沪科版九上数学21.1 二次函数
这里x的取值 有什么限制？
状元成才路
问 题 2 状元成才路
有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天 可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可 使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装 配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
设增加x人，则每天装配玩具总数 y可表示为：
二次项
常数项
状状元成元才成路 才路
状元成才路
分别指出下列二次函数表达式的自变量、各项 及各项系数。
①y=6x2 , ② m 1 n2 1 n ,
22
③ y=20x2+40x+20 .
状状元成元才成路 才路
状元成才路
出题角度一 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ 。
√①y= 2x2 2 ×③y x2(1 x2 ) 1
m 4 0,
解得m=1.
当m 1时，函数y (m - 4)xm2-5m6 mx是关于x的二次函数.
状状元成元才成路 才路
状元成才路
课堂小结
探索二次关 系式共同点
总结二次 函数概念
确定二次函数表 达式及自变量的
取值范围
二次函数y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
二次函数的判别: ①含未知数的代数式为整式； ②未知数最高次数为2； ③二次项系数不为0.
状状元成元才成路 才路
相关字母的取值(或范围)
已知y (m2 m)xm22m1 (m 3)x m2是关于x的二次函数，
求出它的解析式。
解： 根据二次函数的定义可得
m2 m2
2m 1 m 0
2
解得m=3或m=-1.
当m=3时，y=6x2+9;当m=-1时，y=2x2-4x+1.
∵AB=12, ∴PB=12-2t,
∴
S
1 2
PB
•
BQ
1 2
(12
-
2t )
4t＝- 4t 2
24t.
∴ t的取值范围为0≤t≤6.
状状元成元才成路 才路
状元成才路
拓展延伸
8. m为何值时，函数y (m - 4)xm2-5m6 mx 是关于x 的二次函数.
解：由题意可得
m2 5m 6 2,
状状元成元才成路 才路
状元成才路
做一做:
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关
系式；
y=πx2 (x>0)
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息
自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年
后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；y=2(1+x)2 (x>0)
状状元成元才成路 才路
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综合应用
7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从 点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动 点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动， 如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与 出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围. 解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的
关系式.
S=4πr2 (r>0)
说一说以上二次函数表达式的各项系数。
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基础巩固
随堂演练
1. 下列函数是二次函数的是（ C ）
A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= 1 x-2
2
2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ B ）
状状元成元才成路 才路
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课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
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(1)当x - 2 时，函数的值为多少? 3
(2)当x为多少时，函数值为0？
解：（1）当x
-
2 3
时，y
2
2 3
2
3
2 3
2
8 9
（2）当y 0时，2x2 3x 2 0,
解得x1
2,
x2
1 2
.
状状元成元才成路 才路
状元成才路
知识点2 根据具体问题确定二次函数表达式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转 化为符号语言； ②根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式， 并化成一般形式； ③联系实际，确定自变量的取值范围.
状元成才路
第21章 二次函数与反比例函数 21.1 二次函数
沪科版九年级数学上册
状元成才路
状元成才路
水产养殖
状元成才路
问 题 1 状元成才路
某水产养殖户用长 40 m的围网，在水库中 围一块矩形的水面, 投放鱼苗. 要使围成的水面 面积最大，则它的边长应是多少米?
状元成才路
状元成才路
设围成的矩形水面的一边长为 x m, 那么，矩形水面的另一边长应为 (20-x) m. 若它的面积是 S m2 ,则有
y=(190-10x)(15+x)
状元成才路
状元成才路
函数的表达式 S =x(20 -x), y=(190-10x)(15+x)有什 么共同点?
状状元成元才成路 才路
状元成才路
上述两个函数都是用自变量的二次式表示的. 一般地，形如 一次项
y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0） 的函数，叫做x的二次函数。其中x是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
综上所述，该二次函数的表达式为： y=6x2+9或y=2x2-4x+1.
状状元成元才成路 才路
状元成才路
练习
y (a 1)x a 1是二次函数，求常数a 的值。
解：依题意，得
a 1 2 a 1 0
解得a=-1.
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状元成才路
出题角度三 求二次函数的函数值
已知函数y 2x2 - 3x - 2.
A.1
B.-1
C.7
D.-6
3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值 范围是 a≠1 .
状状元成元才成路 才路
状元成才路
4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的 百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次 降价的百分率x的函数关系式是 y=2(1-x)2 . 5. 正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形， 若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x 的取值范围为 0≤x≤10 . 6. 一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的 函数关系式为s=9t+0.5t2，则经过12s汽车行驶了 180 m，行驶 380m 需 20 s.
最高次数是4
√⑤y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
状状元成元才成路 才路
状元成才路
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数表达式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
沪科版九年级上第21章21.1二次函数的概念典型例题及练习(无答案)
二次函数一、知识点复习1.二次函数的定义：形如c+y+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
axbx注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.2.二次函数的一般形式：任何一个二次函数的关系式都可以化成c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）y+bxax的形式，我们把c=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，+bxaxy+其中c,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。
ax,bx3.二次函数两个变量的值:（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。
当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。
当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。
3.列二次函数的表达式（1）列函数表达式:在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：①确定自变量与因变量的实际意义①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二．考点讲解知识点1.二次函数的定义：形如c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
y+bxax注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.考点1：利用二次函数的定义识别二次函数例题1：下列函数哪些是二次函数？①25x y -=；①112-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）变式练习（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）A.)1(2-=x yB.22)1(x x y --=C.2)1(-=x a yD.122-=x y考点2：二次函数的一般形式中的系数问题例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A.2B.-2C.-1D.-4变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
沪科版数学九年级上册教学课件：21.1 二次函数(共27张PPT)
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【解题归纳】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型．
新课进行时
思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取 值范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
新课进行时 核心知识点三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k . 1)xk23k4 2x 1
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
k
2
3k
4
2,函数Leabharlann 系；S 6a2 (a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
y x2 (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
2
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6
元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量
减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
沪科版九年级数学上21.1二次函数 (共22张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²
先化简后判断
例2、y=（m+3）xm2-7 为二次函数，求m的值。
九年级数学上册 21.1 二次函数课件 (新版)沪科版
第一页，共18页。
1.一元二次方程的一般形式(xíngshì)是 什么？
2。一次函数、正比例函数的定义(dìngyì) 是什么？
第二页，共18页。
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数表达式表示下列(xiàliè)问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
（ （12） ）写写出出正圆方的体面的积表y（面积）S与（它的）周与长正cx（m方c2体m棱）长之a间（的cm函）数之关间系的；函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ ）与一对角线长x
（cm）之间的函数关系． cm2 cm 2
第十四页，共18页。
已知二次函数(hánshù) y=x²+px+q , 当x=1时,函数(hánshù)值为4, 当x=2时, 函数(hánshù)值为 -5 , 求这个二次函数 (hánshù)的表达式.
