§1.4_逐点比较法_直线插补
逐点比较法直线插补圆弧插补实例
逐点比较法直线插补（1）偏差函数构造对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为：若Fi= 0，表示加工点位于直线上；若Fi> 0，表示加工点位于直线上方；若Fi< 0，表示加工点位于直线下方。
（2）偏差函数字的递推计算采用偏差函数的递推式（迭代式）：既由前一点计算后一点Fi =Yi Xe -XiYe若Fi>=0，规定向+X 方向走一步Xi+1 = Xi +1Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1)=Fi –Ye若Fi<0，规定+Y 方向走一步，则有Yi+1 = Yi +1Fi+1 = Xe(Yi +1)-YeXi =Fi +Xe（3）终点判别直线插补的终点判别可采用三种方法。
1）判断插补或进给的总步数：2）分别判断各坐标轴的进给步数；3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
（4）例对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0 。
终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。
逐点比较法圆弧插补（1）偏差函数构造任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为若Fi=0，表示加工点位于圆上；若Fi>0，表示加工点位于圆外；若Fi <0，表示加工点位于圆内（2）偏差函数的递推计算1） 逆圆插补若F ≥0，规定向-X 方向走一步若Fi<0，规定向+Y 方向走一步2） 顺圆插补若Fi ≥0，规定向-Y 方向走一步若Fi<0，规定向+y 方向走一步（3）终点判别1）判断插补或进给的总步数： 2）分别判断各坐标轴的进给步数： （4）例对于第一象限圆弧AB ，起点A （4，0），终点B （0，4）⎩⎨⎧+-=-+-=-=++12)1(122211i i i i i ii X F R Y X F X X ⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211i i i i i i i Y F R Y X F Y Y ⎩⎨⎧+-=--+=-=++12)1(122211i i i i i i i Y F R Y X F Y Y ⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211i i i i i i i X F R Y X F X X ba b a Y Y X X N -+-=ba x X X N -=b a y Y Y N -=。
实验一 逐点比较法圆弧和直线插补实验
Y B(xe,ye)
M(xm,ym)
Rm R
A(x0,y0)
O 图3 圆弧插补原理图 X
圆弧插补原理参见上图，对于第一象限逆圆，设圆弧的起点为 A(x0,y0)，终点为 B(xe,ye)， 圆弧半径为 R。加工点为 M(xm,ym)，它与圆心的距离为 Rm，则
（1）偏差计算
Fm
=
Rm2
− R2
=
xm2
p102=p102-p104 p101=p101+1 x-0.1 else p102=p102+p103 p101=p101+1 y0.1
；计算新的偏差值（Fi+1=Fi－ya） ；步数计数器加一 ；X方向进分别是（-0.1 -0.5 -1.0） ；偏差判别（若P102小于0表示刀具在直线下方） ；计算新的偏差值（Fi+1=Fi＋xa） ；步数计数器加一 ；Y方向进给分别是（0.1 0.5 1.0）
endif
endwhile
close
（3）根据直线插补编成格式，编写所给圆弧插补程序。 各组的圆弧的插补任务是： u 第一组：圆弧半径 50，第二象限顺圆；
第二组：圆弧半径 50，第二象限逆圆； 第三组：圆弧半径 60，第三象限顺圆； 第四组：圆弧半径 60，第三象限逆圆； 第五组：圆弧半径 70，第四象限顺圆； 第六组：圆弧半径 70，第四象限逆圆； open prog7 clear linear inc p101=0 p102=0 p103=0 p104=50 while(p101!>100) if(p102!<0) y0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p104+1 p104=p104-1 else -x0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p103+1 p103=103-1 endif endwhile close
逐点比较法
对于位于直线上方的Pi’点，有 Fi=YiXe －XiYe＞0
对于位于直线上的Pi点，有 Fi=YiXe －XiYe=0 对于位于直线下方的Pi”点，有 Fi=YiXe －XiYe＜0 Y Pi’ A （Xe、Ye） Pi (Xi，Yi) o Pi” X
2. 进给控制 当Fi＞0时，向+X方向进给一步，使动点接近直线OA； 当Fi＜0时，向+Y方向进给一步，使动点接近直线OA； 当Fi=0时，向任意方向进给一步，但通常归于Fi＞0 处理；
逐点比较法第一象限的顺圆弧插补算法
