即()22210m m --<，即()()3110m m --<，解得113m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）2()2f x x x =-；（2）证明见解析；（3）,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩，()G m 的最小值为2．【分析】（1）由题意得，(0)0f =，再由偶函数的图象关于y 轴对称，求得,b c ，可得出函数的解析式；（2）原问题等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，求得()2f x x -的范围，即可得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，讨论m 的大小并结合二次函数的图象进行分析；【详解】（1）由题意得，(0)0f =，即0c ，所以2()f x x bx =+，()22+2+++(+1)(+1)(1+1)f x x b x x b x b =+=，因为()1y f x =+为偶函数，所以202b+-=，即2b =-，所以2()2f x x x =-；（2）对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，则当[][]0,4,()4,0x g x ∈∈-，即对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，故得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，当4m ≤-时，由（2），因为对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，则此时2(2)40x m ---≥，即有2(2)4,y x m =---，故0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-；当42m -<<-时，如图，由图，可得此时在0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-；当2m ≥-时，如图或，由图，可得此时在2x =时，y 有最大值，即()4G m m =--，综上,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩；当2m <-时，()2G m >，当2m ≥-时，()2G m ≥，故()G m 的最小值为2．【点睛】方法点睛：解决关于二次函数在某区间上的值域时，注意讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，再根据二次函数的单调性得出最值. 22．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k=-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围；（3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n=⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值.【详解】（1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a bb a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+（2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k=- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意当12k >时，1012k<-恒成立综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =-4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围. 23．（1）4a =；（2）当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【分析】（1）利用不等式的解集，推出对应方程的根，然后求解a ．（2）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可．【详解】（1）因为()00x af x x+<⇔<的解集为()4,0-，故()0x af x x+==一个根为-4， 404a-+=- 得4a =（2）()()441x g x x f x x xx x+=+=+=++ 因为0x >，所以4115x x ++≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；所以当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 24．（1）()212f x x x =-+；（2）存在，4,0m n =-=. 【分析】（1）由()20f =得到,a b 的关系，根据()f x x =有两个相等实根求b ，即可写出()f x 的解析式；（2）将()f x 函数式化为顶点式知16n ≤，进而有[],m n 在1x =的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在,m n 值. 【详解】（1）由()20f =得：420a b +=①；由()f x x =有等根得：()210ax b x +-=有等根，∴()210b ∆=-=，得1b =，将1b =代入①得：12a =-， ∴()212f x x x =-+；（2）()()221111222f x x x x =-+=--+， ∴132n ≤，即16n ≤，而()f x 对称轴为1x =，即[],m n 在1x =的左边， ∴由二次函数的性质知：()212f x x x =-+在区间[],m n 上单调递增，则有()3()3m n f m m f n n <⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4,0m n =-=，故存在实数4,0m n =-=，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n . 【点睛】关键点点睛：由有相等实根结合判别式求参数值，根据二次函数的性质：最值判断参数范围，在结合区间相对于对称轴的位置，并由其单调性列方程组求参数值确定存在性. 25．（1）2；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题得122k k +=+，解方程即得解；（2）利用定义法证明函数在区间)+∞上单调递增.【详解】（1）由()()12f f =得122k k +=+，解得2k =，所以()2f x x x=+（2）21x x ∀>> ()()21212122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭ ()()1221122x x x x x x -=-，∵21x x >>，∴210x x ->，212x x >，∴()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x在区间)+∞上单调递增. 【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论. 26．（1）()()20f x x x x =-+≠；（2）证明见解析；（3）()max 1f x =-，()min 235f x =-. 【分析】（1）将点坐标代入解析式，求出,a b 的值；（2）设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，判断()()12f x f x >即可；（3）利用函数的单调性，将端点值代入，即可得答案；【详解】（1）由()f x 的图象过A 、B ，则1212a b b a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ()()20f x x x x=-+≠. （2）证明：设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <， ∴()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2121122112122=2x x x x x x x x x x x x --+-+= 由1x ，()20,x ∈+∞，得120x x >，1220x x +>. 由12x x <，得210x x ->. ()()12 0f x f x ∴->，即()()12f x f x >.∴函数()f x 在()0,∞+上为减函数.（3）由（2）知函数为减函数，∴()()max 21f x f ==-，()()min 2355f x f ==-. 【点睛】利用待定系数法求函数的解析式，利用定义证明函数的单调性注意取值的任意性，及作差、因式分解、判断符号的步骤.。

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第二章函数
2.3映射
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2}，则下列对应不是从A到B的映射的是…()
【解析】A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应.故选C.
