北师大版九年级数学中考总复习九：圆的专题辅导(最新整理)
中考总复习九：圆
一、基础知识和基本图形
1．确定圆的条件：
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．圆的有关性质：
（1）垂径定理及推论：落实，，构成的直角三角形．
（2）圆心角、圆周角、弧、弦及弦心距之间的关系：
3．直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线和圆相交d＜r；
②直线和圆相切 d ＝r；知交点，连半径，证垂直；不知交点，作垂直，证半径。
③直线和圆相离 d ＞r．
（2）切线的性质定理及判定定理、切线长定理．（轴对称）
4．圆和圆的位置关系：
设圆的半径分别为R和r (R ＞r ) 、圆心距为d，则：
两圆外离d＞R＋r；两圆外切d = R＋r；
两圆相交R–r＜d＜R＋r；两圆内切d = R–r；
两圆内含d＜R一r (同心圆d = 0 )．
5．有关圆的计算
（1）扇形弧长和扇形面积．
（2）三角形的内切圆．
（3）圆锥的侧面展开．
（4）有关阴影面积．（割补法）
二、例题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sin B＝，则弦AC的长为______________．
分析：如何利用好圆的半径，如何把角B放到一个直角三角形中去运用三角函数值，这就需要作直径，并构造直径所对的圆周角，这样就把角B转化到直角三角形中了。
解答：作直径AO，交圆O于D，连CD
利用勾股定理求得：AC=3
2．如图，分别是的切线，为切点，是⊙O的直径，已知，
的度数为（）．
A． B． C． D．
分析：本题利用圆心角与圆周角的关系，以及切线长定理解决
解答：D
3．如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形内
画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____________．
分析：要求扇形面积，关键是确定半径和圆心角
解答：过A作AE⊥BC于E，可求得∠B为60度，AE=，所以最大扇形面积为4。
4．在中，，．如果圆的半径为，且经过点，那么线
段的长等于______________．
分析：此题应分类讨论，考虑圆心O在BC上和在BC下两种情况
解答：5或3
5．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，
则⊙O的直径等于______________．
分析：先解三角形，求得∠B为45度，再构造直径AO
解答：作直径AO，交圆O于E，连CE
可求得∠E=∠B=45度，所以直径AE=
6．如图，已知大半圆⊙与小半圆⊙相内切于点B，大半圆的弦MN切小半圆于点D，若 MN∥AB，当MN＝4时，则此图中的阴影部分的面积是_____________．
分析：此题需用到垂径定理和整体带入
解答：连接，过作⊥MN于E
阴影面积为2
7．已知：如图，△OBC内接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC＝45°， ∠OBC＝75°，A点坐标为（0，2）．则点B点的坐标为___________；BC的长=__________．
解答：连AB、AC，可求得
B（），BC=
8．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，
以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_______s时，BP 与⊙O相切．
解答：要考虑到两种情况，5或1
9．已知：点F在线段AB上，BF为⊙O的直径，点D在⊙O上，BC AD于
点C，BD平分．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=，AF=，求CD的长． 解答：（1）连OD，证明OD//BC
（2）利用方程和相似，求得CD=
10．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD．已知AD=BD=4，PC＝6，求CD的长．
解答：连AC，利用∽，求得CD=8
11．如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，，，当点A在优弧上运动时，求与
的
函数关系式，并指出自变量的取值范围．
解答：
（1）提示：证∠IBD=∠BID
（2）（6）
12．如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的
点，连结交线段于，且．
（1）求证：是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为，，设．
①求关于的函数关系式．
②当时，求的值．
解答：
（1）连DO，证OD⊥DP；
（2）①连PO，；
②，提示：在三角形EBC中求
13．二次函数的图象与轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与轴交
于点C，点M是它的顶点．
（1）求证：以A为圆心，直径为5的圆与直线CM相离；
（2）将（1）中的⊙A的圆心在轴上移动，平移多少个单位，使⊙A与直线CM相切． 解答：
（1），
（2）个单位．。
北师大版数学[中考总复习：圆综合复习--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作BC，BAC．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．⑤劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系 如图所示．d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d 与r 的大小关系 点在圆内d ＜r 点在圆上d ＝r 点在圆外d ＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算． 360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． （2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm 【答案】 解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ，∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=，∴在Rt △AOM 中，22OA OM -2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝2，直径AB＝6，求线段BC的长．