高一上学期数学期末考试试卷真题
高一上学期数学期末考试试卷
一、单选题
1. 已知集合，，则
（）
A .
B .
C .
D .
2. 函数的定义域为（）
A .
B .
C .
D .
3. 已知函数，则，则（）
A .
B .
C . 2
D .
4. 在长方体中，，则异面直线与所成角的大小是（）
A .
B .
C .
D .
5. 定义在上的连续函数有下列的对应值表：
1
2
3
4
5
6
-1.2
-0.2
2.1
-2
3.2
2.4
则下列说法正确的是（）
A . 函数在上有4个零点
B . 函数在上只有3个零点
C . 函数在上最多有4个零点
D . 函数在上至少有4个零点
6. 两圆和的位置关系是（）
A . 相离
B . 相交
C . 内切
D . 外切
7. 对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（）
A . 三角形的直观图仍然是一个三角形
B . 的角的直观图会变为的角
C . 与轴平行的线段长度变为原来的一半
D . 原来平行的线段仍然平行
8. 某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方
程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为（）
A . 0.1
B . 0.01
C . 0.001
D . 0.0001
9. 对于空间两不同的直线，两不同的平面，有下列推理：
⑴ ，（2），（3）
⑷ ，（5）
其中推理正确的序号为（）
A . （1）（3）（4）
B . （2）（3）（5）
C . （4）（5）
D . （2）（3）（4）（5）
10. 一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
11. 函数的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
12. 设函数，对于满足的一切
值都有，则实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13. 已知函数是定义在上的奇函数，若时，
，则时，________．
14. 计算________．
15. 已知直线与直线的倾斜角分别为和，则直线与的交点坐标为________．
16. 计算________．
17. 一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________．
18. 已知且，且，如果无论在给定的范围内取任何值时，函数与函数总经过同一个定点，则实数________．
19. 在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则
________．
20. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每
月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为________．
三、解答题
21. 已知全集，，
.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围.
22. 在平面直角坐标系中，已知直线 .
（1）若直线在轴上的截距为-2，求实数的值，并写出直线的截距式方程；
（2）若过点且平行于直线的直线的方程为：，求实数的值，并求出两条平行直线
之间的距离.
23. 如图，是平面四边形的对角线，
，，且.现在沿所在的直线把折起来，使平面平面，如图.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
24. 在平面直角坐标系中已知圆心在直线上的圆经过点但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.
（1）求圆的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
25. 若函数是定义在实数集上的奇函数，并且在区间
上是单调递增的函数.
（1）研究并证明函数在区间上的单调性；
（2）若实数满足不等式，求实数的取值范围.。
(完整word版)高一上学期期末数学试卷(含答案)
高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B． 2 C．3 D．42．已知点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．πB．C．4πD．5π4．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．下列四个数中最小者是（）A．log3B．log32 C．log23 D．log3（log23）6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A．8πB．C．D． 8π7．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=08．已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）9．设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）A．（2，]B．（2，]C．（2，]D．（2，3）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．14．（5分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是。
2023-2024学年上海中学高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)
1上海中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数224y x x =−+的图像关于直线________成轴对称． 2．已知函数()21,2,lg ,2,x x f x x x +<= ≥ 则()()()05f f f +=________．3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．4．已知点()sin ,cos P αα在第二象限，则角α的终边在第________象限．5．化简：4224441sin cos sin cos sin cos θ⋅θ+θ⋅θ=−θ−θ________．6．若函数()1f x x a =−+在区间[)1,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______． 7．函数()21yf x =−的定义域为()0,1，则函数()1yf x =−的定义域为________．8．函数3132xx y −=−的值域是________．9．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且当0x >时，其表达式为()22x f x x =+，则当0x <时，其表达式为()f x =________．10．已知函数()3log ,034,3x x f x x x <<= −≥，若存在0a b c <<<满足()()f a f b ==()f c ，则()()f a f c abc的取值范围为________．11．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R ．给出以下3个命题： （1）()f x 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；（2）若()f x 是奇函数，且在().0−∞是严格减函数，则()f x 在R 上是严格减函数； （3）若()()f x g x +，()()g x h x +，()()h x f x +在R 上均是严格增函数；则()f x ，()g x ，2()h x 中至少有一介在R 上是严格增函数．其中，假命题的序号为________．12．已知函数()f x 满足：()()()()22114f x f x f x f x +−++−=则下列三个结论： （1）()()()()2220242024186518654f f f f −+−=；（2）()()20232024f f =； （3）()()202418654f f +≤．其中正确的结论是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．若幂函数()()22235mm f x mm x −−=+−的图像不经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．3−C ．3D ．3−或214．存在函数()f x 满足：x R ∀∈都有（ ） A ．