重庆八中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案
重庆八中2020—2021学年度(上)半期考试高二年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线10x +-=的倾斜角为A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π2．已知直线210x y -+=与直线220x my m --=平行，则它们之间的距离为A ．B ．5C ．5D ．43．抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上且其横坐标为4，则||AF =A ．B ．5C ．4D ．34．圆)2224x y -+=与圆()()22219x y +++=的位置关系为A.内切B ．外切 C.相交D.相离5．已知双曲线)0,(1:2222>=-b a by a x C ,焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长A ．B ．3C ．D ．66．已知圆22:9O x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点有3个，则a =A ．±B ．2±C ．2±D ．1±7.在ABC ∆中，已知060,2,3===A b a ，则ABC ∆的面积为A ．433+B ．433-C ．423D ．238．若点O 和点F 分别为双曲线2212x y -=的中心和左焦点，点P 为该双曲线上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A ．B ．2-C ．12D ．32-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．若,a b 表示空间中两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的为A ．//,////a b a bαα⇒B ．,//a b a bαα⊥⊥⇒C ．//,//a b b a αα⊂⇒D ．,//a a b b αα⊥⇒⊥10．已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =11．已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+相交于A 、B 两点，下列说法正确的为A ．两圆有两条公切线B ．直线AB 的方程为22y x =+C ．线段AB 的长为65D ．圆O 上点E ，圆M 上点F ，EF 3+12．设()()1122,,,A x y B x y 是抛物线24y x =上两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，下列结论正确的为A ．12y y 为定值B ．直线AB 过抛物线24y x =的焦点C ．AOB S ∆最小值为16D ．O 到直线AB 的距离最大值为4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1359a a a ++=，则5S =14．圆()()22214x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为15．设F 为抛物线C :28y x =的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为16．设F 为椭圆2222:1x y C a b +=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=,PF =，则椭圆C 的离心率为___________四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题共10分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问5分）已知三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若=4B π，角A 的角平分线交BC 于点D ，BD =,求CD 的长．18．（本小题共12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）现给出三个条件：①123,2,a a a -成等比数列；②231,,2a a -成等差数列；③452S =.试从中任选一个条件，补充在下面的问题中，并作答.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1132,0n n S a a n N a*=+∈≠，且.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记22log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题共12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）直三棱柱111ABC A B C -被平面11A B C 截去一部分后得到如图所示几何体，90ABC ∠=︒，12BC BB ==，E 是1B C 中点．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面C B A 11；（Ⅱ）若三棱锥E ABC -体积为3，求二面角1A A E C --的正弦值．20．（本小题共12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）在平面直角坐标系xoy 中，平面上的动点P 到点)0,1(F 的距离与它到直线1x =-的距离相等.（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,1(F 的直线l 与点P 的轨迹C 交于两个不同点,A B .若点(0,1)E ，且EB EA ⊥，求直线l 的方程．21．（本小题共12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）已知圆C 经过点(0,6)E ，(4,4)F ，且圆心在直线:25130l x y -+=上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,3)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问：在直线3y =上是否存在定点N ，使得(AN BN AN k k k =-，BN k 分别为直线AN ，BN 的斜率）恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题共12分，（Ⅰ）问4分，（Ⅱ）问8分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>经过点(3，离心率为63．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:+2l y x =与曲线C 交于,A B 两点，点M 为OA 中点，BM 与曲线C 的另一个交点为N ，设BM mMN =，试求出m 的值．重庆八中2020—2021学年度（上）半期考试高二年级数学试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案AABCDAABBDADADACD17.解：（Ⅰ）因为cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得sin c o s sin c o s 2sin c o s B C C B A A +=，----------------------------------------------------------------------------------------2分即sin()2sin cos B C A A +=，即sin 2sin cos A A A =，又0A π<<，所以1cos 2A =，-----4分所以3A π=；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得3A π=，又4B π∠=，得512ADC C π∠=∠=，所以AC AD ==----------7分在三角形ABC 中，由余弦定理可得：2222cos CD AD AC AD AC CAD =+-⋅∠即2236612(32CD =+-=---------------------------------------------------------9分解得：3CD =-.--------------------------------------------------------------------------------------------------10分18.解：（Ⅰ）由已知()1132,0n n S a a n N a*=+∈≠，当2n 时，可得11132n n S a a --=+，两式相减，可得1322n n n a a a -=-，整理得12n n a a -=-，0n a ≠，所以数列{}n a 是以2-为公比的等比数列，----3分若选条件①1a ，14，2a 成等差数列，即12124a a +=⨯，即111122a a -=，解得11a =，所以111(2)(2)n n n a --=-=- .若选条件②1a ，21a +，3a 成等比数列，2213(1)a a a +=，即211111(1)24a a a -+= ，解得11a =，所以111(2)(2)n n n a --=-=- ．若选条件③334S =，12334a a a ++=，即111113244a a a -+=，解得11a =，------------------------------------------------5分111(2)(2)n n n a --=-=- ;---------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知222222222log log (2)log (2)log 2n n n n b a --==-==(22)22n n -=-，-----------------------9分所以12n n T b b b =++⋯+02(22)n =++⋯+-(22)2n n -=(1)n n =-．-------------------------------------12分19.解：（Ⅰ）证明：111,BC BB EB EC BE B C ==⇒⊥直三棱柱中11BB ABC BB AB ⊥⇒⊥面,已知AB BC ⊥则1AB BB C ⊥面,----------------------------2分所以1AB B C ⊥,1BE B C ⊥,则1B C ABE ⊥面,-----------------------------------------------------------------5分所以11A B C ABE ⊥面面;---------------------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）设AB x =，111323E ABC ABC V S BB -∆==⋅⋅=，得x =---------------------------------------------7分以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为,,x y z 轴建立直角坐标系.11(0,2,0),2),(0,0,2)A C A B (0,1,1)E ⇒;设面1AA E的法向量为11(,,),(0,0,2),(1)m x y z AA A E ==-11200,0m AA z z m A E y ⋅==⇒=⋅=+=,2,0)x m =⇒=取-------------------------9分设面1CA E的法向量为1(,,),(0,1,1),2,2)n x y z CE CA =-=-10,220n CE y z m A E y z ⋅=-+=⋅=-+= ,1(0,1,1)y z n ==⇒=取---------------|||2m n m n ==⋅=，设二面角1A A E C --大小为α，所以cos sin .33||||m nm n αα⋅==⇒=⋅ ---------------------------------------------------------12分20.解：（Ⅰ）依据题意动点P 到)0,1(F 的距离等于P 到直线1x =的距离由抛物线定义知点P 的轨迹是以)0,1(F 为焦点，直线1x =为准线的抛物线，所以点P 的轨迹C 的方程为：24y x =;-------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设直线l 的方程为：1x my =+，代入24y x =整理得：2440y my --=设1122(,), (,),A x y B x y 则124,y y m +=421-=⋅y y ，①-------------------------------------------------------------------------------------7分由EB EA ⊥得()()01,1,2211=-⋅-y x y x 即()()0112121=--+⋅y y x x -------------------------------8分即()014421212221=++-⋅+⋅y y y y yy 将①式代入：()01441=+--+m 解得12m =-----------10分所以直线l 的方程为：112202x y x y =-++-=，即----------------------------------------------------------12分21.解：（Ⅰ）由(0,6)E ，(4,4)F ，可知线段EF 的中点为(2,5)D ，21EF k =-，EF 的垂直平分线的斜率为2，EF ∴的垂直平分线的方程为210x y -+=．-------------------------------2分EF 的垂直平分线与直线l 的交点即为圆心C ，由21025130x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)C ．-------4分又圆的半径r =，∴圆C 的方程为22(1)(3)10x y -+-=；----------------------6分（Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则过点(0,3)M 的直线AB 的方程为3y kx =+，由223(1)(3)10y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩，消去y 整理得22(1)290k x x +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴12221x x k +=+，12291x x k -=+．(*)----------------------------------------------8分设(,3)N t ，则113y kAN x t -=-，223BN y k x t -=-．由AN BN k k =-，即有1212330y y x t x t --+=--，即1221(3)()(3)()0y x t y x t --+--=，即12122()0kx x kt x x -+=，将(*)式代入得22182011k ktk k --=++，解得9t =-，故点N 的坐标为(9-，3)．-----------------------------------------------------------------------------10分当直线AB 平行y 轴时，显然点(9N -，3)可使AN BN k k =-成立．------------------------------------------11分所以在直线3y =上存在定点(9N -，3)使得AN BN k k =-恒成立．-----------------------------------------------12分22.解：（Ⅰ）解:由题意得2222313a c aa b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，C 的方程为2213y x +=-------------------------4分（Ⅱ）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y将:l y x =+2213y x +=，得240x +=所以12121,,24xx x x +=-=-()12121212324y y x x x x x x ==++=------------------------6分由点M 为OA 中点得1111,22M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭由BM mMN =得121201011111,,2222x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()012012112112m x x x m m m y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩----------------------------------------------------------------------------------------8分因为N 在椭圆上，所以220013y x +=所以()()22121211111+=1232m m x x y y mm m m ++⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦------------10分()()2222212121212222111+14333m m y y y y x x x x m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为2222121212121,1,0333y y y y x x x x +=+=+=所以()22211+14m m m +=，化简得23250m m --=，解得53m =.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分。
重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期期末(文)数学试题
