圆锥曲线的性质

毕业论文（2010 届）题目圆锥曲线的性质及其应用学院数学与计算机学院专业数学与应用数学（师范）年级2006级学生学号12006242748学生姓名王海强指导教师胡有婧2010年4 月19 日目录摘要 (1)关键词 (1)1.引言 (1)2.圆锥曲线的性质 (2)2.1圆锥曲线的基本性质 (2)2.2圆锥曲线的光学性质 (4)2.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质 (7)2.3.1 蝴蝶定理 (7)2.3.2 帕斯卡定理 (8)2.4 与焦点弦相关的几条性质 (9)3.圆锥曲线性质的应用 (11)3.1基本性质的应用 (11)3.2光学性质的应用 (12)3.2.1解决一类“距离之和”的最值问题 (12)3.2.2 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用 (15)3.2.3在生产生活中的作用 (16)3.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用 (17)3.3.1蝴蝶定理的应用 (17)3.3.2巴斯卡定理的应用 (19)3.4 与焦点弦相关的几条性质的应用 (20)4.总结 (22)参考文献 (22)数学计算机学院数学教育专业2010届王海强摘要本文首先从圆锥曲线的产生和发展入手，对圆锥曲线的定义和圆锥曲线的部分性质进行了简要的概括．主要是利用平面解析几何的知识和数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质、光学性质，由圆的性质推广得到的几条性质和与焦点弦有关的性质，进行了总结和证明，并且将它们在日常生活中的应用和在解题中的应用进行了简要说明．关键词圆锥曲线；性质；应用中图分类号O123.1The Properties of conic and Application1 引言：公元前4世纪古希腊著名学者梅内克缪斯在解决 “倍立方问题”的过程中他发现了圆锥曲线．取顶角为锐角、直角、钝角的三种不同的直圆锥，用垂直于直圆锥的一条母线的平面去截它们，就得到三种不同的截线，即现在所说的椭圆、抛物线、双曲线．经过了约二百年的时间，圆锥曲线的研究取得了重大突破，其中研究成就最突出的是古希腊数学家阿波罗尼奥斯(公元前262到公元前190)．其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作．《圆锥曲线》几乎将圆锥曲线性质网罗殆尽．直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究．一是德国天文学家开普勒揭示出行星按圆锥曲线轨道环绕太阳运行的事实．二是伽利略得出物体斜抛运动的轨道是抛物线．这使人们对圆锥曲线的实际意义有了更深的认识．17世纪解析几何的创立为圆锥曲线的研究带来了生机．作为点运动轨迹的圆锥曲线，在引入坐标后显示出一个更明显的特征，它是二次方程的图像，即它又被命名为二次曲线．到了18世纪，欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作．在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述.定义 1.1 到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆. 即{}1212PPF PF 2a, (2a F F |)+=>它的方程为22221x y ab+=定义1.2 到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线. 即{}1212PPF PF 2a, (2a<F F |)-=它的方程为22221x y ab-=定义1.3 到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线. 它的方程为22(0)y px p =>定义1.4 到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线．当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线. 统一方程为2222(1)20e x y p x p -+-+=注: e 为离心率2 圆锥曲线的性质:2.1 圆锥曲线的基本性质在高中课本当中就对圆锥曲线的性质进行了简单的介绍，它在高中的教学和高考中都有很重的地位，是高中平面解析几何中不可或缺的一部分．并且本文后面定理的证明都利用到了圆锥曲线的基本性质，可以这样说，圆锥曲线的其它性质都是建立在基本性质之上．所以有必要对其进行一下总结．建立表格如下：2.2 圆锥曲线光学性质定理2.2.1[1] 从圆锥曲线的一焦点发出的光，经过圆锥曲线的反射后，得到的反射光线所在的直线相交于圆锥曲线的另一个焦点（抛物线的另一个焦点可看为无穷远点）.证明:这里可以分为三种情况来进行证明，分别是在椭圆、双曲线、抛物线，下面就来对其进行证明，如图所示1 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）．即可以转化成以下的数学语言.