()31fx x +=B ．211f x x=−C ．()211f x x +=+D ．()221f x x x +=+15．已知函数()()1,0,2,0,x x f x x x x +< =−≥ 若(1)f x −在区间I 上恒负，且是严格减函数，则区间I 可以是（ ）．A ．()2,1−−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,216．定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）． （1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．43三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知函数()f x 是R 上的严格增函数，()g x 是R 上的严格减函数，判断函数()()f x g x −的单调性，并利用定义证明．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 在下面的坐标系中画出下列函数的图像： （1）2y x −=（2）22x y =−．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 解下列关于x 的方程：（1）162log log 163x x +=； （2）()()2416290x x x a a a −+⋅−−⋅=．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k ≤ += ≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）．521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．6参考答案一、填空题1.1x =；2.1；3.8；4.四；5.12； 6.(],2−∞； 7.()0,2； 8.()1,1,2−∞∪+∞；9.212x x +； 10.10,3； 11.（3）； 12.（1）（3）； 二、选择题13.A ； 14.D ； 15.B ； 16.B16.定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）．（1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．4B(1)方程()0f g x = 有且仅有三个解;()g x 有三个不同值,由于()y g x =是减函数,所以有三个解,正确;(2)方程()0g f x = 有且仅有三个解;从图中可知,()()0f x ,a ∈可能有1,2,3个解,不正确; (3)方程()0f f x = 有且仅有九个解;类似(2)不正确;(4)方程()0g g x = 有且仅有一个解.结合图象,()y g x =是减函数,故正确.7故选B . 三、解答题 17.严格增，证明略 18. 画图略 19. （1）416x or =（2）①当0a ≤时，()23log 1x a =−；②当01a <<时，()()122233log 1,log 2x a x a =−=；③当1a ≥时，()23log 2x a =20.某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k≤ +=≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）． （1）1000k = （2）522(1)由17时测得的平均行车速度为3/km h ,得100n =, 代入*2600,9,1033000,10,……n n vn N n n k +∈ +,可得2330003100k =+,解得1000k =. (2)①当9…n 时,60060010101nq nv n n===++为增函数,所以6009300109…q ×<+; ②当10…n 时,330001000q nv n n==+在(0,上单调递增,在,)+∞上单调递减,8且由()31.631.7,知,当31,32n n ==时,较大的q 值为最大值, 分别代入31n =和32n =计算,结果均约为522,故522max q ≈. 综上可知,一天内车流量q 的最大值为522.21.若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．（1）()f n <()1f n + （2）不是 （3）证明见解析（3）①首先证明对于任意*n N ∈,()()1.f n f n <+当()1x n,n ∈+时,由()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 可知()f x 介于()f n 和()1f n +之间.若()()1,…f n f n +则()f x 在区间(]1n,n +上存在最小值()1f n +,矛盾. 利用归纳法和上面结论可得：对于任意*,k n N ∈,()(),.n k f n f k <<当时 ②其次证明当1…n 且x n >时,()()f x f n >;当2…n 且x n <时,()()…f x f n . 任取x n >,设正整数k 满足1剟n k x k <+,则()()()()1剟剟f n f k f x f k …+. 若存在01厖k x k n +>使得()()0…f x f n ,则()()()()00剟?f x f n f k f x , 即()()0f k f x =.由于当()1x k ,k ∈+时,()()…f k f x , 所以()f x 在区间(0k ,x 有最小值()0f x ,矛盾.9类似可证,当2…n 且x n <时,()()…f x f n .③最后证明:当1…x 时,()()2f x f x >.当1x =时,()()21f f >成立.当1x >时,由21x x x −=>可知,存在*n N ∈使得2x n x <<,所以()()()2…f x f n f x <.当()1x n,n ∈+时,有:()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 若()()1f n f n =+,则()()()1,f x f n f n ==+所以()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故不成立.若()()1f n f n ≠+,则()(){}()()(){},11min f n f n f x max f n ,f n +<<+假设()()1f n f n +<,则()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故假设不成立. 所以当()1x n,n ∈+时,()()()1f n f x f n <<+对于任意*n N ∈都成立. 又()()1f n f n <+,故当()*m n m n N <∈、所以()()()()11,f m f m f n f n <+<…<−<即()()f m f n <.所以当x n <时,则存在正整数m 使得1剟m x m n −<,则()()()()1剟f m f x f m f n −< 所以当x n <时,()()f x f n <,同理可证得当x n >时,()()f x f n >.所以当1x >时,必然存在正整数n ,使得2x n x <<,所以()()()2f x f n f x <<; 当1x =时,()()21f f >显然成立; 所以综上所述:当1…x 时,()()2f x f x >.。
高一数学上册期末试卷（含答案）