第十五页，共18页。
5.已知二次函数(hyáns2h(ùx)1)2 4
（1）你能说出此函数(hánshù)的最小值 吗？
（2）你能说出这里(zhèlǐ)自变量能取哪些 值呢？
第十六页，共18页。
开动脑筋
问题(wèntí)：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围 都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y( cm)与2 圆的半径 x（cm)
第十页，共18页。
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数
((h2)á它ns是hù一)? 次函数？
(3)它是正比例函数 (hánshù)？
第十一页，共18页。
例1: 关于(guānyú)x的函数
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。
通过学习，学生能运用二次函数解决一些实际问题，为高中阶段更深入地学习函数打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学基础知识，对函数有一定的认识。
但二次函数相对于一次函数和反比例函数，其性质和图象更为复杂，需要学生具有一定的抽象思维能力。
同时，学生需要掌握一些数学解题技巧和方法，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和数学解题技巧。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特点。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生探究二次函数的性质；通过案例分析，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.制作课件，展示二次函数的图象和性质。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如抛物线、卫星轨迹等，引导学生思考这些问题的数学模型是什么。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义、性质及其图象。
通过课件展示，让学生直观地了解二次函数的特点。
同时，引导学生总结二次函数的性质，如开口方向、对称轴等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的实际问题，将其转化为二次函数模型。
每组选取一个问题，进行解答和分享。
教师在这个过程中给予指导，帮助学生掌握解题方法。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、填空题和解答题。
完成后，教师进行讲解和点评，确保学生掌握所学知识。
沪科版九年级数学上册《二次函数》课件
分的面积是多少？
感悟新知
知1－讲
导引：(1)根据图形及题意可得出重叠部分是等腰直角三角形， 从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数表达式；
(2)将x＝1代入函数表达式可得出重叠部分的面积．
感悟新知
解： (1)由题意知，开始时点A与点M重合，
然后让△ABC向右移动，
两图形重叠部分为等腰直角三角形，
感悟新知
例1
知1－讲
下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2； (5)y＝3(x－2)(x－5)；
(4)y＝x－2＋x；
(6)y＝x2＋
1 x2
.
感悟新知
知1－讲
导引：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将 其化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二次项 系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)中自变量的最 高次数是3，所以不是二次函数；(4)中x－2不是整式，所 以不是二次函数；把(5)整理得到y＝3x2－21x＋30，是二 次函数，二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为
课堂小结
二次函数的定义要理解三点： (1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体
实数；而在实际应用中，自变量的取值必须符 合实际意义． (2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式． (3)二次项系数不为0.
第21章 二次函数与反比例函数
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
学习目标
1 课时讲解 二次函数的定义
用二次函数的表达式表示实际问题
2 课时流程
沪科版初三数学上册《21.1 二次函数》课件
知1－讲
(2)与(5)是二次函数． 解： (2)y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系数和常 数项为0；
(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，所以
y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，一次项系 数为－21，常数项为30.
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的解析 式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件： (1)所表示的函数的解析式为整式； (2)函数的解析式有唯一自变量；
(3)解析式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.
（来自《点拨》）
知1－练
1 设圆的半径为r，请填空： (1)这个圆的周长C＝______，它是r的_______函数； (2)这个圆的面积S＝______，它是r的_______函数．
（来自教材）
知1－练
2 在下列表达式中，哪些是二次函数？ (1)正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的 最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可 表示为b＝0.8(220－a)； (2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的 关系可表示为 V 1 r 2 h (h为定值)；
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函 数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1； (3)y＝3a3＋2a2； (2)y＝－5x2； (4)y＝x－2＋x； 1 2 (6)y＝x ＋ 2 . x
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
知1－讲
判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将 导引： 其化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，
二次项系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)
中自变量的最高次数是3，所以不是二次函数； (4)中x－2不是整式，所以不是二次函数；把(5)整 理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数，二次项系 数为3，一次项系数为－21，常数项为30；(6)中, 1 因为 2 是个分式，所以不是二次函数． x
沪科版九年级数学上21.1二次函数(15PPT)
敢于创新
如果函数y= x +kx+1是二次函数, 0,3 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)x 数,则k的值一定是______ 0
k 2 - 3k+ 2 k - 3k+ 2
2
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
结束寄语
书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟, 黑发不知勤学早, 白首方悔读书迟.
2 2
k 0 k 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
( 2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
提示: (1)关于自变量的代数式一定是二次整 式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一 次项和常数项,但不能没有二次项.
在实践中感悟
1 （是） (2) y = x + （否） (1) y=3(x-1)² +1 x