当动点Pi（Xi，Yi）位于圆弧上时有 Xi2＋Yi2－R2=0
Y B
当Pi点在圆弧外侧时，则OPi大于圆弧半径R，即(Xb,Yb) F<0 Ri 2 2 2 Xi ＋Yi －R >0 当Pi点在圆弧内侧时，则OPi小于圆弧半径R，即 Xi2＋Yi2－R2<0
1 2 3 4 5 6 7 8
F0=0 F1<0 F2<0 F3<0 F4>0 F5<0 F6>0 F7>0
-Y +X +X +X -Y +X -Y -Y
F1 F0 2Y0 1 7
F2 F1 2 X 1 1 6
F3 F2 2 X 2 1 3
F4 F3 2 X 3 1 2
表3-2 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
F0 0
X0=0,Y 0=4 X1=0,Y 1=3 X2=1,Y 2=3 X3=2,Y 3=3 X4=3,Y 4=3 X5=3,Y 5=2 X6=4,Y 6=2 X7=4,Y 7=1 X8=4,Y 8=0
直线逐点比较插补原理的实现
逐点比较插补原理的实现1 数字程序控制基础数字程序控制，就是计算机根据输入的指令和信息，控制生产机械按规定的工作程序、运动轨迹、运动距离和运动速度等规律自动地完成工作的自动控制。
世界上第一台数控机床是1992年由MIT伺服机构实验室开发出来的，主要的目的是为了满足高精度和高效率加工复杂零件的需要一般来说，三维轮廓零件，即使二维轮廓零件的的加工也是很困难的，而数控机床则很容易实现早期的数控(NC)以数字电路技术为基础，现在的数控(CNC)以计算机技术为基础。
数控系统由输入装置、输出装置、控制器、插补器等四部分组成。
随着计算机技术的发展，开环数字程序控制得到了广泛的应用，如各类数控机床、线切割机低速小型数字绘图仪等，它们都是利用开环数字程序控制原理实现控制的设备。
开环数字程序控制的结构如图1.1所示。
图1.1 开环数字程序控制的结构图这种结构没有反馈检测元件，工作台由步进电机驱动。
步进电机接收驱动电路发来的指令作相应的运动，把刀具移动到与指令脉冲相当的位置，至于刀具是否到达了指令脉冲规定的位置，它不作任何检查，因此这种控制的可靠性和精度基本上由步进电机和传动装置来决定。
开环控制结构简单、可靠性高、成本低、易于调整和维护等，应用最为广泛。
2 步进电机控制技术步进电机又叫脉冲电机，它是一种将电脉冲信号转换为角位移的机电式数模转换器。
在开环数字程序控制系统中，输出部分常采用它作为驱动元件。
步进电机接收计算机发来的指令脉冲，控制步进电机作相应的转动，步进电机驱动数控系统的工作台或刀具。
显然，指令脉冲的总数就决定了数控系统的工作台或刀具的总移动量，指令脉冲的频率就决定了移动的速度。
因此，指令脉冲能否被可靠地执行，基本上取决于步进电机的性能。
2.1 步进电机的工作原理步进电机的工作就是步进转动。
在一般的步进电机工作中，电源都是采用单极性的直流电源。
要使步进电机转动，就必须对步进电机定子的各相绕组以适当的时序进行通电。
逐点比较法
即
Fi1 Fi X e
6
在插补计算、进给的同时还要进行终点判别。常用终点判 别方法是：
设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀具沿
X 轴应走的步数为X e，沿Y 轴走的步数为Ye，计数器中存入 X和Y两坐标进给步数总和∑＝∣Xe∣＋∣Ye∣，当X 或Y
坐标进给时，计数长度减一，当计数长度减到零时，即∑＝ 0时，停止插补，到达终点。
终点判别：判断是否到达终点，若到 达x ，结束插补；否则，继续以上四个
步骤（如图3-3所示）。
图3-3 逐点比较法工作循环图
3
2. 直线插补
图3-4所示第一象限直线OE为给定轨迹，其方程为
XeY－XYe＝0
(3-1)
P（X，Y）为动点坐标，与直线的关系有三种情况：
（1）若P1点在直线上方，则有XeY－XYe>0 E （2） 若P点在直线上，则有 XeY－XYe＝0
２．由偏差方程确定加工动点引起的偏 差符号（若要计算偏差量，则偏差方程系数不能简 化）。
３．下一步插补方向确定原则：向使加 工偏差减小、并趋向轨迹终点的方向插补
．（将偏差等于零的情况并入偏差大于零的情况）。
４．关于插补量：每次插补一个脉冲当 量的位移
12
3. 圆弧插补
在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距离来描述刀具位置与 被加工圆弧之间关系。
b) 逆圆弧
图3-9 第一象限顺、逆圆弧
14
偏差递推简化：对第一象限顺圆，Fi≥0，动点Pi(Xi，Yi)应 向－Y向进给，新的动点坐标为(Xi＋1,Yi＋1)，且Xi＋1＝Xi，Yi ＋1＝Yi－1，则新点的偏差值为：
15
若Fi<0时，沿＋X向前进一步，到达（Xi＋1，Yi）点，新点
逐点比较法直线插补
3.2.1 逐点比较法直线插补
• 逐点比较法插补: 每走一步都要和给定轨迹上 的坐标值进行比较，看这点在给定轨迹的上方 或下方，或是给定轨迹的里面或外面，从而决 定下一步的进给方向。比较一次，决定下一步 走向，以便逼近给定轨迹，即形成逐点比较插 补。 • 加工精度: 逐点比较法规定的加工直线或圆弧 之间的最大误差为一个脉冲当量，因此只要把 脉冲当量（每走一步的距离即步长）取得足够 小，就可达到加工精度的要求。
3.2 插补原理