重庆市第八中学【最新】高二上学期期末（文）数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=2．曲线y=x 3﹣2x 在点（1，﹣1）处的切线方程是（ ）A ．x ﹣y ﹣2=0B ．x ﹣y+2=0C ．x+y+2=0D ．x+y ﹣2=0 3．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表(如下)第1行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第2个红色球的编号为( )A ．32B ．48C ．37D ．234．已知1F ，2F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在1ABF ∆中，若110||AB AF +＝，则1||BF ＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( ) A ． 1.234ˆyx =+ B ． 1.2308ˆ.0y x =- C ． 1.23.8ˆ0y x =+ D ． 1.2308ˆ.0yx =+ 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．αβ、是两个不同的平面,a ､b 是两条不同的直线.则下列四个命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥,a α⊂,b β⊂,则a b ⊥B ．若a b ⊥,a α⊥,b β∥,则αβ⊥C ．若a α⊥,b α,则a b ⊥D ．若αβ⊥且l αβ＝,a α,b l ⊥,则a b ⊥8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为( )A ．34B ．78C ．1516D ．31329．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．83C ．8D ．16310．已知直线0x y m -+=(0)m >与圆22:(3)(3)4C x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当CAB △的面积最大时，m 的值为（ ）A ．4B ．2CD ．211．如图，在PAB △中，22PA PB ，90APB ︒∠=，点O 为AB 的中点，以PO 为折痕把POB 折叠，使点B 达到点B '的位置，且B O AO '⊥，则三棱锥P AOB '-的外接球的表面积是( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π12．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若M 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线离心率为( )A B C ．3 D ．2二、填空题13，则该圆锥的体积为________.14．箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率是________．15．设32()691f x x x x =-++在区间[,1]m m +上单调递减，则实数m 的取值范围为________.16．过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，,AF FB =43BC =，则抛物线的方程为________.三、解答题17．已知函数32()1f x x ax bx =--+在1x =处有极值1.(1)求a ，b 的值；(2)求()f x 的单调区间.18．如图，底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，M ､N 分别为AD ､PC 中点.(1)证明:MN ∥平面P AB ；(2)求异面直线MN 与AB 所成角的大小.19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.20．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.21．如图，在多面体ABCDE 中，BE CD ∥，CD ⊥平面ABC ，4BC BE ==，AB AC =，5AD =，F 为BC 的中点，且EF DF ⊥.(1)求证:EF ⊥平面ADF ；(2)求多面体ABCDE 的体积.22．已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率为12，以椭圆长轴，短轴四个端点为顶点的四边形的面积为(1)求椭圆C 的方程；(2)设点(,4)M t ，记椭圆的上下顶点分别为A 和B ，直线AM 交椭圆于A ，P 两点，直线BM 交椭圆于B ，Q 两点，记APB △和AQB 的面积分别为1S 和2S ，当[1,3]t ∈时，求12S S 的取值范围.参考答案1．C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．A【解析】试题分析：先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．解：由题意得，y′=3x 2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1=x ﹣1，即x ﹣y ﹣2=0，故选A ．点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式．3．A【分析】根据题意以及随机数表的读法，从随机数表中找到第1行的第6列和第7列数字，并依次向右查找，注意选出的数不能大于33，重复的数需要舍去.【详解】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，这个两位数小于等于33且不重复出现的红色球的编号依次为：21、32，因此，选出来的第2个红色球的编号为32.故选：A【点睛】本题考查了随机抽样的问题、随机数的含义、以及随机数表的读法，解题的基本方法是弄清利用随机数表选取随机数的规则，属于基础题.4．C【分析】由椭圆的定义可得1116AB AF BF ++=，由此可求出1||BF 的长． 【详解】解：由椭圆的定义得 121288AF AF BF BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 两式相加得22111116AF BF AF BF AB AF BF +++=++=，又因为在1ABF ∆中，110||AB AF +＝， 所以1||16106BF =-=，故选：C ．【点睛】本题考查过焦点的直线和椭圆相交产生的三角形的周长问题，关键是对椭圆定义的灵活运用，是基础题．5．D【解析】 由条件知，4x =，5y =，设回归直线方程为 1.23ˆyx a =+，则 1.230.08a y x =-=.选D.6．B【分析】根据导函数图像的正负得到函数在各个区间的单调性，结合图像判断正确选项.【详解】由导函数图像可知函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,1)-单调递增，在(1,+)∞单调递增，结合A ，B ，C ，D ，只有选项B 中的图像满足条件.故选：B【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生数形结合的能力，属于基础题. 7．C【解析】【分析】结合直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的关系，对四个选项逐一判【详解】选项A 中，若αβ⊥,a α⊂,b β⊂,则a 与b 相交,异面或a b ∥,所以A 错;选项B 中，若a b ⊥,a α⊥,b β∥,则α与β相交或αβ∥,所以B 错;选项C 中，若a α⊥,则直线a 垂直平面α内的任意直线,若b α时,b 平行于α平面内的某条直线,所以a b ⊥,所以C 正确;D .若αβ⊥且l αβ＝,a α,b l ⊥,则a 与b 相交,异面或a b ∥,所以D 错, 故选：C.【点睛】本题考查立体几何中，线线关系，线面关系以及面面关系，属于简单题.8．B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【详解】本题由于已知输出时x 的值，因此可以逆向求解：输出0x =,此时4i =； 上一步：1210,2x x -==,此时3i =； 上一步：1321,24x x -==,此时2i =； 上一步：3721,48x x -==,此时1i =； 故选：B .【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题. 9．A【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是的等腰直角三角形，高为3，所以体积为：1112132134232⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题． 10．B【分析】由已知求得圆心坐标与半径，由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，利用垂径定理求得弦长，写出三角形的面积，整理后利用基本不等式求最值．【详解】解：圆22:(3)(3)4C x y -+-=的圆心坐标为(3,3)，半径为2，由圆心到直线0x y m -+=(0)m >的距离22d m ==<，得0m <<直线0x y m -+=被圆所截得的弦长为=则2241222222ABC m m S m ∆-+=⨯==，当且仅当22422m m -=，即2(0)m m =>时上式“＝”成立． ∴存在2m =，使得直线0x y m -+=与圆C 相交于,A B 两点，且使CAB △的面积最大，最大值为2．故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查利用基本不等式求最值，属中档题．11．A【分析】由题目条件可以分析得到',,OA OB OP 两两垂直，且相等，可把三棱锥放在以',,OA OB OP.【详解】由题意可得：B O AO B O PO AO PO ''⊥⊥⊥，，，且'===2OA OB OP ，以',,OA OB OP 为邻边构造棱长为2的正方体，三棱锥'P AOB -与该正方体共外接球2412S R ππ==.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了学生的空间想象，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.12．D【分析】根据题目中提供的平行关系写出过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线的方程，联立解出点M 的坐标，M 在以12F F 为直径的圆上，得到,,a b c 的等量关系，求解离心率.【详解】 双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：b y x a =±，不妨设过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线的方程为：()b y x c a =-与b y x a=-联立得到M 的坐标为(,)22c bc a -.又因为M 在以12F F 为直径的圆上，222222||=||,=44c b c OM OF c a∴∴+ 22222=3=3b c a a a -∴∴ 2c e a∴== 故选:D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率，点在圆上等知识点，考查了学生综合分析，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.13．163π 【分析】设出圆锥的底面半径，通过侧面积求解底面半径，然后转化求解圆锥的高即可，进而可求出圆锥的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，其侧面积为，所以：122r π⨯=，解得2r ，4=，则该圆锥的体积为：21164233ππ⨯⨯⨯=， 故答案为：163π． 【点睛】 本题考查圆锥的侧面积与体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题． 14．25【解析】从五张卡片中任取两张共有542⨯＝10种取法，其中号码之和为3的倍数有1,2；1,5；2,4；4,5，共4种取法，由此可得两张号码之和为3的倍数的概率P ＝410＝25. 15．12m ≤≤【分析】通过32()691f x x x x =-++的导函数研究函数在R 上的单调性，得到()f x 的单调递减区间，进而求解m 的范围.【详解】因为32()691f x x x x =-++，所以2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--令'()0,f x <13x <<，因此()f x 在(1,3)单调递减. 因此11213m m m ≥⎧∴≤≤⎨+≤⎩故答案为：12m ≤≤【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，已知函数的单调性，求参数的范围，考查了学生运算求解，转化与化归的能力，属于中档题.16．24y x =【解析】【分析】设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，F 为线段AB 的中点，进而可知||AF 和||AB ，推断出1||2AF AB =，求得ABC ∠，再由||43BC =求得p ，则抛物线方程可求． 【详解】解：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点，故||||2||2AF AC FD p ===，||2||2||4AB AF AC p ===，30,||ABC BC ︒∴∠==，则=2p =，∴抛物线的方程为24y x =．故答案为：24y x =．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了平面几何的求解能力，是中档题．17．(1) 2,1a b ==-;(2) 单调递增区间为: 1(,),(1,)3+-∞∞;单调递减区间为: 1(1)3，.【分析】(1)将原函数的极值问题转化为导函数的零点研究，联立求解a ，b 的值；(2)通过研究导函数的正负，研究()f x 的单调区间.【详解】(1)由题意2'()32f x x ax b =-- (1)111,'(1)320f a b f a b =--+==--=求解得到：2,1a b ==-经检验：当2,1a b ==-时，2'()341f x x x =-+在1x =左右异号，成立.(2)由(1)得到：2'()341(31)(1)f x x x x x =-+=-- 令1'()0,(,)(1,)()3f x x +f x >∈-∞∞∴的单调递增区间为: 1(,),(1,)3+-∞∞; 令1'()0,(,1)()3f x x f x <∈∴的单调递减区间为: 1(1)3，. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、单调性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.18．(1)见解析；（2）4π.【分析】(1)通过构造平行四边形，在平面P AB 内构造MN 的平行线，通过线线平行证明线面平行；(2)把异面直线MN 与AB 所成角的大小转化为AS 与AB 所成角的大小，进而求解.【详解】(1)取PB 的中点S ，连接AS ,SN ，构造平行四边形ASNM ，如下图所示.由于S 为PB 中点，N 为PC 中点，所以1//,2SN BC SN BC =， 又由于M 为AD 中点，所以//,SN AM SN AM =. 所以ASNM 为平行四边形，//,MN AS MN ∴⊄平面P AB因此得证：MN ∥平面P AB（2）//MN AS因此异面直线MN 与AB 所成角，即直线AS 与AB 所成角.又PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==所以PAB ∆为等腰直角三角形.故直线AS 与AB 所成角为4π； 即：异面直线MN 与AB 所成角的大小为4π. 【点睛】本题考查了空间中的线面平行关系和异面直线所成角，考查了学生空间想象、演绎推理、数学运算的能力，属于基础题.19．（1）12m >-；（2）2215(1)(1)4x y -++= 【分析】（1）代入(1,2)-可得2p =，求得抛物线方程，联立直线方程，应用韦达定理，判别式大于0，解不等式可得所求范围；（2）设()11,,A x y ()22,B x y ，应用韦达定理和中点坐标公式，可得m ，求得圆心，由弦长公式可得|AB |，求得半径，即可得到所求圆的方程．【详解】解：（1）由题意代入(1,2)-可得2p =，所以抛物线方程为24y x =.联立224y x m y x =-+⎧⎨=⎩, 消去x 得224(44)0x m x m -++=，因为相交于A 、B 两点，则有：22(44)1632160m m m ∆=+-=+>, 解得12m >-. （2）设()11,,A x y ()22,B x y ， 所以212121,4m x x m x x +=+= 由121122x x m ++== 得1m =满足12m >-， 所以直线:21l y x =-+，121212,4x x x x +==从而中点(1,1)-为圆心，而||AB ===则2r =, 所以以AB 为直径的圆的方程为：2215(1)(1)4x y -++=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，应用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，考查圆的方程的求法，化简运算能力，属于基础题．20．（1）265公斤 （2）0.7【分析】（1）用频率分布直方图的每一个矩形的面积乘以矩形的中点坐标求和即为平均值；（2）讨论日需求量与250公斤的关系，写出分段函数再利用频率分布直方图求概率即可.【详解】（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4500.0015100+⨯⨯ 265=故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.（2）当日需求量不低于250公斤时，利润()=2515250=2500y ⨯－元, 当日需求量低于250公斤时，利润()()=25152505=151250y x x x ---⨯-元 所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ 由1750y ≥得，200500x ≤≤,所以()1750P y ≥＝()200500P x ≤≤=0.0030100+0.0025100+0.0015100=0.7⨯⨯⨯故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，做此类题的关键是理解题意，属于中档题. 21．（1）证明；（2）V =【分析】（1）由已知条件，证明AF ⊥平面CDEB ，所以EF AF ⊥，又因为EF DF ⊥，进而证的结论.(2)可以把求ABCDE V 转化为：D ACF E AFD E ABF V V V ---++，借助三个小三棱锥的性质求得体积.【详解】（1）因为CD ⊥平面ABC ，所以CD AF ⊥因为AB AC =，F 为BC 的中点，所以BC AF ⊥所以AF ⊥平面CDEB ，所以EF AF ⊥又因为EF DF ⊥所以EF ⊥平面ADF .（2）由EF DF ⊥可得：DCF FBE ∆∆1DC BF DC CF BE∴=∴=，又5AD =，∴AC =AF =因此：1111543333ABCDE D ACF E AFD E ABFV V V V ---=++=⨯⨯⨯+⨯= 【点睛】本题考查了空间中的线面垂直关系证明，空间几何体的体积，考查了学生的空间想象，演绎推理，数学运算能力.22．(1) 22143y x +=; (2) 127[1,]3S S ∈ 【分析】（1）结合椭圆的离心率和以椭圆长轴，短轴四个端点为顶点的四边形的面积求解a ,b ，得到椭圆的方程；（2）利用点M 坐标表示直线AM 方程，与椭圆方程联立求解点P 坐标，同理得到点Q 的坐标，表示12S S ，结合t 的范围，求12S S 的范围. 【详解】(1)由题意：122c a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩知2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为：22143y x +=. (2) 设点(,4)(0,2)M t A ，,则直线2:2AM y x t=+代入椭圆方程22143y x +=得：22(3)60t x tx ++=，则263P t x t =-+ 同理可得：21827Q t x t =+ 所以：212221||||||27182=1||3(3)33||||2P P Q Q AB x S x t S x t t AB x +===+++ 又[1,3]t ∈时，故：127[1,]3S S ∈. 【点睛】本题考查了椭圆的方程以及椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查了学生综合分析 ，转化与化归，数学运算的能力，属于较难题.。
重庆市第八中学2020级高二上期中考试数学(理科)