高一数学上册期末试卷（含答案）高一数学上册期末试卷(含答案)第Ⅰ卷一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.如果集合A={x|ax2-2x-1=0}只有一个元素则a的值是( )A.0B.0或1C.-1D.0或-12. 的值为( )A. B. C. D.3.若tan α=2，tan β=3，且α，β∈0，π2，则α+β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π44.已知，则 ( )A. B. C. D. 或5.设则( )A B C D6.若x∈[0，1]，则函数y=x+2-1-x的值域是( )A.[2-1，3-1]B.[1，3 ]C.[2-1，3 ]D.[0，2-1]7若，则 ( )A. B. C.- D.8.若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则 ( )A. B. C. D.9.已知函数的值域为R，则实数的范围是( )A. B. C. D.10.将函数y=3sin2x+π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A.在区间π12，7π12上单调递减B.在区间π12，7π12上单调递增C在区间-π6，π3上单调递减 D在区间-π6，π3上单调递增11.函数的值域为( )A.[1，5]B.[1，2]C.[2，5]D.[5，3]12.设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是( )A. B. C. D.第II卷(非选择题，共70分)二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将答案填在答题纸上)13.已知则的值为------14.3tan 12°-34cos212°-2sin 12°=________.15.已知 ,试求y= 的`值域—16.设(x)=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤fπ6对一切x∈R恒成立，则以下结论正确的是_____(写出所有正确结论的编号).① ;② ≥ ;③f(x)的单调递增区间是kπ+π6，kπ+2π3(k∈Z);④f(x)既不是奇函数也不是偶函数;17.(本题满分8分)已知：，，，，求18.(本题满分10分)已知函数，且(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)判断并证明函数在区间上的单调性.19.(本题满分10分)已知函数 ((1)若是最小正周期为的偶函数，求和的值;(2)若在上是增函数，求的最大值.20(本题满分12分)已知函数，，( )(1)当≤ ≤ 时，求的最大值;(2)若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围;(3)问取何值时，方程在上有两解?21.(附加题)(本题满分10分)已知函数(1)求函数的零点;(2)若实数t满足，求的取值范围.高一数学参考答案一.选择题：DBCBA CCCCB AC二.填空题：13. 0 14. 15. 16. ①②④ .17.解：，，∴ ，∴ = = = ......8分18.【解答】解：(Ⅰ)∵ ，，由，∴ ，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1;………………3分(Ⅱ)由(1)得，函数在(﹣1，+∞)单调递增.证明：任取x1，x2且﹣1<x1<x2，< p="">= ，∵﹣1<x1<x2，< p="">∴ ，∴ ，即f(x1)<f(x2)，< p="">故函数在(﹣1，+∞)上单调递增.………………10分19.解：(1)由 =2 (∵ …………又是最小正周期为的偶函数，∴ ，即，…………3分且，即……6分，∴ 为所求;…………………………………………………5分(2)因为在上是增函数，∴ ，…………………………………………7分∵ ，∴ ，∴ ，于是，∴ ，即的最大值为，………此时……10分20.试题分析：(1) 设，则∴ ∴当时，……4分(2)当∴ 值域为当时，则有①当时，值域为②当时，值域为而依据题意有的值域是值域的子集则或∴ 或 8分(3) 化为在上有两解，令则t∈ 在上解的情况如下：①当在上只有一个解或相等解，有两解或∴ 或②当时，有惟一解③当时，有惟一解故或……12分21.(1) 的零点分别为和 2分(2)由题意，当时，，同理，当时，，，所以函数是在R上的偶函数，…5分所以，由，.………………时，为增函数，，即 .………10分。
高一数学上学期期末试题及答案
高一数学上学期期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. -2C. 1D. 22. 函数y=x^3-3x^2+2的导数为：A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-6x^2+63. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>0}，则A∩B的元素个数为：A. 0C. 2D. 无数个4. 以下哪个不是等差数列：A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 1, 4, 7, 105. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)6. 若a, b, c是等比数列，且a+b+c=14，b^2=ac，则b的值为：A. 2C. 7D. 147. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2(x)B. y=2^(-x)C. y=-2^xD. y=x^(1/2)8. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a+b的坐标为：A. (5, 3)B. (1, 3)C. (5, -3)D. (1, -3)9. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为：A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)10. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则双曲线的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则a5=________。
13. 已知向量a=(1, 2)，b=(3, -2)，则向量a·b=________。
高一数学第一学期期末试卷及答案5套
高一数学第一学期期末试卷及答案5套考生注意：1、本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分2、答题前，请考生先将自己的学校、班次、姓名、考号在答题卷上填写清楚3、请将选择题答案填在答卷上指定的答框内，填空题和解爷题各案请按题号用黑色墨水签字笔填在指定的位置上。
交卷只交答题卷。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
L ．已知集合{}{}1,31x A x x B x =<=<，则（） A. {}0AB x x =< B. A B R = C. {}1A B x x => D. A B φ=2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A . 2(),()f x x g x x == B. 33(),()f x x g x x ==C. 2()4,()22f x x g x x x =-=-⋅+ D. 2(),()x f x x g x x==3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递増的函数为（ ） A. 1y x=B. ln y x =C. 3y x =D. 2y x = 4．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A ．（1）是棱台B ．（2）是圆台 C. （3）是棱锥 D ．（4）不是棱柱 5．函数(2)log 1x ay +=+的图象过定点（ ）A, (1,2) B.(1,1)- C. (2,1)- D.(2,1)6．经过点（－1，0），且与直线x ＋2y —3＝0垂直的直线方程是（） A.2x-y+2=0 B.2x+y+2=0 C.2x-y-2=0 D.x-2y+1=0 7．在四面体P-ABC 的四个面中，是直角三角形的面至多有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．直线310x y -+=的倾斜角为（ ） A.23π B. 56π C. 3π D. 6π 9．函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）10、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当(0,1]x ∈时，()21x f x =-，则方程27()log x f x -=解的个数是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、选择题。
