北京市房山区2018-2019学年度初三上数学期末试卷(含答案)
………………………………1 分
∴AB=13．
∴ cos B BC 5 ． AB 13
∴ cos ADE cos B 5 ． 13
………………………………2 分
（2）由（1）得 cos ADE DE 5 ， AD 13
设 AD 为 x ，则 DE DC 5 x ． 13
13. 如图，∠DAB=∠CAE，请你再添加一个条件____________， 使得△ABC∽△ADE．
D A
B
E
C
14.
若一个扇形的圆心角为 45°，面积为 6π，则这个扇形的半径为
． A
15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三
角形硬纸板 DEF 的斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 C A 在同一直线上. 测得 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距 B
求作：直线 PQ，使得 PQ⊥l.
做法：如图，
①在直线 l 的异侧取一点 K，以点 P 为圆心，PK 长为半径画弧，交直线 l 于点 A，B；
1
②分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的同样长为半径画弧，两弧交于点 Q（与 P 点不重合）；
2
③作直线 PQ，则直线 PQ 就是所求作的直线.
P
根据小西设计的尺规作图过程，
分别交于 M，N 两点，已知点 M（-2，m）.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 P 为 y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接写出点
标．
y 4
3
2 M
1
–4 –3 –2 –1 o –1
–2
1 2 3 4x N C
–3
–4
O
A
P 的坐
E
B
D
24. 如图， AB ， AC 是⊙ O 的两条切线， B ， C 为切点，连
2
2
∴当 x 为 20cm 时，三角形面积最大，最大面积是 200cm2. …………………………5 分
22. 解:如图，（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°． ∴∠A+∠ADE=90°．
C D
∵∠ACB= 90 ， ∴∠A+∠B=90°．
A
E
B
∴∠ADE=∠B． 在 Rt△ABC 中，∵AC=12，BC=5，
2 2 3 2 3 2 3
……………………4 分
P
2
2
2．
……………………………………5 分
18. （1）如图所示
………………………………………1 分
（2）PA=PB，QA=QB …………………………………3 分
A
K
Q
l B
依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； ②两点确定一条直线. ………………………………………5 分
3
长线于点 E. 已知 AC=30，cosA= .
5
A
（1）求线段 CD 的长；
（2）求 sin∠DBE 的值.
E D
C
B
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A4, 2，将点 A 向右平移 6 个单位长度，得到点 B.
（1）直接写出点 B 的坐标；
（2）若抛物线 y x2 bx c 经过点 A,B，求抛物线的表达式；
2．如图，在△ABC 中，M，N 分别为 AC，BC 的中点．则△CMN 与△CAB
的面积之比是
A．1:2
B． 1:3 C．1:4
D．1:9
C
A M
N
B
3．如图，在⊙O 中，A，B，D 为⊙O 上的点，∠AOB=52°，则∠ADB 的度 D
O
数
是 A．104°
B．52°
C．38°
D．26°
A
B
4. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 AD 1 ,AE=1,则 EC 等于 AB 3
．
x
10．请写出一个开口向上，并且与 y 轴交点在 y 轴负半轴的抛物线的表达式：
_______．
11. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，半径 OC⊥AB 于 E，如果 AB=8，CE=2，
那么⊙O 的半径为
．
O
E
A
B
C
12. 把二次函数 y x2 4x 5 化为 y a x h2 k 的形式，那么 h k =_____.
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.
A K
Bl
证明：∵PA=
，QA=
,
∴PQ⊥l（
）（填推理的
依据）.
19．如图，由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上
A
有一个△ABC，且 A，B，C 三点均在小正方形的顶点上，
格上画一个与△ABC 相似的△A1B1C1，要求：
房山区 2018——2019 学年度第一学期终结性检测试卷 九年级数学学科
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 二次函数 y (x 1)2 3 的顶点坐标是
A．（1，-3）
B．（-1，-3）
C．（1，3）
D．（-1，3）
2019.1
22. 如图，在△ABC 中，∠ACB= 90 ，D 为 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E，AC=12，BC=5．
（1）求 cos ADE 的值； （2）当 DE DC 时，求 AD 的长．
C D
A
E
B
23. 如图，反比例函数 y k 的图象与一次函数 y 1 x 的图象
x
2
接
CO 并延长交 AB 于点 D，交⊙ O 于点 E，连接 BE ，连接 AO ． （1）求证： AO ∥ BE ；
（2）若 DE 2 ，tan∠ BEO = 2 ，求 DO 的长．
25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 的中点，连接 CD，过点 B 作 CD 的垂线，交 CD 延
E D
F
G
离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米．按此方法，请计算旗杆
的高度为
米．
16．如图 1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB,垂足为 D，半圆（量角器）的圆心与点 D 重合，此时，测得顶点 C 到量角器最高点的距离 CE＝2cm，将量角 器沿 DC 方向平移 1cm，半圆（量角器）恰与△ABC 的边 AC，BC 相切，如图 2,则 AB 的长为 cm.
（2）将四边形 ABCD 向上平移 2 个单位得到四边形 ABCD ， B 是否落在图象 G 上？
y 6
5
4 D 3
2
A –3 –2
1
–1 o –1
C
B 12 3456 7x
问点
y = f(x)
–2
21. 小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为 x(单位：cm)的边与这条 边上的高之和为 40 cm，这个三角形的面积为 S(单位：cm2)． (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大?最大面积是多少?[来
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
④过动点 P(m，0)且垂直于 x 轴的直线与 y1，y2 的图象的交点分别
–1
为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，m 的取值范围是 m＜-3 或 m＞-1．
–2
其中正确的是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)
9. 已知点 A（1，a）在反比例函数 y 12 的图象上，则 a 的值为
A．1
B． 2
C．3
D．4
5. 如图，点 P 在反比例函数 y 2 的图象上，PA⊥x 轴于点 A， x
则△PAO 的面积为
A．1
B．2
C．4
D．6
A
D
E
B
C
y
P
OA
x
6. 如图，在△ABC 中， ACD B ，若 AD=2,BD=3,则 AC 长为
A． 5
B． 6
C． 10
D． 6
B
7. 抛物线 y x2 2x m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围为
A． m 1
B． m=1
C． m 1
D． m 4
A D
C
8. 已知二次函数 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数 y2＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示， y
下面有四个推断:
3
①二次函数 y1 有最大值
2
②二次函数 y1 的图象关于直线 x 1 对称
1
③当 x 2 时，二次函数 y1 的值大于 0
C
C
E
E
A
D
B
A
D
B
图1
图2
三、解答题（本题共 68 分，第 17－22 题，每小题 5 分，第 23－26 题，每小题 6 分，第 27，28 题， 每小题 7 分）
17．计算： 2sin 45o tan 60o 2 cos 30o 12 .
18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线 l 及直线 l 外一点 P.
（3）若抛物线 y x2 bx c 的顶点在直线 y x 2 上移动，当抛物线与线段 AB 有且只有一个公 共点时，求抛物线顶点横坐标 t 的取值范围．
y
5 4 3 2 1
2018北京市房山区初三(上)期末数学
2018北京市房山区初三（上）期末数学2018.1一、选择题（每题2分，共16分）1.已知点（-1,2）在二次函数y=ax2的图像上，那么a的值是（）．A.1B.2C.12D.-122.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2BC，则sinA等于（）．A.12B.√22C.√32D.13.如图在△ABC中M，N分别为AC，BC的中点,若S△ABC，则为（）．A.2B.3C.4D.54.如图，在高2m，坡角30°为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）．A.2√3mB.(2+2√3m)mC.4mD.(4+2√3m) m(k≠0)的图像上，PA⊥x轴于点A，PAO的面积为2,则k5.如图点P在反比例函数y=kx的值为（）．A.1B.2C.3D.46.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）．A.√10B.2√3C.√6D.67如图在⊙O中AB=AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）．A.50°B.45°C.30°D.25°8.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高为（）．A.14B.11C.6D.3二、填空题（每题2分，共16分）9.请写出一个开口向下，并且与轴相交于点的抛物线的解析式．10.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是．11.如图，西沙河书马刨泉河支流，发源于支流发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度．如图2在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，河的宽度等于m ．12.如图，抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A(-2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为．13.如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，开口∠1=60°，半径为√6，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为．14.如图一个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 都在小正方形的顶点上则角，∠ABC 的正弦值为 ．15.已知二次函数y=ax 2+bx+c 其中a ≠0的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为，x 1=−8+√8²−4×2×32×2，x 2=−8−√8²−4×2×32×2则此二次函数的对称轴为 ． 16.下面是作圆的内接正方形的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ，（写出两条） 三、解答题（本题共68分，第17-25题，每题5分，26题7分；27题8分，28分8分） 17.计算：√3tan30°-cos60°+sin45°．18.下表是二次函数的部分，的对应值:(1)此二次函数的图像的顶点坐标是 ．(2)当抛物线y=x 2+bx+c 的顶点在直线y=x+n 的下方时，n 的取值范围是 ． 19.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠BDC ．(1)求证：△ABD~△DCB．(2)若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．20.如图，是二次函数，y=x2+bx+c的部分图像．(1)结合图像信息，求此二次函数的表达式；(2)当y>0时，直接写出x的取值范围．21.已知,如图，在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦长AC的长为6cm，∠ACB的平分线交圆O于D，求BC、AD和的长．，BC=8，D是AB的中点，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，22.如图在△ABC中，∠ACB=90°度，sin=45(1)求线段CD的长．(2)求cos∠ABE的值．(k≠0)与一次函数y=-x+5的一个交点是A(1,n)．23.反比例函数y=kx(k≠0)的表达式．(1)求反比例函数y=kx(2)当一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出自变量x的取值范围为．24.中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时，常常要逢山开道，遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M，N 两点之间的直线距离．选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-2,0)．(1)填空：c= （用含的式子表示）(2)若b<4①求证抛物线与x轴有两个交点．②设抛物线与x轴的另一个交点为B当线段AB上恰有个5整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为．(3)直线y=x-4，经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．26.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，(1)以AB上一点为O圆心，AD为弦作⊙O．(2)求证：BC为⊙O的切线．，求⊙O的半径．(3)若AC=6，tanB=3427.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE，DE．(1) ∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，请说明理由．(2)直接写出DE的最小值．28.定义：在平面直角坐标系中，图形G上，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的”坐标差“，而图形G上所有点的”坐标差“中最大值称为图形G的“特征值”．(1)按要求回答：1点A(1,3)的坐标差为；2抛物线y=-x2+3x+3的特征值为；(2)某二次函数y=-x2+bx+c(c≠0)的特征值为1，点B(m,0)的与点C分别是此二次函数的图像与x轴，y轴的交点，且点B与点C的坐标差相等．①直接写出m ；（等于用含的式子表示）②求此二次函数的表达式．(3)如图在平面直角坐标系xOy中，以m(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D，E，请直接写出⊙M的“特征值”为．数学试题答案二、填空题（每题2分，共16分）9【答案】y=-x 2+1 10【答案】8 11【答案】612【答案】x 1=-2,x 2=1 13【答案】5π 14【答案】√2215【答案】x=-2 16【答案】1.垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的弧2.四条边相等四个角相等的四边形是正方形三、解答题（本题共68分，第17-25题，每题5分，26题7分；27题8分，28分8分） 17【答案】 原式=√3×√33-12+√22 =1-12+√22 =1+√2218【答案】 (1) （1，-2） (2)n>-3 19【答案】 (1) (2)DB=10 ．【解析】(1)∵AD ∥BC ， ∴∠ADB=∠DBC ． ∵∠A=∠BDC ， ∴△ABD~△DCB ． (2)∵△ABD~△DCB ， ∴ABDC ．=ADDB∵AB=12，AD=8，CDC=15， ∴1215=8DB ． ∴DB=10． 20【答案】(1)抛物线表达式为y=x 2-2x-3． (2)x<-1或x>3 【解析】(1)由题意知，二次函数过点(-1,0)，(0,-3)，(1,-4) ∴{a −b +c =0a +b +c =−4c =−3∴{a =1b =−2c =−3∴抛物线表达式为y=x 2-2x-3． (2) x<-1或x>3 21【答案】BC=8cm ，AD=BD=5√2cm ． 【解析】∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∵AB=10cm ，AC=6cm ， ∴BC=√AB²−AC²=8cm ，∵∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ， ∴AB =BD ∴AD=BD ，∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=√22AB=10×√22=5√2cm 22【答案】 (1)CD=5． (2)cos ∠ABE=2425 【解析】(1)∵△ABC 中，∠ACB=90°，sinA=45，BC=8， ∴AB=BC sinA =845=10∵△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 中点， ∴CD=12AB=5．(2)∵D 是AB 中点，AB=10， ∴BD=12AB=5． ∴S △BDC =12S △ABC ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC=√AB²−BC²=√10²−8²=6．∴S △ABC =12×6×8=24.∴S △BDC =12 ∴12DE.CD=12． ∵CD=5， ∴BE=245．∵BE ⊥CE ， ∴∠BED=90．∴cos ∠ABE=BEBD =2455=2425． 23【答案】(1)反比例函数表达式为y=4x ．(2)x<0，1<x<4 【解析】(1) 将点A 代入一次函数表达式可得n=4． 则点A 坐标为(1,4)．将点A 代入反比例函数表达式的K=4， ∴反比例函数表达式为y=4x ．(2)联立一次函数和反比例函数解析式可得x 2-5x+4=0， 解得x 1=1，x 2=4．