第十讲——卷积码性能分析
2012.卷积码
输入 … i ＋ 1m i m p i,1 mi p i,2 输出
12
我们称G∞为该卷积码的生成矩阵。 由此矩阵看出,
这是一个半无限矩阵。 它有无限多的行和列。 但是,仔 细观察G∞ 可知，它的每一行都是前一行右移n0(3)位的 结果,也就是说它完全由第一行决定。 若第一行决定了, 则该码的G∞矩阵也就完全决定了。 我们把决定G∞的第 一行取出,并表示成 g∞=［111,010,001,000,000,…］=［g0,g1,g2,0,0,…］ (10.2.2)
7
一、 卷积码的生成矩阵
卷积码的一般编码器如图 10 - 3所示。 在某一时刻i,
输入到编码器的是由k0个信息元组成的信息组mi,相应地输 出序列是由n0 个码元组成的子码ci 。 若输入的信息序列
m0,m1,…,mi,…是一个半无限序列,则由卷积码编码器输出的
序列,也是一个由各子码c0,c1,…,ci,…组成的半无限长序列,称 此序列为卷积码的一个码序列。
c i(3)
(3,2,2)卷积码编码器
G (D) 1 0
g
0 1
2 1 D 1 D
101 000 001 000 011 001 000 000 g 0 , g 1 , g 2 , 0, ...
... ...
26
101 011 C M G M
CDMA系统中卷积码的性能分析
3
结
语
Pb, Pba 和 Pc。 Pb 是卷积编码前收发比特的误码率，Pba 是 卷积编码后的误比特率，Pc 是 WALSH 扩频后的码片误
码率。 假设三种情况下的发送数字信号能量相等。 图 1 和图 2 为带卷积功能多径信道的 BER 曲 线 。 软判决译码得到比硬判决译码高于 2.5dB 的增 益 。 当误比特率为 2 ×10-2 时 ， 对于无卷积系统需要
∞
MA 技术由于能提供大的系统容量而成为大部分采
用无线方式的多媒体系统首要选择 。 然而 ，由于无线 信道本身的多径特性 ， 移动终端经常收到深度衰落 而产生随机性差错 。 为了在无线通信系统中实现高
QOS （ 服务质量 ）， 出现了一些解决或减轻这些问题
的技术 ，其中对语音信号编码的方案是最佳方案 。 在 本文中 ，我们以北美标准 IS-95 系统为模型来研究卷 积编码 ， 所得结果适用于各种 CDMA 系统模型 。 在
用硬判决译码只需要 4.2dB 的信噪比环境 ， 采用软 判决译码只需要 2.5dB 的环境 。
列和系统始终保持同步 ， 噪声完全由 AWGN 信道所 带来 。 设有四条通道路径 ， 它们时延常数 β 分别为
0.721 3 、0.518 6、 0.372 8、 0.268 0。 通 过 模 拟 并 且
Pb，soft (e)< 鄣T(D，N) 襔 鄣N N=1 ，D=e 1.4
-
Ec No
不采用卷积编码时系统的误比特率 其信噪比和误比特率分别为 ：
2
10-1
b -Tb 2 E b SNR= i = No No 2 BER=Q( 姨SNR )=Q(
10-2
卷积码
译码主要确定译码规则，使其差错率最小
1 2 – 译码器根据接收序列来产生信息序列M的一个估值M’,如果两者不同，
则表示译码出错 – 如信道传输的码字是X，当且只有当接收序列Y不等于X时，出现译码错 误
最大似然译码
译码主要确定译码规则，使其差错率最小
– 译码器必须根据接受序列y来产生信息序列M的一个估计
§12.1.1 卷积码的图解表示
树状图- tree
– 一个(2,1,3)卷积码编码器。 假设初始状态为全0 第一个比特输入为 0－>00 ，1－>11 第二个比特输入时，第一个比特右移一位，这时输出比特同时受前输入比 特和前一位比特决定 ...... 第四个比特输入时，第一个比特移出移位寄存器而消失
编码后序列。由于卷积码的线性性质，所有码序列之间的最 小汉明距应等于非零码序列的最小汉明重量，即非零码序列 中1码的个数。由此可见，要求最小距或自由距，只要考虑码 树中下半部的码序列就可以了 – 例： abca abcb abdc abdd 5 3 4 4 因而：dmin = 3
§12.2 卷积码的距离特性
维特比译码
进入第四级网格时，4条幸存支路又延伸为8条， 经计算路径量度并比较后又丢弃其中4条。在 比较是如果出现量度相同的情况，可以任意选 取其中一条。继续下去，到第10步时，会发现， 所有幸存路径已经合并称为一条全0路径，纠 错完毕。 译码结束的判断:可以在网格图的终结出加上 (N-1)*K个已知信息(即N-1条支路)，发送固定 码，如全零，作为结束信息。