已知：如图，椭圆C 的方程为22221x y ab+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D 设21,F PD F PD αβ∠=∠=，只需求证αβ=．证明过程如下由椭圆C 的方程为22221x y ab+=且00(,)P x y C ∈，则过点P 的切线方程为：00221x x y y ab+='l 是通过点P且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b aba-=-所以法线'l 与x 轴交于20((),0)cD x a图1.3图1.2 图1.1故22102022||,||c c F D x c F D c x aa=+=-故201220||||a cx F D F D a cx +=-又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-故1122||||||||F D PF F D PF =故P D 是12F PF ∠的平分线 则αβ=又ββαα'+=︒='+90，则可得βαβα'='⇔=2. 双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）．即可以转化成以下的数学语言.已知：如图，双曲线C 的方程为22221x y ab-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是过双曲线C上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D设1F PD α∠=，2F PD β∠=，只需求证αβ=由双曲线C 的方程为22221x y ab-= 1(,0)F c -，2(,0)F c )(222b a c+=图2.2因为00(,)P x y 在双曲线上 则过点P 的切线00221x x y y ab-=切线l 与x 轴交于2(,0)aD x ．由双曲线的焦半径公式得1020||||,||||c c P F x a P F x a aa=+=-双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -' 故011102000220||||||||||||,||||||,||||||cx a PF D F acaca D F x a D F x a c x a x a PF D F x a a+=+=-==- 则切线l 为F FP '∠之角平分线．3 .抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）．可以转化为如下的数学语言已知：如图，抛物线C 的方程为为24y cx =，直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于D ，,DPF PDF α∠=∠反射线PQ 与l 所成角记为β，只需求证αβ=抛物线C 的方程为2:4C y cx =，点00(,)P x y 则过点P 的切线为00()y y p x x =+切线l 与x 轴交于0(,0)D x -,焦点为)0,(c F ，γβ= (同位角) 又00||||,||||PF x c DF x c ==+=+故||||PF DF =故图2.3γαβα=⇔=综合上面的证明过程，就可以得到我们所要证明的结论．2.3由圆的性质推广得到圆锥曲线的几何性质2.3.1 蝴蝶定理如图,设A B 是圆的一条弦,过A B 的中点M 作弦,CD EF , 连结 ,CF DE 分别交A B 于点,P Q ,求证: PM MQ =这是在圆中蝴蝶定理的描述，现在可以将其推广到圆锥曲线当中．定理2.3.1[2]（蝴蝶定理）设 A B 是圆锥曲线Γ的一条垂直于其对称轴的弦，过中点M 任作Γ的两条弦 C D ，E F ，直线 C F 、D E 、D F 、C E 分别交A B于点P 、Q 、G 、H . 则有,PM M Q G M M H==证明: 如图所示 ,取A B 重点M 为原点A B 所在直线 为x 轴建立直角坐标系.如果Γ为有心圆锥曲线,则设其中心为0(0,)y .方程为220()ax b y y c+-=又设C D ，E F 方程分别为12,y k x y k x ==则过点,,,C D E F 四点的圆锥曲线系方程为22012[()]()()0m ax b y y c n y k x y k x +--+--= (1)在(1)中取0y =得方程222012()0m ax by c nk k x +-+=不难看出方程的根为一对相反数,因此圆锥曲线(1)与x 轴的两交点关于M 点对称.所以C F 与D E 、D F 与C E 作为圆锥曲线系(1)中的曲线,与x 轴的两个交点P与Q、G与H同样关于点M成中心对称,则==PM M Q G M M H,如果Γ为无心二次曲线,即为抛物线时,设其方程为2=+y ax c下面的证明方法类同于有心圆锥曲线的情况,即给出证明.2.3.2 帕斯卡定理如果圆内接六边形的三组对边都不平行,则该三组对边所在直线的交点共线.帕斯卡定理不只是在圆中成立,它在圆锥曲线也照样成立.现在就来看下塔在圆锥曲线中的情况.定理2.3.3[3] (帕斯卡定理)如果圆锥曲线Γ内接六边形的三组对边都不平行,则这三组对边所在的直线的交点共线.