所以一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为(4,1)． 函数图像如图所示：当一次函数函数值大于反比例函数函数值时 x<0或1<x<4 24【答案】N ，M 两点之间的直线距离为3000米． 【解析】∵ACAM =181200=3200，ABAN =302000=3200， ∴AC AM =AB AN ． 又∵∠BAC=∠NAM ， ∴△BAC~△NAM ， ∴BC MN =3200，∴45MN =3200，∴MN=3000．答：N ，M 两点之间的直线距离为3000米． 25【答案】 (1)2b-4．(2)①证明见解析． ②-1<b ≤0(3)y=x 2-4或y=x 2+10x+16．【解析】 (1)∵二次函数过点A∴将点A 坐标带入函数解析式得0=4-2b+c ． C=2b-4．(2)①△=b 2-4c=b 2-8b+16=(b-4)2∵$$ ∴△>0，∴抛物线与$$轴有两个交点．②由题意知抛物线对称轴在在点A 右侧， ∵线段AB 上恰有$$个整点，当抛物线过点(2,0)时，b=0．当抛物线过点(3,0)时，b=1 ∴-1<b ≤0．(3)二次函数顶点坐标为P(-b 2,8b−16−b²4)，∵P 在直线上上， ∴8b−16−b²4=-b2-4，解得b 2-10b=0， 解得b=0或b=10．抛物线表达式为y=x 2-4或y=x 2+10x+16． 26【答案】(1)画图见解析． (2)证明见解析． (3)⊙O 的半径为158．【解析】 (1)(2)连结OD ，∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1=∠2． ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3． ∴OD ∥AC ．∴∠C=∠ODB=90°，即OD ⊥BC ．又点D 在⊙O 上， ∴BC 为⊙O 的切线． (3)∵∠C=90°，tanB=34， ∴AC BC =34．∵AC=3， ∴BC=4．在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AB=5． 设⊙O 的半径为r ，则OD=OA=r ，OB=5-r ． ∵OD ∥AC ，11 / 11 ∴△BOD~BAC ．∴OD AC =OB AB ，即r 3=5−r 5，解得r=158．所以⊙的半径为．27【答案】(1)是，∠BAE=45°，证明见解析．(2)．【解析】(1)∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴∠CBA=45°，∵CD ⊥AB 于D ，∴∠BCD=45°，∵△BPE 为等腰直角三角形，∴PB=PE ，∠PBE=45°∴∠CBP=∠ABE ，CB AB =PB BE =√22即CB PB =AB EB ，∴△CBP~△ABE ．∴∠BAE=∠BCD=45°．(2)当DE ⊥AE 时，DE 的最小，此时DE=2． 28(1)按要求回答：①2②4(2)①-C ②y=x 2+2x+4(3)1+2√2。
北京市房山初三上学期期末考试试题及答案
2018—— 2018 学年度第一学期终结性检测试卷九年级数学一、（此题共 32 分，每题 4 分）选择题（以下各题都给出了代号分别为 A 、B 、 C 、 D 的 四个备选答案，此中有且只有一个是正确的，请你把正确答案的代号填入相应的表格 中）： 题号 12345678答案1．若 a : b 4 : 3 ，则以下各式中正确的式子是（） .A ． 4a 3bB ．a b1 C ． b 4D ． 3a 4bb3a32、两个圆的半径分别是2cm 和 7cm ，圆心距是 8cm ，则这两个圆的地点关系是A ．外离B．外切C．订交 D ．内切3、已知圆锥的母线长和底面圆的直径均是 10 ㎝，则这个圆锥的侧面积是（ ） .A.50 ㎝ 2B. 50㎝ 2 C. 50㎝ 2D. 50㎝ 2.4、如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， DE 分别与 AB 、AC 订交于点 D 、 E ，A若 AD=4， BD=2，则DE的值是（）2BC133 DEB.C.D.A.24 53BC5．在△ ABC 中，∠ C =90°， sin A= 3，那么 tan A 的值等于（） .A ．3B .4C . 3D .4555436．将抛物线 A ． C ．y 2x 2 向下平移 1 个单位，获得的抛物线解读式为（） .y 2( x 1)2 B． y 2( x 1)2y2x 2 1D ． y 2 x 2 17. 如图，从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线PA ， PB ，切点分别为 A ， B ．假如 APB 60 ，APA 8 ，那么弦 AB 的长是（）POA ． 4B ． 8C ．4 3D ．8 3B8、依据图 1 所示的程序，获得了 y 与 x 的函数图象，如图 2．若点 M 是 y 轴正半轴上随意 一点，过点 M 作 PQ ∥x 轴交图象于点 P ，Q ，连结 OP ， OQ ．则以下结论：①x ＜ 0 时，②△ OPQ 的面积为定值．③ x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大． MQ=2PM ．⑤∠ POQ 能够等于 90°．此中正确结论是（）A 、①②④B 、②④⑤C 、③④⑤D 、②③⑤二、（本大题共 16 分，每题4 分）填空题：1，则B =.9．在△ ABC 中，∠ C=90°， cosB210. 已知反比率函数k2k 的取值范围是 .yx ，其图象在第二、四象限内，则211、 把抛物线 y2化为 y x为常数， x2x 3 mk 的形式，此中．．． ．．．．．．．．．．．．m, k．．．．则 m- k =.．．．．．．12. 如图，圆圈内分别标有0,1,2,3,,11 这 12 个数字，电子跳骚每跳一次，能够从一个圆圈跳到相邻的圆圈，此刻，一只电子跳骚从标有数字“ 0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了 2018 次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是三、 ( 本大题共 30 分，每题 5 分 ) 解答题 ：13. 计算： 2sin30 °+4cos30 °· tan60 ° -cos 245°解：1 1121039 4857614. 已知抛物线y x 2 bx c 经过点（ 1， -4 ）和（ -1 ， 2） .求抛物线解读式 .解：如图：⌒⌒ ，D，E分别是半径OA和OB的中点15.AC =CB求证： CD=CE.证明：CABD EO16. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形， F 是 AB 上一点，连结DF并延伸交 CB的延长线于 E.求证： AD：AF＝ CE：AB证明：D CA F BE17.如图，△ ABC内接于⊙ O，点 E 是⊙ O外一点， EO⊥ BC于点 D.求证：∠ 1=∠E.证明：EAO1BD C18.如图，在Rt△OAB中，OAB 90 ，且点 B 的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90后的△OA1B1。
北京市房山区九年级上期末数学试卷有答案-优选
2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．54．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．66．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．67．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m ，则河的宽度AB 等于 m ．12．如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c=0的解为 ．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．14．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为 ．15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 ．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形． 作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是（写出两条）．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：（1）二次函数图象的顶点坐标是；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD 的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为．24．（5分）中国高铁近年用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，可求得a的值．【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，∴2=a×（﹣1）2，解得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB、AB=2MN，进而可得出△ABC∽△MNC，根据相似三角形的性质结合S△CMN =1，即可求出S△ABC的值．【解答】解：∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB=2MN，∴△ABC∽△MNC，∴=（）2=4，∴S△ABC =4S△CMN=4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．4．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：如图，由题意得：地毯的竖直的线段加起等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC），在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°．∵tanA=，∴AC=BC÷tan30°=2．∴AC+BC=2+2．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．6【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积=|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=|k|，即|k|=2，解得，k=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k=4，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．6【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】解：在△ADC和△ACB中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）；∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD，∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，∴AC2=5×2=10，∴AC=．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．7．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中， =，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=﹣x2+1（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8 ．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理分析、判断、解答是解题的关键．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于 6 m．【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=2m，CE=1m，CD=3m，∴，解得：AB=6故答案为：6；【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1 ．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为5π．【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可．【解答】解：由扇形面积公式得：S=π，故答案为：5π；【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为．【分析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值．【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABC的正弦值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 直线x=﹣2 ．【分析】，根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2），代入求出即可．【解答】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，∴此二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2）=﹣2， 故答案为：直线x=﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：两交点关于对称轴对称． 16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形． 作法：如图．（1）过圆心O 作直线AC ，与⊙O 相交于A 、C 两点； （2）过点O 作直线BD ⊥AC ，交⊙O 于B 、D 两点； （3）连接AB 、BC 、CD 、DA ． ∴四边形ABCD 为所求．请回答：该尺规作图的依据是 相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角 （写出两条）．【分析】由AC、BD为直径且AC⊥BD知AB=BC=CD=DA，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；再由AC为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．【解答】解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点，则AC为⊙O的直径，过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴AB=BC=CD=DA（相等的圆周角所对的弦相等），由AC为直径可知∠ABC=90°（直径所对圆周角为直角），则四边形ABCD为正方形（有一内角为直角的菱形是正方形），故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=×﹣+=+．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：（1）二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣2）；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是n＞﹣3 ．【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的顶点坐标．（2）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），（2）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，故答案为：（1）（1，﹣2），（2）n＞﹣3【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：x＜﹣1或x＞3 ．【分析】（1）根据顶点坐标设y=a（x﹣1）2﹣4，利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象写出图象在x轴上方的图象的自变量的取值范围即可；【解答】解：（1）∵顶点坐标（1，﹣4）∴设y=a（x﹣1）2﹣4，将（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2﹣4，得4a﹣4=0解得，a=1，∴二次函数表达式y=（x﹣1）2﹣4，（2）观察图象可知当y＞0时，的取值范围x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC==8（cm），∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，∴=，∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=AB•cos45°=10×=5（cm）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD 的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC 中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5； （2）在Rt △ABC 中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S △BDC =S △ADC ，则S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt △BDE 中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB=90°，∴sinA==， 而BC=8，∴AB=10，∵D 是AB 中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6， ∵D 是AB 中点，∴BD=5，S △BDC =S △ADC ，∴S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt △BDE 中，cos ∠DBE===，即cos ∠ABE 的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为x＜0或1＜x＜4 ．【分析】（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5，求出n=4．将A（1，4）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围．【解答】解：（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5，得，n=﹣1+5=4．将A（1，4）代入y=中，得，k=1×4=4，故反比例函数的表达式为y=；（2）当x＜0或1＜x＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值．