【思路点拨】要证明DC是⊙O的切线，因为点D在⊙O上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD．∵ AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠A，∴ OA＝OD，∴∠3＝∠A，∴∠1＝∠2．∵ OD＝OB，OC＝OC．∴△COD≌△COB，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴ CD是⊙O的切线．(2)解：连接BD，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△DAB和△BOC中，∵∠ADB＝∠OBC，∠A＝∠2，∴△DAB∽△BOC，∴AD BD OB BC=，∴OB BD BCAD=．在Rt△DAB中，由勾股定理得22226242 BD AB AD=-=-=．∴342622BC⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．【答案与解析】证法1：连接OE、DE(如图(1))．∵ CD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠CED＝90°．∵ G是AD的中点，∴ EG＝12AD＝DG．∴∠1＝∠2．∵ OE＝OD，∴∠3＝∠4．∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG＝∠ODG＝90°．∴ GE是⊙O的切线．证法2：连接OE、ED(如图(2))．在△ADC中，∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°．又∵ CD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠CED＝90°．在△AED中，∠AED＝90°，G是AD中点，∴ AG＝GE＝DG，∴∠A＝∠AEG．又∵ OE＝OC，∴∠OEC＝∠ACD．又∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠AEG+∠OEC＝90°．∴∠OEG＝90°，∴ OE⊥EG．∴ GE是⊙O的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n中，．4．如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积. 【答案】256π； 【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD． 答案：256π． 【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 交BC 于D ，过C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于P ，∠PCB=∠BAC ．（1）求证：AB=AC ；（2）若sin ∠BAC=35，求tan ∠PCB 的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE∥PC，∴∠PCB=∠CBE，∵sin∠BAC==，∴=，∵AB=AC，∴tan∠CBE===，∴tan∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+． 又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ） Ａ．22 2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B；解：过B作BB′⊥MN交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，此时PA+PB＝AB′最小．连AO并延长交⊙O于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝2，∠C＝190452⨯=°°，∴2sin45222AB AC'==⨯=°．。
中考数学总复习 九年级下册 第三章 圆(知识归纳+考点攻略+方法技巧)课件 北师大版
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下册第三章复习（二）┃ 知识归类
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
nπR 半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l＝ 180 . (2)扇形的面积公式 半径为 R，圆心角是 n°的扇形面积是 S 扇形＝3n60πR2；
方法技巧 (1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是 证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作 “垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本 例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆 心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是 r2＝d2＋a2 2(其中 r 为圆半径，d 为圆心到弦的距离，a 为弦长)．
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 考点攻略
图X3－7
[解析] D 连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因 为OD＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm.
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下册第三章复习（二）┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