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x|14＜2x ＜4}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知扇形的半径为2cm ，弧长为4cm ，则该扇形的面积为（ ） A ．1cm 2B ．2cm 2C ．4cm 2D ．8cm 23．若命题“∃x ∈R ，x 2+4x +t ＜0“是假命题，则实数t 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．|a |＞|b |C ．sin a ＞sin bD ．2a ＞2b5．若α=4π3，则√1−sinα1+sinα+√1+sinα1−sinα=（ ） A ．4B ．2C ．4√33D ．2√336．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是v =alg(1+Mm)（a 是参数）．当M ＝5000m 时，v 大约为（ ）（参考数据：1g 2≈0.3010） A ．2.097aB ．3.699aC ．3.903aD ．4.699a7．已知函数f(x)=1x 2+1−e 4x +1e2x ，若a ＝tan171°，b ＝tan188°，c ＝tan365°，则（ ）A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）8．已知函数f （x ）＝x +1x −2，且关于x 的方程f （|e x ﹣1|）+2k|e x −1|−3k 2＝0有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(0，23)B ．(−12，0)∪(23，+∞)C ．(1+√73，+∞) D ．{−12}∪(1+√73，+∞)二、选择题。
2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。
(−∞,3)∪(5,+∞)B。
(−∞,3)∪[5,+∞)C。
(−∞,3]∪[5,+∞)D。
(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。
a^3B。
a^3/2C。
a^3/4D。
都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。
e=1与ln1=0B。
8^（1/3）=2与log2^8=3C。
log3^9=2与9=3D。
log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。
x^2B。
x^3C。
e^xD。
1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。
log2B。
−1/lg2C。
lg2D。
−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。
y=−3x^−2B。
y=3^xC。
y=log_3xD。
y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。
2023-2024学年山东省聊城市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{0，1，2，3}，N ＝{x |x ＜2}，则M ∩（∁R N ）＝（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（2，3）C ．{2，3}D ．{1，2，3}2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A ．y ＝tan x B ．y ＝|tan x |C ．y ＝sin|x |D ．y =cos(x 2+π6)3．已知tan α＝﹣2，且0＜α＜π，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．−3√55B ．−2√55C ．−√55D ．√554．已知a ＝log 30.5，b ＝log 0.50.3，c =sin 17π4，则（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．d =4sin(π20t −π6)+2 B ．d =4sin(π20t +π6)+2C ．d =4sin(π10t −π6)+2 D ．d =4sin(π10t +π6)+2 6．函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若φ是三角形的一个内角，且函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调，则φ的取值范围为（ ）A ．[0，π6]B ．[π6，π4]C ．[π4，π2]D ．[2π3，5π6]8．已知函数f(x)={|x 2−3|，x ＜03x ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m （m ∈R ）有三个零点a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，则c ab的最小值为（ ）A ．49B ．23C ．32D ．94二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．以下说法正确的是（ ）A ．“∀x ∈R ，3x 2﹣2≥0”的否定是“∃x ∈R ，3x 2﹣2＜0”B ．“x ＞3”是“log 3（2x +1）＞2”的充分不必要条件C ．若一扇形弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为9π4D ．“∀x ∈R ，2ax 2+ax −38≤0”是真命题，则﹣3≤a ≤0 10．若实数a 、b 满足2a ＜2b ＜1，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．c 2+1a ＞c 2+1bC ．log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)D ．a+b2≥√ab11．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x +π3)B ．f （x ）在[π6，2π3]上单调递增C ．若x 1、x 2∈(π12，7π12)，x 1≠x 2且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝1D ．把f （x ）的图象向右平移5π12个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝2sin x12．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意a ，b ∈R ，都有f （a ）f （b ）＝f （a +b ），当x ＞0时，0＜f （x ）＜1，且f （0）≠0，则（ ） A ．∀x ∈R ，都有f(−x)=−1f(x)B ．当x ＜0时，f （x ）＞1C ．f （x ）是减函数D ．若f(3)=12，则不等式f(2t 2−5t)＞116的解集为(−32，4)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象通过点(3，√33)，则f （4）＝ ．14．若a ，b ＞0，且2ab ﹣8＝a +2b ，则a +2b 的最小值为 ．15．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则tan ∠ACB ＝ ．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，且f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，若x ∈[12，3]，不等式f （ax ）＜f （x ﹣2）恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）函数y =log 12x(x ∈[116，2])的值域为A ，y =√1x+a−1(a ∈R)的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （6，﹣8）．（1）求sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)的值； （2）已知β为锐角，sin(α+β)=−√210，求β．19．（12分）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：为了描述建立平台年数x （x ∈N *）与该平台会员人数y （千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①y =ax+b(a ＞0)；②y ＝d log c x +e （d ＞0，c ＞1）；③y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t 年的会员人数将超过100.2万人，求t 的最小值．参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609．20．（12分）已知函数f(x)=13x−1−1+3 2．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明你的判断；（2）函数y＝h（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝h（x+a）﹣b为奇函数．