故答案为x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（5分）中国高铁近年用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC=45∴MN=3000，答：直线隧道MN长为3000米．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= 2b﹣4 （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围﹣1＜b≤0 ；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①只要证明△＞0即可；②构建不等式即可解决问题；（3）利用配方法求出顶点坐标，再代入直线的解析式，转化为方程即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）∴0=4﹣2b+c，∴c=2b﹣4，故答案为2b﹣4（2）当b＜4时①△=b2﹣4•1•c=b2﹣4（2b﹣4）=（b﹣4）2，∵b＜4∴（b﹣4）2＞0即△＞0，∴当b＜4时，抛物线与x轴有两个交点．②由题意：﹣＜﹣≤﹣4或0≤﹣＜，解得：8≤b＜9或﹣1＜b≤0，∵b＜4，∴﹣1＜b≤0，故答案为﹣1＜b≤0．（3）由y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣4=（x+）2﹣（﹣2）2，∴顶点P[﹣，﹣（﹣2）2]．将其代入y=x﹣4中，得，﹣（﹣2）2=﹣﹣4解得，b=0或10．∴抛物线的表达式为y=x2﹣4或y=x2+10x+16．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长．【解答】解：（1）如图所示，…2′（2）连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，…3′∴∠ODB=∠C=90°，又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线．…4′（3）∵AC=3，tanB=，∴BC=4，∴AB=5，…5′，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5﹣r，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，即，…6′，解得，r=，…7′∴⊙O的半径为．【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，且∠CBP=∠ABE，∠BCP=∠BAE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值，∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°，∴，且∠CBP=∠ABE，∴△CBP∽△ABE，∴∠BCP=∠BAE，∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCP=45°，∴∠BAE=∠BCP=45°；（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AD=AB=2，∵∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=2，∴DE的最小值是2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 2 ；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ﹣c ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，推出c=1﹣b，因为二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，可得=﹣1，解得b=3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M 于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为=3﹣1=2，故答案为2；②设P（x，y）为抛物线y=﹣x2+3x+3上一点，坐标差=﹣x2+2x+3，=﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m=c﹣0，可得m=﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，∴c=1﹣b，∵二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴=﹣1，解得b=3，∴c=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M 于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥x轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF=FM=，EF=M=3，E=F=M=，∴OE=O﹣E=2﹣，TE=3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）=1+2．故答案为1+2．【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
2018-2019九年级数学上学期期末试卷及答案
．．房山区 2018——2019 学年度第一学期终结性检测试卷九年级数学学科2019.1一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 二次函数 y = ( x -1)2 - 3 的顶点坐标是A ．（1，-3）B ．（-1，-3）C ．（1，3）D ．（-1，3）△2．如图，在 ABC 中，M ，N 分别为 AC ，BC 的中点．则△ CMN △与 CABA的面积之比是A ．1:2B ． 1:3C ．1:4D ．1:9C3．如图，在⊙O 中，A ，B ，D 为⊙O 上的点，∠AOB =52°，则∠ADB 的度数D是A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°MN BOA BA4. 如图，在 △ABC 中，DE ∥BC ，若 AD 1= ,AE =1,则 EC 等于AB 3D EA ．1B ． 2C ．3D ．4BC5. 如图，点 P 在反比例函数 y = 2 x的图象上，P A ⊥x 轴于点 A ，yP 则△P AO 的面积为OA xA ．1B ．2C ．4D ．66. 如图，在△ABC 中， ∠ACD = ∠B ，若 AD =2,BD =3,则 AC 长为AA ．5 B ．6 C ． 10 D ． 6DB C7. 抛物线 y = x 2 - 2 x + m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围为A ． m > 1B ． m =1C ． m < 1D ． m < 48.已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断:y3①二次函数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线x=-1对称③当x=-2时，二次函数y1的值大于0④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜-3或m＞-1．–3–2–121–1–2O123xA．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.已知点A（1，a）在反比例函数y=-12的图象上，则a的值为．x10．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：_______．11.如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果AB=8，CE=2，O 那么⊙O的半径为．A E BC 12.把二次函数y=x2-4x+5化为y=a(x-h)2+k的形式，那么h+k=_____.D13.如图，∠DAB=∠CAE，请你再添加一个条件____________，使得△ABC∽△ADE．A14.若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为．15.为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在A同一直线上.测得DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离B E CDG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米．按此方法，请计算旗杆的高度为米．CF EDB G 16．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，C D⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE ＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2,则AB的长为cm.（C CEEABABD D 图1图2三、解答题（本题共 68 分，第 17－22 题，每小题 5 分，第 23－26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）17．计算： 2sin 45o + tan 60o + 2cos30 o - 12 .18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线 l 及直线 l 外一点 P .求作：直线 PQ ，使得 PQ ⊥l.做法：如图，①在直线 l 的异侧取一点 K ，以点 P 为圆心，PK 长为半径画弧，交直线 l 于点 A ，B ；②分别以点 A ，B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径画弧，两弧交于点 Q （与 P 点不重合）；③作直线 PQ ，则直线 PQ 就是所求作的直线.根据小西设计的尺规作图过程，P（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）AB l（2）完成下面的证明.证明：∵P A =，QA = ,∴PQ ⊥l（） 填推理的依据）.KA19．如图，由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，且 A ，B ，C 三点均在小正方形的顶点上，BC试在这个网格上画一个与△ABC 相似的 △A 1B 1C 1，要求：A 1，B 1，C 1 三点都在小正方形的 顶点上，并直接写出 △A 1B 1C 1 的面积．20. 如图，在四边形 ABCD 中，CD ∥AB ，AD =BC. 已知 A （﹣2，0），B （6，0），D （0，3），函数 y = k x( x > 0) 的图象 G 经过点 C ．y6 k（1）求点 C 的坐标和函数 y = ( x > 0) 的表达式；x5 4 D 3C（2）将四边形 ABCD 向上平移 2 个单位得到四边形 A 'B 'C 'D ' ， 问点 B ' 是否落在图象 G 上？2 1A–3 –2 –1 o1 2 3 4 5B6 7xy = f(x)–1–221. 小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为 x (单位：cm)的边与这条边上的高之和为 40 cm ，这个三角形的面积为 S (单位：cm 2)．(1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大?最大面积是多少?[来22. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90︒ ，D 为 AC 上一点，DE ⊥AB 于点 E ，AC =12，BC =5．（1）求 cos ∠ADE 的值；C（2）当 DE = DC 时，求 AD 的长．DAEBO23. 如图，反比例函数 y = kx 1 的图象与一次函数 y = - x 的图象24 y分别交于 M ，N 两点，已知点 M （-2，m ）.（1）求反比例函数的表达式；（2）点 P 为 y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接写出点 P 3 2 M1–4 –3 –2 –1 o–1–21 2 3 4NCx的坐标．–3 –4E BA24. 如图， AB ， AC 是⊙ O 的两条切线， B ， C 为切点，连接DCO 并延长交 AB 于点 D ，交⊙ O 于点 E ，连接 BE ，连接 AO ．（1）求证： AO ∥ BE ；（2）若 DE = 2 ，tan ∠ BEO = 2 ，求 DO 的长．25. 如图，在 △Rt ABC 中，∠ACB =90°，D 是 AB 的中点，连接 CD ，过点 B 作 CD 的垂线，交 CD 延长线于点 E. 已知 AC =30，cosA = 3 5.（1）求线段 CD 的长； （2）求 sin ∠DBE 的值.AEDC B(-4,-2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.26.在平面直角坐标系xOy中，点A（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．y54321–5–4–3–2–1O12345x–1–2–3–4–527.如图，△Rt ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠BAD=∠BFG；（3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．AB D C28.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（3，2），连接AB.若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”．（1）在点C（0，2），D（2，32），E（4，1）中，线段AB的“临近点”是__________；（2）若点M（m，n）在直线y=-33x+2上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；（3）若直线y=-3x+b上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围.3y543–5–4–3–2–121o–1–2–3–4–5A B12345x=2⨯2房山区2018--2019学年度第一学期终结性检测试卷答案九年级数学学科2019.1一.选择题(本题共16分，每小题2分)题号答案1A2C3D4B5A6C7C8D二.填空题（本题共16分，每小题2分）9.-1210.略11.512.313.略14.4315.11.516.23三.解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17.2sin45︒+tan60︒+2cos30︒-123+3+2⨯-23……………………4分22P =2．……………………………………5分A B l 18.（1）如图所示………………………………………1分（2）P A=PB，QA=QB…………………………………3分KQ依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线.………………………………………5分2a 1 2.∴ x + x = 12 ..………………………………4 分19. 画图略…………………………………………………3 分 面积略……………………………………………………5 分20. （1）C （4，3）， ……………………………………………1 分反比例函数的解析式 y=12x； ………………………3 分（2）点 B ′恰好落在双曲线上．…………………………5 分21.（1） S = - 1 2 x 2+ 20 x …………………………2 分1（2）∵ a = - ＜0，∴S 有最大值， …………………………3 分2b 20 1当 x = - =- = 20 时，S 有最大值为 S = - ⨯ 20 2 + 20 ⨯ 20 = 2002 ⨯ (- )2∴当 x 为 20cm 时，三角形面积最大，最大面积是 200cm 2 …………………………5 分22. 解:如图，（1）∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°．∴∠A+∠ADE =90°．∵∠ACB = 90︒ ，ACDE B∴∠A+∠B =90°．∴∠ADE =∠B ．………………………………1 分在 △Rt ABC 中，∵AC =12，BC =5，∴AB =13．BC 5 ∴ cos B == ．AB13∴ cos ∠ADE = cos B =513． ………………………………2 分DE 5（2）由（1）得 cos ∠ADE = = ，AD 13 5设 AD 为 x ，则 DE = DC = x ． ………………………………3 分 13∵ AC = AD + CD = 12 ，5 13解得 x = 26 .323. （1）∵点 M （-2，m ）在一次函数 y = - x 的图象上，1∴ AD =26 3. ……………………………5 分12∴ m = - ⨯ (-2 ) = 1 ．2∴M （-2，1）．……………………………2 分∵反比例函数 y = k x的图象经过点 M （-2，1），∴k ＝-2×1＝-2．2 ∴反比例函数的表达式为 y =-． ……………………………4 分x（2）点 P 的坐标为（0， 5 ）或（0， - 5 ）……………………………6 分24. （1） 证明：连结 BC ,∵ AB ， AC 是⊙ O 的两条切线， B ， C 为切点，∴ AB =AC , OA 平分∠ BAC………………………………1 分∴OA ⊥BC.∵CE 是⊙ O 的直径,∴∠CBE =90°，∴ OA ∥BE.………………………………2 分(2)∵OA ∥BE,∴∠BEO =∠AOC.∵tan ∠BEO = 2 , ∴tan ∠AOC = 2.………………………………3 分在 △Rt AOC 中,设 OC =r,则 AC = 2 r, OA = 3 r ………………………4 分∴在 △Rt CEB 中,EB = 2 3r.3DCOE BA∴DEDO=3∴CD=1∴cos∠DCB=cos∠DBC=4∴sin∠DBE=DE∵BE∥OA,△∴DBE∽△D AODO=EB OA,………………………………………………………………5分232r3r,∴DO=3.………………………………6分25.⑴∵∠ACB=90°，AC=30，cosA=35，A∴BC=40，AB=50.……………………2分E∵D是AB的中点，D2AB=25.…………………………3分(2)∵CD=DB,∴∠DCB=∠DBC.………………………4分5.∵BC=40,∴CE=32，……………………5分∴DE=CE-CD=7,C BDB=7 25.……………………6分⎩c = 6 ⎨26. （1） B (2, -2)……………………2 分（2）抛物线 y = - x 2 + bx + c 过点 A, B ，∴ ⎧-16 - 4b + c = -2 ⎩-4 + 2b + c = -2⎧b = -2 , 解得 ⎨∴抛物线表达式为 y = - x 2 - 2 x + 6………………………4 分（3） 抛物线 y = - x 2 + bx + c 顶点在直线 y = x + 2 上∴抛物线顶点坐标为 (t, t + 2)∴抛物线表达式可化为 y = - (x - t )2 + t + 2 ．把 A (-4, -2)代入表达式可得 -2 = - (-4 - t )2 + t + 2解得 t = -3,t = -4 ．12∴ -4 ≤ t < -3 ．把 B (2, -2)代入表达式可得 - (2 - t )2 + t + 2 = -2 ．解得 t = 0, t = 534∴ 0 < t ≤ 5 ．综上可知 t 的取值范围时 -4 ≤ t < -3 或 0 < t ≤ 5 ．…………………6 分y43 2 1–4 –3 –2 –1 o–1A–2–3–41 2 3 4Bx（3）当直线y=-3∴2－3≤b≤2+……………………………………………7分27.（1）补全图形如图;……………………………2分（2）证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD∵FE⊥AD,∠ACF=90°,∠AHE=∠CHF∴∠CFH=∠CAD∴∠BAD=∠CFH,即∠BAD=∠BFG……………4分（3）猜想:AB2+FD2=FB2GEAH证明：连接AF，∵EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，……………………5分∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD∴∠CAF=∠B，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠BAC+∠B=90°………………………6分∴AB2+AF2=FB2∴AB2+FD2=FB2………………………………7分B DC F28.（1）C、D………………………………………2分y（2）如图，设y=-33x+2与y轴交于M，与A2B2交于N，54A1B1易知M（0,2），∴m≥0，易知N的纵坐标为1，代入y=-33x+2，可求横坐标为3，3M21AA2NBB23–2–1o12345x∴m≤3∴0≤m≤3.…………………………………………4分3x+b与半圆A相切时，b=2-…………5分33–1–2–3当直线y=-353x+b与半圆B相切时，b=2+.…………6分335333。