绝密★启用前重庆八中2018-2019年度（上）半期考试高二年级数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卷一并交回.满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线1y =+的倾斜角为（ ） A.3π B. 23π C. 6πD. 56π2.命题“若1x >，则21x >”的逆否命题为（ ） A. 若21x >，则1x >B. 若1x >，则21x ≤C. 若1x ≤，则21x ≤ D. 若21x ≤，则1x ≤3.已知抛物线()220x py p =>的焦点到准线的距离为6，则p =（ ） A. 24B. 12C. 6D. 34.焦点坐标为()()4,0,4,0-且实轴长为4的双曲线的标准方程为（ ）A.221412x y -= B. 2211612x y -= C. 221412y x -= D. 2211612y x -= 5.设,,a b c 是空间中的三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A.若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥B. 若,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 是异面直线C. 若,a b 是相交直线，,b c 是相交直线，则,a c 是相交直线D.若//,//a b b c ，则//a c6.已知,a b 均为正实数，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON =（ ） A.32B. 2C. 4D. 88.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）9.过三点()()()1,4,1,4,7,4A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则MN =（ ）A.3B.4 C. 6 D. 810.已知0mn ≠，点(),Q m n 是圆()222:0O x y r r +=>内一点，,A B 是圆O 上两点，若Q 是AB 中点，记AB所在直线为1l ，直线22:l nx my r -=，则下列结论正确的是（ ）A.12//l l 且2l 与圆相交B.12//l l 且2l 与圆相离C.12l l ⊥ 且2l 与圆相离D.12l l ⊥ 且2l 与圆相切11.若以()()123,0,3,0F F -为焦点的双曲线与直线1y x =-有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（ ）A.6B. 355C. 2D. 312.已知12,F F 分别是椭圆()2221024x y b b+=<<的左右焦点，过1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，且1290F AF ∠=o.若12tan 2AF F ∠=，则2cos ABF ∠=（ ）A.53 B. 23 C. 45 D. 35二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.直线0x y -=关于直线1x =对称的直线方程是 14.如图是一个正方体表面的一种平面展开图，则图中的四条线段,,,AB CD EF GH 在原正方体中相互异面的有 对。
重庆市某中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷
数学试题考试时间：150分；考试时间：120分钟第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是() A.210x y --=B.210x y -+=C.220x y +-=D.210x y +-=2若不论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点的坐标为（ ） A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)3.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外,则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是() A.相切B.相交C.相离D.不确定4.若圆221:1C x y +=,与圆222:680C x y x y n +--+=外切,则n=（） A.21B.9C.19D.-115.椭圆22214x y m +=与双曲线22212x y m -=有相同的焦点，则m 的值是() A.1±B.1C.-1D.不存在6已知双曲线221259x y -=上有一点M 到左焦点1F 的距离为18,则点M 到右焦点2F 的距离是()A.8B.28C.12D.8或287.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为()A.y =B.2y x =±C.2y x =±D.12y x =±8.过点()3,0A 且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为() A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线9.设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是() A.4B.6C.8D.1210.椭圆22194x y k +=+的离心率为45,则k 的值为（）A.21-B.21C.1925-或21 D.1925或2111.若直线y x b =+与曲线3y =-,则b 的取值范围是()A.1,1⎡-+⎣B.1⎡-+⎣C.1⎡⎤-⎣⎦D.1⎡⎤⎣⎦12.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上一点，且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于()A. B. C.24 D.48第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中的横线上。
2024学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．若直线l 的一个方向向量为)e =，则直线l 的倾斜角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2．若sin cos θθ=，则()sin sin cos θθθ+=（）A ．-1B ．0C ．1D ．23．已知圆C 经过点()1,3和点()4,0，且圆心C 在直线20x y -=上，则圆C 的半径为（）A ．2B ．C ．4D ．54．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是）A ．10B ．C ．40D ．445．已知点G 是ABC V 的重心，若GB AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．13-B ．16-C ．16D ．136．已知直线l 为空间中一条直线，平面α，β，γ为两两相互垂直的三个平面，则（）A ．若//l α，则l 与β和γ相交B ．若l α⊥，则l //β或//l γC ．若l α⊂，则l β⊥，且l γ⊥D ．若l αβ= ，则l γ⊥7．已知海面上有一监测站A ，其监测范围为以A 为圆心，半径为25km 的圆形区域，在A 正东方向30km 处有一货船B ，该船正以20km /h 的速度向北偏西60o 方向行驶，则货船B 行驶在监测站A 监测范围内的总时长为（）A ．0hB ．1hC ．2hD ．3h8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，2MA BM = ，点P 为椭圆C 上一点且()0OP OM λλ=>，则λ的值为（）A ．B ．C ．32D ．2二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆()()221:114C x y +++=，圆()()222:329C x y -+-=，则（）A ．直线12C C 的方程为3410x y --=B ．圆3C 经过1C ，2C 两点，则圆3C 的面积的最小值为25π4C ．与圆1C 和圆2C 都相切的直线共有四条D ．若M ，N 分别为圆1C ，圆2C 上两动点，则MN 的最大值为1010．已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，则（）A ．12F PF 的周长为4+B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=C ．若1260F PF ∠=，则12F PF 的面积为D ．使得12F PF 为等腰三角形的点P 共有4个11．在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折，直至点D 落在边AB 上.当ADM △翻折到PAM △的位置时，连结PB ，PC ，则（）A ．四棱锥P ABCM -体积的最大值为4B ．存在某一翻折位置，使得AM PB ⊥C ．E 为AB 的中点，当12PE =时，二面角P AM C --的余弦值为34D ．N 为PB 的中点，则CN 的长为定值三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线y x =与圆2240x y y m +-+=相切，则实数m 的值为.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，2AF BF =，23AFB π∠=，则椭圆C 的离心率为.14．已知正四面体ABCD 的棱长为2，M 在棱CD 上，且3CM MD =，则此正四面体的外接球球心到平面MAB 的距离为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线l 的方程为：()()11230m x m y ++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线l 必过定点M ；(2)过（1）中的点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A ，B 两点，求AOB V 面积的最小值.16．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos a c c B -=.(1)求证：2B C =；(2)若ABC ∠的角平分线交AC 于D ，且6a =，求线段BD 的长度的取值范围.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，不与y 轴垂直的直线l 过点()0,1P 且与圆O 相交于A ，B 两点.(1)已知AB =，求直线l 的方程；(2)已知点()2,1M 且ABM 的面积为l 的方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，PC PD ==E 在棱PB 上，且//PD 平面ACE .(1)求证：E 为PB 中点；(2)求平面EAC 与平面ACD 夹角的正弦值；(3)若点M 为棱PD 上一动点（含端点），求直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值的取值范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14xC y +=与x 轴和y 轴的交点分别为1A ，2A ，1B ，2B （1A 在2A 左侧，1B 在2B 下侧），直线y kx =（0k >且12k ≠）与直线22A B 交于点P ，过点1A 且平行于OP 的直线交C 于点N （异于点1A ），交y 轴于点M ，直线NP 交C 于点Q （异于点N ），直线MP 交x 轴于点H .(1)当14k =时，求出H ，Q 两点的坐标；(2)直线HQ 与直线OP 是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.参考答案1．【答案】A【详解】设倾斜角为α，因为直线l 的方向向量是)e =，则直线l 的斜率33k ==，故倾斜角α的正切值为tan 3α=，且[)0,πα∈，所以l 的倾斜角为π6α=.故选：A.2．【答案】C【详解】因为sin cos θθ=，所以tan 1θ=，所以()()2222sin sin cos tan tan 11sin sin cos 1sin cos tan 111θθθθθθθθθθθ++++====+++.故选：C 3．【答案】B【详解】因为圆心C 在直线20x y -=，设圆心为()2,C a a ，因为圆C 经过点()1,3和()4,0，可得=，解得1a =，故圆心为()2,1C ，则圆的半径为r ==故选：B.4．【答案】C【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为所以侧面梯形的斜高为2h =='，所以棱台的侧面积为()()11444624022S a b h '=⨯+=⨯+⨯=.故选：C 5．【答案】D【详解】如图，由点G 是ABC V 的重心，可得()()211121323333GB BG BA BC AB AC AB AB AC =-=-⨯+=--=-，结合GB AB AC λμ=+ ，可得23λ=，13μ=-，所以13λμ+=.故选：D 6．【答案】D【详解】对A 选项，由//l α，则l 与β和γ相交或平行或在面内，所以A 选项错误；对B 选项，当l βγ=Ç时，l α⊥且l β⊂且l γ⊂，所以B 选项错误；对C 选项，当l α⊂时，l 与β，γ可以成任意角，所以C 选项错误；对D 选项，如图，易得l γ⊥，所以D选项正确；故选：D 7．【答案】C【详解】依题意，如图，易知B 在A 监测范围内行驶的总距离为()240km CD ==，故B 在A 监测范围内行驶的总时长为()402h 20=.故选：C 8．【答案】A【详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点(),0A a ，上顶点()0,B b ，设()00,M x y ，则()()0000,,,MA a x y BM x y b =--=-uuu r uuu r，由2MA BM = 可得()000022a x x y y b -=⎧⎨-=-⎩，解得00323a x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,33a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，又由OP OM λ= ，则2,33a b P λλ⎛⎫⎪⎝⎭，将P 代入椭圆方程22221x y a b+=，得22222331a b a b λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即224199λλ+=，解得5λ=或5-（舍），所以5λ=.故选：A.9．【答案】ABD【详解】圆()()221:114C x y +++=，其圆心()11,1C --，半径12r =，圆()()222:329C x y -+-=，其圆心()23,2C ，半径23r =，对于A ，直线12C C 的方程为112131y x ++=++，即3410x y --=，所以A 正确；对于B ，因为125C C =，当12C C 为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为2525ππ24⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C ，因为125C C =，可得1212C C r r =+，可知圆1C 与圆2C 外切，所以两圆的公切线共有3条，所以C 错误；对于D ，当M ，1C ，2C ，N 共线时，MN 取得最大值121210C C r r ++=，所以D 正确.故选：ABD.10．【答案】AB【详解】对于A，由题意，2a =，c =4+A 正确；对于B ，当点P 位于上下顶点时，12F PF ∠为直角，所以B 正确.对于C ，当1260F PF ∠=时，如图：设11PF t =，22PF t =，则1222121242cos608t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒1283t t =.所以1212118sin 60223PF F S t t =︒=⨯=C 错误；对于D ，若12F PF 是以P 为顶点的等腰三角形，点P 位于上下顶点；若12F PF 是以1F 为顶点的等腰三角形，则112F P F F ==，此时满足条件的点P 有两个；同理，若12F PF 是以2F 为顶点的等腰三角形，满足条件的点P 有两个；故使得12F PF 为等腰三角形的点P 共六个，所以D 错误.故选：AB 11．【答案】ACD【详解】对于A ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，四棱锥P ABCM -的体积最大，此时四棱锥P ABCM -的高为点D 到AM 的距离，直角梯形ABCM 的面积为()1322AB CM BC +⨯=，四棱锥P ABCM -体积的最大值为133224⨯⨯=，所以A 正确；对于B ，若AM PB ⊥，又AM BM ⊥，则AM ⊥平面PBM ，即AM PM ⊥，矛盾，所以B 错误；对于C ，取AM 中点O ，连接OP ，OE ，如图：由题意，AM OP ⊥，AM OE ⊥，所以POE ∠为二面角P AM C --的平面角，在POE △中，12PE =，22OP OE ==，2223cos 24OP OE PE POE OP OE ∠+-==⋅，所以C 正确；对于D ，取AB 中点E ，连接EN ，NC ，EC ，则EN AP //，12EN PA =，且四边形AECM 为平行四边形，EC AM ∥，EC AM =，所以θNEC PAM ∠∠==，即θ，AP ，AM 不变，由余弦定理知CN 定值，所以D 正确.故选：ACD12．【答案】2【详解】将方程2240x y y m +-+=整理，可得()2242x m y +=--，（4m <）则圆心为()0,2，半径为r =因为直线y x =与圆2240x y y m +-+=相切，所以圆心到直线0x y -=的距离等于圆的半径，即=由=⇒42m -=⇒2m =.故答案为：2.13．【答案】3【详解】解：设2F 是椭圆C 的右焦点，连接2AF ，2BF ，由对称性可知：OA OB =，2OF OF =，则四边形2FAF B 为平行四边形，则2AF BF =，即22AF AF =，且23FAF π∠=，因为2232AF AF AF a +==，则B 2=23，43AF a =，在2FAF △中，由余弦定理可得22222222cos FF AF AF AF AF FAF =+-⋅⋅∠，即2224162414299332c a a a a =+-⨯⨯⨯，解得2213c a =，所以椭圆C 的离心率为33c e a ==.故答案为：14．【答案】6【详解】在正四面体ABCD 中，2AD BD ==，1142DM CD ==，60ADM BDM ∠=∠= ，在ADM △，BDM 中，AM BM ==取AB 中点N ，连接MN ，DN ，如图，DN AB ⊥，MN AB ⊥，而DN =32MN ===，令正BCD △的中心为1O ，连接1AO ，1BO ，1MO ，1BO 的延长线交CD 于点E ，则E 为CD 中点，有123BO BE =，12221111332326BO M BEM BED BCD S S S S BC ==⨯=⨯= 1322ABMS AB MN =⋅= ，显然1AO ⊥平面BCD ，正四面体ABCD 的外接球球心O 在1AO 上，连接BO ，则BO AO R ==，而13AO =，在1Rt BOO △中，222R R ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得2R =，且134AO AO =，令点1O 到平面MAB 的距离为h ，由11O ABM A BO M V V --=得：111133ABM BO M S h S AO ⋅=⋅ ，即3263h =，解得9h =，因此球O 的球心O 到平面MAB 的距离d 有1d AO h AO =，即346d h ==.故答案为：615．【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】（1）由()()11230m x m y ++--=，可得()()230m x y x y -++-=，令202301x y x x y y ⎧-==⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 过定点()2,1M .（2）由（1）知，直线1l 恒过定点()2,1M ，由题意可设直线1l 的方程为()()120y k x k -=-<，设直线1l 与x 轴，y 轴正半轴交点为A ，B ，令0x =，得12B y k =-；令0y =，得12A x k=-，所以AOB V 面积()111222S k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()11442k k ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭1442⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当14k k -=-，即12k =-时，AOB V 面积最小值为4.16．【答案】(1)证明见解析(2)(【详解】（1）证明：由2cos a c c B -=，根据正弦定理可得sin sin 2sin cos A C C B -=，即()sin sin 2sin cos B C C C B +-=，所以sin cos cos sin sin 2sin cos B C B C C C B +-=；可得sin cos cos sin sin 2sin cos B C B C C C B +-=，所以sin cos cos sin sin B C B C C -=，即()sin sin B C C -=，显然B C >，故π02C <<，ππ22B C -<-<，所以2B C =.