（插入图片）证明；如图所示设简单六点形ABC D EF，其三对对边的交点分别为L M N，则,,===L AB DE M BC EF N CD FA,,以,A C为心，分别连接其他四点，则有(,,,)(,,,)∧A B D E F C B D E F设==AF DE P EF CD Q,则C BDEF M Q E F∧∧且(,,,)(,,,)A B D E F L D E P(,,,)(,,,)所以L D E P M Q E F∧(,,,)(,,,)由于两个点列底的交点E E→故有∧L D E P M Q E F(,,,)(,,,)所以,,LM DQ PF 三线共点 但DQ PF N=即,,L M N 三点共线2.4 与焦点弦相关的几条性质定理2.4.1[4] 设A B 为离心率是e 的圆锥曲线的焦点弦，且弦长2AB R =，则A B 中点M 到焦点相应准线的距离R d e=证明 不妨以椭圆为例加以证明．（双曲线和抛物线同理可证）设椭圆方程为222222(0)b x a y a b a b +=>>，其右焦点为F ，右准线为l ，A B为过F 且中点为M 的焦点弦．若分别过,,A M B 作直线l 的垂线段111,,AA M M BB（如图）．由定义4知 11,AF BF e e AA BB ==即11,AF BF AA BB ee==所以M 到l 的距离为1111()22AB R d M M AA BB ee==+==定理 2.4.2[4] 设A B 为过圆锥曲线的一个焦点F 的一条弦，p 为F 到其相应准线的距离，e 为圆锥曲线的离心率，则112AFBFep+=证明 以双曲线为例进行证明（椭圆和抛物线证明同理）设弦A B 倾斜角为θ，过A 作1AA l ⊥于1A ，过F 作1FD AA ⊥于1FD AA ⊥，过F 作F K l ⊥于K ，则1cos ,DA FA A D KF p θ===由定义４得11cos 1cos FA ep AA A D DA p FA FA ee θθ==+=+⇒=-同理1cos ep F B e θ=+所以111cos 1cos 2e e FAFBepepepθθ-++=+=定理2.4.3[4] 圆锥曲线C 的离心率为e ，A B 为过焦点F 而不垂直于曲线C 的对称轴的弦，且线段A B 的中垂线交曲线C 的过焦点的对称轴于R ，则2A B F Re=证明 设圆锥曲线的焦点为F ，A B 的中垂线为M R （如图），过A 作A C 垂直准线于C ，过B 作B D 垂直于准线于D ，作B K 垂直A C 于K ，则Rt M FR Rt K AB于是有A B K A F RF M=而21()FM KA AC BD FA ABC FB ee=-=-=所以2K A F Me=所以2A B F Re=3 圆锥曲线的几何性质的应用3.1圆锥曲线基本性质的应用圆锥曲线的基本性质在高考中是一个重要考点．利用数学结合思想，对圆锥曲线的一些常见问题来进行解决．这类问题比较简单，容易解决．下面就来看下这两个高考题．例1.1.3（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+myx的离心率为21，则m=（ ）3B.28C 3． 2D 3．分析 根据焦点在x 轴上的椭圆的方程22221x y ab+=，得到20m >>，又根据圆锥曲线的性质222a b c -=和c e a=，可以很容易的建立一个二元方程，解得m ．解 由题意建立方程组22221124m c c e ⎧-=⎪⎨==⎪⎩解得32m =例1.1.2 (2006全国Ⅱ卷文、理)已知双曲线22221x y ab-的一条渐近线方程为4y=x 3,则双曲线的离心率为( )A 35． 34Ｂ． C 5．4D 23．分析 有双曲线的性质，可以知道双曲线渐近线的方程为b y xa=±即可知道b a的值，然后利用利用22222221c a b b e aaa +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭即可解得e 的值．解 由上面的分析即可解得22425139e ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又e >所以53e =3.2光学性质的应用3.2.1解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点. 这虽然还只是一种停留‘经验、感觉’层面上的结论，但却为我们研究一类‘距离之和’ 取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从‘想不到’到‘想得到’的关键问题．如果再辅以严格的数学证明，这种‘经验、感觉’依然是很有价值的、不可替代的”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题．例2.1 已知椭圆C ：221259xy+=，12,F F 为分别是其左右焦点，点(2,2)Q ，P是C 上的动点，求1M F M Q +的取值范围．分析猜想：经计算，(2,2)Q 点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此1M F MQ+应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值．同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从1F 射出被椭圆反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的．