– 应用最多也是性能最接近最佳的是维特比译码，但
是硬件复杂。门限译码性能最差，但硬件简单。维 特比译码和序列译码都是建立在最大似然译码的基 础之上的
卷积码的性能分析PPT24页
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卷积码的性能分析
6
、
露
凝
无
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高
风
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将Biblioteka 旧居。8、吁
嗟
身
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，
于
我
若
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烟
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
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南
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以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
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6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
卷积码
引言卷积码是深度空间通信系统和无线通信系统中常用的一种差错控制编码。
在编码过程中,卷积码充分利用了各码字间的相关性。
在与分组码同样的码率和设备复杂性的条件下,无论从理论上还是从实践上都证明,卷积码的性能都比分组码具有优势。
而且卷积码在实现最佳译码方面也较分组码容易。
因此卷积码广泛应用于卫星通信，CDMA数字移动通信等通信系统，是很有前途的一种编码方式。
对其进行研究有很大的现实意义。
1 、(2.1.2)卷积码的基本概念1.1(2.1.2)卷积码的结构图(2.1.2)卷积码的编码器由两级移位寄存器组成，它的存数(Q0，Q1)有四种可能：00，10，01和11，相应于编码器的四个状态S0, S1, S2和S3。
(2.1.2)卷积码编码器如图1：由图可知，该卷积码的生成多项式为于是，得到的码多项式是1.2(2.1.2)卷积码的网格图表示为了表示卷积码编码器在不同输入的信息序列下，编码器各状态之间的转移关系，以及状态转移与时间的关系，须画出编码器的网格图。
网格图是一种能清楚显示状态转移的时间依赖性状态图，因而用网格图来表示编码器的操作是很有用的。
图2表示了(2.1.2)卷积码的网格图。
图中四行小圆圈表示移位寄存器的四种状态，虚线表示输入是0时的状态转移，实线表示输入是1时的状态转移，支路上标注的码元为输出比特。
2 、(2.1.2)卷积码编码器的编程实现与仿真波形由以上分析可以发现，(2.1.2)编码器由两个模二加法器组成，分别生成、。
而此时输出的是并行数据，须经过并串转换才能输出，在用VHDL编程时，用LOAD和CLK来控制信息的输入与卷积码的产生，当LOAD为底电平时，在每个CLK的上升沿输入一位信息，并进行异或运算;当LOAD为高电平时，在CLK 的上升沿时刻，把生成的卷积码经过并串转换之后输出。
经过编译调试之后，仿真波形如图3：图中，D-IN为输入的信息位，D-OUT为输出的串行卷积码，Q为移位寄存器的内容。
卷积编码与解码的MATLAB实现及性能分析
积编码与解码的MATLAB实现及性能分析摘要本课程设计主要解决通信系统中卷积编码与解码技术在Matlab中实现以及对其性能进行分析。
用贝努利二进制序列产生器作为信号源，产生基带信号，对其中的卷积进行编码，调制解调，然后采用Viterbi译码输出，最后计算误码率，对其性能进行分析。
关键词卷积码；卷积编码器；Viterbi译码器；BSK调制与解调；约束长度。