北京市房山区九级(上)数学期末试卷
2018—2018 学年度第一学期终结性检测试卷九年级数学题号一二三四五总分得分一、选择题（此题共32 分，每题 4 分）以下各题均有四个选项，此中有且只有一个．．是切合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的地点上．题号12345678答案1.抛物线 y= (x-1)2+ 2 的极点坐标是A.(1，-2)B.(1，2)C.(-1 ，2)D.(-1，-2)2．如图，⊙O 是△ABC的外接圆，若∠ABC＝°，则∠AOC等于40A ．20°B．40°C． 60°D． 80°3．在Rt △ABC中，∠= °， sinA=，则 tanA等于C 90A． B ． C ．D．4.如图， P 是反比率函数图象上第二象限内的一点，若矩形 PEOF 的面积为3，则反比率函数的解读式是A. B. C. D.5.小伟掷一个质地平均的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则向上的一面的点数小于 3 的概率为A．B．C．D．6.如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD AB，垂足为点 E，连结 OC，若 OC=5， AE=2，则 CD 等于A ． 3B． 4C． 6D． 87. 如图，已知第一象限内的点 A 在反比率函数的图象上，第二象限内的点 B 在反比率函数y =kx 的图象上，且 OA⊥ OB ，tan A=，则 k 的值为A．- 3 B. C.-6 D.8. 如图，P是边长为 1 的正方形ABCD对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且PE=PB.设AP=x,△ PBE的面积为y.则以下图象中，能表示与的函数关系的图象大概是y y y y1111O1 2 x O1 2 x O12 x O1 2 xA. B. C. D.二、填空题（此题共16 分，每小题 4 分）9.若把代数式化为的形式，此中、为常数，则=.10.若扇形的半径为 9，圆心角为 120°，则它的弧长为________________.11.如图，点 A 是半圆上一个三平分点，点 B 是的中点，点P 是直径MN 上一动点，若⊙ O 的半径为1，则 AP＋ BP 的最小值是．12.如图，已知△ ABC 的面积 S ABC= 1.△（ 11 题图）在图（ 1）中，若,则。
2019.1北京市房山区九年级期末数学答案
房山区2018--2019学年度第一学期终结性检测试卷答案九年级数学学科2019.1 一.选择题(本题共16分，每小题2分)二.填空题（本题共16分，每小题2分）9. -12 10.略 11. 5 12. 3 13.略 14.15. 11.5 16.三. 解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 2sin45tan602cos30︒+︒+︒22=-……………………4分=……………………………………5分18. （1）如图所示………………………………………1分（2）P A=PB，QA=QB …………………………………3分依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线. ………………………………………5分19. 画图略…………………………………………………3分面积略……………………………………………………5分20. （1）C（4，3），……………………………………………1分反比例函数的解析式y=x12；………………………3分（2）点B′恰好落在双曲线上．…………………………5分21.（1）xxS20212+-=…………………………2分（2）∵21-=a＜0，∴S有最大值，…………………………3分l当20)21(2202=-⨯-=-=abx 时，S 有最大值为200202020212=⨯+⨯-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2. …………………………5分22. 解:如图，（1）∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°．∴∠A+∠ADE =90°． ∵∠ACB =90︒， ∴∠A+∠B =90°．∴∠ADE =∠B ． ………………………………1分 在Rt △ABC 中，∵AC =12，BC =5， ∴AB =13． ∴5cos 13BC B AB ==． ∴5cos cos 13ADE B ∠==． ………………………………2分 （2）由（1）得5cos 13DE ADE AD ∠==，设AD 为x ，则513DE DC x ==． ………………………………3分∵ 12AC AD CD =+=， ∴51213x x +=. .………………………………4分 解得263x =. ∴ 263AD =. ……………………………5分23. （1）∵点M （-2，m ）在一次函数12y x =-的图象上，∴()1=212m -⨯-= ．∴M （-2，1）． ……………………………2分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1）， ∴k ＝-2×1＝-2．A∴反比例函数的表达式为2=-y x． ……………………………4分 （2）点P 的坐标为（0，……………………………6分24. （1） 证明：连结BC ,∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，∴=AB AC ,平分∠OA BAC ………………………………1分 ∴OA ⊥BC . ∵CE 是⊙O 的直径, ∴∠CBE =90°，∴ OA ∥BE . ………………………………2分 (2)∵OA ∥BE, ∴∠BEO =∠AOC . ∵tan ∠BEO,∴tan ∠AOC.………………………………3分在Rt △AOC 中,设OC =r ,则ACr , OAr ………………………4分∴在Rt △CEB 中,EBr . ∵BE ∥OA , ∴△DBE ∽△D AO ∴DE EBDO OA=, ………………………………………………………………5分2DO =∴DO =3. ………………………………6分A25. ⑴∵∠ACB =90°，AC =30，cos A =53，∴BC =40，AB =50. ……………………2分 ∵D 是AB 的中点， ∴CD =21AB =25. …………………………3分 (2)∵CD =DB ,∴∠DCB =∠DBC . ………………………4分 ∴cos ∠DCB =cos ∠DBC =45. ∵BC =40,∴CE =32， ……………………5分 ∴DE =CE -CD =7, ∴sin ∠DBE=725=DE DB . ……………………6分26. （1）()2,2B -……………………2分（2） Q 抛物线2y x bx c =-++过点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩, 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为226y x x =--+ ………………………4分 （3）Q 抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上∴抛物线顶点坐标为(),2t t +∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++． 把()4,2A --代入表达式可得()2242t t -=---++解得123,4t t =-=-． ∴43t -≤<-．把()2,2B -代入表达式可得()2222t t --++=-．解得340,5t t ==∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ． …………………6分B27. （1）补全图形如图; ……………………………2分 （2）证明:∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE∴∠CFH =∠CAD∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠（3）猜想: 222AB FD FB += 证明：连接AF ，∵EF 为AD 的垂直平分线，∴ AF=FD ，∠ DAF =∠ ADF ∴ ∠ DAC +∠ CAF =∠ B +∠ ∵ AD 是角平分线， ∴ ∠ BAD =∠ CAD ∴ ∠ CAF =∠ B ，∴ ∠ BAF =∠ BAC +∠ CAF=∠ BAC +∠ B =90°………………………6分∴222AB AF FB +=∴222+=AB FD FB ………………………………7分28.（1）C 、D（2）如图，设3y x =-+易知M （0,2），∴m≥0， 易知N 的纵坐标为1，代入y =∴∴. （3）当直线y x b =+当直线y x b =+∴2≤b ……………………………………………7分。
北京市房山区初三第一学期期末数学试卷(含答案)
房山区2018——2018学年度第一学期期末终结性检测试卷九年级数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．－3的倒数是A ．-3B ．3C ．13-D ．132．已知⊙O 的半径是4，OP =3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆上B ．点P 在圆内C ．点P 在圆外D ．不能确定3．抛物线22(1)+3y x =-的顶点坐标为A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ． (1,3)4．若32a b =，则a ba-的值为 A ．12-B ．12C ．31-D ．5．0312=++-y x ，则2()xy -的值为A ．－6B ． 9C ．6D ．－96．将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-7．如右图所示，已知AB ∥CD ，EF 平分∠CEG ，∠1＝80°， 则∠2的度数为 A ．20° B．40° C ．50° D．60°8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB ，如果∠DAB=65°，那么∠AOC 等于1 2GB DCAF EA.25°B.30°C.50°D.65°9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．x 的取值范围为_ __． 12．反比例函数的图象经过点P （-1，2），则此反比例函数的解读式为． 13．分解因式：24ax a -=．14．活动楼梯如图所示，∠B =90°，斜坡AC 的坡度为1:1，斜坡AC 的坡面长度为8m ，则走这个活动楼梯从 16．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过A （0,3），B （2,3）两点.请你写出一组满足条件的a,b 的对应值.a=_______,b=__________.三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）BCBA17．计算：()1012sin 6020152-⎛⎫-+︒--- ⎪⎝⎭．18．求不等式组⎩⎨⎧---≤-x x x x 15234)2(2＜的整数解．19．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ．（1）求证：△ACD ∽△ABC ； （2）如果BCAC ＝3，求CD 的长．20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．21．下表给出了代数式2x bx c -++与x 的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b ，c ，n 的值；（2）设2y x bx c =-++，直接写出02x ≤≤时y 的最大值．22．如图，△ABC 中，∠B =60°，∠C =75°，AC =AB 的长．23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△A’BC ’,请画出△A’BC ’,并求BA 边旋转到B A’’位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点△A”B”C”，使△A”B”C”∽△ABC ，且相似比不为1．DCBAABC24．已知关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．25．已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积；(3)根据图象求不等式kx+b<xm的解集．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 与y 轴相切于点C ，⊙P 的半径是4，直线y x =被⊙P 截得的弦AB的长为P 的坐标．27．已知关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2122k y x x -=++的图象 向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），直线(0)y kx b k =+>过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ，直线BC 上方的抛物线与线段BC 组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k 的取值范围.28．在矩形ABCD 中，边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处（如图1）．图1 图2PA BPA O图1备用图（1）如图2，设折痕与边BC 交于点O ，连接,OP 、OA ．已知△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）动点M 在线段AP 上（不与点P 、A 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连接MN 、 PA ，交于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E ． ①在图1中画出图形；②在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？请你说明理由．29．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.直线y kx b =+与抛物线2194y mx x n =-+同时经过(0,3)(4,0)A B 、. （1）求,m n 的值.（2）点M 是二次函数图象上一点，(点M 在AB 下方)，过M 作MN ⊥x 轴，与AB 交于点N ，与x 轴交于点Q .求MN 的最大值.（3）在（2）的条件下，是否存在点N ，使AOB ∆和 NOQ ∆相似？如果存在，请求点N 的坐标；如果不存在，请说明理由.房山区2018--2018学年度第一学期期末终结性检测试卷九年级数学 参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：三、解答题：17．解：()1012sin 6020152-⎛⎫-+︒--- ⎪⎝⎭．132322--⨯+-=-------------------------------------------------- 4分（各1分） =3- ------------------------------------------------------------5分18．解：由34)2(2-≤-x x 得 21-≥x ； ------------------------ 1分由x x --152 得 x< 2． --------------------------2分∴ 此不等式组的解集为221<≤-x ． ------------------------------ 4分∴此不等式组的整数解为0，1． ------------------------------ 5分19．（1）证明：∵∠DBC ＝∠A∠DCB ＝∠BAC ---------------------------2分 ∴△ACD ∽△ABC ． ------------------------3分（2）解：∵△ACD ∽△ABC∴BC ：AC=CD ：BC ------------------4分∵BC AC ＝3∴CD =2． ------------------------------------------------------5分DCB A20．解：（1）取出黄球的概率是13； ---------------------------------------------------- 2分（2）画树状图得：（画对1分） 如图所有可能出现的结果有9个 ------------------------------4分----------------------每个结果发生的可能性都相同，其中出现两次白色球的结果有1个.所以，P （两次取出白色球）=19． ------------------------------------------------- 5分21．解：（1）根据表格可得425,12b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ -------------------------------------------------2分 ∴2,5b c =-= ------------------------------------------------3分 ∴2225x bx c x x -++=--+， ∴1x=-时，2256x x =--+，∴n =6． -------------------------------------------------4分（2）当02x ≤≤时，y 的最大值是5． ---------------------------------------------5分22．