依据上述结论，证明：f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形．21．（12分）已知函数f(x)=4√3sinωx2cosωx2+4cos2ωx2+1(ω＞0)，A、B是f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π．（1）求ω的值及函数f（x）在[0，π2]上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）若存在实数a、b使得φ（x）＝af（x）+bg（x），则称函数φ（x）为函数f（x），g（x）的“T （a，b）函数”．（1）若函数φ（x）＝e x为函数f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）设函数f（x）＝ln（e x+1），g（x）＝x，是否存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”，且同时满足：①φ（x）是偶函数；②φ（x）的值域为[2ln2，+∞）．若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＜2}，则M∩（∁R N）＝（）A．（﹣∞，2）B．（2，3）C．{2，3}D．{1，2，3}解：因为N＝{x|x＜2}，所以∁R N＝{x|x≥2}，又因为集合M＝{0，1，2，3}，故M∩（∁R N）＝{0，1，2，3}∩{x|x≥2}＝{2，3}．故选：C．2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）A．y＝tan x B．y＝|tan x|C．y＝sin|x|D．y=cos(x2+π6)解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝tan x，是正切函数，是奇函数，不满足题意，故A错误；对于B，若y＝f（x）＝|tan x|，其定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|tan x|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tan x|是偶函数，又f（x+π）＝|tan（x+π）|＝|tan x|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tan x|是周期函数，故B正确；对于C，函数y＝sin|x|的图象如图：由此可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C错误；对于D，若y=f(x)=cos(x2+π6)，则f(2π3)=cos(π3+π6)=0≠f(−2π3)=cos(−π3+π6)=−√32，所以该函数不是偶函数，故D错误．故选：B．3．已知tanα＝﹣2，且0＜α＜π，则cosα﹣sinα的值为（）A．−3√55B．−2√55C．−√55D．√55解：因为tanα＝﹣2，且0＜α＜π，所以α∈(π2，π)，则{tanα=sinαcosα=−2sin2α+cos2α=1，解得sinα=2√55，cosα=−√55．则cosα−sinα=−√55−2√55=−3√55． 故选：A ．4．已知a ＝log 30.5，b ＝log 0.50.3，c =sin 17π4，则（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：因为a ＝log 30.5＜0，b ＝log 0.50.3＞1，c =sin 17π4=sin π4=√22，所以a ＜c ＜b ． 故选：D ．5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．d =4sin(π20t −π6)+2 B ．d =4sin(π20t +π6)+2C ．d =4sin(π10t −π6)+2 D ．d =4sin(π10t +π6)+2 解：设d =Asin(ωt +φ)+b(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，由题意可知，d max ＝A +b ＝6，d min ＝﹣A +b ＝﹣2，解得A ＝4，b ＝2，函数d =4sin(ωt +φ)+2(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的最小正周期为T =601.5=40，则ω=2πT =2π40=π20， 当t ＝0时，d ＝4sin φ+2＝0，可得sinφ=−12，又因为−π2＜φ＜π2，则φ=−π6，故d =4sin(πt 20−π6)+2，故选：A ．6．函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|，可知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且定义域关于原点对称． 因为f(−x)=1−4−x1+4−x ln|−x|=4x−14x+1ln|x|=−f(x)， 所以函数f(x)=1−4x 1+4x ln|x|为奇函数，故排除选项B ； 因为f(1)=1−41+4ln|1|=0，故排除选项A ； 因为f(12)=1−21+2ln 12=13ln2＞0，故排除选项D ．故选：C ．7．若φ是三角形的一个内角，且函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调，则φ的取值范围为（ ） A ．[0，π6]B ．[π6，π4]C ．[π4，π2]D ．[2π3，5π6]解：当x ∈(−2π9，π12)时，3x +φ∈(−2π3+φ，π4+φ)， 由于φ是三角形的一个内角，所以0＜φ＜π， 则−2π3＜−2π3+φ＜π3，π4＜π4+φ＜5π4， 由于函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调， 所以{−π2≤−2π3+φπ4+φ≤π2，解得π6≤φ≤π4， 即φ的取值范围为[π6，π4]．故选：B ．8．已知函数f(x)={|x 2−3|，x ＜03x ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m （m ∈R ）有三个零点a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，则c ab的最小值为（ ）A ．49B ．23C ．32D ．94解：画出f(x)={|x 2−3|，x ＜03x，x ＞0的图象和y ＝m 的图象，如下：由题意得a2﹣3＝3﹣b2＝m，3c=m，且m∈（0，3），即a=−√3+m，b=−√3−m，c=3m ，故cab=m√9−m2=22≥3m2+9−m22=23，当且仅当m2＝9﹣m2，即m=3√22时，等号成立，即cab的最小值为23．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．以下说法正确的是（）A．“∀x∈R，3x2﹣2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2﹣2＜0”B．“x＞3”是“log3（2x+1）＞2”的充分不必要条件C．若一扇形弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为9π4D．“∀x∈R，2ax2+ax−38≤0”是真命题，则﹣3≤a≤0解：对于A，“∀x∈R，3x2﹣2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2﹣2＜0”，故A正确；对于B，log3（2x+1）＞2即log3（2x+1）＞log39，解得x＞4，因为x＞4⇒x＞3所以“x＞3”是“log3（2x+1）＞2”的必要不充分条件，故B错误；对于C，扇形弧长为3π2，圆心角为π2，所以扇形的半径长为3π2π2=3，则该扇形面积为12×3×3π2=9π4，故C正确；对于D，因为“∀x∈R，2ax2+ax−38≤0”是真命题，即2ax2+ax−38≤0，对∀x∈R恒成立．当a＝0时，命题成立；当a≠0时，{a＜0Δ=a2+3a≤0，解得﹣3≤a＜0，综上可得，﹣3≤a≤0，故D正确．故选：ACD ．10．若实数a 、b 满足2a ＜2b ＜1，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．c 2+1a ＞c 2+1bC ．log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)D ．