圆锥曲线的性质

毕业论文

（2010 届）

题目圆锥曲线的性质

及其应用

学院数学与计算机学院

专业数学与应用数学（师范）年级2006级

学生学号12006242748

学生姓名王海强

指导教师胡有婧

2010年4 月19 日

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

1.引言 (1)

2.圆锥曲线的性质 (2)

2.1圆锥曲线的基本性质 (2)

2.2圆锥曲线的光学性质 (4)

2.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质 (7)

2.3.1 蝴蝶定理 (7)

2.3.2 帕斯卡定理 (8)

2.4 与焦点弦相关的几条性质 (9)

3.圆锥曲线性质的应用 (11)

3.1基本性质的应用 (11)

3.2光学性质的应用 (12)

3.2.1解决一类“距离之和”的最值问题 (12)

3.2.2 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用 (15)

3.2.3在生产生活中的作用 (16)

3.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用 (17)

3.3.1蝴蝶定理的应用 (17)

3.3.2巴斯卡定理的应用 (19)

3.4 与焦点弦相关的几条性质的应用 (20)

4.总结 (22)

参考文献 (22)

数学计算机学院数学教育专业2010届王海强

摘要本文首先从圆锥曲线的产生和发展入手，对圆锥曲线的定义和圆锥曲线的部分性质进行了简要的概括．主要是利用平面解析几何的知识和数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质、光学性质，由圆的性质推广得到的几条性质和与焦点弦有关的性质，进行了总结和证明，并且将它们在日常生活中的应用和在解题中的应用进行了简要说明．

关键词圆锥曲线；性质；应用

中图分类号O123.1

The Properties of conic and Application

1 引言：

公元前4世纪古希腊著名学者梅内克缪斯在解决 “倍立方问题”的过程中他发现了圆锥曲线．取顶角为锐角、直角、钝角的三种不同的直圆锥，用垂直于直圆锥的一条母线的平面去截它们，就得到三种不同的截线，即现在所说的椭圆、抛物线、双曲线．经过了约二百年

的时间，圆锥曲线的研究取得了重大突破，其中研究成就最突出的是古希腊数学家阿波罗尼奥斯(公元前262到公元前190)．其巨著《圆锥曲线》与欧几里得

的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作．《圆锥曲线》几乎将圆锥曲线性质网罗殆尽．直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究．一是德国天文学家开普勒揭示出行星按圆锥曲线轨道环绕太阳运行的事实．二是伽利略得出物体斜抛运动的轨道是抛物线．这使人们对圆锥曲线的实际意义有了更深的认识．17世纪解析几何的创立为圆锥曲线的研究带来了生机．作为点运动轨迹的圆锥曲线，在引入坐标后显示出一个更明显的特征，它是二次方程的图像，即它又被命名为二次曲线．到了18世纪，欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作．在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述.

定义 1.1 到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆. 即

{}1212P

PF PF 2a, (2a F F |)+=>

它的方程为

222

2

1x y a

b

+

=

定义1.2 到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线. 即

{}1212P

PF PF 2a, (2a

它的方程为

222

2

1x y a

b

-

=

定义1.3 到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线. 它的方程为

2

2(0)y px p =>

定义1.4 到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线．当01时为双曲线. 统一方程为

2

2

2

2

(1)20e x y p x p -+-+=

注: e 为离心率

2 圆锥曲线的性质:

2.1 圆锥曲线的基本性质

在高中课本当中就对圆锥曲线的性质进行了简单的介绍，它在高中的教学和高考中都有很重的地位，是高中平面解析几何中不可或缺的一部分．并且本文后面定理的证明都利用到了圆锥曲线的基本性质，可以这样说，圆锥曲线的其它性质都是建立在基本性质之上．所以有必要对其进行一下总结．建立表格如下：

2.2 圆锥曲线光学性质

定理2.2.1[1] 从圆锥曲线的一焦点发出的光，经过圆锥曲线的反射后，得到的反射光线所在的直线相交于圆锥曲线的另一个焦点（抛物线的另一个焦点可看为无穷远点）.

证明:这里可以分为三种情况来进行证明，分别是在椭圆、双曲线、抛物线，下面就来对其进行证明，如图所示

1 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）．即可以转化成以下的数学语言.

已知：如图，椭圆C 的方程为

2

22

2

1x y a

b

+

=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是

过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D 设21,F PD F PD αβ∠=∠=，只需求证αβ=．证明过程如下

由椭圆C 的方程为

222

2

1x y a

b

+

=且00(,)P x y C ∈，

则过点P 的切线方程为：

002

2

1x x y y a

b

+

=

'l 是通过点P

且与切线l 垂直的法线，则

00002

2

2

2

11':(

)()()

y x l x x y b a

b

a

-=-

所以法线'l 与x 轴交于20((),0)c

D x a

图1.3

图1.2 图1.1