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵∠B =60°，∠A CB =75°，∴∠A =45°， ----------------------------1分 在△ADC 中，∠A DC =90°，AC= ∴AD =DC =3， -------------------------------- 3分 在△BDC 中，∠BDC =90°，∠DCB =30°，DC =3 ∴tan30°=CD BD ，即333BD=∴BD-------------------------------------------------------- 4分 ∴AB． ---------------------------------------------------------- 5分60°45°CBAD黄白黑黄白黑黑白黄黄白黑开始23．解：（1）如图：△A ’BC ’即为所求；-------------2分BA 旋转到B A’’所扫过图形的面积：S=41336013903602πππ=⨯=R n .-------------------3分 （2）如图：△A”B”C”即为所求．------------------5分24．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．-------------1分（2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，∴ 关于x 的方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根．-----------2分∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．-----------------------------------------------------3分整理，得 2340a -=．解得a =．-----------------------------------------------------------------------5分 综上，0a =或a =．25．解：（1）∵B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的一个交点 ∴m=4∴所求反比例函数的表达式为：4y x=. ----------------------------1分∵A(n,-2)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的另一个交点 ∴ n=-2. ------------------------------------2分 ∴A （-2,-2）、B （1，4），于是 得224k b k b -+=-⎧⎨+=⎩. 解得22k b =⎧⎨=⎩∴22y x =+. ---------------------------3分 （2）△AOC 的面积=22221=⨯⨯. ---------------------------4分 A'C''B''A''C'ABC（3）不等式kx+b<xm的解集为：2x <-或01x <<.---------------------5分26. 解：延长CP 交AB 于点E ，过点P 做PD ⊥AB 于D ∴AD=BD=AB 21=32 连接PA在△PDA 中，∠PDA=90°，PA=4，AD=32∴PD=2 ---------------------1分 ∵⊙P 与y 轴相切于点C ∴PC ⊥y 轴，∴∠OCE=90° ----------------2分∵直线y=x,∴∠COE=45° ------------------3分 ∴∠CEO=45°，OC=CE在△PDE 中，∠PDE=90°，PD=2，∴PE=22 ∴CE=4+22，∴OC=4+22 --------------------------------------4分∴点P 的坐标为：P （4，4+22）-------------------------------------5分27.（1）∵关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有实数根 ∴2144402k b ac -∆=-=-⨯≥ ∴12k -≤∴3k ≤ ---------------------------------------------------------------------------------1分 ∵k 为正整数∴k 的值是1,2,3 -----------------------------------------------------2分 （2）方程有两个非零的整数根当1k =时，220x x +=，不合题意，舍当2k =时，21202x x ++=，不合题意，舍 当3k =时，2210x x ++=，121x x ==-∴3k =----------------------------------------3分∴221y x x =++∴平移后的图象的表达式228y x x =+----------------------4分 （3）令y =0，2280x x +-= ∴124,2x x =-=∵与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）∴A （-4,0），B （2,0）°CA B-3-1-2-4-3-1-22O-4311-5y-6-7-8-9∵直线l：y kx b=+(0)k>经过点B，∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于5-．令5y=-，即2285x x+-=-．解得13x=-，21x=∴抛物线经过点(3,5)--．---------5分当直线y kx b=+(0)k>经过点（-3，-5）时，可求得1k= ------------------------6分由图象可知，当01k<<时新函数的最小值大于5-．---------------------------7分28．解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．-------------------------1分又∵∠D=∠C， 2∴△OCP∽△PDA．---------------------------------------------2分如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴12OP CPPA DA==．∴CP=12AD=4．设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=(8－x)2+42．---------------------------------------------3分解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．-------------------------------------------------4分∴边AB的长为10．（2）①----------5分D②在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的．过点M 作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图．∵AP =AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB =∠ABP =∠MQP ．∴MP =MQ ．又ME ⊥PQ∴点E 是PQ 的中点∵MP =MQ ，BN =PM ，，．∴BN =QM ，又 MQ ∥AN可证点F 是QB 的中点∴E F =PB 21． ------------------------------------------------6分 ∵△BCP 中，∠C =90°，PC=4，BC=AD=8∴PB=54为定值∴EF 为定值． ----------------------------------------------------------7分∴在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的它的．29. 解：（1） 抛物线2194y mx x n =-+ 经过两点(0,3),(4,0)A B ∴22190034194404m n m n ⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得13m n =⎧⎨=⎩ 所以二次函数的表达式为21934y x x =-+. …………………………….2分 (2)可求经过AB 两点的一次函数的解读式为334y x =-+. 2223193(3)4(2)444MN x x x x x x =-+--+=-+=--+04x ≤≤∴ 当2x =时，MN 取得最大值为4.……………………………….4分(3)存在.①当ON AB ⊥ 时，（如图1）可证：NOQ OAB ∠=∠ ，90OQN AOB ∠=∠=︒图1图2∴AO B ∆∽OQN ∆. ∴ON NQ OQ AB OB OA== ∴3,4OA OB ==∴5,AB = ..ON AB OAOB =,∴125ON = ∴4836,2525NQ OQ ==.3648(,)2525N ∴ ------------------------6②当N 为AB 中点时，（如图2）NOQ B ∠=∠，90AOB NQO ∠=∠=︒∴AO B ∆∽NQO ∆.此时3(2,)2N .----------------------7∴满足条件的N 3648(,)2525或N 3(2,)2------------------------------------------------------8分。
[精品]北京市房山区九年级上期末数学试卷有答案
2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．54．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．66．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．67．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m ，CD=3m ，则河的宽度AB 等于 m ．12．如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c=0的解为 ．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．14．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为 ．15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 ．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形． 作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是（写出两条）．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：（1）二次函数图象的顶点坐标是；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD 的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为．24．（5分）中国高铁近年用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，可求得a的值．【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，∴2=a×（﹣1）2，解得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB、AB=2MN，进而可得出△ABC∽△MNC，根据相似三角形的性质结合S△CMN =1，即可求出S△ABC的值．【解答】解：∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB=2MN，∴△ABC∽△MNC，∴=（）2=4，∴S△ABC =4S△CMN=4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．4．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：如图，由题意得：地毯的竖直的线段加起等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC），在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°．∵tanA=，∴AC=BC÷tan30°=2．∴AC+BC=2+2．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．6【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积=|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=|k|，即|k|=2，解得，k=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k=4，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．6【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】解：在△ADC和△ACB中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）；∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD，∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，∴AC2=5×2=10，∴AC=．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．7．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中， =，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=﹣x2+1（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8 ．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理分析、判断、解答是解题的关键．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于 6 m．【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=2m，CE=1m，CD=3m，∴，解得：AB=6故答案为：6；【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1 ．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为5π．【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可．【解答】解：由扇形面积公式得：S=π，故答案为：5π；【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=．14．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为 ．【分析】首先利用勾股定理计算出AB 2，BC 2，AC 2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC 的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC 的正弦值． 【解答】解：AB 2=32+12=10，BC 2=22+12=5，AC 2=22+12=5， ∴AC=CB ，BC 2+AC 2=AB 2， ∴∠BCA=90°， ∴∠ABC=45°，∴∠ABC 的正弦值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 直线x=﹣2 ．【分析】，根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2），代入求出即可．【解答】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，∴此二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2）=﹣2， 故答案为：直线x=﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：两交点关于对称轴对称．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角（写出两条）．【分析】由AC、BD为直径且AC⊥BD知AB=BC=CD=DA，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；再由AC为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．【解答】解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点，则AC为⊙O的直径，过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴AB=BC=CD=DA（相等的圆周角所对的弦相等），由AC为直径可知∠ABC=90°（直径所对圆周角为直角），则四边形ABCD为正方形（有一内角为直角的菱形是正方形），故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=×﹣+=+．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：（1）二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣2）；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是n＞﹣3 ．【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的顶点坐标．（2）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），（2）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，故答案为：（1）（1，﹣2），（2）n＞﹣3【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：x＜﹣1或x＞3 ．【分析】（1）根据顶点坐标设y=a（x﹣1）2﹣4，利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象写出图象在x轴上方的图象的自变量的取值范围即可；【解答】解：（1）∵顶点坐标（1，﹣4）∴设y=a（x﹣1）2﹣4，将（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2﹣4，得4a﹣4=0解得，a=1，∴二次函数表达式y=（x﹣1）2﹣4，（2）观察图象可知当y＞0时，的取值范围x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AB=10cm ，AC=6cm ，∴BC==8（cm ），∵∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，∴=，∴AD=BD ，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=AB•cos45°=10×=5（cm ）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（5分）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ．（1）求线段CD 的长；（2）求cos ∠ABE 的值．【分析】（1）在△ABC 中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5； （2）在Rt △ABC 中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S △BDC =S △ADC ，则S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt △BDE 中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D 是AB 中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D 是AB 中点，∴BD=5，S △BDC =S △ADC ，∴S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt △BDE 中，cos ∠DBE===，即cos ∠ABE 的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（5分）反比例函数y=（k ≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A （1，n ）．（1）求反比例函数y=（k ≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x 的取值范围为 x ＜0或1＜x ＜4 ．【分析】（1）将A （1，n ）代入y=﹣x+5，求出n=4．将A （1，4）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x 的取值范围．【解答】解：（1）将A （1，n ）代入y=﹣x+5，得，n=﹣1+5=4．将A（1，4）代入y=中，得，k=1×4=4，故反比例函数的表达式为y=；（2）当x＜0或1＜x＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值．故答案为x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（5分）中国高铁近年用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC=45∴MN=3000，答：直线隧道MN长为3000米．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= 2b﹣4 （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围﹣1＜b≤0 ；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①只要证明△＞0即可；②构建不等式即可解决问题；（3）利用配方法求出顶点坐标，再代入直线的解析式，转化为方程即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）∴0=4﹣2b+c，∴c=2b﹣4，故答案为2b﹣4（2）当b＜4时①△=b2﹣4•1•c=b2﹣4（2b﹣4）=（b﹣4）2，∵b＜4∴（b﹣4）2＞0即△＞0，∴当b＜4时，抛物线与x轴有两个交点．②由题意：﹣＜﹣≤﹣4或0≤﹣＜，解得：8≤b＜9或﹣1＜b≤0，∵b＜4，∴﹣1＜b≤0，故答案为﹣1＜b≤0．（3）由y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣4=（x+）2﹣（﹣2）2，∴顶点P[﹣，﹣（﹣2）2]．将其代入y=x﹣4中，得，﹣（﹣2）2=﹣﹣4解得，b=0或10．∴抛物线的表达式为y=x2﹣4或y=x2+10x+16．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长．【解答】解：（1）如图所示，…2′（2）连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，…3′∴∠ODB=∠C=90°，又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线．…4′（3）∵AC=3，tanB=，∴BC=4，∴AB=5，…5′，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5﹣r，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，即，…6′，解得，r=，…7′∴⊙O的半径为．【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，且∠CBP=∠ABE，∠BCP=∠BAE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值，∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°，∴，且∠CBP=∠ABE，∴△CBP∽△ABE，∴∠BCP=∠BAE，∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCP=45°，∴∠BAE=∠BCP=45°；（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AD=AB=2，∵∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=2，∴DE的最小值是2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 2 ；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ﹣c ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，推出c=1﹣b，因为二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，可得=﹣1，解得b=3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为=3﹣1=2，故答案为2；②设P（x，y）为抛物线y=﹣x2+3x+3上一点，坐标差=﹣x2+2x+3，=﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m=c﹣0，可得m=﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，∴c=1﹣b，∵二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴=﹣1，解得b=3，∴c=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥x轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF=FM=，EF=M=3，E=F=M=，∴OE=O﹣E=2﹣，TE=3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）=1+2．故答案为1+2．【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
北京市房山区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：93．如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB＝52°，则∠ADB的度数是（）A．104°B．52°C．38°D．26°4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，AE＝1，则EC等于（）A．1B．2C．3D．45．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积为（）A．1B．2C．4D．66．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，若AD＝2，BD＝3，则AC长为（）A．B．C．D．67．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m＜48．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：①二次函数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二．填空题（共8小题）9．已知点A（1，a）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a的值为．10．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：．11．如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径为．12．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝．13．如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE．14．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为．15．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为米．16．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2，则AB的长为cm．三．解答题（共12小题）17．计算：2sin45°+tan60°+2cos30°﹣．18．下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．做法：如图，①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）；③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．根据小西设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PA＝，QA＝，∴PQ⊥l（填推理的依据）．19．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A1B1C1，要求：A1，B1，C1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A1B1C1的面积．20．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A（﹣2，0），B（6，0），D（0，3），函数y＝（x＞0）的图象G经过点C．（1）求点C的坐标和函数y＝（x＞0）的表达式；（2）将四边形ABCD向上平移2个单位得到四边形A'B'C'D'，问点B'是否落在图象G上？21．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．23．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x的图象分别交于M，N两点，已知点M（﹣2，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标．24．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，连接AO．（1）求证：AO∥BE；（2）若DE＝2，tan∠BEO＝，求DO的长．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，cos A＝．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．26．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠BAD＝∠BFG；（3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（3，2），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”．（1）在点C（0，2），D（2，），E（4，1）中，线段AB的“临近点”是；（2）若点M（m，n）在直线y＝﹣x+2上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；（3）若直线y＝﹣x+b上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围．2018-2019学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）【分析】根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．2．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥AB，MN＝AB，根据相似三角形的性质定理解答．【解答】解：∵M，N分别为AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN＝AB，∴△CMN∽△CAB，∴△CMN与△CAB的面积之比＝（）2＝，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB＝52°，则∠ADB的度数是（）A．104°B．52°C．38°D．26°【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵∠AOB＝52°，∴∠ADB＝26°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，AE＝1，则EC等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行线分线段成比例定理求出AC，结合图形计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，AC＝3，∴EC＝AC﹣AE＝2，故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．5．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积为（）A．1B．2C．4D．6【分析】据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积＝|k|，再根据k的值求得△PAO的面积即可．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积＝|k|，即△PAO的面积＝×2＝1，故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．6．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，若AD＝2，BD＝3，则AC长为（）A．B．C．D．6【分析】由∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC可得出△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出＝，代入AB＝AD+BD＝5，AD＝2即可求出AC的长，此题得解．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AC＝或AC＝﹣（舍去）．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．7．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m＜4【分析】由抛物线与x轴有两个交点可得出△＝b2﹣4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，即4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．8．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：①二次函数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据函数的图象即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，∴二次函数y1有最小值，故①错误；观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称，故②正确；当x＝﹣2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；当x＜﹣3或x＞﹣1时，抛物线在直线的上方，∴m的取值范围为：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．已知点A（1，a）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a的值为﹣12．【分析】将点A的坐标代入解析式中，可求a的值．【解答】解：∵点A（1，a）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴1×a＝﹣12∴a＝﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．10．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：y＝x2﹣1．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，c＜0即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式可以是y＝x2﹣1．故答案为y＝x2﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案不唯一．11．如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径为5．【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为5．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝3．【分析】利用配方法把二次函数的表达式y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴h＝2，k＝1，∴h+k＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．13．如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：∠D＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△ADE．【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE∴∠DAE＝∠BAC∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE时两三角形相似．故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．