a+b2≥√ab解：因为函数y ＝2x 为R 上的增函数，由2a ＜2b ＜1＝20，可得a ＜b ＜0， 对于A ，当c ＝0时，ac 2＜bc 2不成立，故A 不正确； 对于B ，因为a ＜b ＜0，所以c 2+1a−c 2+1b=(c 2+1)(b−a)ab＞0，故c 2+1a＞c 2+1b，B 正确；对于C ，因为a ＜b ＜0，则|a |＞|b |＞0，可得a 2＞b 2＞0，所以a 2+1＞b 2+1＞0，因为函数y ＝log 0.2x 为（0，+∞）上的减函数，所以log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)，C 正确； 对于D 选项，由于a ＜b ＜0，所以a+b2＜0＜√ab ，故D 不正确．故选：BC ．11．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x +π3)B ．f （x ）在[π6，2π3]上单调递增C ．若x 1、x 2∈(π12，7π12)，x 1≠x 2且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝1D ．把f （x ）的图象向右平移5π12个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝2sin x 解：对于A 选项，由图可知，A ＝f （x ）max ＝2， 函数f （x ）的最小正周期T 满足3T 4=5π6−π12=3π4，可得T ＝π，则ω=2πT =2ππ=2， 则f （x ）＝2cos （2x +φ）， 又因为f(5π6)=2cos(5π3+φ)=2，可得cos(5π3+φ)=1， 因为0＜φ＜π，则5π3＜φ+5π3＜8π3，所以，φ+5π3=2π，可得φ=π3，所以，f(x)=2cos(2x+π3)，A对；对于B选项，当π6≤x≤2π3时，2π3≤2x+π3≤5π3，所以f（x）在[π6，2π3]上不单调，B错；对于C选项，当π12＜x＜7π12时，π2＜2x+π3＜3π2，由2x+π3=π可得x=π3，所以，函数f（x）在区间(π12，7π12)内的图象关于直线x=π3对称，若x1、x2∈(π12，7π12)，x1≠x2且f（x1）＝f（x2），则x1+x2=2π3，所以，f(x1+x2)=f(2π3)=2cos5π3=2cos(2π−π3)=2cosπ3=1，C对；对于D选项，把f（x）的图象向右平移5π12个单位长度，可得到函数y=2cos[2(x−5π12)+π3]=2cos(2x−π2)=2sin2x的图象，再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin x，D对．故选：ACD．12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f（a）f（b）＝f（a+b），当x＞0时，0＜f（x）＜1，且f（0）≠0，则（）A．∀x∈R，都有f(−x)=−1f(x)B．当x＜0时，f（x）＞1C．f（x）是减函数D．若f(3)=12，则不等式f(2t2−5t)＞116的解集为(−32，4)解：令a＝b＝0，则[f（0）]2＝f（0），又f（0）≠0，所以f（0）＝1．当x＜0时，﹣x＞0，所以0＜f（﹣x）＜1，又f（x）f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝1，所以f(x)=1f(−x)，即f（x）＞1．故A错误，B正确；设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）f（x2）﹣f（x2）＝f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1]，又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，所以f（x1﹣x2）＞1，又当x＜0时，f（x）＞1，当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（0）＝1，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上单调递减．C正确；因为f(3)=12，所以f(12)=f(6)f(6)=f(3)f(3)f(6)=[f(3)]4=116，所以f(2t 2−5t)＞116，即f （2t 2﹣5t ）＞f （12）， 又f （x ）在R 上单调递减，所以2t 2﹣5t ＜12，解得−32＜t ＜4，所以不等式f （2t 2﹣5t ）＞f （12）的解集为(−32，4)，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象通过点(3，√33)，则f （4）＝12． 解：设幂函数y ＝f （x ）的解析式为y ＝x α， ∵幂函数y ＝x α过点(3，√33)，∴√33=3α，∴α=−12，∴该函数的解析式为y =x −12，∴f(4)=4−12=2−1=12．故答案为：12．14．若a ，b ＞0，且2ab ﹣8＝a +2b ，则a +2b 的最小值为 8 ． 解：因为a ，b ＞0，且a +2b ≥2√2ab ，则2ab ≤(a+2b)24，又因为2ab ﹣8＝a +2b ，所以8+a +2b ≤(a+2b)24，令t ＝a +2b ＞0，则t +8≤t 24，即t 2﹣4t ﹣32≥0，解得t ≥8或t ≤﹣4（舍去），当且仅当a ＝2b ＝4时，等号成立，所以a +2b 的最小值为8． 故答案为：8．15．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则tan ∠ACB ＝ 3√3 ．解：由题意设CD 为AB 边上的高，CD =√33AB =√33c ，又A =π3，所以AD =CD tanA =√33c tan π3=13c ＜AB =c ，所以垂足D 必定落在线段AB 上面，如图所示：BD =c −13c =23c ，tan ∠BCD =23c 33c=2√33， 又tan ∠ACD =tan(π2−π3)=tan π6=√33，所以tan ∠ACB =2√33+√331−2√33×√33=3√3．故答案为：3√3．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，且f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，若x ∈[12，3]，不等式f （ax ）＜f （x ﹣2）恒成立，则实数a 的取值范围为 (13，1) ．解：定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，所以f （x ）关于x ＝2对称， 因为f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，所以f （x ）在（2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）越靠近对称轴x ＝2函数值越小， 所以由f （ax ）＜f （x ﹣2）得|ax ﹣2|＜|x ﹣2﹣2|， 由于x ∈[12，3]，所以x ﹣4＜ax ﹣2＜4﹣x ，可得1−2x ＜a ＜6x −1，即x ∈[12，3]时1−2x ＜a ＜6x −1恒成立，可得(1−2x )max ＜a ＜(6x−1)min ，由于y =1−2x 在x ∈[12，3]时单调递增，(1−2x )max =13，y =6x −1在x ∈[12，3]时单调递减，(6x−1)min =1， 所以13＜a ＜1．故答案为：(13，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）函数y =log 12x(x ∈[116，2])的值域为A ，y =√1x+a−1(a ∈R)的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为y =log 12x 在[116，2]上单调递减， 所以，当x =116时y 有最大值，且最大值为log 12116=4， 当x ＝2时，y 有最小值，最小值为log 122=−1，所以A ＝{x |﹣1≤x ≤4}．（2）由1x+a −1≥0，得x+a−1x+a≤0，解得﹣a ＜x ≤﹣a +1，所以，B ＝{x |﹣a ＜x ≤﹣a +1}，因为B ⊆A ，所以{−a ≥−1−a +1≤4，解得﹣3≤a ≤1．故实数a 的取值范围[﹣3，1]．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （6，﹣8）．（1）求sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)的值； （2）已知β为锐角，sin(α+β)=−√210，求β．