•在CNC数控机床上，各种曲线轮廓加工都是通过插补计算实现的， 插补计算的任务就是对轮廓线的起点到终点之间再密集的计算出有 限个坐标点，刀具沿着这些坐标点移动，用折线逼近所要加工的曲 线。 •插补方法可以分为两大类：脉冲增量插补和数据采样插补。 •脉冲增量插补是控制单个脉冲输出规律的插补方法，每输出一个脉 冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离就是脉冲当量， 因此，脉冲增量插补也叫做行程标量插补。如逐点比较法、数字积 分法。该插补方法通常用于步进电机控制系统。 •数据采样插补，也称为数字增量插补，是在规定的时间内，计算出 个坐标方向的增量值、刀具所在的坐标位置及其他一些需要的值。 这些数据严格的限制在一个插补时间内计算完毕，送给伺服系统， 再由伺服系统控制移动部件运动，移动部件也必须在下一个插补时 间内走完插补计算给出的行程，因此数据采样插补也称作时间标量 插补。数据采样插补采用数值量控制机床运动，机床各坐标方向的 运动速度与插补运算给出的数值量和插补时间有关。该插补方法是 用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。 •数控系统中完成插补工作的部分装置称为插补器。
Fm<0 x
注意：起点偏差F0=0
偏差公式简化
x y xy y Fm ye y ( x 1 ) y Fm 0 Fm 1 x e m me e e m m e
§1.4--逐点比较法——直线插补
电子教案教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法导入新课讲授探究总结在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的方向进给。
其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。
§1.4 逐点比较法——直线插补一、概述初称区域判别法，又称代数运算法或醉步式近似法。
这种方法应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补，精度高。
每进给一步需要四个节拍：（1）偏差判别：判别加工点对规定图形的偏离位置，决定拖板进给的走向。
（2）坐标进给：控制某个坐标工作台进给一步，向规定的图形靠拢，缩小偏差。
（3）偏差计算：计算新的加工点对规定图形的偏差，作为下一步判别的依据。
（4）终点判断：判断是否到达终点。
若到达则停止插补，若没，再回到第一节拍。
介绍讲授图示分析讲授法理解记忆教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法新课讲授探究总结二、直线插补1．偏差计算公式如图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，编程时，给出直线的终点坐标A ，直线方程为：●偏差判别：（1）动点m在直线上：（2）动点m在直线上方：（3）动点m在直线下方：偏差判别函数●坐标进给（1）动点m在直线上：，可沿+⊿x轴方向，也可沿+⊿y方向；（2）动点m在直线上方：，沿+⊿x方向；（3）动点m在直线下方：，沿+⊿y方向。
举例板图分析总结e e(,)x ym e m ey x x y-=m e m ey x x y-=m e m ey x x y->m e m ey x x y-<m m e m eF y x x y=-mF<mF≥mF=教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法探究总结例题讲授●新偏差计算+⊿x轴方向进给+⊿y轴方向进给●终点比较用Xe +Ye 作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算，直到计数器为零为止。
2．终点判别法分别计数法双向计数法单向计数法3．插补运算过程插补计算时，每走一步，都要进行以下4个步骤（又称4个节拍）的算术运算或逻辑判断：方向判定：根据偏差值判定进给方向。
数控技术 第三章 插补
3.逐点比较法圆弧插补 3.逐点比较法圆弧插补
（1）偏差函数 任意加工点P ），偏差函数 偏差函数F 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
Fi = X i2 + Yi 2 − R 2
=0，表示加工点位于圆上； 若Fi=0，表示加工点位于圆上； Y >0，表示加工点位于圆外； 若Fi>0，表示加工点位于圆外； <0， 若Fi<0，表示加工点位于圆内
Y Ae (Xe,Ye) F>0 Pi (Xi,Yi) F<0 X
为便于计算机计算) （2）偏差函数字的递推计算 (为便于计算机计算 为便于计算机计算 >=0，规定向+ 方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示） 若Fi>=0，规定向+X方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示）
Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = XeYi −Ye (Xi +1) = Fi −Ye
2.逐点比较法直线插补 2.逐点比较法直线插补