14．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为4．【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为为R，则＝6π，解得，R＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S＝是解题的关键．15．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为11.5米．【分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，∴△DEF∽△DCA，则＝，即＝，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），即旗杆的高度为11.5米；故答案为：11.5．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．16．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2，则AB的长为2cm．【分析】如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC＝90°，而根据已知条件可以得到∠DCB＝30°，设AB为2xcm，根据等边三角形得到CD＝xcm，而CE＝2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为（x﹣2）cm，OC＝（x﹣1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，则OM⊥MC，∴∠OMC＝90°，依题意知道∠DCB＝30°，设AB为2xcm，∵△ABC是等边三角形，∴CD＝xcm，而CE＝2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，∴半圆的半径为（x﹣2）cm，OC＝（x﹣1）cm，∴sin∠DCB＝＝，∴＝，∴x＝，∴AB＝2x＝2（cm），故答案为：2．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．三．解答题（共12小题）17．计算：2sin45°+tan60°+2cos30°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝2×++2×﹣2＝．【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．做法：如图，①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）；③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．根据小西设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）．【分析】（1）利用作作法补全图形；（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行证明．【解答】解：（1）如图所示，（2）证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．故答案为PA＝PB，QA＝QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A1B1C1，要求：A1，B1，C1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A1B1C1的面积．【分析】把△ABC各边扩大得到△A1B1C1，然后利用三角形面积公式计算△A1B1C1的面积．【解答】解：如图，△A1B1C1为所作；△A1B1C1的面积＝×2×2＝2．【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．20．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A（﹣2，0），B（6，0），D（0，3），函数y＝（x＞0）的图象G经过点C．（1）求点C的坐标和函数y＝（x＞0）的表达式；（2）将四边形ABCD向上平移2个单位得到四边形A'B'C'D'，问点B'是否落在图象G上？【分析】（1）过C作CE⊥AB，由题意得到四边形ABCD为等腰梯形，进而得到三角形AOD与三角形BEC全等，得到CE＝OD＝3，OA＝BE＝2，由AB﹣AO﹣BE求出OE的长，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；（2）由平移规律确定出B的坐标，代入反比例解析式检验即可．【解答】解：（1）过C作CE⊥AB，∵DC∥AB，AD＝BC，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴∠A＝∠B，DO＝CE＝3，CD＝OE，∴△ADO≌△BCE，∴BE＝OA＝2，∵AB＝8，∴OE＝AB﹣OA﹣BE＝8﹣4＝4，∴C（4，3），把C（4，3）代入反比函数例解析式得：k＝12，则反比例解析式为y＝；（2）由平移得：平移后B′的坐标为（6，2），把x＝6代入反比例得：y＝2，则平移后点B′落在该反比例函数的图象上．【点评】此题考查了待定系数法求反比例解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？【分析】（1）S＝x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）S＝﹣x2+20x；（2）∵﹣＜0，∴S有最大值，∴当x＝﹣＝﹣＝20时，S有最大值为＝＝200cm2．∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm2．【点评】考查二次函数的应用；掌握二次函数的顶点为（﹣，），是解决本题的关键．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC＝AD+CD＝12，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键．23．如图，反比例函数y ＝的图象与一次函数y ＝﹣x 的图象分别交于M ，N 两点，已知点M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P 为y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接写出点P 的坐标．【分析】（1）把M （﹣2，m ）代入函数式y ＝﹣x 中，求得m 的值，从而求得M 的坐标，代入y＝可求出函数解析式；（2）根据M 的坐标求得N 的坐标，设P （0，m ），根据勾股定理列出关于m 的方程，解方程即可求得m ，进而求得P 的坐标．【解答】解：（1）∵点M （﹣2，m ）在一次函数y ＝﹣x 的图象上，∴m ＝﹣×（﹣2）＝1．∴M （﹣2，1）．∵反比例函数y ＝的图象经过点M （﹣2，1），∴k ＝﹣2×1＝﹣2．∴反比例函数的表达式为．（2）∵正比例函数y ＝﹣x 的图象与反比例函数y ＝的图象分别交于M ，N 两点，点M （﹣2，1），∴N （2，﹣1），∵点P 为y 轴上的一点，∴设P（0，m），∵∠MPN为直角，∴△MPN是直角三角形，∴（0+2）2+（m﹣1）2+（0﹣2）2+（m+1）2＝（2+2）2+（﹣1﹣1）2，解得m＝±．∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，两点之间距离公式、勾股定理等知识．24．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，连接AO．（1）求证：AO∥BE；（2）若DE＝2，tan∠BEO＝，求DO的长．【分析】（1）欲证明：AO∥EB，只要证明OA⊥BC，BE⊥BC即可；（2）在Rt△AOC中，设OC＝r，则AC＝r，OA＝r，在Rt△CEB中，EB＝r，由BE∥OA，推出△DBE∽△DAO，推出，由此构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC，∵AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，∴AB＝AC，OA平分∠BAC，∴OA⊥BC，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴BE⊥BC，∴OA∥BE．（2）∵OA∥BE，∴∠BEO＝∠AOC，∵tan∠BEO＝，∴tan∠AOC＝，在Rt△AOC中，设OC＝r，则AC＝r，OA＝r，∴在Rt△CEB中，EB＝r，∵BE∥OA，∴△DBE∽△DAO，∴，∴，∴DO＝3．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确寻找相似三角形解决问题．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，cos A＝．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，先根据三角函数求出AB的长，再根据根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长；（2）过C点作CF⊥AB于F，先利用勾股定理求出BC，根据△ABC的面积不变求出CF，利用勾股定理求出DF，根据正弦函数的定义求出sin∠DCF，然后根据等角的余角相等得出∠DBE＝∠DCF即可求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30，cos A＝＝，∴AB＝50，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝25；（2）过C点作CF⊥AB于F．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30，AB＝50，∴BC＝40，∴CF＝AC•BC÷AB＝24，∴DF＝＝＝7，∴sin∠DCF＝＝．∵∠DCF+∠CDF＝∠DBE+∠BDE＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠DBE＝∠DCF，∴sin∠DBE＝sin∠DCF＝．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数定义，余角的性质，综合性较强，难度适中．26．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．【分析】（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标；（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（3）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（﹣4+6，﹣2），即（2，﹣2）．（2）将A（﹣4，﹣2），B（2，﹣2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6．（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，∴抛物线的顶点坐标为（t，t+2），∴抛物线的表达式可化为y＝﹣（x﹣t）2+t+2．将A（﹣4，﹣2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，得：﹣2＝﹣（﹣4﹣t）2+t+2，解得：t1＝﹣3，t2＝﹣4，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴﹣4≤t＜﹣3；将B（2，﹣2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，得：﹣2＝﹣（2﹣t）2+t+2，解得：t3＝0，t4＝5，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴0＜t≤5．综上可知，t的取值范围为﹣4≤t＜﹣3或0＜t≤5．【点评】本题考查了点的坐标变化、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的变化，找出点B的坐标；（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（3）代入点A，B的坐标求出t值，利用数形结合找出t的取值范围．27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠BAD＝∠BFG；（3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）只要证明∠BAD＝∠CAD，∠CFH＝∠CAD即可解决问题；（3）猜想：AB2+FD2＝FB2，连接AF，只要证明DF＝AF，∠BAF＝90°即可解决问题；【解答】（1）解：补全图形如图；（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD∵FE⊥AD，∠ACF＝90°，∠AHE＝∠CHF∴∠CFH＝∠CAD∴∠BAD＝∠CFH，即∠BAD＝∠BFG．（3）猜想：AB2+FD2＝FB2证明：连接AF，∵EF为AD的垂直平分线，∴AF＝FD，∠DAF＝∠ADF，∴∠DAC+∠CAF＝∠B+∠BAD，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAF＝∠B，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝∠BAC+∠B＝90°，∴AB2+AF2＝FB2，∴AB2+FD2＝FB2．【点评】本题属于三角形综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（3，2），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”．（1）在点C（0，2），D（2，），E（4，1）中，线段AB的“临近点”是C和D；（2）若点M（m，n）在直线y＝﹣x+2上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；（3）若直线y＝﹣x+b上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围．【分析】（1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴，根据点P到直线AB的距离≤1，求出当横坐标1≤x≤3纵坐标1≤y≤3范围内时，点是线段AB的“临近点”，看点的纵坐标是否在y的范围内即可以及在A点的左边到A点的距离≤1，或在B点的右边到B点的距离≤1，点是线段AB的“临近点”；（2）如图，设y＝﹣x+2与y轴交于M，与A2B2交于N，结合图形和一次函数图象上点的坐标特征来求m的范围；（3）当直线y＝﹣x+b与半圆A相切、与半圆B相切来求b的最值，从而得到b的取值范围．【解答】解：（1）C（0，2），D（2，）是线段AB的“临近点”．理由是：∵点P到直线AB的距离≤1，A、B的纵坐标都是2，∴AB∥x轴，2﹣1＝1，2+1＝3，∴当横坐标1≤x≤3纵坐标1≤y≤3范围内时，该点是线段AB的“临近点”，∵D（2，），∴D（2，）是线段AB的“临近点”；∵C（0，2），A（1，2），∴AC＝2﹣1＝1，∴C（0，2）是线段AB的“临近点”．故答案为：C和D．（2）如图，设y＝﹣x+2与y轴交于M，与A2B2交于N，易知M（0，2），∴m≥0，易知N的纵坐标为1，代入y＝﹣x+2，可求横坐标为，∴m≤∴0≤m≤．（3）当直线y＝﹣x+b与半圆A相切时，b＝2﹣．当直线y＝﹣x+b与半圆B相切时，b＝2+．∴2﹣．【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及两点间的距离公式，待定系数法求直线解析式，通过做此题培养了学生的阅读能力和计算能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．。
2019-2020年北京市房山区九年级上册期末数学试卷(有答案)【优质版】
北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=a2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN=1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．54．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m5．如图，点P在反比例函数y=（≠0）的图象上，PA⊥轴于点A，△PAO的面积为2，则的值为（）A．1B．2C．4D．66．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．67．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°8．小明以二次函数y=22﹣4+8的图象为灵感为“2017北京?房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB 的长是．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于m．12．如图，抛物线y=a2与直线y=b+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于的方程a2﹣b﹣c=0的解为．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为．15．已知二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴的两个交点的横坐标分别为1=，2=，则此二次函数图象的对称轴为．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是（写出两条）．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．18．（5分）下表是二次函数y=a2+b+c的部分、y的对应值：…﹣1﹣0123…y…m﹣1﹣﹣2﹣﹣12…（1）二次函数图象的顶点坐标是；（2）当抛物线y=a2+b+c的顶点在直线y=+n的下方时，n的取值范围是．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．20．（5分）如图，是二次函数y=a2+b+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出的取值范围：．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（5分）反比例函数y=（≠0）与一次函数y=﹣+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量的取值范围为．24．（5分）中国高铁近年用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25．（5分）已知抛物线y=2+b+c与轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c=（用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与轴有两个交点；②设抛物线与轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围；（3）直线y=﹣4经过抛物线y=2+b+c的顶点P，求抛物线的表达式．