目录1引言 (4)1.1课程设计的目的 (4)1.2 课程设计的基本任务和要求 (4)1.2.1本次课程设计的基本任务 (4)1.2.2课程设计中的要求 (5)1.3设计平台 (5)2设计原理 (5)2.1卷积码的基本概念 (5)2.2卷积码的编码 (5)2.2.1卷积编码 (5)2.2.2卷积码的树状图 (6)2.2.3卷积码的网格图 (7)2.2.4卷积码的状态图 (8)2.3卷积码的解码 (8)3卷积码的仿真与性能分析 (9)3.1 卷积码的仿真 (9)3.1.1卷积码的设计框图 (9)3.1.2Simulink仿真模块的参数设置 (9)3.2 卷积码的波形输出 (15)3.2.1输入信号波形 (15)3.2.2输入信号与解码输出波形 (16)3.3卷积码的性能分析 (17)4出现的问题及解决方法 (19)5 结束语 (19)6参考文献 (20)1 引言本课程设计主要解决基于Matlab的Simulink下的模块对卷积编码与解码进行仿。
通过仿真可以更清楚的认识到卷积码的编码与解码的各个环节，并对仿真结果进行分析。
得出Viterbi译码的误码率性能和约束长度的关系。
1.1课程设计目的卷积码，又称连环码，是由伊莱亚斯(P.elias)于1955年提出来的一种非分组码[4]。
卷积码是一种向前纠错控制编码。
它将连续的信息比特序列映射为连续的编码器输出符号。
这种映射是高度结构化的，使得卷积码的译码方法与分组码译码所采用的方法完全不同。
可以验证的是在同样复杂度情况下，卷积码的编码增益要大于分组码的编码增益。
卷积码
2.7.卷积码分组码是把k个信息比特的序列编成n个比特的码组，每个码组的n-k个校验位仅与本码组的k个信息位有关，而与其他码组无关。
为了达到一定的纠错能力和编码效率，分组码的码组长度一般都比较大。
编译码时必须把整个信息码组存储起来，由此产生的译码时延随n的增加而增加。
卷积码是另外一种编码方法，它也是将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进行传输，时延小。
与分组码不同，卷积码编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关，还与前面的N-1段信息有关，编码过程中互相关联的码元个数为nN。
卷积码的纠错性能随N的增加而增大，而差错率随N的增加而指数下降。
在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。
但卷积码没有分组码那样严密的数学分析手段，目前大多是通过计算机进行好码的搜索。
2.7.1.卷积码的结构和描述一、卷积码的一般结构卷积码编码器的形式如图所示，它包括：一个由N段组成的输入移位寄存器，每段有k个，共Nk个寄存器；一组n个模2和相加器，一个由n级组成的输出移位寄存器。
对应于每段k个比特的输入序列，输出n个比特。
由上图可以看到，n个输出比特不仅与当前的k个输入信息有关，还与前（N-1）k个信息有关。
通常将N称为约束长度，（有的书的约束长度为Nn）。
常把卷积码记为：（n，k，N），当k=1时，N-1就是寄存器的个数。
二、卷积码的描述描述卷积码的方法有两类：图解法和解析表示。
图解法包括：树图、状态图、网格图解析法包括：矩阵形式、生成多项式形式。
以如下的结构说明各种描述方法。
1、树图根据上图，我们可以得到下表：我们可以画出如下的树状图：2、 状态图3、 网格图例1， 输入为1 1 0 1 1 1 0，输出为： 11 01 01 00 01 10 014、 生成多项式表示 定义],,[1211101g g g g=，],,[2221202g g g g=则上述结构为71=g，52=g，这里用8进制表示21,g gabcd⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2101211101],,[m m m g g g c ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2102221202],,[m m m g g g c定义2212111011)(DD Dg D g g D g ++=++=2222212021)(DDg D g g D g +=++=则输入信息,...,,210b b b 的多项式为....)(332210++++=b D b D b b D M那么我们可以得到输出)()()(11D g D M D C = )()()(22D g D M D C =最终输出是)(),(21D C D C的相同次数项的排列。