（2）在BCD △中，由正弦定理可得sin sin a BDBDC C=∠，可得6a =，即6sin sin BD BDC C =∠，所以6sin 6sin 3sin sin2cos C C BD BDC C C===∠，因为ABC V 是锐角三角形，且2B C =，所以π02π022π0π32C C C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64C <<，可得cos 2C <<BD <<，所以线段BD长度的取值范围是(.17．【答案】(1)1:12l y x =±+(2):1l y =+【详解】（1）①直线l 的斜率不存在时，AB 4=，不满足题意.②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()10y kx k =+≠，则圆心()0,0到直线l的距离d =由AB =，可得2222⎛⎫+=⎝⎭，解得12k =±，故直线1:12l y x =±+.（2）①直线l 的斜率不存在时，1142422ABE M S AB x =⨯⋅=⨯⨯=△，不满足题意.②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()10y kx k =+≠，则AB =M 到直线l的距离d '，故1122ABMS AB d '=⋅=△由ABMS =△可得352=，化简得421942450k k --=，即()()22319150k k -+=，解得k =，故直线:1l y =+.18．【答案】(1)证明见解析(2)306(3)23⎣⎦【详解】（1）连结BD 交AC 于点F ，连结EF ，因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点，因为//PD 平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD 平面ACE EF =，所以//PD EF ，又因为F 为BD 中点，所以E 为PB 中点.（2）取CD 的中点O ，连结PO ，FO ，因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，因为PC PD =，O 为CD 中点，所以PO CD ⊥，//OF BC ，所以OF CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以⊥PO 平面ABCD ，所以PO OF ⊥，所以OF ，OC ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则由题意可得：()1,1,0A -，()0,1,0C ，()1,1,0B ，0,0,1，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D -，则()1,2,0AC =- ，131,,222AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,0,1OP =，由上可知()0,0,1OP =为平面ACD 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为 =s s ，201310222AC n x y AE n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1y =，则2x =，1z =-，所以()2,1,1n =- ，所以cos ,OP n，6OP n OP n ⋅===，所以平面EAC 与平面ACD 夹角的正弦值为6.（3）由（2）()0,1,1PD =-- ，()1,1,1AP =-，因为点M 在棱PD 上（含端点）所以设()()0,1,10,,PM PD λλλλ==--=-- ，[]0,1λ∈则()()()1,1,10,,1,1,1AM AP PM AP PD λλλλλ=+=+=-+--=---，设AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin cos ,AM n AM n AM n θ⋅==,33=⎥⎣⎦所以直线AM 与平面ACE所成角的正弦值的取值范围为⎣⎦.19．【答案】(1)83,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,0H (2)平行，证明见解析【详解】（1）由椭圆方程可知：2,1,a b c ==则()12,0A -，()22,0A ，()10,1B -，()20,1B ，直线22:121x yA B +=，即220x y +-=，联立方程14220y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线()1:24MN y x =+，故10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，直线11:82MP y x =-+，故()4,0H .由224214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2540y y -=，解得45y =或0y =（舍去），即65x =，可得64,55N ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线7:52NP y x =-+，联立方程2275214y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得22570480x x -+=，解得85x =或65x =（舍去），即35y =-，所以83,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）直线HQ 与直线OP 相互平行，证明如下：证明1HB OP ∥，再证明H ，1B ，Q 三点共线即可.①证明1:HB OP ∥由220y kx x y =⎧⎨+-=⎩，解得22,1212k P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，直线1A M 的方程为()2y k x =+，则()0,2M k ，故直线2:22MP y k x k =-+，可得1,0H k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()10110HB k kk--==-，故1HB OP ∥；②证明H ，1B ，Q 三点共线：设()11,N x y ，由221214x y k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221440k y y k k +-=，解得12414k y k =+，故2122814k x k -=+，即222284,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；直线1HB 的方程为1y kx =-，设1HB 交C 于()122,Q x y ，由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221480k x kx +-=，解得22814k x k =+，故2224114k y k -=+，即2122841,1414k k Q k k ⎛⎫- ++⎝⎭，则()()()()()1222222222241241122144411412828828122141412P PQ P k kk k k k y y k k k k k k x x k k k k k k k---+-+---++====-+-+-+-++，()()()()()2322212322221242212144444114122828828821412141412P PNP k kk k k k y y k k k k k k k k k x x k k k k k k k k k k-+-+--++--++=====----++--+-+-++，所以1PQ PN k k =，即N ，P ，1Q 三点共线，又有直线NP 交C 于点Q ，故Q 与1Q 重合，即H ，1B ，Q 三点共线.由①②可知：HQ OP ∥.。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【答案】A【分析】画出图形即可判断. 【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限. 故选：A.2．已知椭圆22:14y C x +=，则椭圆C 的（ ）A ．焦距为25B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为4【答案】D【分析】根据椭圆的方程得焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，进而得焦距为23离心率为32e =，长轴长24a =. 【详解】解：因为椭圆C 的方程22:14y C x +=，所以椭圆是焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，所以3c =所以焦距为233e =24a =. 故选：D.3．下列说法正确的是（ ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 【答案】C【分析】根据正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义分析可得答案. 【详解】对于A ，直四棱柱的底面不一定是正方形，故A 不正确；对于B ，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故B 不正确； 对于C ，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故C 正确； 对于D ，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D 不正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义是解题关键. 4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=【答案】D【分析】根据双曲线的方程逐一求四个方程的渐近线即可求解.【详解】对于选项A ：22143x y -=中，24a =，23b =，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选项A 不正确；对于选项B ：22143y x -=中，24a =，23b =，渐近线方程为a y x x xb =±==，故选项B 不正确；对于选项C ：221169x y -=中，216a =，29b =，渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项C 不正确；对于选项D ：221169y x -=中，216a =，29b =，渐近线方程为43a y x x b =±=±，故选项D 正确， 故选：D5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ） A ．(1,3)-- B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)--【答案】B【分析】利用两直线垂直的公式求出1k =-，两直线联立求交点坐标即可. 【详解】由直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直， 可得220k +=， 即1k =-，所以直线20kx y +=的方程为：20x y -=；由2502201x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，得它们的交点坐标为(2,1)--. 故选：B.6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能 【答案】A【分析】根据题意直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，进而可得答案. 【详解】解：根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，由于点()1,0-在椭圆2212x y +=内，故直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是相交关系.故选：A.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，本题解题的关键在于根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，且该点在椭圆内，是基础题.7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ） A ．10米 B ．102米C ．66米D ．65米【答案】C【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解.【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，βn//，且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【详解】由//,//m n αβ，且//αβ，得//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故A 错误； 由m α⊥，βn//，且αβ⊥，得//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由,ααβ⊥⊥m ，得//m β或m 在β 平面内，故C 错误； 由//,m m αβ⊥，得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．【点睛】熟悉空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系是解题关键．9．已知(4,0)A -，B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点，点P 在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为（ ） A ．9 B ．256+C ．10D ．12【答案】C【分析】求出C 的坐标，则点A ，A '是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得：||6PA PA ='+，推出'6'PA PB PA PB A C +=++≥即可.【详解】设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-， 由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知||||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''， 故选：C ．【点睛】方法点睛：（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.10．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ，且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）A ．B C D【答案】B【分析】先求出直线的方程，再利用椭圆的参数方程求得最值得解.【详解】由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设点,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：d ==≤， 故选B ．【点睛】椭圆上的点到直线的距离通常运用椭圆的参数方程转化为三角函数求得最值.11．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B C ．2D【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则以及数量积运算，再利用双曲线的定义即可得22223442a a c a PA PB ≥-=⋅=，即可得出结果.【详解】由题意知：()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ ()()PO OA PO OA =+⋅-22222344a a PO OA a =-≥-=， 所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=， 故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ） A ．213- B ．273- C ．7 D ．1【答案】A【分析】取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案．【详解】解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上， 又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧， 设点O 在平面PBC 的投影点为1O ， 且点1(O PS S ∈为BC 中点）， 则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122h ⨯⨯=⨯⨯-，即26h =，得163OO =，21631()3PO =-=，22213PS =-= 由N 在PS 上时，求得13NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值213-， 故选：A ．【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；二、填空题13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1)，则m 的值是_______________． 【答案】2-【分析】由题可判断焦点在y 轴上，且21m-=，可求出. 【详解】双曲线2222mx my -=化为22112x y m m-=， 一个顶点是(0,1)，故焦点在y 轴上，且1a =，0m ∴<，且21m-=，解得2m =-. 故答案为：2-.14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________． 【答案】240x y --=【分析】利用圆系方程的求法，求解即可．【详解】设两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=的交点分别为,A B ， 则线段AB 是两个圆的公共弦．由224x y +=和22(2)(1)1x y -++=两式相减， 得4280x y --=， 即240x y --=，故线段AB 所在直线的方程为240x y --=； 故答案为：240x y --=.15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．【答案】52【分析】由题意知二十四等边体是棱长为2a的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为2221a a a+==，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去8个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为2）的体积即可求解.【详解】如图：设原正方体的棱长为2a22a a2a+=，21a=，所以2 a=所以正方体棱长为22a=22222=又截去的82，故截去体积为211222832223⎛⨯⨯⨯⨯=⎝⎭，所以24等边体的体积为2522233V==．故答案为：52 3【点睛】关键点点睛：本题的关键点是结合题意利用空间想象能力可知二十四等边体是正方体沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，利用二十四等边体棱长为1可以求出正方体的体积，以及三棱锥的体积，即可求该二十四等边体的体积.16．如图，已知P为椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>上的点，点A、B分别在直线12y x=与12y x=-上，点O为坐标原点，四边形OAPB为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．