解：（1）因为角α的终边过点P （6，﹣8），所以|OP|=√62+(−8)2=10， 则sinα=−810=−45，cosα=610=35，tanα=−43． sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)=sinα−3cosα−sinα+2cosα=tanα−3−tanα+2=−43−343+2=−1310． （2）因为角α的终边过点P （6，﹣8），所以α为第四象限角，即2kπ−π2＜α＜2kπ(k ∈Z)，又因为β为锐角，则0＜β＜π2，可得2kπ−π2＜α+β＜2kπ+π2(k ∈Z)，因为sin （α+β）＜0，则2kπ−π2＜α+β＜2kπ(k ∈Z)，因为sin(α+β)=−√210，所以cos(α+β)=√1−sin 2(α+β)=√1−(−√210)2=7√210． 则sin β＝sin[（α+β）﹣α]＝sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=−√210×35−7√210×(−45)=√22． 所以β=π4．19．（12分）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：为了描述建立平台年数x （x ∈N *）与该平台会员人数y （千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①y =ax+b(a ＞0)；②y ＝d log c x +e （d ＞0，c ＞1）；③y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t 年的会员人数将超过100.2万人，求t 的最小值． 参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099，ln 5≈1.609．解：（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②， 模型③符合两个条件，所以选择模型③，将数据代入y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）可得{14=ka +m20=ka 2+m 29=ka 3+m ，解得{k =8m =2a =32，所以，函数为y =8(32)x +2，x ∈N *；（2）由（1）知f(x)=8(32)x +2，x ∈N *，则8(32)t +2＞1002．得(32)t ＞125，t ＞log 32125=ln125ln 32=3ln5ln3−ln2≈3×1.6091.099−0.693≈11.89， 故t 的最小值为12． 20．（12分）已知函数f(x)=13x−1−1+32． （1）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明你的判断；（2）函数y ＝h （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是y ＝h （x +a ）﹣b 为奇函数．依据上述结论，证明：f （x ）的图象关于点（1，1）成中心对称图形． 解：（1）函数f （x ）在（1，+∞）上单调递减．证明如下： 任取x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，f(x 1)−f(x 2)=13x 1−1−1+32−(13x 2−1−1+32)=(3x 2−1−1)−(3x 1−1−1)(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)=13(3x 2−3x1)(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)． 因为1＜x 1＜x 2，所以3x 2−3x 1＞0，(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数f （x ）在（1，+∞）上单调递减． （2）证明：设g （x ）＝f （x +1）﹣1， 则g(x)=13x −1+12=2+3x−12(3x −1)=3x+12(3x−1)． 因为函数g （x ）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 且g(−x)=3−x+12(3−x −1)=3x+12(1−3x )=−3x+12(3x−1)=−g(x)， 所以g （x ）为奇函数，图象关于原点对称，因为y＝g（x）是由y＝f（x）的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位，故f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形．21．（12分）已知函数f(x)=4√3sinωx2cosωx2+4cos2ωx2+1(ω＞0)，A、B是f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π．（1）求ω的值及函数f（x）在[0，π2]上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f(x)=2√3sinωx+2(2cos2ωx2−1)+3=2√3sinωx+2cosωx+3=4sin(ωx+π6)+3，则f（x）min＝﹣4+3＝﹣1，因为A、B是函数f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π，所以函数f（x）的最小正周期为T＝π，则ω=2πT=2ππ=2，可得f(x)=4sin(2x+π6)+3．由x∈[0，π2]，得π6≤2x+π6≤7π6，所以，−12≤sin(2x+π6)≤1，所以，f(x)min=4×(−12)+3=1，故函数f（x）在[0，π2]上的最小值为1．（2）解：设t＝f（x），因为−1≤sin(2x+π6)≤1，所以﹣1≤f（x）≤7．因为不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，设φ（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣13，所以φ（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣13≤0在t∈[﹣1，7]上恒成立．所以{φ(−1)≤0φ(7)≤0，即{1+3m+2−m−13=2m−10≤049−21m−14−m−13=22−22m≤0，解得1≤m≤5，故m的取值范围为[1，5]．22．（12分）若存在实数a、b使得φ（x）＝af（x）+bg（x），则称函数φ（x）为函数f（x），g（x）的“T （a，b）函数”．（1）若函数φ（x）＝e x为函数f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）设函数f（x）＝ln（e x+1），g（x）＝x，是否存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”，且同时满足：①φ（x）是偶函数；②φ（x）的值域为[2ln2，+∞）．若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．解：（1）根据题意，因为φ（x）＝e x为f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，所以f（x）+2g（x）＝e x①，所以f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x．因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+2g（x）＝e﹣x②，联立①②得，f(x)=12(e x−e−x)，g(x)=14(e x+e−x)．（2）假设存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”．则φ（x）＝af（x）+bg（x）＝aln（e x+1）+bx．①因为φ（x）是偶函数，所以φ（﹣x）＝φ（x）．即aln（e﹣x+1）﹣bx＝aln（e x+1）+bx，则alne x+1e−x+1+2bx=alne x(e x+1)e x(e−x+1)+2bx=alne x(e x+1)e x+1+2bx=ax+2bx=0，整理得（2b+a）x＝0．因为（a+2b）x＝0对x∈R恒成立，所以a＝﹣2b．②φ(x)=aln(e x+1)+bx=a2ln(e x+1)2e x=a2ln(e x+1e x+2)．因为e x+1e x+2≥2√e x⋅1e x+2=4，当且仅当x＝0取等号，所以ln(e x+1e x+2)≥ln4=2ln2，由于φ（x）的值域为[2ln2，+∞），所以a2×2ln2=2ln2，则a＝2，又a＝﹣2b，所以b＝﹣1．综上，存在a＝2，b＝﹣1满足要求．。