【答案】 C
2.下列对应为A到B的函数的是…………………………………()
A.A＝R，B＝{x|x＞1}，f：x→y＝|x|
B.A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x
D.A＝［－1,1］，B＝{0}，f：x→y＝0
【解析】由函数的定义可知，对于A，0∈R，且|0|＝0B，故A不是A到B 的函数；
对于B，0∈Z，且02＝0N＋，故B不是A到B的函数；
对于C，当x＜0时，如－2∈Z，但－2无意义，故C不是A到B的函数；
对于D，是多对一的情形，
符合函数的定义，是A到B的函数.
【答案】D
3.下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是……………………………………………………………………()
A.f：x→x2－x
B.f：x→x＋(x－1)2
C.f：x→x2＋1
D.f：x→x2－1
【解析】因为集合B中的每个元素都可以写成n2－1的形式.
【答案】D
4.设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是……………………………………………………………………()
A.f ：x→y ＝12x
B.f ：x→y ＝13
x C.f ：x→y ＝23
x D.f ：x→y ＝x 【解析】根据映射的概念，对于集合P 中的每一个元素在对应法则f 的作用下，集合Q 中有唯一的元素和它对应.选项A 、B 、D 均满足这些特点，所以可构成映射.选项C 中f ：
x→y ＝23x ，P 中的元素4按照对应法则有23×4＝83>2，即83
Q ，所以P 中元素4在Q 中无对应元素.故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 .
【解析】 ∵f(x)的图象是由两条线段组成，
∴由一次函数解析式求法可得
f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋1－x
－1≤x ＜0，0≤x≤1. 【答案】 1()x f x x +⎧=⎨-⎩ [)[]
1,00,1x x ∈-∈ 6.如果映射f ：A→B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对应任意a ∈A ，在B 中都不惟一确定的|a|和它对应，则映射的值域为 .
【解析】根据题意，可以发现映射为f ：x→|x|，故值域为{1,2,3,4}.
【答案】 {1,2,3,4}
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，集合B ＝{－1,1,3,5,7,9}，集合C ＝{－8，－2,4,10,16,22}，对应关系f 为“乘2减3”，对应关系g 为“乘3减5”，分别求下列映射所对应的函数表达式.
(1)映射f ：A→B ；
(2)映射g ：B→C ；
(3)映射h ：A→C.
【解析】 (1)∵y ＝f(x)，∴函数表达式为y ＝2x －3；
(2)∵y ＝g(x)，∴函数表达式为y ＝3x －5；
(3)由题意得y ＝h(x)＝g(f(x))，
∵g(f(x))＝3f(x)－5＝3(2x －3)－5＝6x －14.
∴函数表达式为y＝6x－14.
8.如图所示，
在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：y与x之间的函数解析式.
【解析】当0≤x≤4时，S△APB=×4x=2x；
当4＜x≤8时，S△APB=×4×4=8；
当8<x≤12时，S△APB=×4×(12-x)=24-2x，
∴
2
8
242
x
y
x
⎧
⎪
=⎨
⎪-
⎩
()
()
()
04
48
812
x
x
x
≤≤
<≤
<≤
9.(10分)某市场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下表所示的关系.
x …30 40 45 50 …
y …60 30 15 0 …
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【解析】(1)由上表作出点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)，
它们近似地在一条直线上，如图.
设它们共线于直线y=kx+b.
∴
5003, 4515150.
k b k
k b b
+==-⎧⎧
⇒
⎨⎨
+==
⎩⎩
∴y=-3x+150(x∈N).
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上.
所以所求函数解析式为y=-3x+150(x∈N).
(2)依题意
P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)
=-3(x-40)2+300.
∴当x=40时，P有最大值是300，
∴销售价为40元时，才能获得最大利润.。