线性代数第三章 向量与向量空间

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系

一．选择题

1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A)对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα (B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关

（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .

2．若向量组γβα,,线性无关,向量组δβα,,线性相关，则 ［ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D)δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：

1． 设T

T T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα

则T )1,0,1(21-=-αα T

)2,1,0(23321=-+ααα

2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T

)10,5,1,10(2=α

T ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α=

3． 已知T

T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2

三．计算题：

1． 设向量()T

k 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α,T k ),,(1113+=α,T

k k ),,(21=β，试问当k 为

何值时 （1)β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？

（2）β可由321ααα,,线性表示,且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？

(向量组的秩ppt ）

21123

31

211131*********

100(3)1

1

1

3

1

1

0r r c c c r r k k k k k k k

k k k k k k

-++-++++=++=

=++++

2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α,T

a ),,,(84214+=α

T b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示？

（2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式？并写出表达式。

31413212421

111

11111

1201121011212324301

2133

518502

252111111

02100112101121001

000102000100

0010r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+++- ⎪

⎪

+-+⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

--- ⎪ ⎪- ⎪ ++- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭

⎪

⎪

(1) a= —1,b ≠0.

12341234(,,,)2;(,,,,)3R R ααααααααβ==

(2) a ≠—1

12341234(,,,)(,,,,)4R R ααααααααβ==

231

00100r r a +

⎪+ ⎭

⎝11a +

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩

一．选择题：

1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ［ C ］ （A ）14433221αααααααα++++,,, (B ）14433221αααααααα----,,, (C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 过渡矩阵满秩

2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 (B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ)线性表示 （C ）m α可由(Ⅰ）线性表示,也可由（Ⅱ)线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ)线性表示

1122111

12121(0)

1

m m m m m m m m m m m

m

k k k k k k k k k k k k βαααααβααα----=++++≠=-

----

3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 ［ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量

（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 ［ C ] (A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B)若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示

（C ）若n r =,则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D)若n s >,则n r =

二．填空题：

1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2,则t = 3