这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从1F →1P →Q ），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从1F →2P →2F →Q ），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的1112P F P Q a +< (2a 为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的2122P F P Q a +>，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小．但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？ 将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于1112124P F P Q P F P Q a+++=a 为椭圆长半轴长．而111P F P Q +最小，由此猜测212P F P Q +可能就是最大值． 证明|111P F P Q +是最小值．如图3.2.2，连接2Q F ，延长交椭圆于2P ，在椭圆上另取一点2P '，由椭圆定义知1212122P Q QF PF P F P F ''-+=+因为2222P F P Q QF ''≥-代入（*）式得222121222P Q QF P F P F P Q P F '''-+≥+-所以，221212P Q P F P F P Q''+≥+猜想得证． 综上所述，只需求出2||F Q ==22||10a F Q -=-最大值为22||10a F Q +=+例2.2 已知双曲线C ：2213yx -=，F 1、、F 2为分别是其左右焦点，点9(4,)2Q ，M是C 上的动点，求2M F M Q +的取值范围．分析猜想：经计算，Q 点在双曲线右支开口内部．由于双曲线是不封闭曲线，显然2M F M Q +可以无限大，故要求2M F M Q +的取值范围，关键是求出2M F M Q+的最小值．根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从1F 射出经双曲线反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从1F 射出被双曲线反射后经过点Q 的光线：连接1F Q ，与双曲线的交点即为使得2M F M Q +最小的点，设为P 点，光线从2F →P →Q （见图2）．证明 如图2按猜想作出点P ，由于所求点P 显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点P '．由双曲线定义知1212PF PF P F P F ''-=-即1212PF P F P F PF ''+=+因为11PF PQ P Q P F ''+≤+两边同加2P F 得121212PF PQ PF P Q P F PF P Q PF P F ''''++≤++=++故22PQ PF P Q P F ''+≤+猜想得证． 由题意知 因为19(2,0),(4,)2F Q -所以2112112111||||||||||||(||||)||22P Q P F F Q F P P F F Q F P P F F Q A +=-+=--=-=例2.3 已知抛物线C ：x y 42=，F 是其焦点，点(2,1)Q ，M 是C 上的动点，求M F M Q +的取值范围．分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值．根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点．设为P 点（见图3.2.6）．可由抛物线的定义证明猜想是正确的．且3PF PG +≥3.2.2 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线．可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系．以椭圆为例：如图3.3.1，l 是过椭圆周上一点P 的椭圆的切线，m 是P 点处的法线，光线从12()F F 射出被椭圆反射经过21()F F ，满足12∠=∠，且34∠=∠．2.4 已知l 是过椭圆C：2211612xy+=上一动点P 的椭圆C 的动切线，过C 的左焦点1F 作l 的垂线，求垂足Q 的轨迹方程．图分析 如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐．由于l 是椭圆的切线，切点为P ，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l 是12F PF ∠的外角平分线，1F 关于直线l 的对称点2F '在F 2P 的延长线上．