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圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件:※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五. 直线与圆的位置关系※1.设⊙O 的半径为r，圆心O 到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L 和⊙O 相交.②d=r <===> 直线 L 和⊙O 相切. ③d>r <===> 直线 L 和⊙O 相离.※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※5. 三角形内心的性质:(1) 三角形的内心到三边的距离相等.(2) 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.※1. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r(2) 两圆外切 <===> d=R+r(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R ≥r) (4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积※1. 圆周长公式:圆周长 C=2R (R 表示圆的半径)n R※2. 弧长公式: 弧长 l =180(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※3. 圆的面积公式. 圆的面积 S = R 2 (R 表示圆的半径) ※4. 扇形的面积公式:n R 2 扇形的面积 S 扇形 = 360(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)八. 圆锥的有关概念:※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点. 如果设圆锥底面半径为 r,侧面母线长(扇形半径)是 l, 底面圆周长(扇形弧长)为 c,那么它的侧面积是:S = 1 cl = 1⋅ 2rl = rl 侧 2 2S 表 = S 侧 + S 底面 = rl +r 2 = r (r + l )九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理※1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
九年级复习圆北师大版
九年级复习圆北师大版圆是初中数学中的重要内容之一，对于九年级的同学来说，系统地复习圆的相关知识至关重要。
圆的知识点不仅在数学学科中有着广泛的应用，也为后续学习更复杂的几何和数学概念打下坚实的基础。
一、圆的基本概念圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径决定。
直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，直径是圆中最长的弦，其长度等于半径的 2 倍。
弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧和劣弧。
半圆是圆的直径所对的弧。
圆心角是顶点在圆心的角，圆周角是顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。
二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
这是解决与圆的弦相关问题的重要定理。
3、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
4、圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
三、圆的周长和面积圆的周长 C ＝2πr（其中 r 是半径，π 通常取 314）。
圆的面积 S ＝πr² 。
在计算圆的周长和面积时，要准确地确定半径的长度，并熟练运用公式进行计算。
四、圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系有三种：相离、相切、相交。
设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r。
当 d ＞ r 时，圆与直线相离；当 d ＝ r 时，圆与直线相切；当 d ＜ r 时，圆与直线相交。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
五、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。
通过两圆的圆心距与两圆半径的和或差的大小关系，可以判断两圆的位置关系。
六、圆中的相关计算1、弧长的计算弧长公式：L ＝nπr/180（其中 n 是圆心角度数，r 是半径）。
北师版九年级圆 知识点
北师版九年级圆知识点北师版九年级圆知识点（北师版九年级教材数学篇）由于篇幅有限，以下仅列出九年级圆的主要知识点。
1. 圆的定义：圆是由平面内所有到圆心距离相等的点组成的图形。
2. 相关术语：- 圆心：圆的中心点，通常用大写字母O表示。
- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
- 直径：通过圆心的一条线段，两端点在圆上。
- 弦：圆上任意两点间的线段。
- 弧：圆上两点间的弧线，通常用小写字母表示。
3. 弧长和圆周角：- 弧长：圆上一段弧线的长度。
- 圆周角：圆上两条相交弧所对的角，通常用大写字母表示。
4. 直径、半径和弦的关系：- 直径等于两倍的半径，即d=2r。
- 弦的中点连线与半径垂直且等于半径。
5. 弧和圆周角的关系：- 弧所对的圆周角等于其弧所对的弦所对的圆周角的一半。
6. 弧度制：- 弧度：弧长等于半径的弧所对的角的大小。
- 一周的弧度为2π。
7. 圆心角和弦所对的圆周角的关系：- 圆心角：以圆心为顶点的角，与圆心处的两条半径所夹的角。
- 圆心角的大小等于其所对的弦所对的圆周角的一半。
8. 弧度和度数的关系：- 一周共360度，等于2π弧度。
9. 切线和切点：- 切线：与圆只有一个交点的直线。
- 切点：切线与圆的交点。
10. 切线与半径的关系：- 切线与半径垂直，且切点在半径的延长线上。
11. 切线与弦的关系：- 切线与弦的夹角等于其所对的弧所对的圆周角的一半。
12. 切线的性质：- 切线与半径的夹角为90度。
- 切线与切点处的弦垂直。
以上是北师版九年级数学教材中关于圆的主要知识点。
通过深入理解这些知识点，同学们可以更好地掌握圆的性质和相关计算方法，为解决与圆相关的数学问题提供有效的思路和方法。
希望同学们能够在学习过程中灵活运用这些知识点，提高数学水平！最后，如果同学们想要更加深入地学习圆的知识，建议阅读相关数学教辅资料或寻求老师的指导。
不断学习和练习，相信同学们一定能够掌握好九年级圆的知识，取得优异的成绩！。