编码理论第十章
g 0 (1, n 0 )
g 1 (k 0 , n 0 )
g 1 (1, n 0 )
图5―9 (n0，k0，m0)非系统卷积码的串行编码电路
Cs ( j )
i 1
k0
u
t 1
m0
s t
(i ) gt (i, j ), j 1,2,, n0 (10―1)
11
编码理论——卷积码
下面介绍系统码形式的卷积码。 系统卷积码序列中的任一子码Cs，也有n0个码元，其 前k0位与待编码的信息序列中的第s信息组us(i)相同， 而后n0-k0位监督元由生成序列生成。由于每个码中的 前k0位就是此时刻待编码的k0位信息元，所以在生成序 列g(i,j)中有k0×k0个生成序列是固定的，即:
编码理论——卷积码
25
cs (1) g 0 (k 0 , 1) us g 0 (1, 1) g 1 (k 0 , 1) g 1 (1, 1) g m (k 0 , 1)
0
g m (1, 1)
0
g 0 (k 0 , 2)
g 0 (1, 2)
g 1 (k 0 , 2)
g 1 (1, 2)
g 0 (k 0 , n 0 )
P T 0 P0T I r 1 P 0
T 2
P 0
T 1
T P Ir 1
(10―13)
式中：Ｈ——(n0-k0)N×n0N阶矩阵。
编码理论——卷积码
24
10.3
卷积码的编译码
1.串行输入、串行输出的编码电路
构 造 这 种 编 码 电 路 的 基 础 是 式 (10―1) 和 式 (10―2)。根据式(10―1)构造的是非系统卷积码的编 码器，而由式(10―2)构造的则是系统卷积码的编码电 路。图5―9所示是(n0，k0，m0)非系统卷积码的串行编 码电路，图5―10所示是系统卷积码的串行编码电路。
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有限长度序列卷积码的重量估 值函数
此时不能用状态转移图来描述(因为它 包括了无限长的序列).而只能用网格 图或转移矩阵来描述,只有这样,才能 体现出有限长度的影响.
有限长度序列(续)
根据网格图,我们可以知道从初始的0状 态到第k时刻的V状态的所有路径的重量 等参数Fk,V(S,D),而从状态V出发到第 k+1时刻的数条分支路径则是所有到达第 k时刻V状态的延伸,即所有路径的各种 累加量都要相应地加上所对应的分支的 增量.
F(N,S,D)的含义
它表示,在所有可能路径中,长度是i个 时刻,输入重量为j,输出重量为k的路径 共有A(i,j,k)条. 这个式子包含了有关卷积码性能的大量 信息,可以从它得到误比特率,误事件 率及误帧率的性能界.
如何计算F(N,S,D)
为了得到F(N,S,D),我们可以借助流图的 方法,即将各分支的乘积增量做为该分 支的转移函数或增益,而计算从0状态注 入到0'状态输出的总增益,这个总增益 就是F(N,S,D).
第十讲
卷积码的性能分析
回顾
误码率分析的基本方法:
– 成对差错概率 – 各种近似方法:联合界,平均性能界等 – 距离谱,在相当大的SNR范围内可以反映误 码性能 – 自由距,可以反映纠检错能力和渐近误码性 能
回顾:分组码的分析与设计
在分组码中常用的分析方法是分析自由距 分组码的设计也是按自由距最大化准则进行的 原因有以下几点
卷积码的性能分析
卷积码的性能难以用自由距完全描述
– 卷积码是面向流的编码,自由距只影响其中相邻若干 比特的误码 – 码长是无穷的,而自由距是固定的,因此不能用纠错 能力或检错能力来描述卷积码的性能 – 比较公平的一种描述是它的平均误比特率,或在一定 (较短)帧长的误帧率 – 或者研究在某一位置开始发生一次错误(序列)的概 率
对于线性卷积码
对线性卷积码而言,输入全0时输出也是 全0,构成一条全0序列,这是一个合法 的编码序列.因此研究误码可以假设发 的是全0序列,而研究译成非0序列的概 率.为此我们要研究卷积码的距离谱或 重量谱.
线性卷积码的首次错误事件
在研究首次错误事件概率时,要研究的是第一次与 全0序列分离并再次回到全0序列的事件.它等价于 在网格图上第一次离开状态0并再次回到状态0的路 径. 由于这些事件要离开状态0,而再次回到状态0后就 不允许离开状态0,因此状态0要分解成两个状态:0 和0',其中0为注入态,而0'为吸收态.我们要研究 的就是从注入到吸收所有可能的路径,及它们的各 种特性,如长度,输入重量,输出重量等等.