（1）偏差函数构造 对于第一象限直线OA上任一点( OA上任一点 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y) YX e − XYe = 0 若刀具加工点为Pi（ ），则该点的偏差 若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差 Pi 函数F 函数Fi可表示为 Fi = Yi X e − X i Ye 若Fi=0，表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上方； 若Fi>0，表示加工点位于直线上方； 表示加工点位于直线下方。 若Fi<0，表示加工点位于直线下方。
F=0 F<0 F>0 F<0 F>0 F=0 F<0 F>0 F<0 F>0
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电子教案
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
导入
新课讲授
探究总结
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具
与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的
进给方向，使刀具向减小误差的方向进给。
其算法最大偏差不会超
过一个脉冲当量δ。
§1.4 逐点比较法——直线插补
一、概述
初称区域判别法，又称代数运算法或醉步式近似法。
这种方法
应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补，精度高。
每进给一步需要四个节拍：
（1）偏差判别：判别加工点对规定图形的偏离位置，决定拖
板进给的走向。
（2）坐标进给：控制某个坐标工作台进给一步，向规定的图
形靠拢，缩小偏差。
（3）偏差计算：计算新的加工点对规定图形的偏差，作为下
一步判别的依据。
（4）终点判断：判断是否到达终点。
若到达则停止插补，若
没，再回到第一节拍。
介绍
讲授
图示
分析
讲授法
理解
记忆
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教学方法
新课讲授
探究总结二、直线插补
1．偏差计算公式
如图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，编程时，给出
直线的终点坐标A ，直线方程为：
●偏差判别：
（1）动点m在直线上：
（2）动点m在直线上方：
（3）动点m在直线下方：
偏差判别函数
●坐标进给
（1）动点m在直线上：，可沿+⊿x轴方向，也可沿+
⊿y方向；
（2）动点m在直线上方：，沿+⊿x方向；
（3）动点m在直线下方：，沿+⊿y方向。
举例
板图
分析
总结
e e
(,)
x y
m
F<
m
F≥
m
F=
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
探究总结
例题讲授
例题讲授●新偏差计算
+⊿x轴方向进给
+⊿y轴方向进给
●终点比较
用Xe +Ye 作为计数器，每走一步对计数器进行减 1计算，直
到计数器为零为止。
2．终点判别法
分别计数法
双向计数法
单向计数法
3．插补运算过程
插补计算时，每走一步，都要进行以下4个步骤（又称4个节
拍）的算术运算或逻辑判断：
方向判定：根据偏差值判定进给方向。
坐标进给：根据判定的方向，向该坐标方向发一进给脉冲。
偏差计算：每走一步到达新的坐标点，按偏差公式计算新的偏差。
终点判别：判别是否到达终点，若到达终点就结束该插补运算；
如未到达再重复上述的循环步骤。
例1：插补如图所示的直线，脉冲当量为1，采用双向计数方
法。
解：，定计数长度∑=16，
，插补从原点开始，插补过程如表1
所示。
分析
总结
师生互动
m1m1e m1e m e
F y x x y F y
+++
=-=-
m1m e
F F x
+
=+
e e
10616
X Y
∑=+=+=
m m e m e
F Y X X Y
=-=
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
思考交流
表1 第一象限直线插补过程
4．不同象限的直线插补计算
假设有第三象限直线OE′（图2-4），起点坐标在原点O，终点
坐标为E′（-Xe，-Ye），在第一象限有一条和它对称于原点的直线，
其终点坐标为E（Xe，Ye），按第一象限直线进行插补时，从O点开
始把沿X轴正向进给改为X轴负向进给，沿Y轴正向改为Y轴负向
进给，这时实际插补出的就是第三象限直线，其偏差计算公式与第
一象限直线的偏差计算公式相同，仅仅是进给方向不同，输出驱动，
应使X和Y轴电机反向旋转。
思考交流
师生互动
思考交流
Y
X
E(X e,Y e)
)
O
E′(-X e,-Y e)
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
课堂
练习
表2 四象限直线插补进给方向判定和偏差计算公式
例2：试用逐点比较法插补第二象限直线OA，如图2-5所示，
起点O在坐标原点，终点坐标(-3,5)，写出插补运算过程，并画出插补轨迹。
解：定计数长度∑=8刀具在起点O，F0=0，x e=-3，运算时按绝对值计算。
第二象限直线插补运算过程如表3所示。
练习讲解
教学后记。