九年级数学中考第一轮复习—圆北师大版知识精讲
九年级数学中考第一轮复习—圆北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：复习九：圆1. 圆的有关概念和性质．2. 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判定．3. 两圆相切、相交的性质．4. 弧长、扇形面积的计算公式．5. 圆锥的侧面展开图．二、知识要点：1. 圆的对称性圆是旋转对称图形，中心为圆心，它既是轴对称图形又是中心对称图形．由于圆的旋转对称性，所以在一个圆中，圆心角、弦、弧这三组量如果有一组量相等，则其余两组量也相等（如图①所示）．由于圆的轴对称性，所以沿直径所在直线折叠，左右两部分重合，同时圆的轴对称性与等腰三角形有着密切的关系（如图②所示）．①②③④2. 和圆有关的结论半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆（如图③所示）．在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（如图④所示）．3. 与圆有关的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆外、在圆上和在圆内（如图⑤所示）；直线和圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交（如图⑥所示）；OABC⑤圆的圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含（如图⑦所示）．从量的角度描述以上三种位置关系，都用半径和距离做比较．4. 三角形的内心，外心不在同一直线上的三点确定一个圆．三角形的外心是三边垂直平分线的交点．（如图⑧所示）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心．三角形内心是三角形三条角平分线的交点．（如图⑨所示）⑨⑧OAB C5. 直线和圆相切定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切．性质：圆的切线垂直于过切点的半径．判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长：切线上的一点与切点之间线段的长叫做切线长．切线长性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．6. 弧长和扇形面积如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么弧长公式为l＝nπr180．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如果设圆心角是 n的扇形的面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积公式为S＝nπr2360或S＝12lr（l为扇形的弧长）．7. 圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，扇形圆心角的度数为n°，则有πrl＝nπl2360，2πr＝nπl180．三、重、难点：重点要掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题．难点是切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题．四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年全国各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解题、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分．所考查的知识点通常有：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似三角形、三角函数的综合运用．【典型例题】例1. 选择题 （1）如图所示，量角器外缘边上有A 、P 、Q 三点，它们所表示的读数分别是180°， 70，30°，则∠PAQ 的大小为（ ）1020304050607080901001101201301401501601701800APQA ．10°B ．20°C ．30°D ．40°解析：设量角器的圆心角为O ，连接PO ，QO ，知∠POQ ＝70°－30°＝40°，而∠PAQ 为︵PQ 所对的圆周角，为∠POQ 的一半，所以∠PAQ ＝12∠POQ ＝12×40°＝20°．（2）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） A ．9πB ．18π C ．27πD ．39π解析：设圆锥的母线为R ，底面圆的半径为r ，则180πR180＝2πr ，∴R ＝2r ，∵R 2＝r 2＋（33）2，即（2r ）2＝r 2＋27，∴r ＝3，R ＝6，∴S 侧＝180π×62360＝18π．故选B ．（3）如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A 、C 在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，若点A 的坐标为（0，8），则圆心M 的坐标为（ ）A ．（4，5）B ．（－5，4）C ．（－4，6）D ．（－4，5）①②解析：如图所示，作ME ⊥x 轴于点E ，并反向延长交AB 于点D ，连接MA ，∵点A（0，8），∴DE ＝AB ＝8，∴AD ＝12AB ＝4．∵⊙M 与x 轴相切，∴点E 是切点，OE ＝AD＝4，MA ＝ME ．∵在Rt △ADM 中，MD 2＋AD 2＝MA 2，∴（8－ME ）2＋42＝ME 2，∴ME ＝5，∴点M （－4，5），故选D ．例2. 填空题（1）如图所示，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD 的中心经过的路线长是__________cm ．lABCD(A)(D)…解析：依题意，知正方形ABCD 的中心经过的路线长为3个14圆弧长，其半径为42，利用弧长公式可得三段弧长之和为62π，即正方形ABCD 的中心经过的路线长是62πcm ．（2）如图所示，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°．给出以下五个结论：①∠°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧︵AE 是劣弧︵DE 的2倍；⑤AE ＝BC ．