3【分析】方法一：首先设点()00,P x y，利用平行四边形的性质求直线PA和PB的方程，并接到点,A B的坐标，利用两点间距离公式表示四边平方和，利用四边平方和为定值，得到2214ba=，求椭圆的离心率；方法二：首先设()121200,,,,,22x xA xB x P x y⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由平行四边形的性质得到坐标间的关系，并表示行2AB，利用四边形性质边长平方和等于22AB OP+为定值，求椭圆的离心率.【详解】（法一）设()00,P x y，则直线PA的方程为0122xy x y=-++，直线PB方程为0122xy x y=-+，联立方程组12212xy x yy x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得000,242x x yA y⎛⎫++⎪⎝⎭，联立方程组12212xy x yy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得000,242x x yB y⎛⎫--+⎪⎝⎭，则2222222200000000005524224282x x y x x yPA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为22005582x y +为定值，则22222213,,44b a b e e a a -====． 法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则120122x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为220014x y +为定值，则22222213,,442b a b e e a a -====．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.三、解答题17．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x .【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程.【详解】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，∴24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩，所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， ∴324AB k ⋅=，得8AB k =， ∴直线AB 方程为：810y x ，满足0∆>，符合题意 .【点睛】关键点点睛：1、由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c .2、()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =，直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1）已知点F 为PB 中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，证明//CG AE ，//FG PA ，推出//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ，然后证明平面//CFG 平面PAE ，得到//CF 平面PAE ．（2）PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，得到30PBA ∠=︒，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBD 的法向量，平面ABD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//CG AE ，//FG PA ， ∵CG ⊄面PAE ，AE ⊂面PAE ，FG ⊄面PAE ，PA ⊂面PAE ， ∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ， 又因为CG FG G ⋂=，,CG FG ⊂面CFG ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ，∴//CF 平面PAE ．（2）由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00z y z -=-=⎪⎩取3z =，则1,x y ==(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =，设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===．【点睛】本题考查了立体几何中的面面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）72t =±. 【分析】（1）根据离心率得到,,a b c 的关系，再代入点P 的坐标求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系12x x +，以及12y y +，并利用向量相等表示点E 的坐标，代入椭圆方程，求t . 【详解】解：（1）122=⇒=c a c a ，所以22224,3==a c b c ，所以椭圆方程为：22243x y c +=，过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y+=，（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277y y x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t x x t y y ⎛⎫=+=++=-⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：22264367494914342t t t t +=⇒=⇒=±． 20．已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称，与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点，求四边形PACB 面积的最小值． 【答案】（1）()()22139x y -+-=；（2. 【分析】（1）设圆C 标准方程，由垂径定理、圆与x 轴相切、关于直线3y x =对称可构造方程求得圆心坐标和半径，由此得到标准方程； （2）将四边形PACB 面积转化为23PABSPA =，只需求得PA 最小值即可；根据PC d ≥且PA =PA 最小值，代入可求得结果.【详解】（1）设圆C 的标准方程为：()()()2220,,0x a y b r a b -+-=>>， 圆C 关于直线3y x =对称，3b a ∴= 圆C 与x 轴相切：3r b a ∴==…① 点(),C a b 到y x =的距离为：d ===， 圆C 被直线y x =截得的弦长为，222r d ∴=+，结合①有：22927a a =+，21a ∴=， 又0a >，1a ，33r b a ===，∴圆C 的标准方程为：()()22139x y -+-=.（2）,PA PB 与圆C 相切，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，3CA CB ==由PAC PAB ≌得：12232PABPACB S SCA PA PA ==⨯⨯=四边形， 圆心C 到直线10x y ++=的距离1315222d ++==， PC d ∴≥，即522PC ≥（当PC l ⊥时取等号），又2229PA PC CA PC =-=-，23143392PACB S PA d ∴=≥-=四边形（当PC l ⊥时取等号）， ∴四边形PACB 面积的最小值为3142.【点睛】关键点点睛：本题考查与圆有关的四边形面积最值的求解问题，解题关键是能够将四边形面积转化为三角形面积的求解，进而确定决定三角形面积的变量是切线长，通过确定切线长的最值得到所求面积的最值.21．如图，已知四棱柱ABCD A B C D ''''-的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证：BD A H '⊥； （2）若3BAD π∠=，在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60，若存在，求||MA AA '的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）先证明BD ⊥面A C H ''，进而得BD A H '⊥；（2）先证明A B '⊥面ABCD ，进而如图建立空间直角坐标系，假设存在M 满足条件并设()01AM AA λλ'=≤≤，再求两个平面的法向量，利用法向量求二面角即可得711λ-=或者711+，进而可得答案. 【详解】解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又由四棱柱ABCD A B C D ''''-得//AA CC ''，AA CC '='， 所以四边形ACC A ''为平行四边形，所以//AC A C ''， 所以BD A C ⊥''，又C H '⊥面ABCD ，所以C H BD '⊥， 因为A C C H C '''='⋂，所以BD ⊥面A C H ''，所以BD A H '⊥ （2）在HAD △中，1//,2CE AD CE AD =， 所以CE 为中位线，则C 为DH 中点，CD CH =， 所以AB CH =，又//AB CH ， 所以ABHC 为平行四边形， 所以,//BH AC BH AC =， 又ACC A ''为平行四边形， 所以BH A C =''，//BH A C ''， 所以BHC A ''为平行四边形 所以//,C H A B C H A B ''''= 又C H '⊥面ABCD ， 所以A B '⊥面ABCD ．在Rt C CH '中，4,2CC CH ='=，则C H '=， 三角形ABD 中，,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点，,BA BA '为,y z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设()()()0,2,23,01,0,223AM AA BM BA AM λλλλλλ==-≤≤=+'=-， 所以点(0,22,23)M λλ-，所以在面MBD 中：(3,1,0)BD →=，(0,22,23)BM λλ→=-，设法向量111(,,)n x y z →=00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则111130(22)230x y y z λλ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取13y λ=，则11,1x z λλ=-=-，所以(3,1)n λλλ→=-- 在平面BB C '中，()(3,1,0,0,2,23BC BB =-'=-，设法向量222(,,)m x y z →=，00m BC m BB '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222230230x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取23y 221,1x z ==，所以3,1)m →=若存在，则221cos 60254(1)m nm nλλ→→→→=+-⋅⋅︒==， 化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+-，整理有2111410λλ--=，所以721511λ-=或者721511+， 由721572150,1-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，空间向量解决立体即可中的存在性问题，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意证明A B '⊥面ABCD ，进而建立空间直角坐标系（如图），并假设存在M 满足条件，并设()01AM AA λλ'=≤≤，进而求两个平面的法向量，通过二面角求解.22．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F △面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=，求点P 的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）点P 的坐标为(6,1),(6,1),(6,6,1)--. 【分析】（1）由12PF F △面积的最大为4，得4cb =，由1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22222b ca=222a b c =+，解得22,2a b c ===，即可求得椭圆方程；（2）设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''，直线1PF 为：2x my =-，联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，利用弦长公式求得21||12PA m ⎫=-⎪+⎭，同理21||12PB n ⎫=-⎪+⎭，由||||PA PB +=，得出||2mn =，利用斜率公式知21211142y mn x ==±-，分类讨论求出点P 的坐标． 【详解】（1）当点P 是椭圆上的上顶点时，12PF F △面积的最大，即1242cb ⨯=，即4cb =当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为2122b c a ⨯⨯=2b ca=．又222a b c =+，解得2a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=（2）设直线1PF 为：2x my =-，直线2PF 为：2x ny =+联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，()()()22241623210m m m ∆=-++=+>，设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''由韦达定理得：12122244,22m y y y y m m -+==++则)2122211||122m PA y m m +⎫=-==-⎪++⎭同理可得：)2122211||122n PB y y n n +⎫=-==-⎪++⎭'，由||||PA PB +=，所以22111122m n ⎫-+-=⎪++⎭即2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=，又11111212ym xyn x⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则21211142ymn x==±-，若22211121112442yy xmn x==-⇒=--，又221128x y+=，有221148x x+-=，不成立；若22211121112442yy xmn x==⇒=--，又221128x y+=，所以211211611x xy y⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P的坐标为1)--．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相交求弦长，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.第 21 页共 21 页。
2021-2022学年重庆八中高二上学期期中数学复习卷(含解析)
2021-2022学年重庆八中高二上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离为8，则点M的横坐标为()A. 2B. 3C. 4D. 52.若关于x，y的方程x2⋅sinα−y2⋅cosα=1所表示的焦点在x轴的双曲线，则方程(x+cosα)2+(y+sinα)2=1所表示的圆的圆心在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知是直线上一点，，分别是圆与圆上的点则的最大值为()A. 4B. 3C. 2D. 14.已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k+1)≥(k+1)2成立，下列命题成立的是()A. 若f(3)≥9成立，则对于任意k≥1，均有f(k)≥k2成立；B. 若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)<k2成立；C. 若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)<k2成立；D. 若f(4)=25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正视图中的x=()A. 2B. 3C. 415D. 456.如图，F1，F2是双曲线C：(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5，则双曲线的离心率为()A. B. C. 2 D.7.已知f(x)=−2|2|x|−1|+1和g(x)=x2−2|x|+m(m∈R)是定义在R上的两个函数，则下列命题正确的是()A. 关于x的方程f(x)−k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈(−1,0)B. 关于x的方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0,1]C. 当m=1时，对∀x1∈[−1,0]，∃x2∈[−1,0]，f(x1)<g(x2)成立D. 若∃x1∈[−1,1]，∃x2∈[−1,1]，f(x1)<g(x2)成立，则m∈(−1,+∞)8.直线l过点(−1,2)且与直线2x−3y+9=0垂直，则l的方程是()A. 3x+2y−1=0B. 3x+2y+7=0C. 2x−3y+5=0D. 2x−3y+8=09.已知以为周期的函数，其中。
重庆市第八中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案
