中小学数学基本思想分析

§3.2、归纳法的作用
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❖ 培养学生独立思考能力 ▪ 应用归纳法的第二步是“归纳整理”， 第三步是“分析概括”， 都是让学生独立思考，独立 分析探究，独立解决问题，这正是新课改倡导的自主性、探究性学习
❖ 培养学生观察能力 ▪ 现代心理科学的研究表明，在人脑所获得的信息中，有90%是通过视觉获取的.达尔文说：“ 我没有突出 的理解力，也没有过人的机智，只是在觉察那些稍纵即逝的事物并对其进行精细 观察的能力上，我可能在众人之上.”巴甫洛夫教育年轻人要“观 察、观察、再观察”.可见观 察在人类实践活动中具有极其重要的意义. ▪ 归纳法的第一步就是“收集素材”，让学生观察研究对象的一些零散的、片言只语的、特殊的 性质；第二步“归纳整理”，再让学生有目的、有步骤地进行细致的观察、分析和概括，获得 完整、准确的数学认识，使其思维上升到理性.所以，数学课堂上的归纳法有力地培养了学生 的观察能力
则由此猜想M也可能具有性质p. 这里,也可简单表示为:
❖ M蕰含 M1, M2 ,…, Mn , ❖ M1, M2 ,…, Mn为真
❖ M也可能为真.
§3.1、归纳法
mi
❖ 所谓归纳法, 就是应用归纳思想认识、分析、研究事物的方法. 其主要步骤是: ❖ 收集素材(观察、试验研宄对象)
----归纳整理---分析概括---形成猜想.
数学是什么
《全日制义务教育数学课程标准》（2001年版）指出； ❖ 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并形成
广泛应用的过程； ❖ 数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进
而解决问题，直接为社会创造价值； ❖ 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推
中提炼出的一些观点，它在后继认识运动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对 稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ❖ 数学思想，是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内 容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。
§1、数学基本思想的内涵
1
数学是什么
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数学思想是什么
§3、数学基本思想的探究
❖ 有的学者则认为，“数学的基本思想，主要有数学抽象的思想、数学推理的思想、 数学模型的思想和数学审美的思想。”认为“通过数学审美，看到数学‘透过现象看本 质’、‘和谐统一众多事物’中美的成份，感受到数学‘以简驭繁’、‘天衣无缝’给 我们带来的愉悦，并且从
‘美’的角度发现和创造新的数学。” ❖ 上述这些基本思想应该属于数学思想的最高层面，由其演变、派生、发展出来的数学
❖ 然而，数学思想常常通过数学方法去体现，数学方法又常常反映了某种数学思想。因此， 我们往往把二者结合起來应用于问题解决中，统称为“数学思想方法”。
§3、数学基本思想的探究
导言 数学基本思想的内涵
数学基本思想的探究 数学基本思想的价值 数学基本思想的应用
§3、数学基本思想的探究
❖ 史宁中、刘晓玫两位教授在“对数学教育中几个基本问题的认识”一文中说：数学的基 本思想有两条, 一是演绎的思想; 二是归纳的思想。
§3.2、归纳法的作用
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❖ 培养学生比较能力 ▪ 著名教育家乌申斯基认为“比较是一切理解和思维的基础，我们正 是通过比较来了解世界上 的一切的”.比较法是把若干既有区别又有联系的知识放在一起进行对比或类比.通过比较，归 纳总结其异同，才能突出其本质特征.归纳法的第三步就是“分析概括”，在比较中舍弃不同 的、抽取共同的数学的东西而“形成猜想”.有比较才能有鉴别，数学的特性正是从比较中 抽 象出来的，没有比较就没有抽象.所以，运用归纳法可以培养学生的数学比较能力、辨别能力.
个个小的类出发, 进而推测到更大的一类是不是具有相同的结论, 这种思想就是归纳。实
际上, 从小学一年级开始就教分类,也就渗透了归纳这种思想
§3、数学基本思想的探究
❖
黄翔教授在“关于数学课标修订变化情况解读” 中说：《国家数学课程标准》制定
组组长、东北师范大学校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”,引起了数学教育界的
导言
并把 “四基”与数学素养的培养整合为： • 掌握数学基础知识，训练数学基本技能， • 领悟数学基本思想，积累数学基本活动经验。
这一总体目标不仅贯穿于小学和初中，而且也应贯穿于高中的数学教学，说明数学基本思想 的重要性。
导言
➢著名数学教育家波利亚说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到了正确的道 路。” ➢日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会 应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什 么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时随地发生作用，使他们受益终身”。
§1、数学基本思想的内涵
导言 数学基本思想的内涵
数学基本思想的探究 数学基本思想的价值 数学基本思想的应用
§1、数学基本思想的内涵
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数学是什么
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数学思想是什么
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数学基本思想是什么
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数学思想方法是什么
§1、数学基本思想的内涵
❖ 数学是什么 ▪ 一是从数学所从属的工作领域来看，数学是技术；数学是逻辑；数学是自然科学； 数学是科学；数学是艺术；数学是文化； ▪ 二是从数学研究的对象来看，数学研究数和量；数学研究现实世界的数量关系和空 间形式；数学研究计算；数学研究模型；数学研究结构；数学研究演绎系统；数学 研究无穷； ▪ 三是从数学的社会价值来看，数学是语言；数学是工具；数学是框架；数学是符号 游戏；
§1、数学基本思想的内涵
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数学是什么
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数学思想是什么
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数学基本思想是什么
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数学思想方法是什么
2、数学思想是什么
❖ 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动 而产生的结果；
❖ 数学思想，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识； ❖ 数学思想，是对数学知识内容和所使用方法的本质认识，就是从某些具体数学认识过程
❖ 在中国传统的意义上,只有归纳的方法, 没有演绎的方法. 如秦九韶的高次方程求解、同 余法等世界领先水平, 依赖的就是归纳推理。但是, 自从欧几里德几何传入中国之后, 中 国又只重视演绎的思想, 而忽视了归纳的思想。
§3、数学基本思想的探究
❖
归纳在数学教育教学中的渗透, 一方面是要教会学生从一些个别现象出发, 从一些个
导言
《全日制义务教育数学课程标准》（2001年版）总体目标的第一条提出:“让学生获得适应未 来社会生活和进一步发展所必需的数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想 方法和必要的应用技能”。
《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）总体目标的第一条修改为，通过义务教育阶段 的数学学习，学生能:“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、 基本思想、基本活动经验”
§3.2、归纳法的作用
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❖ 培养学生概括能力 ▪ 鲁宾斯坦说“思维是在概括中完成的”.思维的最显著特征是概括性.从心理学角度讲，概括就 是把不同事物的共同属性（本质的、非本质的）抽象出来后加 以综合，从而形成一个日常概 念或者科学概念. 归纳法的第三步就是“分析概括”。概 括能力在智力活动中非常重要，没有 概括就没有概念，没有概念就无法进行逻辑思维.所以，运用归纳法培养学生的概括能力显得 非常重要.
