数学分析选讲大纲

《数学分析选讲》教学大纲
课程编号：
课程名称：数学分析选讲
总学时数：54
一、说明
（一）《数学分析选讲》的课程性质：
本课程是数学与应用数学专业的专业选修课程，主要授课对象是是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生。

（二）教材及主要参考书：
本课程不指定教材，建议学习者可以参考以下几本重要的参考书： 1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999
2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992
3、数学分析选讲，王家正、乔宗敏，北京师范大学出版社，2010
4、裴礼文著《数学分析的典型问题与方法》
（三）《数学分析选讲》的课程目标（教学目标）：
本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通，为报考数学专业硕士研究生的学生提供专业课程的辅导。

（四）《数学分析选讲》课程授课计划（包括学时分配）
（五）教学建议：
（六）考核要求：本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：课堂表现、平时作业完成情况。

成绩的评定采用百分制。

期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。

二、教学内容
第一讲：数列极限与函数极限
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及论证极限的存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：论证极限的存在性及求极限的一些方法。

第二讲：函数连续性
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解函数连续的定义，掌握连续的性质、闭区间上连续函数的主要性质，理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：
重点：函数连续性概念，连续函数性质，一致连续的概念。

难点: 函数一致连续的判别。

第三讲：一元函数微分学
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要准确理解导数及微分的概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。

理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。

掌握微分中值定理及泰勒公式。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：中值定理的运用。

第四讲：不定积分
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质。

掌握不定积分的基本公式、换元积分法、分部积分法。

熟练掌握有理函数、三角有理函数和无理函数的不定积分。

掌握求不定积分的一些技巧。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：求不定积分的一些技巧。

第五讲：不定积分
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解定积分的基本概念，几何意义，掌握定积分的性质及积分中值定理。

理解变上限积分函数并会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼兹公式。

掌握求函数定积分的一些技巧。

理解“微元法”思想，掌握定积分“微元法”思想在的应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积）。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：
重点：定积分的计算及应用。

难点: 定积分的计算方法，“微元法”的思想。

第六讲：反常积分
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解无穷积分收敛与发散的概念，瑕积分的收敛与发散
的概念。

理解并掌握无穷积分柯西准则，无穷积分线性性质，无穷积分区间可加性，无穷积分绝对收敛与条件收敛概念，无穷积分绝对收敛性。

掌握比较判别法，柯西判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法。

掌握瑕积分的柯西准则，瑕积分性质，收敛判别法(比较判别法)。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：反常积分收敛与发散的判别方法
第七讲：数项级数
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要准确理解级数敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质，熟练地求一些级数的和；熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性；准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：数项级数收敛与发散的判别方法。

第八讲：函数项级数
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要准确理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法，掌握一致收敛级数的性质：连续性、可导性和可积性。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：一致收敛的概念及一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。

第九讲：两类特殊的函数项级数
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要掌握幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法。

掌握
函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。

熟练掌握函数的Fourier级数的概念和Fourier级数各种展开及应用。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：幂级数求和的方法及函数的Fourier级数各种展开和应用。

第十讲：多元函数的极限与连续
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解理解闭矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收敛定理，Heine-Borel定理。

掌握多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系，多元函数的连续，连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中值定理。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：多元函数的重极限和二次极限。

第十一讲：多元函数的微分学
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分。

重点掌握多元复合函数的链式法及其应用。

了解一阶全微分的形式不变性。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：多元函数的可微的判别。

第十二讲：含参量积分
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解含参变量的常义积分的定义及分析性质。

掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质。

掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点：含参变量积分的定义。

教学难点: 一致收敛的判别。

第十三讲：重积分
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解重积分的概念；掌握二重积分、三重积分的计算。

理解二重积分与三重积分的变量代换。

掌握重积分的应用。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：二重积分、三重积分的计算。

第十三讲：曲线积分
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解第一、二类曲线积分的概念。

掌握计算曲线积分的方法。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：曲线积分的计算。

第十四讲：曲面积分
主要教学目标：
通过这一讲的学习，学习者要理解第一、二类曲面积分的概念。

掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法。

理解曲线积分与路径无关的条件。

教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。

教学重点及难点：曲面积分的计算。

三、教研室：课程主讲负责人：费时龙院长审核签名：。