其中正确的结论的序号是__________．解析：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠°，BD ＝DC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠ABE ＝90°－∠BAC ＝45°，∴∠°．在△ABE 中，∵∠ABE ＝∠A ，∴AE ＝BE ，而BE ＜BC ，∴AE ＜BC ，AE ≠2EC ．∵∠ABE ＝2∠EBC ，∴劣弧︵AE 是劣弧︵DE 的2倍．因此正确结论的序号是①②④．（3）已知⊙O 的半径等于5cm ，弦AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，且AB ∥CD ，则AB 、CD 之间的距离为__________．①②解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB 与CD 位置有两种，如图①和②．在图①中，连接OA 、OC ，作OF ⊥CD 于F ，交AB 于E ，则AE ＝12AB ＝3（cm ），CF ＝12CD ＝4（cm ），由勾股定理得OE ＝OA 2－AE 2＝52－32＝4，OF ＝OC 2－CF 2＝52－42＝3，所以EF ＝OE －OF ＝4－3＝1（cm ），同理在图②中，EF ＝OE ＋OF ＝4＋3＝7（cm ）．故AB 、CD 之间的距离为1cm 或7cm ．例3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CB 是弦，OD ⊥CB 于E ，交︵CB 于D ，连接AC ． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若CB ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．ABCDE O解：（1）不同类型的正确结论有：①BE ＝CE ；②BD ＝CD ；③∠BED ＝90°；④∠BOD ＝∠A ；⑤AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC ·OE ；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩△BOE ∽△BAC 等等．（注：BE ＝CE 与BC ＝2BE 或CE ＝12BC 是同一类型，以上任取两个类型结论即可）（2）∵OD ⊥CB ，∴BE ＝CE ＝12CB ＝4．设圆半径等于R ，则OE ＝OD －DE ＝R －2，在Rt △OEB 中，由勾股定理得，OE 2＋BE 2＝OB 2， 即（R －2）2＋42＝R 2，解得R ＝5， ∴⊙O 的半径为5．评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的距离这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解．例4. 如图所示，A 是以BC 为直径的⊙O 上的一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF ＝EF ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线．CP证明：（1）∵BC 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC ． 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE ，∴△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ， ∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ， ∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG ， ∴BF ＝EF ．OABCD E FGP（2）连接AO 、AB ．∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°．在Rt △BAE 中，由（1）知F 是斜边BE 的中点， ∴AF ＝FB ＝EF ． ∴∠FBA ＝∠FAB ．又∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBO ＝90°，∴∠EBO ＝∠FBA ＋∠ABO ＝∠FAB ＋∠BAO ＝∠FAO ＝90°， ∴PA 是⊙O 的切线．评析：证明一直线是圆的切线时，常用到“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这一方法．具体应用时又有两种不同的辅助线作法：①已知点在圆上（即点经过半径的外端），此时连接该点和圆心证垂直（如本例）．②不知点是否在圆上，常过圆心引该直线的垂线，证明垂线段等于半径．例5. 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，∠BCD ＝∠A ＝30°． （1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC ，线段CD 和BD 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）分析：可以直观地判断直线CD 与⊙O 相切．理由就是想办法证明OC ⊥CD ，根据∠BCD ＝∠A ＝30°可以判断△OBC 是正三角形，可求出∠OCD ＝90°，从而得到证明．至于阴影部分的面积可以利用间接法求得，即求出Rt △OCD 的面积，再减去扇形OBC 的面积．解：直线CD 与⊙O 相切，理由如下：在⊙O 中，∠COB ＝2∠CAB ＝2×30°＝60°． 又∵OB ＝OC ，∴△OBC 是正三角形， ∴∠OCB ＝60°．又∵∠BCD ＝30°，∴∠OCD ＝60°＋30°＝90°． ∴OC ⊥CD ．又∵OC 是半径，∴直线CD 与⊙O 相切．（2）由（1）得△COD 是直角三角形，∠COB ＝60°． ∵OC ＝1，∴CD ＝3．∴S △COD ＝12OC ·CD ＝32．又∵S 扇形OCB ＝16π，∴S 阴影＝S △COD －S 扇形OCB ＝32－16π＝633π-．【方法总结】1. 利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、圆心距和弦的一半组成的直角三角形求解．由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．2. 证明直线与圆相切，一般有两种情况（1）已知直线与圆有公共点，这时连接圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直．