❖ 归纳思想虽然考察的只是若干个别现象，但是所得结论却能超出考察的范围，具有一般 性。
❖ 归纳思想的认识依据在于同类事物的各种特殊情形中蕰含的同一性和相似性
§3.1、归纳思想
mi
❖ 归纳思想的逻辑结构
❖
设 Mi (i=1,2,3,…,n) 是要研究讨论对象M的特例或子集. 若 Mi (i=1,2,3,…,n) 具有性质p,
❖ 培养学生抽象能力 ▪ 抽象是从众多的事物中抽 取出共同的、本质的特征，而舍弃其非本质的特征.它是数学中常用 的、必不可少的思维方法，与概括相互联系、密不可分.抽象思维（abstract thinking）属于 理性认识阶段，在对事物的本质属性进行分析、综合、比较的基础上形成概念. 归纳法的第三 步就是“分析概括”， 再经过抽象思维而“形成猜想”
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数学基本思想是什么
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数学思想方法是什么
3、数学基本思想是什么
❖ 数学基本思想，是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛性的数 学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展 着的。
§1、数学基本思想的内涵
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数学是什么
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数学思想是什么
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数学基本思想是什么
理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其它科学提供了语言、 思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像 力和创造力等方面都有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法 和语言是现代文明的重要组成部分
1、数学是什么
❖ 《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）指出； ▪ 数学是研究数量关系和空间形式的科学； ▪ 数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具 ； ▪ 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本 素养。
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数学思想方法是什么
4、数学思想方法是什么
❖ 数学思想是人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式；数 学思想往往是观念的、普遍的、深刻的、一般的、内在的；而数学方法是在应用数学思想 解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，逐渐形成某一类程序化的操作。数学方法往往 是操作的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。如等量代换法、数学归纳法、换 元法、配方法、列表法等等。因此，数学思想不同于数学方法。
本活动经验。
❖ “基本思想主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想”。 这里所说的思想，是大的思想，不仅仅是在数学学科中，是希望学生领会之后能够终生
受益的那种思想
wk.baidu.com §3、数学基本思想的探究
❖ 有的学者强调，如果站在数学学科的角度来看，数学的基本思想有三个：抽象、推 理、模型。
❖ 人们通过抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过推理 ，进一步得到更多的结论，促进数学内部的发展；通过建模，把数学应用到客观世界中 ，沟通了数学与外部世界的桥梁。比如，由数量抽象到数，由数量关系抽象到方程、函 数（如正反比例）等；通过推理计算可以求解方程；有了方程等模型，就可以把数学应 用到客观世界中。
思想还有很多，比如：归纳思想、演绎思想、转化思想、分类思想、对应思想、数形结 合思想、集合思想、方程思想、函数思想、符号化思想、等等。下面仅就归纳思想、演 绎思想和转化思想作较为详细的探讨
§3、数学基本思想
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演绎思想
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转换思想
§3.1、归纳思想
❖ 归纳思想是由个别、特殊到一般的认识过程；是通过对特例或事物的一部分进行观察与 综合，进而发现和提出关于一般性结论或规律的过程；是通过揭露对象的部分属性过渡到 对象整体属性的过程
性出发, 來推究一般的事物有没有相同的结论；或者是根据一种现象, 來推究产生这种现
象的原因, 即考虑因果关系。
❖
另一方面, 归纳的思想与分类有关。分类是把一大类细分为若干个不同的小类。分类
是有标准的, 有了标准才能在标准下分类, 分类需要符合这类和那类之间不相交的基本思
想。如果每一小类中都有这样的性质, 是不是这一大类东西就都有这个性质, 也就是从一
广泛关注。以前强调的双基是指基础知识、基本技能, 双基教学重视的传授,讲究精讲多
练，主张“练中学”，相信“熟能生巧”，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操
演与熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要
的教学目标。现在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能, 还增加了基本思想和基
中小学数学基本思想分析
§0 导言
导言 数学基本思想的内涵
数学基本思想的探究 数学基本思想的价值 数学基本思想的应用
导言
在中小学数学教学内容中有两条线索： 一条是显性的知识线索，如概念、法则、公式、性质等，这是一条有形的线索。 另一条是隐性的数学思想与方法线索，它是蕴涵、渗透在知识体系之中的，是一条无形的线 索。 数学思想和数学方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生，发 展之中.