由于12PF F P'=故121228F F PF PF a '=+==而Q 、O 分别是11F F '1、22F F '的中点 所以4O Q =从而Q 点轨迹是以O 为圆心、以4为半径的圆，即点Q 的方程为 2216x y +=3.2.3在生产生活中的作用例 2.5 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图3.4.1，其中F 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm 为单位的设计尺寸如 图3.4.2．为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？解 以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x 轴，开口方向为x 轴的正向，建立坐标系如图3.4.2，则内壁抛物线方程为22y px=．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点 所以图3.2.7图3.2.828524080p p =*=解得90.3p ≈加热点F 应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(,0)(45.2,0)2p =所以F 应距碟底约45.2cm3.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用3.3.1蝴蝶定理的应用例3.1 （2003年北京市理科数学第18题）如图，椭圆的长轴12A A 与x 轴平行，短轴12B B 在y 轴上，中心为(0,)(0)M r b r >> （1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）直线1y k x =交椭圆于两点11222(,),(,)(0)C x y D x y y >，直线2y k x =交椭圆于两点33444(,),(,)(0)G x y H x y y >求证：2341121234k x x k x x x x x x =++；（3）对于（Ⅱ）中的,,,C D G H ，设C H 交x 轴于点P ，G D 交x 轴于点Q . 求证：OP OQ =（证明过程不考虑C H 或G D 垂直于x 轴的情形）分析 第（1）问是利用椭圆的基本性质，而第（2）问是利用平面解析几何的知识，这里就不再进行详细的说明．第（3）问细细对其进行分析不难看出，它就是蝴蝶定理的一个特殊情况． 第（3）问证明中用到了三点共线的充要条件和过两点的直线的斜率公式，分别解出,p q 以后，O P O Q =等价转化成了p q =-此时分析前提条件（2）及待证结论p q =-，关键在于沟通2341121234k x x k x x x x x x =++与231412231124x x x x k x k x k x k x -=--的联系．解 （1）略（2）略（3）证明：设点(,0)P p ，点(,0)Q q ，由,,C P H 共线，得111222x p k x x pk x -=-解得12121122()k k x x p k x k x -=-由,,D Q G 共线，同理可得12231223()k k x x q k x k x -=-由上题可知2341121234k x x k x x x x x x =++变形得231412231124x x x x k x k x k x k x -=--即1223121412231124()()k k x x k k x x k x k x k x k x ---=--所以||||p q =即||||OP OQ =3.3.2巴斯卡定理的应用巴斯卡定理本是在射影几何中产生和发展,反过来,我们在研究二次曲线的性质时运用巴斯卡定理的特殊性质,就会使问题变得简单扼要．由于椭圆(一般二次曲线)和圆(特殊二次曲线)有共同的仿射变换,于是就产生了巴斯卡定理及其对偶定理在初等几何中的种种应用．关于巴斯卡定理的应用很广泛,在这里将其分为三类,第一类是在高等几何中的应用;第二类是关于几何作图的应用;第三类是在初等几何中的应用．其中在第三类应用中,若一个关于一般图形的命题,仅仅是涉及仿射性质和仿射不变量,则可以用题设图形的特殊仿射来证明．特殊图形具有较多的条件,往往可以借助特殊图形的度量性质来证明．既然一般图形和它的特殊仿射象有相同的仿射性质,那么,一般图形的原命题随着特殊图形的新命题的证明而得到证明.例3.2 二阶曲线上的射影变换由三对对应点唯一决定．证明 (如图),由点列的性质可知(,,,)(,,,)A A B C A A B C ''''∧由透视性质知(,,,)(,,,)A A B C A A B C ''''∧X Y是这个透视线束的透视轴,由巴斯卡定理可得,在,,,A A B B C C '''→→→ ,这个射影变换中,任何一对对应点为线束中心所得到的透视轴都是相同的．注:从这个例题可以看出,运用巴斯卡定理很容易就能证明二次曲线上存在射影变换的必要条件.3.4 与焦点弦相关的几条性质的应用例4.1 (1)设A B 为椭圆的焦点弦,则以A B 为直径的圆与相应准线关系____ (2) 设A B 为双曲线的焦点弦,则以A B 为直径的圆与相应准线关系____ (3) 设A B 为抛物线的焦点弦,则以A B 为直径的圆与相应准线关系____ 分析 这三个问题时是对定理2.4.1的应用,根据性质我们可以得到以A B 为直径圆的圆心到椭圆、双曲线和抛物线相应准线之间的距离，从而判断出圆与准线之间的位置关系。