（2）不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等．【预习导学案】 （复习十：图形变换）一、预习前知1. 什么是轴对称，什么是中心对称？2. 什么是图形的平移和旋转？3. 什么叫相似形？二、预习导学1. 轴对称图形的性质有：____________________；中心对称图形的性质有：____________________．2. 平移的特征是__________，旋转的特征是__________．3. 相似三角形的性质有哪些？如何判定两个三角形相似？反思：（1）图形变换有哪些？（2）如何利用锐角三角函数求出直角三角形中的未知元素？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．A. ①②③B. ③④⑤C. ①②⑤D. ②④⑤2. 如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°3. 如图所示，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形纸片的圆心角度数是（）A. 150°B. 200°C. 180°D. 240°9cm10cm4. 如图所示，已知线段AB＝8cm，⊙P与⊙Q的半径均为1cm．点P、Q分别从A、B出发，在线段AB上按箭头所示方向运动．当P、Q两点未相遇前，在下列选项中，⊙P与⊙Q不可能出现的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含A B5. 如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）A. 2 2B. 4C. 2 3D. 5A6. 如图所示，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点F 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值X 围是（ ）A. 30≤x ≤60B. 30≤x ≤90C. 30≤x ≤120D. 60≤x ≤120CE*7. 如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上一点，且△EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）CA. 4－π9B. 4－8π9C. 8－4π9D. 8－8π9**8. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°二、填空题1. 如图所示，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A 、B 间的距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm 、16cm ，则两车轮的圆心相距__________．2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连结AC 、AD ．若∠CAB ＝35°，则∠ADC 的度数为__________．AB3. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为︵BC 上一点，若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝__________．AB4. 如图所示，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是︵AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB ＝100°，∠OBC ＝55°，∠OEC ＝__________度．5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长是__________．6. 如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝12AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是︵AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________．AP7. 如图所示，已知点E 是⊙O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，∠BOC ＝ 46，则∠AED 的度数为__________．**8. 如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝__________．P三、解答题1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．（1）求证MN是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝120°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．C30．2. 如图所示，已知在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝ （1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．*3. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．**4. 如图所示，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．B【试题答案】一、选择题 1. B2. D 【连接OF ，∵⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∴︵ED ＝︵DF ，∴∠EOD ＝∠DOF ，∴∠DCF ＝12∠DOF ＝20°．】3. B 【圆锥模型侧面展开扇形纸片的弧长是2πr ＝2π×102＝10π（cm ），由弧长公式l ＝n πR 180得10π＝n π×9180，n ＝200°】 4. D 5. A 【连接OA 、OB ，∵∠C ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝22】 6. A 【∵当B 点与O 点重合时，∠POF ＝30°；当B 点与E 点重合时，∠POF ＝2×30°＝ 60，∴30≤x ≤60，故选A 】7. B 【连接AD ，因为BC 为⊙A 的切线，D 为切点，所以AD ⊥BC ．