– 分组码是按块进行编码保护的,因此能纠多少个错或 检多少个错是编码能力的重要参数 – 分组码的距离谱分析较困难 – 存在并可以研究码长与自由距的关系 – 有比较规则的按自由距设计编码的方法,如BCH码等 – 大部分常用分组码都是效率较高的编码方法,或要求 误码性能很好,本身就工作在信道质量较好的情况, 因此只需要考虑渐近性能.
有限长度序列(续)
反过来,到达第k+1时刻的状态V'的所有路径是 从第k时刻的数个状态转移过来的.例如,对二 进制卷积码来说,V'可来自于第k时刻的状态V0 和V1,而相应的两个分支的重量指数为Sj0Dk0和 Sj1Dk1.因此到达第k+1时刻的所有路径的重量估 值函数为 Fk+1,V'(S,D)= Fk,V0(S,D)Sj0 Dk0 + Fk,V1(S,D)Sj1Dk1 依此递推下去直到编码收尾,即可得到最终的整 个有限长卷积编码的重量估值函数.
1 = F(S, D) S=1,D=eEs / N 0 L S
�
两个序列间差异的扩大
对于有限状态的流编码传输而言,如果 两个序列不 "起始于同一状态且终于同 一状态",则可以通过网格图的继续延 伸而呈现出更大的差别.而只有有限的 差别才有可能造成误判. 因此对卷积码而言,我们关心的是某一 时刻两条路径分离,而在有限时间内又 再次合并的情形.这就是流编码中的一 次错误事件.
重量估值函数
由于路径每走一步,长度,输入重量,输出重 量等参数都要随各自的分支而进行累加,因此 如果将这些参数在每个分支上的值用指数标注, 则可以用乘积的方式表示一条路径的各项值. 例如,一条路径的乘积项为NiSjDk,表示该路径 长度是i个时刻,输入重量为j,输出重量为k. 当将所有可能路径的乘积项加起来,合并同类 项,就可以得到下面的式子: F(N,S,D)=∑i,j,kA(i,j,k) NiSjDk
状态转移图和流图
D0
D1
NSD2 N NSD2 00 NSD
01 N ND ND 10 11
NSD2
NSD
01
ND ND2
10
NSD
00'
00
N 11
ND
NSD
用重量估值函数求错误概率
首次错误事件概率:Pe≤∑kAkf(k) f(k)表示发全零时,误判为重量为k的路 径的概率,可近似为f(k)≤exp(-kEs/N0)=Zk. 其中Z=exp(-Es/N0).因此有: Pe≤∑kAkZk =F(N,S,D)|N=S=1,D=exp(-Es/N0)
有限长度序列(续)
用网格图或矩阵表示的另一个好处就是, 它可以用于分析时变卷积码.
有限长度序列的误帧率和误比 特率
对于有限长度卷积码,它的重量估值函数代表了所有可 能的编码序列的重量分布情况.因此可以用来分析误帧 率和误符号率. 误帧率:Pe≤∑kAkZk|Z=exp(-Es/N0) =F(S,D)|S=1,D=exp(-Es/N0) 误比特率:Pe≤( ∑j j∑kAj,kZk)/L|Z=exp(-Es/N0)
有限长度序列(续)
上式也可写成矩阵的形式: 令Fk(S,D)为到达k时刻的各状态的路径重 量估值函数构成的列矢量.A=[aij]为重量 转移矩阵,aij表示从状态j到i的转移分支 的重量估值.于是有: 1 1 0 k 0 Fk (S, D) = Ak Ak1 A2A1 = A 0 0
首次错误事件
显然,两条路径分离后一般并不会立即合并, 而是要经过一段时间后才可能合并,这段时 间可长可短,是随机的.因此卷积码中出现 的误码一般也有较强的突发性,一般突发长 度不小于约束长度. 对半无限的卷积码而言,总是开始于状态0, 我们要研究的就是什么时候会发生第一次错 误事件?这一次错误事件的长度是多少?它 引起了多少比特错误?错误概率如何?等等.