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD 上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（，y）的纵坐标y与其横坐标的差y﹣称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y=﹣2+3+3的“特征值”为；（2）某二次函数y=﹣2+b+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m=；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系Oy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=a2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，可求得a的值．【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y=a2的图象上，∴2=a×（﹣1）2，解得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN=1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB、AB=2MN，进而可得出△ABC∽△MNC，根据相似三角形的性质结合S△CMN=1，即可求出S△ABC的值．【解答】解：∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB=2MN，∴△ABC∽△MNC，∴=（）2=4，∴S△ABC=4S△CMN=4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．4．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：如图，由题意得：地毯的竖直的线段加起等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC），在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°．∵tanA=，∴AC=BC÷tan30°=2．∴AC+BC=2+2．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．5．如图，点P在反比例函数y=（≠0）的图象上，PA⊥轴于点A，△PAO的面积为2，则的值为（）A．1B．2C．4D．6【分析】根据反比例函数系数的几何意义可知，△PAO的面积=||，再根据图象所在象限求出的值既可．【解答】解：依据比例系数的几何意义可得，△PAO的面积=||，即||=2，解得，=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故=4，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=||．6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．6【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB?AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】解：在△ADC和△ACB中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）；∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB?AD，∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，∴AC2=5×2=10，∴AC=．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．7．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．小明以二次函数y=22﹣4+8的图象为灵感为“2017北京?房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3【分析】首先由y=22﹣4+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为=3，代入y=22﹣4+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．【解答】解：∵y=22﹣4+8=2（﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为=3，把=3代入y=22﹣4+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=﹣2+1（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣2+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣2+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB 的长是8．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理分析、判断、解答是解题的关键．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于6m．【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=2m，CE=1m，CD=3m，∴，解得：AB=6故答案为：6；【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．如图，抛物线y=a2与直线y=b+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于的方程a2﹣b﹣c=0的解为1=﹣2，2=1．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于的方程a2﹣b﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=a2与直线y=b+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于的方程a2﹣b﹣c=0的解为1=﹣2，2=1．故答案为1=﹣2，2=1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=a2+b+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为5π．【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可．【解答】解：由扇形面积公式得：S=π，故答案为：5π；【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为．【分析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值．【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABC的正弦值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．15．已知二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴的两个交点的横坐标分别为1=，2=，则此二次函数图象的对称轴为直线=﹣2．【分析】，根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直线=（1+2），代入求出即可．【解答】解：∵二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴的两个交点的横坐标分别为1=，2=，∴此二次函数图象的对称轴是直线=（1+2）=﹣2，故答案为：直线=﹣2．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：两交点关于对称轴对称．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角（写出两条）．【分析】由AC、BD为直径且AC⊥BD知AB=BC=CD=DA，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；再由AC为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．【解答】解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点，则AC为⊙O的直径，过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴AB=BC=CD=DA（相等的圆周角所对的弦相等），由AC为直径可知∠ABC=90°（直径所对圆周角为直角），则四边形ABCD为正方形（有一内角为直角的菱形是正方形），故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．三、解答题（本题共68分）．17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=×﹣+=+．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．18．（5分）下表是二次函数y=a2+b+c的部分、y的对应值：…﹣1﹣0123…y…m﹣1﹣﹣2﹣﹣12…（1）二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣2）；（2）当抛物线y=a2+b+c的顶点在直线y=+n的下方时，n的取值范围是n＞﹣3．【分析】（1）由表中所给、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的顶点坐标．（2）在y=+n中，令=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=2﹣2﹣1=（﹣1）2﹣2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），（2）在y=+n中，令=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=a2+b+c的顶点在直线y=+n的下方时，∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，故答案为：（1）（1，﹣2），（2）n＞﹣3【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．20．（5分）如图，是二次函数y=a2+b+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出的取值范围：＜﹣1或＞3．【分析】（1）根据顶点坐标设y=a（﹣1）2﹣4，利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象写出图象在轴上方的图象的自变量的取值范围即可；【解答】解：（1）∵顶点坐标（1，﹣4）∴设y=a（﹣1）2﹣4，将（﹣1，0）代入y=a（﹣1）2﹣4，得4a﹣4=0解得，a=1，∴二次函数表达式y=（﹣1）2﹣4，（2）观察图象可知当y＞0时，的取值范围＜﹣1或＞3．【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC==8（cm），∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，∴=，∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=AB?cos45°=10×=5（cm）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S，则S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，于是可计算出BE=，然后在Rt △ADC△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（5分）反比例函数y=（≠0）与一次函数y=﹣+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量的取值范围为＜0或1＜＜4．【分析】（1）将A（1，n）代入y=﹣+5，求出n=4．将A（1，4）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围．【解答】解：（1）将A（1，n）代入y=﹣+5，得，n=﹣1+5=4．将A（1，4）代入y=中，得，=1×4=4，故反比例函数的表达式为y=；（2）当＜0或1＜＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值．故答案为＜0或1＜＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（5分）中国高铁近年用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC=45∴MN=3000，答：直线隧道MN长为3000米．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．25．（5分）已知抛物线y=2+b+c与轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c=2b﹣4（用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与轴有两个交点；②设抛物线与轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围﹣1＜b≤0；（3）直线y=﹣4经过抛物线y=2+b+c的顶点P，求抛物线的表达式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①只要证明△＞0即可；②构建不等式即可解决问题；（3）利用配方法求出顶点坐标，再代入直线的解析式，转化为方程即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y=2+b+c与轴交于点A（﹣2，0）∴0=4﹣2b+c，∴c=2b﹣4，故答案为2b﹣4（2）当b＜4时①△=b2﹣4?1?c=b2﹣4（2b﹣4）=（b﹣4）2，∵b＜4∴（b﹣4）2＞0即△＞0，∴当b＜4时，抛物线与轴有两个交点．②由题意：﹣＜﹣≤﹣4或0≤﹣＜，解得：8≤b＜9或﹣1＜b≤0，∵b＜4，∴﹣1＜b≤0，故答案为﹣1＜b≤0．（3）由y=2+b+c=2+b+2b﹣4=（+）2﹣（﹣2）2，∴顶点P[﹣，﹣（﹣2）2]．将其代入y=﹣4中，得，﹣（﹣2）2=﹣﹣4解得，b=0或10．∴抛物线的表达式为y=2﹣4或y=2+10+16．【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长．【解答】解：（1）如图所示，…2′（2）连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，…3′∴∠ODB=∠C=90°，又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线．…4′（3）∵AC=3，tanB=，∴BC=4，∴AB=5，…5′，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5﹣r，∵OD∥AC，∴，即，…6′，解得，r=，…7′∴⊙O的半径为．【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD 上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，且∠CBP=∠ABE，∠BCP=∠BAE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值，∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°，∴，且∠CBP=∠ABE，∴△CBP∽△ABE，∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCP=45°，∴∠BAE=∠BCP=45°；（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AD=AB=2，∵∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=2，∴DE的最小值是2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（，y）的纵坐标y与其横坐标的差y﹣称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为2；②抛物线y=﹣2+3+3的“特征值”为4；（2）某二次函数y=﹣2+b+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m=﹣c；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系Oy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣2+b+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，推出c=1﹣b，因为二次函数y=﹣2+b+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣=﹣2+（b﹣1）+1﹣b的最大值为﹣1，可得=﹣1，解得b=3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作M⊥轴于，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为=3﹣1=2，故答案为2；②设P（，y）为抛物线y=﹣2+3+3上一点，坐标差=﹣2+2+3，=﹣（﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y=﹣2+3+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m=c﹣0，可得m=﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣2+b+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，∴c=1﹣b，∵二次函数y=﹣2+b+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣=﹣2+（b﹣1）+1﹣b的最大值为﹣1，∴=﹣1，解得b=3，∴c=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣2+3﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作M⊥轴于，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF=FM=，EF=M=3，E=F=M=，∴OE=O﹣E=2﹣，TE=3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）=1+2．故答案为1+2．【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．。