重庆八中2020—2021学年度（下）半期考试高二年级数学试题一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{13}=∈-≤≤∣A x R x ，{}24=∈<∣x B x N ，则集合 ⋂A B 的子集个数为（ ）A.1B.2C.3D.42.命题“∀∈x R ，50-+≥xe x ”的否定是（ ） A.∀∈x R ，ln 50++<x x B.∃∈x R ，50-+≥xe x C.∀∈x R ，50-+>xe xD.∃∈x R ，50-+<xe x3.已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)0.6826≤≤=P x ，则(4)>=P x （ ） A.0.1585B.0.1586C.0.1587D.0.15884.现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组三人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（ ） A.9B.18C.36D.545.设函数()2()234=-+xf x x x e ，则 ()f x 的（ ） A.极小值点为1，极大值点为32- B.极小值点为1-，极大值点为32C.极小值点为32，极大值点为1- D.极小值点为32-，极大值点为1 6.随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）附：22()()()()()-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．A.100B.200C.300D.4007.对某贫困地区人均纯收入进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，现采取分层抽样的方法，从[55,60)，[60,65)，[65,70)这三个区间中随机抽取6人，再从6人中随机抽取3人，则这三人中恰有2人年人均纯收入位于[60,65)的概率是（ ）A.15B.35C.920D.9108.已知1F ，2F 是椭圆2212516+=x y 的左右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12 ∠F PF 的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A.4B.3C.2D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，以下说法正确的是（ ）A.甲比乙的平均分低B.甲的方差小于乙的方差C.甲的中位数大于乙的中位数D.甲比乙的平均分高10.已知2⎛+ ⎝nx 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A.二项展开式中无常数项B.二项展开式中倒数第5项为390xC.二项展开式中各项系数之和为63D.二项展开式中二项式系数最大的项为32160x11.一盒中有8个不同的乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X ，下列结论正确的是（ ） A.X 等于3的概率为328B.X 的所有可能取值是3，4，5C.X 最有可能的取值是5D.X 的数学期望是17412.双曲线22221-=x y a b （0>a ，0>b ）左支上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若⊥AF BF ，设=ABF ∠α，且5,412⎫⎛∈ ⎪⎝⎭ππα，则离心率e 的可能取值是（ ）A.2C.2D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数43=-+z i ，则|24+=z z __________． 14.甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为45，乙命中的概率为23，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则()=E ξ__________．15.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为__________．16.已知函数2()2=+f x x ，()ln =g x x ，若曲线()=y f x 与()=y g x 的公切线与曲线()=y f x 切于点()11,x y ，则()211ln 23--=x x __________．四、解答题：共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中=c 已知sin cos 6⎫⎛⋅=⋅- ⎪⎝⎭c A a C π．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）在=ABC S △，②sin 3sin =A B ，③3-=a b 这三个条件中任选一个__________，若这样的三角形存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由．18.（12分）为迎接2022年北京冬奥会，某滑雪场开展主题为“心往北京，滑向2022”的滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． （Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．19.（12分）如图，已知直三棱柱111-ABC A B C 中，90∠=ACB ，E 是棱1C C 上的动点，F 是AB 的中点，2==AC BC ，14=AA ．（I ）当E 是棱1 C C 的中点时，求证：CF 平面1AEB ；（Ⅱ）在棱1C C 上是否存在点E ，使得二面角1--A EB B 的大小是45？若存在，求出CE 的长，若不存在，请说明理由．20.（12分）为了研究黏虫孵化的平均温度x （单位：C ︒）与孵化天数y 之间的关系，重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：他们分别用两种模型①=+y bx a ，②=dxy ce 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：模型①模型②经计算得18=x ，12.25=y ，611283.01=∑=i i i x y ，6211964.34=∑=i i x ，（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程．（系数精确到0.1）参考公式：回归方程ˆˆˆ=+ybx a 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1221ˆ==∑-⋅⋅=∑-i i i i ni nx y n x ybx nx ，ˆˆ=-ay bx ． 21.（2分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，其短轴长为:4=l x ，过椭圆右焦点F 的直线（不与 x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，过点A 作⊥AD l ，垂足为D ． （I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求证：直线BD 过定点E ，并求出定点E 的坐标． 22.（12分）已知函数1ln ()+=-xx f x e x，()(1)1=+-xg x a e ． （Ⅰ）证明：()1-≤xe f x ；（Ⅱ）若 (0,)∈+∞x 时，()()≤g x f x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求()f x 的最小值．重庆八中2020—2021学年度（下）半期考试高二年级数学试题参考答案一、选择题二、填空题8.解：P 是焦点为1F 、2F 的椭圆2212516+=x y 上一点， PQ 12∠F PF 的外角平分线，1⊥QF PQ ，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，1∴=PM PF ，12210+==PF PF a ，22||210∴=+==MF PM PF a ，由题意知OQ 是12F F M △的中位线，||5∴==OQ a ，∴Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆， ∴当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离541=-=-=d a b ，故选：D ．12.解：设双曲线的左焦点为M ，则||||2-=AF AM a ，根据双曲线的对称性可得四边形AMBF 为矩形，所以||||2==AB MF c ，因为⊥AF BF ，∠=ABF α，所以||2sin =AF c α，|2cos =∣AMc α，则|||2-=∣AF AMa，即11sin cos 4==-⎫⎛- ⎪⎝⎭ca πααα， 因为5,412⎫⎛∈⎪⎝⎭ππα，则0,46⎫⎛-∈ ⎪⎝⎭ππα，所以1sin 0,42⎫⎫⎛⎛-∈ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭πα，0,42⎛⎫⎛-∈ ⎪⎝⎭⎝⎭πα，所以 )∈+∞c a，故选：CD ． 16.解：设公切线与()ln =g x x 切于()22,ln x x ， 由()2'=f x x ，1()'=g x x，则曲线()f x 在()11 ,x y 处的切线方程为()()2111 22-+=-y x x x x ， 即21122=-+y x x x ，曲线()g x 在()22,ln x x 处的切线方程为22ln 1=+-xy x x ， 12212122ln 1⎧=⎪∴⎨⎪-+=-⎩x x x x ，得()211ln 23-=x x ，()211ln 230∴--=x x ，故答案为：0．三、解答题17.解：（Ⅰ）因为sin cos 6⎫⎛⋅=⋅-⎪⎝⎭c A a C π，所以sin sin sin cos 6⎫⎛=-⎪⎝⎭C A A C π， 又因为sin 0≠A ，所以sin cos 6⎫⎛=- ⎪⎝⎭C C π，即sin 03⎫⎛-= ⎪⎝⎭C π， 又因为(0,)∈C π，所以3=C π．（Ⅱ）由余弦定理得2222cos =+-c a b ab C ，即227+-=a b ab ， 若选①：因为1sin 2=ABC S ab C △，所以8=ab ， 所以2()781-=-=-a b ，与2()0-a b 矛盾，所以满足条件的三角形不存在．若选②：因为sin 3sin =A B ，所以3=a b ，由22277+-==a b ab b ，得 1=b ，3=a 所以 ABC △的周长4=++=+C a b c ．若选③：因为3-=a b ，又227+-=a b ab ，所以143=ab ，所以3=a ，3=b ，所以 ABC △的周长=++=C a b c ． 18.解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元． 都付0元的概率为11114624=⨯=P ，都付40元的概率为2121233=⨯=P ， 都付80元的概率为31112111426324⎫⎫⎛⎛=----= ⎪⎪⎝⎝⎭⎭P ， 故所付费用相同的概率为123512=++=P P P P ． （Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，111(0)4624==⨯=P ξ，12113(40)432612==⨯+⨯=P ξ， 112(80)1463⎫⎛==⨯-- ⎪⎝⎭P ξ111121014262324⎫⎛+--⨯+⨯= ⎪⎝⎭，112(120)1263⎫⎛==⨯-- ⎪⎝⎭P ξ2113134212⎫⎛+⨯--= ⎪⎝⎭， (160)=P ξ1211116342⎫⎫⎛⎛=---- ⎪⎪⎝⎝⎭⎭124=，∴ξ的分布列为：数学期望()0402412=⨯+⨯+E ξ8012016080241224⨯+⨯+⨯=．19.解：（Ⅰ）取1AB 中点M ，连接EM 、FM1AB B △中，M 、F 分别是AB 、1AB 的中点，1∴MFB B 且112=MF B B ， 又矩形11BB C C 中，1CEB B 且112=CE B B ， ∴MF CE 且=MF CE ，可得四边形MFCE 是平行四边形 ∴CFEM ，CF平面1EAB ，⊆EM 平面1EAB ，∴CF平面1AEB（Ⅱ）以CA 、CB 、1CC 为x 、y 、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 可得(2,0,0)A ，1(0,2,4)B ，设=CE m ，得 (0,0,)E m(2,0,)∴=-AE m ，1(2,2,4)=-AB设平面1AEB 的法向量为(,,)=n x y z则有1202240⎧⋅=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩AE n x mz AB x y z ，解之并取 2=z ，得(,4,2)=-n m m 平面1E B B 的法向量为(2,0,0)=CA ， ∴当二面角1--A EB B 的大小是45时，有cos <n，2>==CA ，解之得52=m ． 因此，在棱1CC 上存在点E ，当52=CE 时，二面角1--A EB B 的大小是45．20.解：（Ⅰ）根据残差图分析，得出模型①残差波动小，应该选择模型①； （Ⅱ）剔除异常数据，即组号为4的数据， 剩下数据的平均数为1(18618)185=⨯-=x ，1(12.25613.5)125=⨯-=y ； 511283.011813.51040.01=∑=-⨯=i i i x y ，52211964.34181640.34=∑=-=i i x ；1221ˆ==∑-⋅=∑-i i i nnl i x y n xybx nx 1040.01518121.971640.345182-⨯⨯=≈--⨯，12 1.971847.5ˆˆ=-=+⨯≈ay bx ，所以y 关于x 的线性回归方程为： 2.04.5ˆ7=-+yx ． 19.解：（Ⅰ）由题意可得222122⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c e a b a b c，解得21=⎧⎪=⎨⎪=⎩a b c故椭圆C 的方程为22143+=x y ． （Ⅱ）证明：由题得(1,0)F ，设直线:1()=+∈AB x my m R ， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()14,D y ，联立方程221143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，得()22 34690++-=m y my ，()* 所以有122634-+=+m y y m ，122934-=+y y m ，且()121223=+my y y y ， 因为()22,B x y ，()14,D y ，所以直线BD 的方程为2112(4)4--=--y y y y x x ，由1=+x my ，得2121122433--=⋅-⋅+--y y y y y x y my my 212112224 33---=⋅---y y y y my y x my my ，()**将()121223=+my y y y 代入()**，则直线BD 的方程为212532-⎫⎛=-⎪-⎝⎭y y y x my ， 故直线BD 过定点5,02⎫⎛ ⎪⎝⎭，即定点E 为5,02⎫⎛ ⎪⎝⎭． 22.（Ⅰ）0>x ，证明()1-≤xe f x ，即证明1ln 1+≤xx，即证明ln 10+-≤x x 设()ln 1=+-x x x ϕ，1()(0)-∴=>'xx x xϕ 01∴<<x 时，()0'>x ϕ，()x ϕ单调递增；1>x 时 ()0'<x ϕ，()x ϕ单调递减 max ()(1)0∴==x ϕϕln 10∴+-≤x x ，即()1-≤x e f x 成立（Ⅱ）0>x 时()()≤g x f x ，即ln 11++≤xx ae x，11 由（Ⅰ）知，当0≤a 时，ln 11ln 1+++≤≤x x xae x x 成立当0>a 时，显然1=x 时不成立，综上，0≤a ． （Ⅲ）22211ln ln ()--+=-='x x x x e x f x e x x ．设2()ln =+x h x x e x ，()21()20+'=+>x h x e x x x ，()∴h x 在(0,)+∞上单调递增， 102⎫⎛< ⎪⎝⎭h ，(1)0>h ，∴存在01,12⎫⎛∈ ⎪⎝⎭x 使()00=h x ，且00<<x x 时()0<h x 即()0'<f x ，()f x 递减； 0>x x 时()0>h x 即()0'>f x ，()f x 递增， ()00min 001ln ()+∴==-x x f x f x e x ，()00=h x ，0200ln 0∴+=x x e x ，00001ln 0∴+=x x e x x ，00ln 00ln -∴=-x x x e x e ，()=x t x xe 在(0,)+∞是单调递增，00ln ∴=-x x ，001∴=x e x ，00min 01ln ()+∴=-x xf x e x 000011ln 1-=-+=x x x x ．。
重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题解析版
重庆八中2020—2021学年度（上）高二年级第二次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数xy e =在(0,1)处的切线方程为（） A.1y ex =+B.(1)y e x =-C.1y x =+D.1y x =-2.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，对于椭圆上任一动点P ，PF 的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程为（）A.22143x y += B.2132x y+= C.2212x y += D.22198x y += 3.设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线2x =-上的动点，则PQ 的最小值为（） A.6B.4C.3D.24.设()f x 是函数()f x 的导函数，()y f x ='的图像如图所示，则()y f x =的图像可能是（）A. B.C.D.5.已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x 的单调减区间是）（） A.[1,)+∞B.(,1]-∞-C.(0,1]D.[1,1]-6.已知1F ，2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴距离为（）A.2B.27.设点F 为抛物线216y x =的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，若对角线5BF =（点B 在第一象限），则对角线AC 所在的直线方程为（） A.82110x y --= B.480x y --= C.4230x y --=D.230x y --=8.直线y m =分别与23y x =+及ln y x x =+交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（） A.1B2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。
2020-2021学年重庆市第八中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市第八中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．函数x y e =在点(0,1)处的切线方程为 A ．11y x e=+ B ．1y ex =+ C ．1y x =- D ．1y x =+【答案】D【详解】分析：先根据导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. 详解：由题得0,(0) 1.xy e k f e ''=∴===所以切线方程为11(0),10y x x y -=⋅-∴-+=.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-2．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，对于椭圆上任一动点P ，PF 的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．2132x y +=C ．2212x y +=D ．22198x y【答案】A【分析】由PF 的最大值是a c +，最小值是a c -求得,a c ，再求得b 后得椭圆方程．【详解】由题意31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，所以2223b a c =-=，椭圆方程为22143x y +=． 故选：A ．3．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线2x =-上的动点，则PQ 的最小值为（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】当PQ 所在直线过圆心且垂直于直线2x =-时，PQ 有最小值， 圆22(3)(1)4x y -++=的圆心坐标为：(3,1)-，半径为2，圆心到到直线2x =-的距离为3(2)5--=，因此PQ 的最小值为523-=， 故选：C4．设'()y f x =是函数()y f x =的导数，'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据导函数的图象判断导函数在(,0)-∞、(0,2)、(2,)+∞的正负情况，再根据导函数的正负判断函数的单调性，最后根据单调性选择函数的图象. 【详解】解：由导函数'()y f x =的图象可知：导函数'()y f x =在(,0)-∞上，'()0y f x =>，则函数()y f x =单调递增； 导函数'()y f x =在(0,2)上，'()0y f x =<，则函数()y f x =单调递减； 导函数'()y f x =在(2,)+∞上，'()0y f x =>，则函数()y f x =单调递增； 故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别、根据导函数的图象识别函数的图象，是基础题. 5．已知函数()21ln 2f x x x =-，则()f x 的单调减区间是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞-C ．(]0,1D ．[]1,1-【答案】C【分析】首先确定函数定义域，求导后，根据导函数的正负即可确定结果. 