高等光学作业附答案

3.3. 空间相干性和时间相干性指的是什么？如何量度？光源的角宽度和相干孔径角
是如何定义的？证明相干长度 Lc = λ2
/∆λ。

答：空间相干性是指光场中不同两点在同一时刻的相干程度。

时间相干性是指同一点在不同时刻的相干程度。

空间相干性的度量是采用相干面积进行度量。

时间相干性是采用相干时间或相干长度进行度量。

光源的角宽度定义为0
a d λ
=
，d0是使得条纹
可见的光源最大宽度。

相干孔径角定义为22c p
λθ=。

证明：多色光源的干涉场分布的条纹可见度有：
sin()22
kl K kl ∆=
∆ 当
2
kl
π∆=条纹不可见，此时有： 2
122l k λλπλλλ
==∆∆∆
证毕。

3.12.(1)当把一单色点光源放在一会聚透镜物空间焦点上, 观察屏与透镜空间焦面重合, 则观察到夫琅和费圆孔衍射图样。

现在将光源换为圆状准单色初级光源, 圆中心在光轴上, 圆面垂直于光轴, 要想仍获得夫琅和费圆孔衍射图样, 对光源大小。

频宽以及透镜直径应有什么限制? 答：这里可以认为光源在透镜前表面的场的相干性决定了衍射图样。

首先光源的频宽应该保证准单色有νν∆
，
光源宽度应保证相干面积大于透镜宽度，有L f
d a
λ<，
dL 为透镜直径，a 为光源直径，f 是透镜焦距。

(2)在衍射计实验中, 光源不是单色点光源, 但仍引用夫琅和费圆孔衍射的结果,
即取
I Q I Q J u u
u a ()()()()(
()),sin 1212
22===
π
λ
φ
根据(1)的结果, 试说明为什么可以如此处理?
答：只要光源足够小，保证了其在屏处的相干面积大，同时圆孔本身面积远小于相干面积，加上光源准单色条件，即可认为屏幕上两孔光场依然具有足够的相干性，因此可以用夫琅和费圆孔衍射的结果。

3.1.已知太阳的表观角直径为0.5。

平均有效波长为6000A, 求阳光的相干面积。

解：由L z
d a
λ=
，根据角直径定义，有
2tan(0.25)0.00873a
z
=≈ 因此可得相干线度为：68.7um ，相干面积4723um 2
. 3.9.阻尼振子的辐射场中某点复扰动为
V t A t t i t t t ()exp(/)exp()=--><⎧⎨
⎩10200
φπν
式中t 1是自发辐射寿命。

（1）求频谱；
（2）证明P 点的复相干度为
γττπντ()exp(/)exp()=--t i 102
解：（1）对V 进行傅立叶变换有：
00..()exp()exp()exp 2()11
t t
F T V A j v v dt t t φπ∞
=---⎰
令0()1,
1
t
v v t u T t -==，可化为： 0
20..()exp()1exp()exp 22 14()1
F T V A t T j uTdT Ae v v t φ
φππ∞=--=
+-⎰
（2）证明：由P 点自相关函数有：
**
2020()()()1 lim
()()21
exp()exp(2)
12 exp()exp(2)
1
p T
T
V t V t V t V t dt T
Ae j v dt
t T Ae j v t φ
φττττπττ
πτΓ=<+>=+=--=-
-⎰
⎰
归一化除去P 点光强则有复相干度为：
γττπντ()exp(/)exp()=--t i 102
3.10.用λ=6000A(Δλ=0.1A)的准单色扩展光源照明杨氏双孔。

r 1=29.97cm, r 2=30.00cm 。

只开P1孔时I (1)(Q)=I 0, 只开P 2孔时I (2)(Q)= 4I 0, 两孔都开时 I(Q)=6I 0, Q 点的条纹可见度V(Q)=0.4。

求μ12
= ?
Fig.2
解：可视为准单色条件下，由条纹可见度V(Q)=0.4，代入可见度公式可得：
12120.5r μ==
由干涉定律有：
1212cos()I I I βδ=++-
其中3212()10s s π
δπλ
=
-=⨯，所以代入求B ，可得3103
π
βπ=
+⨯，所以有
31212exp()0.5exp[(10)]3
j j π
μμβπ=-=-+⨯
3.1
4.把衍射计中的圆孔σ换成边长为b 的正方形小孔, 并使其一组对边和掩模上两孔P1和P2的边线平行, P1和P2仍保持为圆。

求 (1)观察屏F 上光强分布的表示式;
(2)光源沿哪个方向扩展会影响F 上干涉条纹的可见度? 光源线度增加到多大时,可见度降为零? 解：（1）光源在两孔上的复相干因子有：
12sin (
)sin ()a x a y
c c f f
ππμλλ∆∆= 而孔径函数为2222
12()()22[][]d d x y x y M c c circ circ a a
-+++=+=+ 两者相乘可得到掩模后的复相干度u,由于透镜对前后焦面的互强度是一个4维傅立
叶变换，对u 进行傅立叶变换，最终可得到屏幕上任意一点（ξ，η）的强度有：
2
12
12'()2(,)1sin ()sin ()cos()2'2'()2 =1sin ()cos()2'ar J a x a y d f I c c ar f f f f ar J ad d f c ar f f f ππππζλζηπλλλλπππζλπλλλ⎡⎤⎢⎥
⎡⎤
∆∆=+⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥
⎡⎤
+⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
其中'r =（2）由上式可知道，光源沿x 轴向扩展会影响条纹可见度。

当f
a d
λ=时条纹可见度
为0。