又由∠BAC ＝2∠EPF＝2×40°＝80°，∴S 扇形EAF ＝80π×22360＝89π，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12×BC ×AD －89π＝4－89π】8. C 【∵I 为△ACD 内切圆圆心，∴∠IAC ＝12∠BAC ，∠ICA ＝12∠ACB ，∵CD ⊥AB ，∴∠BAC ＋∠ACD ＝90°，∴∠IAC ＋∠ICA ＝45°，∴∠AIC ＝135°．∵AB ＝AC ，且⊙I 与AB 、AC 相切，∴∠BAI ＝∠CAI ，∴△AIB ≌△AIC ，∴∠AIB ＝∠AIC ＝135°】ABC二、填空题1. 100cm 【如图所示，作O 1C ⊥O 2B 于C ，在Rt △O 1O 2C 中，O 1C ＝AB ＝80cm ，O 2C ＝O 2B－O 1A ＝1362－162＝60cm ，由勾股定理得O 1O 2＝100cm 】ABO 1O 2C2. 55°【连结BC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°－∠CAB ＝55°】3. 28°4. 80【由题意知∠BCD ＝25°，∠OEC ＝∠B ＋∠BCD ＝80°】5. 4【连结CE ，∵CF ＝2，∴CG ＝4，∴FD ＝6．又∵△ADF ∽△CEF ，∴AF CF ＝FDEF，∴EF ＝2×63＝4】6. 30°【连接OC ，则BC ＝12OP ＝OB ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠D ＝30°】7. 69°【∵B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，∴︵AB ＝︵BC ＝︵CD ．又知∠BOC ＝46°，∴∠AOD ＝3×46°＝138°，∴∠AED ＝12∠AOD ＝69°】8. 6【设大圆圆心为点O ，作连心线交AB 于点E ，根据圆的对称性△OAE 为直角三角形，则OA 2＝（PE －OP ）2＋（12AB ）2，即52＝（AB ＋3－5）2＋（12AB ）2，解得AB ＝6】P三、解答题1.（1）证明：连接OM ．证OM ∥AC ．（2）连接AM ．由题意可得OM ＝1，MB ＝MC ＝3，MN ＝32，＝32，AN ＝AC －＝2－32＝12，S 梯形ANMO ＝（AN ＋OM ）·MN 2＝383，S 扇形OAM ＝60π·12360＝π6，∴S 阴影＝93－4π24． 2.（1）解法一：如图①所示，过O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE ＝12AB ＝23．在Rt △AEO中，∠BAC ＝30°，cos30°＝AE OA ．∴OA ＝AEcos30°＝4．又∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝30°．∴∠BOC ＝60°．∵AC ⊥BD ，∴︵BC ＝︵CD ．∴∠COD ＝∠BOC ＝60°．∴∠BOD ＝120°．∴S 阴影＝n π·OA 2360＝120360π·42＝163π．解法二：如图②所示，连结AD ．∵AC ⊥BD ，AC 是直径．∴AC 垂直平分BD ．∴AB ＝AD ，BF ＝FD ．∵︵BC ＝︵CD ，∴∠BAD ＝2∠BAC ＝ 60，∴∠BOD ＝120°．∵BF ＝12AB ＝23，sin60°＝AF AB ，AF ＝AB ·sin60°＝43×32＝6．∴OB 2＝BF 2＋OF 2，即（23）2＋（6－OB ）2＝OB 2．∴OB ＝4．∴S 阴影＝13S 圆＝163π．解法三：如图③所示，连结BC ．∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°．∵AB ＝43，∴AC ＝AB cos30°＝4332＝8．∵∠A ＝30°，AC ⊥BD ，∴∠BOC ＝60°，∴∠BOD ＝120°．∴S 阴影＝120360π·OA 2＝13×42·π＝163π．①②③（2）设圆锥的底面圆半径为r ，2πr ＝120180π·4．解得r ＝43．3.（1）连结OA ．∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA ＝∠EDA ．∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠OAD ＝∠EDA ，∴OA ∥CE ．∵AE ⊥DE ，∴∠AED ＝90°，∴∠OAE ＝∠DEA ＝90°．∴AE ⊥OA ．∴AE 是⊙O 的切线．（2）∵BD 是直径，∴∠BCD ＝∠BAD ＝90°．∵∠DBC ＝30°，∴∠BDC ＝60°，∴∠BDE ＝120°．∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA ＝∠EDA ＝60°．∴∠ABD ＝∠EAD ＝30°．在Rt △AED 中，∠AED ＝90°，∠EAD ＝30°，∴AD ＝2DE ．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴BD ＝2AD ＝4DE ．∵DE 的长是1cm ，∴BD 的长是4cm ．4.（1）当∠POA ＝90°时，点P 运动的路程为⊙O 周长的14或34．设点P 运动的时间为ts ．当点P 运动的路程为⊙O 周长的14时，2π·t ＝14·2π·12．解得t ＝3；当点P 运动的路程为⊙O 周长的34时，2π·t ＝34·2π·12．解得t ＝9．∴当∠POA ＝90°时，点P 运动的时间为3s 或9s ．（2）如图所示，当点P 运动的时间为2s 时，直线BP 与⊙O 相切．理由如下：当点P 运动的时间为2s 时，点P 运动的路程为4πcm ．连结OP 、PA ．∵⊙O 的周长为24πcm ，∴︵AP 的长为⊙O 周长的16．∴∠POA ＝60°．∵OP ＝OA ，∴△OAP 是等边三角形．∴OP ＝OA ＝AP ，∠OAP ＝60°．∵AB ＝OA ，∴AP ＝AB ．∵∠OAP ＝∠APB ＋∠B ，∴∠APB ＝∠B ＝30°．∴OP ⊥BP ．∴直线BP 与⊙O 相切．OABP。
中考数学最新课件-北师版中考数学圆的总复习 精品
弧长、扇形面积 和圆锥的侧面积：
l
n r
180
s扇形
n r2
360
s扇形
1 2
lr
s圆锥侧 rl
点和圆的 点在圆外，点到圆心的距离大于半径；点在圆上，点到圆心 位置关系 的距离等于半径；点在圆内，点到圆心的距离小于半径。
圆 和 其 他
直线和圆
相离，圆心到 直线的距离 D>R
相切，圆心到 直线的距离 D=R
5 如图， A. B. C 两两不相交，且他们的半径都是1cm，图中三个阴影的面积和是———；