【详解】()f x 定义域为()0,∞+，()()()21111x x x f x x x x x+--'=-==， ∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴的单调递减区间为(]0,1.故选：C.6．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 A ．32B ．62C 3D 6【答案】B【详解】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000[()]12a PF e x a ex x c =--=+=+，22000[)]21a PF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||2PF PF F F PF PF +-，即cos 06022200002(22)2(12)(21)x x x x =+-，解得2052x =，所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为062y =. 7．设点F 为抛物线216y x =的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，若对角线5BF =（点B 在第一象限），则对角线AC 所在的直线方程为A ．82110x y --=B ．480x y --=C ．4230--=x yD ．230x y --=【答案】B【分析】根据抛物线定义和性质，可得B点的坐标为()1,4，线段BF的中点D的坐标为5,22⎛⎫⎪⎝⎭，再根据点差法可得4ACk=，再根据点斜式即可求出结果.【详解】如图所示，设B点的坐标为()00,x y，则45BF x=+=，所以1x=，B点的坐标为()1,4.所以线段BF的中点D的坐标为5,22⎛⎫⎪⎝⎭.设()11,A x y，()22,C x y.有21116y x=，22216y x=，且1222y y+=.所以()22121216y y x x-=-，所以121212164y yx x y y-==-+，所以4ACk=.对角线AC所在的直线方程为5:242AC y x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即480x y--=.故选：B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、性质，以及点差法的应用，属于中档题. 8．直线y m=分别与23y x=+及lny x x=+交于,A B两点，则AB的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】解法一：令12223ln m x x x =+=+，可得到()221ln 32AB x x=-+，利用导数可求得()()()1ln 302g x x x x =-+>的最小值，即为AB 的最小值； 解法二：过B 向直线23y x =+做垂线，知52AB BC =，则B 到直线23y x =+的距离最小时，AB 最小；将直线23y x =+平移至与曲线ln y x x =+相切，切点即为所求B 点利用导数可取得此时B 点坐标，由此得到结果. 【详解】解法一：设()1,A x m ，()2,B x m ， 则12223ln m x x x =+=+，22212ln 32x x AB x x x +-∴=-=-，即()221ln 32AB x x =-+， 记()()()1ln 302g x x x x =-+>，则()111122x g x x x-⎛⎫'=-=⎪⎝⎭， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴当1x =时，()()()min 111ln1322g x g ==⨯-+=，即AB 的最小值为2. 解法二：过B 向直线23y x =+做垂线，垂足为C ，52AB BC ∴=，要使AB 最小，则BC 最小，即B 到直线23y x =+的距离最小，将直线23y x =+平移至与曲线ln y x x =+相切，切点即为所求B 点.设切点为()00,x y ，由11y x'=+可得：0112k x =+=，解得：01x =，∴切点为()1,1，()1,1A ∴-，()1,1B ，2AB ∴=，即AB 最小值为2.故选：B.【点睛】思路点睛：本题第二种解法是通过平移的思路将问题转化为已知切线斜率求解切点坐标的问题，利用导数的几何意义即可求得结果.二、多选题9．下列关于函数ln ()xf x x=的说法，正确的有（ ） A ．x e =为函数()f x 的极大值点 B ．x e =为函数()f x 的极小值点 C ．函数()f x 在(0,)e 上单调递增 D ．函数()f x 在(,)e +∞上单调递增 【答案】AC【分析】对函数求导，判断出单调性，可得极值点． 【详解】函数定义域为()0,+∞()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，解得x e =，则函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，即x e =为函数()f x 的极大值点故选：AC10．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的有（ ）A ．b a >B ．c b >C ．b c >D ．c a >【答案】AC【分析】确定函数关于1x =对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案. 【详解】由()()2f x f x =-得()()11f x f x +=-，则函数关于1x =对称， 当1x >时，由()()10x f x '-<得()0f x '<，函数单调递减； 当1x <时，由()()10x f x '-<得()0f x '>，函数单调递增. 又()()02a f f ==，1322b f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3c f =，故b a c >>.【点睛】本题考查导数的方法判定函数单调性，利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力，属于常考题型.11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上两动点，()2,2P 是平面内一定点，下列说法正确的有（ ） A ．抛物线准线方程为1x =-B ．若8AF BF +=，则线段AB 中点到x 轴距离为3C ．APF 的周长的最小为53+D ．以线段AB 为直径的圆与准线相切 【答案】BC【分析】求出抛物线的准线方程，可判断A 选项的正误；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项的正误；利用抛物线的定义可判断C 选项的正误；利用点A 、B 没有任何限制可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，抛物线24x y =的准线方程为1y =-，焦点()0,1F ，故A 错；对于B 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得1228AF BF y y +=++=，可得126y y +=， 所以，线段AB 的中点到x 轴的距离为1232y y +=，故B 对； 对于C 选项，设A 在准线上投影为1A ，()()2220215PF =-+-=()11213AF AP AA AP PA +=+≥=--=，当P 、A 、1A 三点共线时取最小值，所以APF 53，故C 对； 对于D 选项，因为点A 、B 没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点， 所以以线段AB 为直径的圆与准线不一定相切，故D 错.【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.12．已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=相交于不同的两点A ､B ，O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，则k 的取值可能为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．22【答案】BC【分析】设AB 中点为M ，记||d OM =，由垂径定理求得弦长，然后求得d 的范围，再根据点到直线距离公式求得k 的范围． 【详解】设AB 中点为M ，记||d OM =，于是OMAB ⊥，|||2|2OA OB OM d +==，2||24AB d =-，于是：242243d d ≥⨯-，解得：85d ≥，又由直线和圆有两个交点可得：2d <，于是825d ≤<， 即8252≤<，解得2128825k ≤<，62225k ≤<． 故选：BC ．三、填空题13．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 ▲ ． 【答案】2-【详解】由题意20a +=，所以2a =-14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()321f x x f x '=-+，则()1f '的值等于______. 【答案】3【分析】求导后，代入1x =即可得到结果. 【详解】()()2321f x x f ''=-+，()()1321f f ''∴=-+，解得：()13f '=.故答案为：3. 15．若函数()2()xf x e xax a =-+在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是______.【答案】45a <<【分析】转化为导函数()'f x 在(2,3)存在变号零点，求出导函数()'f x 的零点，列式223a <-<可解得结果.【详解】因为函数()2()xf x e xax a =-+在(2,3)上不单调，所以函数()2()(2)xf x exa x '=--在(2,3)存在变号零点，由()0f x '=可得：10x =，22x a =-， 于是223a <-<，解得：4a <<5. 故答案为：45a <<16．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(c,0)F ，直线2a x c=与x 轴的交点为A ，在椭圆E 上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆E 离心率的取值范围是______. 【答案】112e ≤< 【分析】由已知得PF FA =，再结合PF 的最大值和最小值得出关于,a c 的不等式，从而求得ce a=的范围． 【详解】由中垂线的性质可得：2||||a PF AF c c==-，又有||a c PF a c -≤≤+，于是 2a a c c a c c-≤-≤+，2222ac c a c ac c -≤-≤+，2221e e e e e -≤-≤+，又1e <，解得：112e ≤<． 故答案为：112e ≤<．四、解答题 17．已知函数3213()132f x x x ax =-++，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线平行于直线210x y -+=. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.【答案】（1）2；（2）单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞，单调减区间(1,2)；极大值116，极小值53. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，利用(3)2f '=求得a ；（2）由求出()0f x '=的解，列表确定()'f x 的正负，得单调区间和极值． 【详解】（1）求导得：2()3f x x x a '=-+，于是：(3)2k f a '===.（2）由（1）可得：2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--令()0f x '>得：1x <或2x >，令()0f x '<得：12x << 于是函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞，单调减区间(1,2)当x 变化时，()'f x ､()f x 的变化情况如下表：x(,1)-∞1(1,2)2()2,+∞()'f x+0 -+()f x单调递增116单调递减53单调递增于是：当1x =时，()f x 有极大值6；当2x =时，()f x 有极小值3.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c A b a =-. （1）求角C 的大小；（2）已知1b =，点D 是边AB 的中点，且72CD =，求ABC 的面积S.【答案】（1）3π；（2）3. 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形即可求得C 角；（2）用向量加法表示出2CD CA CB =+，平方转化为数量积的运算，求出BC ，再由面积公式计算出面积．【详解】（1）依题意有：2sin cos 2sin sin 2sin()sin C A B A A C A =-=+-2sin cos 2cos sin sin A C A C A =+-，于是sin 2sin cos A A C =，又sin 0A ≠，于是1cos 2C =，3C π=. （2）由2CD CA CB =+可得：224()CD CA CB =+，即：2171212a a =++⨯⨯⨯， 化简得：260+-=a a ，解得：2a =或-3(舍)， 于是13sin 22ABC S ab C ==△. 【点睛】方法点睛：本题考查正弦定理、三角形面积公式，用平面向量的数量积求线段长．解三角形问题中出现边角混合式子时，常常利用正弦定理（或余弦定理）进行边角转换，边化为角，利用三角函数恒等变换公式变形求得角，或化角为边后利用代数式变形求得边．已知中线长时，可以利用向量的线性运算表示出中线向量，再平方转化为数量积的运算，从而求得线段长，如本题中2CD CA CB =+．19．如图，矩形ABCD 所在的平面与平面AEB 垂直，且120BAE ∠=︒，4AE AB ==，2AD =，F ，G ，H 分别为BE ，AE ，BC 的中点.（1）求证：直线DE 与平面FGH 平行； （2）求二面角G FH B --余弦值的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）34-【分析】（1）由中位线性质得到//FH EC 、//GF AB ，由线面平行的判定可得//FH 平面ECD 、//GF 平面ECD ，根据面面平行的判定及其性质可证//DE 平面FGH . （2）构建空间直角坐标系，确定G ，F ，H ，B 的坐标，并表示出GF ，GH ，BH ，HF ，进而求面GFH 、面BFH 的法向量，即可求二面角G FH B --余弦值.【详解】（1）连接CE ，在△BCE 中，HF 是中位线，∴//FH EC ，面FHCE ⋂面ECD CE =且FH ⊄面ECD ， ∴//FH 平面ECD ，又在△EBA 中，GF 是中位线，∴//GF AB ，又//DC AB ，即//GF DC ， 又∵面GFCD ⋂面ECD CD =且GF ⊄面ECD ， ∴//GF 平面ECD ，又GFFH F =，∴平面//FGH 平面ECD ，又DE ⊂平面ECD ， ∴//DE 平面FGH .（2）以点A 为原点，Ax 、AB 、AD 为x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如下图示的空间直角坐标系，∴由题意，3,1,0)G -，(3,1,0)F ，(0,4,1)H ，(0,4,0)B . 在平面GFH 中，(0,2,0)GF =，(3,5,1)GH =-，设法向量为()1111,,n x y z =，于是111111020,0350GF n y GH n x y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒++=⎪⎩取1(13)n =在平面BFH 中，(0,0,1)BH =，(3,3,1)HF =--，设法向量为()2222,,n x y z =，于是222222200,0330BH n z HF n x y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒--=⎪⎩取2(3,1,0)n =∴1212123cos ,4n n n n n n ⋅<>==⨯， 设二面角G FH B --的大小为θ，由于θ为钝角，故3cos θ=【点睛】关键点点睛：（1）应用中位线性质、线面平行、面面平行的判定及性质证明线面平行； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法，求二面角的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知2()1,M -，(1,0)N ，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）经过点(1,0)作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别交P 的轨迹于A ，B 和C ，D ，求四边形ACBD 面积的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）最小值为32.【分析】（1）设(,)P x y ，把已知条件用坐标表示出来，化简可得；（2）设直线AB 方程为1(0)x my m =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得1212,y y y y +，由弦长公式求得弦长AB ，同理得CD ，求出四边形面积12S AB CD =，结合基本不等式可得最小值． 【详解】（1）设(,)P x y ，则(1,2)PM x y =---，(1,0)ON =，(1,)PN x y =-- 于是：1PM ON x ⋅=--，于是：22|1|(1)x x y --=-+24y x = 即：动点P 的轨迹方程为24y x =（2）设直线AB 方程为1(0)x my m =+≠，联立方程组241y xx my ⎧=⎨=+⎩可得2440y my --=设()11,A x y ，()22,B x y ，则有124y y m +=，124y y =-， 于是()()22212121441AB m y y y y m =++-=+，同理可得：2141CD m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于是：2211||||82322S AB CD m m ⎛⎫=⨯⨯=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当21m =，1m =±时取“=” 综上：四边形ACBD 面积的最小值为32．【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，考查抛物线中面积的最值．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，直线方程与抛物线方程联立方程组，应用韦达定理求得弦长，计算出面积后，求得最值． 21．已知函数21()ln 2f x x x =-. （1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最大值为12-，最小值为ln 22-；（2）5122a e >-. 【分析】（1）对函数求导，得出函数的单调区间，进而可得最值；（2）对已知不等式参变分离，可转化为2()a g x -<的最大值，求导得出最值代入可得实数a 的取值范围．【详解】（1）求导得：211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得12x <<，于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在(1,2)单调递减，于是当1x =时，()f x 取最大值为12-， 又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈-⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-综上：当1x =时，()f x 取最大值为12-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22- （2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x ->-，可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得：312ln ()x g x x'-=，于是函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减于是：()()max 11g22g x e e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e >-.