15 cm 6 一圆 锥侧面展开面积是
2 ，母线长5cm， 则底面半径是————。
圆
弦心距之间的关系：2 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧
两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量也相等。
圆周角与圆 1 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
心角的关系：2
3
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦 是直径。
内切，圆心距 D =R-r
三角形和圆 的位置关系
相交
相交，圆心距 R-r< D< R+r
外接圆：过三角形三个顶点的圆，其圆心是三角形
三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
内切圆：和三角形三边都相切的圆，其圆心是三角形 个角平分线的交点，叫做三角形的内心。
测试题
O 1 已知A为上 O 上一点， 的半径是1，平面上有另一点P，且PA= 3
概念：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 对称轴是任一条过圆心的直线，对称中心是圆心。
北师大九年级 圆 知识点
北师大九年级圆知识点圆是数学中一种基本的几何图形，它是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点所组成的集合。
在几何学中，圆是最简单的曲线，它具有许多独特的性质和特征，是学习几何学的基础。
下面将介绍北师大九年级关于圆的一些重要知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面内到一个固定点的距离等于半径长度的所有点组成的集合。
2. 圆的性质：- 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，其长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点到相邻点的距离之和，它等于直径的乘积。
- 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离之和，它等于半径的平方乘以π（π≈3.14159）。
二、圆的相关概念1. 弧：圆上的一段曲线称为圆弧。
圆弧的长度叫做弧长。
圆弧所对的圆心角称为弧度。
2. 弦：连接圆上的两点的线段称为圆弦。
3. 切线：与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线。
切线与半径的夹角为直角。
4. 弦割定理：若一条直线同时截取圆的弦和切线，那么弦上的两线段的乘积等于切线与弦外的弦段的乘积。
三、圆的性质与定理1. 相交弦定理：两条相交的弦所对的弧相等。
2. 弦切角定理：切线和切线所截弦所对的弧所张角相等。
3. 弧切角定理：切线和切线所截圆弧所对的弦所张角相等。
4. 相交角性质：圆内接四边形的对角和为180度。
5. 弧与角关系：圆心角是弧上两点所对的角，圆心角的度数等于弧所对的圆心角的两倍。
四、圆的应用1. 圆的测量：通过给定的半径或直径，可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的几何关系：如判定圆和直线的位置关系、圆与圆的位置关系等。
3. 圆的建模：在实际问题中，许多物体的形状可以近似看作圆，通过建立圆的模型可以进行问题的分析和求解。
总结：圆是数学中重要的几何图形之一，具有独特的性质和特征。
在学习和应用圆的知识时，我们需要了解圆的定义和性质，掌握一些相关概念和定理，并能够运用圆的知识解决实际问题。
希望通过对北师大九年级圆的知识点的学习，能够对同学们的数学能力提升和问题解决能力的培养有所帮助。
北师大版初三数学 圆的总复习
北师大版初三数学圆的总复习一. 教学内容： 1. 圆锥的侧面积 2. 圆的总复习二. 教学目标：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题三. 教学重点、难点：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题四. 课堂教学：知识要点：1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。
2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积3. 本章的知识机构图【典型例题】例1. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 cm2（结果保留π）。
答案：8π例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为答案：2例3. 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l上。
依次以B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为AA′ 、交CD于点P。
A′A″ 、A″A ，其中AA′（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；（2）求AA′ 的长；（3）求图中的（4）求图中的解：（1）A′′C=部分的面积S；部分的面积T。
2+1=cm×2=πcm（2）AA′ ＝180。
90π90π()25S==πcm23604（3）。
（4）连接BP，在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，∴∠BPC=30°，CP=.∴∠ABP=30°.2∴T=S扇形ABP+S△PBC=30π×2+3=（+3）cm2.例4. 如下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2。
过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。
（1）求tan∠ADE的值；（2）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O 与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。
三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。
四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。