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，以椭圆C 的左顶点T为圆心作圆222:(2)(0)T x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N .（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点.试问：OR OS ⋅是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）最小值为15-，圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=；（3）是定值，定值为4.【分析】（1）根据圆心T 的坐标得到2a =，利用椭圆离心率求出c ，根据222b a c =-求出b ，即可得求椭圆C 的方程；（2）设(,)M m n ，根据椭圆和圆的对称性得(,)N m n -，利用向量知识求出TM TN ⋅，利用二次函数知识求出m 和2n ，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程；（3）设()00,P x y ，得到直线MP 的方程，令0y =得到R x ，将n 替换为n -，得S x ，利用平面向量数量积的坐标运算得到OR OS ⋅，化简可得结果. 【详解】（1）依题意有：32c e a ==，左顶点(2,0)T -，即2a =，于是3c =1b = 所以：椭圆方程为2214x y +=.（2）由椭圆和圆的对称性可得：M ，N 关于x 轴对称，设(,)M m n ，则(,)N m n -，其中m ，n 满足2214m n +=，于是(2,)TM m n =+，(2,)TN m n =+-于是：222225(2)4414344m TM TN m n m m m m ⋅=+-=++-+=++，其中22m -<<，当85m =-时，TM TN ⋅最小，最小值为15-， 此时2264911425425m n =-=-=⨯，半径224913(2)2525r m n =++=+=，圆的方程为：2213(2)25x y ++=. （3）设()00,P x y ，满足220014x y +=直线MP 的方程：()0000y n y y x x x m --=--，令0y =求得000R my nx x y n-=- 用n -替换n 可得：000s my nx x y n+=+于是：()()2222222200000000222200004444R s n yn y my nx my nx m y n x OR OS x x y n y n y n y n ----+-⋅=⋅=⨯==-+--220220444y n y n-==-(定值).所以OR OS ⋅为定值4.【点睛】关键点点睛：第（3）问，设出点P 的坐标，然后用点P 的坐标表示点R 和点S 的坐标是本题的解题关键.。
3.1.1 基本计数原理
第三章排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1基本计数原理基础过关练题组一分类加法计数原理1.(2020陕西西安高二期末)已知完成一项工作可以有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选出1个人完成这项工作,则不同的选法共有 ()A.5种B.4种C.9种D.20种2.(2020重庆八中高二月考)小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有()A.7种B.8种C.6种D.9种3.(2019天津宝坻高二下学期期中)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为()A.8B.9C.10D.114.(2019辽宁大连第二十四中学高二期中)一个三层书架,分别放置各不相同的语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本,则不同的取法有种.(用数字作答)题组二分步乘法计数原理5.(2021山东济南长清高二月考)为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在学校食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有()A.48种B.36种C.24种D.12种6.(2021广东揭阳高三一模)某学校有东、南、西、北四个校门,受新冠肺炎疫情的影响,学校作出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),则他们进入校园的方式共有()A.6种B.12种C.24种D.32种7.如图,在由电键组A与B组成的串联电路(规定每组电键只能合上其中的一个电键)中,接通电源使灯泡发光的方法有种.8.(2019辽宁本溪高二期中)用5种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,规定每部分只涂1种颜色,相邻部分涂不同颜色,则涂色方法共有种.题组三基本计数原理的应用9.(2019北师大附中高二期中)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},依次从集合M,N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标,则在平面直角坐标系中,位于第一、二象限内的点P的个数是 ()A.4B.5C.6D.710.芳芳同学有4件不同颜色的上衣,3件不同花样的半身裙,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为()A.24B.14C.10D.911.(2020浙江杭州高考模拟)某超市内一排共有6个收费通道,每个通道处有a、b两个收费点,根据每天的人流量,超市准备周一开通其中的3处通道,要求3处通道互不相邻,且每个通道至少开通一个收费点,则周一这天超市开通收费通道的安排方式共有种. 12.现某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人,共有多少种不同的选法?(2)每个年级选一名组长,有多少种不同的选法?(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?能力提升练题组一基本计数原理的综合应用1.(2019辽宁省实验中学高三月考,)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种2.(2019安徽合肥一中高考模拟,)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包中的一种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖,则他获得奖次的不同情形种数为 ()A.9B.12C.18D.243.(2019上海位育中学高二期末,)已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=25,则符合条件的三角形的个数是( )A.124B.225C.300D.3254.(多选)(2020北京第六十六中学高二上期中,)某校实行选课走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示,张毅选择的三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是() 第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节5.(2019安徽巢湖高二期末,)现有5种不同的颜色,给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则不同的涂色方法有()A.240种B.360种C.420种D.480种6.(2021河南洛阳一高高二期中,)假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内任选一天出游,甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,则这三人出游的不同选择种数为.周五周六周日周一周二周三4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日优优优优良良7.(2021安徽合肥高二段考,)某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出,带了四款不同类型不同价格的玩具牛,它们的价格(单位:元)分别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会,准备买若干款不同类型的玩具样品(每款只购一只,且必须至少买一款),由于信用卡出现故障,身上现金只剩170元,请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有种.(用数字作答)8.(2020重庆高考模拟调研,)有4个不同的奇数,5个不同的偶数,现从中依次任取3个数,分别记为a,b,c,则使ab+c为奇数的不同取法共有种.题组二计数原理的创新应用9.(2020辽宁沈阳高三期末,)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示1~9的一种方法,则据此,3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以表示的两位数的个数为()A.9B.13C.16D.1810.(2020山东潍坊高考模拟,)如果一个三位数abc同时满足a>b 且b<c,则称该三位数为“凹数”,那么所有不同的三位“凹数”的个数是.11.(2021内蒙古呼和浩特高三一模,)中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线,如图(图中楚河汉界处的“日”字没有画出),“马”从点A处走出一步,只能到达点B,C,D中的一处.则“马”从点A出发到达对方“帅”所在的P处,最少的步数是.答案全解全析基础过关练1.C 会用第一种方法的有5个人,选出1个人完成这项工作有5种选法;会用第二种方法的有4个人,选出1个人完成这项工作有4种选法.由分类加法计数原理知,共有9种不同的选法,故选C.2.A 要完成的一件事是“至少买一张IC 电话卡”,分三类完成:买1张IC 电话卡,买2张IC 电话卡,买3张IC 电话卡,而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事.买1张IC 电话卡有2种方法,即买一张20元面值的或买一张30元面值的;买2张IC 电话卡有3种方法,即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张;买3张IC 电话卡有2种方法,即买两张20元面值的和一张30元面值的或买3张20元面值的.故共有2+3+2=7种不同的买法.3.D 分四种情况:(1)当分子为1时,有12,14,18,19,共4个真分数;(2)当分子为3时,有34,38,39=13,共3个真分数;(3)当分子为5时,有58,59,共2个真分数;(4)当分子为7时,有78,79,共2个真分数.由分类加法计数原理知,可构成真分数的个数为4+3+2+2=11.故选D .4.答案 37解析 一个三层书架,分别放置各不相同的语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本,由分类加法计数原理可知,不同的取法有12+14+11=37(种),故答案为37.5.B 由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法.由分步乘法计数原理可知,共有2×3×6=36种不同的选取方法,故选B.6.D因为学生只能从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共有23=8(种).因为教师只能从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4(种).所以他们进入校园的方式共有8×4=32(种).故选D.7.答案 6解析要完成的“一件事”是“使灯泡发光”,只有先合上A组中2个电键中的任意一个,再合上B组中3个电键中的任意一个时,接通电源,灯泡才能发光.因此要完成这件事,需要分步,只有各个步骤都完成才能使灯泡发光,所以接通电源使灯泡发光的方法有2×3=6(种).8.答案240解析先涂(3)有5种涂法,再涂(2)有4种涂法,然后涂(1)有3种涂法,最后涂(4)有4种涂法,所以共有5×4×3×4=240种涂色方法. 9.A要使得点P在平面直角坐标系中位于第一、二象限内,且集合M 中的元素作为点P的横坐标,N中的元素作为点P的纵坐标,则在第一象限的点共有1×2=2(个);在第二象限的点共有1×2=2(个).由分类加法计数原理可得满足题意的点P的个数为2+2=4,故选A.10.B根据题目信息可知需要分两类:第一类是穿上衣和半身裙:分两步,上衣有4种选择,半身裙有3种选择,共有4×3=12种选择方式;第二类是穿连衣裙,有2种选择方式.故共有12+2=14种选择方式.故选B.11.答案108解析将6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6,从中选择3个互不相邻的通道,有135,136,146,246,共4种不同的选法.对于每个通道,至少开通一个收费点,即只开通a收费点,只开通b收费点,同时开通两个收费点,共3种不同的安排方式.由分步乘法计数原理,可得周一这天超市开通收费通道的安排方式共有4×33=108(种).12.解析(1)根据题意,选其中一人为负责人,有3种情况:若选出的是高一学生,则有13种情况;若选出的是高二学生,则有12种情况;若选出的是高三学生,则有9种情况.由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种不同的选法.(2)根据题意,从高一学生中选出1人,有13种情况;从高二学生中选出1人,有12种情况;从高三学生中选出1人,有9种情况.由分步乘法计数原理可得,共有13×12×9=1 404种不同的选法. (3)根据题意,分三种情况讨论:若选出的是高一、高二学生,则有13×12=156种情况;若选出的是高一、高三学生,则有13×9=117种情况;若选出的是高二、高三学生,则有12×9=108种情况.由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种不同的选法.能力提升练1.C根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有4×4×4=64种方案,其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有3×3×3=27种方案,则符合条件的方案有64-27=37(种),故选C.2.C根据题意,若员工甲直到第4次才获奖,则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,则甲第4次获得的红包有3种情况,前三次获得的红包为其余的2种,有23-2=6种情况,则他获得奖次的不同情形种数为3×6=18.故选C.3.D根据题意,a可取的值为1,2,3, (25)根据三角形的三边关系,有25≤c<25+a,当a=1时,有25≤c<26,则c=25,有1种情况;当a=2时,有25≤c<27,则c=25或c=26,有2种情况;当a=3时,有25≤c<28,则c=25或c=26或c=27,有3种情况;当a=4时,有25≤c<29,则c=25或c=26或c=27或c=28,有4种情况; ……当a=25时,有25≤c<50,则c=25或c=26或c=27或c=28或……或c=49,有25种情况.综上,符合条件的三角形的个数是1+2+3+4+…+25=25(1+25)=325.故选2D.4.BD由于生物在B层,只有第2,3节有,故分两类:若生物选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,其他两节政治、自习任意选即可,故有2×2=4种(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5(种).综上,自习可安排在4节课中的任一节.5.C当顶点A,C同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×1×3=180(种);当顶点A,C不同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×2×2=240(种).综上,不同的方法共有180+240=420(种),故选C.6.答案85信息提取根据甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,对甲的出游选择进行分类讨论.当甲选择周一出游时,乙可从除周一外的5天中任选一天,丙可从除明天(即4月24日)外的5天中任选一天;当甲不选择周一出游时,甲可从其余空气质量为优的3天中任选一天,乙可从除周一及甲出行日期以外的4天中任选一天,丙可从除明天(即4月24日)外的5天中任选一天.解析若甲选择周一出游,则三人出游的不同选择种数N1=1×5×5=25;若甲不选择周一出游,则三人出游的不同选择种数N2=3×4×5=60.故这三人出游的不同选择种数N=N1+N2=85.7.答案13解析依题意,限制条件为每款只购一只,且必须至少买一款;消费金额不能超过170元.故可分为以下几种情况:①只购买一款玩具样品:共4种方案.②购买两款玩具样品:买20和30的各一只;买20和50的各一只;买20和100的各一只;买30和50的各一只;买30和100的各一只;买50和100的各一只,共6种方案.③购买三款玩具样品:买20,30和50的各一只;买20,30和100的各一只;买20,50和100的各一只,共3种方案.所以购买玩具样品的方案共有4+6+3=13(种).8.答案260解析要使ab+c为奇数,数组(a,b,c)的奇偶性可为(偶,偶,奇)、(奇,偶,奇)、(偶,奇,奇)、(奇,奇,偶).若为(偶,偶,奇),即a为偶数,b为偶数,c为奇数,则有5×4×4=80(种);同理,若为(奇,偶,奇),则有4×5×3=60(种);若为(偶,奇,奇),则有5×4×3=60(种);若为(奇,奇,偶),则有4×3×5=60(种).综上,所有情况的种数为80+60+60+60=260.9.C根据题意,6根算筹可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,3、3,3、7,4、6,6、8,7、7.数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,3、7,4、6,6、8中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合3、3,7、7中,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.综上,共可以表示14+2=16个两位数.故选C.10.答案285解析根据题意,按十位数字分类讨论:①十位数字是9时,三位“凹数”的个数为0;②十位数字是8时,只有989,此时三位“凹数”的个数为1;③十位数字是7时,百位与个位都有2种可能,所以此时三位“凹数”的个数为2×2=4;④十位数字是6时,百位与个位都有3种可能,所以此时三位“凹数”的个数为3×3=9;⑤十位数字是5时,百位与个位都有4种可能,所以此时三位“凹数”的个数为4×4=16;⑥十位数字是4时,百位与个位都有5种可能,所以此时三位“凹数”的个数为5×5=25;⑦十位数字是3时,百位与个位都有6种可能,所以此时三位“凹数”的个数为6×6=36;⑧十位数字是2时,百位与个位都有7种可能,所以此时三位“凹数”的个数为7×7=49;⑨十位数字是1时,百位与个位都有8种可能,所以此时三位“凹数”的个数为8×8=64;⑩十位数字是0时,百位与个位都有9种可能,所以此时三位“凹数”的个数为9×9=81.综上,所有不同的三位“凹数”的个数是1+4+…+81=285.11.答案 6信息提取利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线,尽量向P点靠拢.解析由题意可知,按如图中虚线所示的走法(走法不唯一)从点A出发到达对方“帅”所在的P处时步数最少,此时步数为6.。