2023-2024学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1} C ．{﹣1，0，2}D ．{0，1}2．命题“∀x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +2＞0 B ．∃x ∈R ，x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∀x ∉R ，x +2＞0 3．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．[4，+∞）4．已知角θ的终边经过点P （x ，﹣5），且tanθ=512，则x 的值是（ ） A ．﹣13B ．﹣12C ．12D ．135．已知a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝log 32，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣17．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√328．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ）A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＝0C ．4a +2b +c ＜0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是{x |x ＜﹣1或x ＞−13}11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f （x ）＝cot x ，其中cotx =tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）A ．定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }B ．在区间(π2，π)上单调递增C ．与正切函数有相同的对称中心D ．将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝cot x 的图象12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 ． 14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f （lgx ）＜f （1），则实数x 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)=log 9x +12x −1的零点为x 1．若x 1∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值是 ；若函数g （x ）＝3x +x ﹣2的零点为x 2，则x 1+x 2的值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明， 17．（10分）（1）已知a +a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln 2+（lg 5）2+lg 5lg 2+lg 20．18．（12分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +1}． （1）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值； （2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．命题“∀x∈R，x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x+2＞0B．∃x∈R，x+2≤0C．∀x∈R，x+2＞0D．∀x∉R，x+2＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x+2＞0”．故选：A．3．若函数f（x）＝x2﹣mx+3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）解：函数f（x）＝x2﹣mx+3开口向上，对称轴方程为x=m 2，所以函数的单调递减区间为（﹣∞，m2 ]，要使在区间（﹣∞，2）上单调递减，则m2≥2，解得m≥4．即m的范围为[4，+∞）．故选：D．4．已知角θ的终边经过点P（x，﹣5），且tanθ=512，则x的值是（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13解：由题意得，tanθ=512=−5x，故x＝﹣12．故选：B．5．已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵log0.33＜log0.32＜log0.31＝0，∴b＜a＜0，∵log32＞log31＝0，∴c＞0，∴b＜a＜c．故选：D．6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣1解：由题意知火箭的最大速度v 达到10km /s ，故10=2ln(1+M m )，即1+Mm =e 5，∴M m =e 5−1． 故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)=f(83π)=f(5π3)=f(2π3)=f(−π3)=cos(−π3)=12． 故选：C ．8．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）解：因为x y ＝10，（x ＞0且x ≠1），所以lgx y ＝lg 10＝1，即ylgx ＝1， 所以y ＝f （x ）=1lgx，所以函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上单调递减， 若f （m 2）＞f （2m ），则0＜m 2＜2m ＜1，或1＜m 2＜2m ，解得0＜m ＜12或1＜m ＜2．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ） A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab解：对于A ，由a ＜b ，两边都加上c ，可得a +c ＜b +c ，故A 正确； 对于B ，a ＜b ＜0，两边都乘以b ，可得ab ＞b 2，故B 不正确； 对于C ，a ＜b ＜0，则1a −1b =b−a ab ＞0，可知1a ＞1b，故C 不正确；对于D，a＜b＜0，则ba −ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab＜0，可得ba＜ab，故D正确．故选：AD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0B．a+b+c＝0C．4a+2b+c＜0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−13}解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故{1+3=−ba1×3=ca，所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，D正确．故选：ABD．11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cotx=tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A．定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}B．在区间(π2，π)上单调递增C．与正切函数有相同的对称中心D．将函数y＝﹣tan x的图象向右平移π2个单位可得到函数y＝cot x的图象解：根据cotx=tan(π2−x)，所以余切函数的图象如图所示：对于A：函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；对于B：在区间(π2，π)上单调递减，故B错误；对于C ：与正切函数有相同的对称中心，都为（kπ2，0）（k ∈Z ），故C 正确；对于D ：将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝﹣tan （x −π2）＝cot x 的图象，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12解：因为扇形的半径为r ，弧长为l ，所以扇形的周长为2r +l ，面积为12lr ；因为2r +l ＝2×12lr ，所以l =2rr−1，且r ＞1；所以扇形的面积为S =12×2r r−1×r =r 2r−1=(r−1)2+2(r−1)+1r−1=（r ﹣1）+1r−1+2≥2√(r −1)⋅1r−1+2＝4，当且仅当r ﹣1=1r−1，即r ＝2时取等号，所以选项A 错误； 扇形的周长为L ＝2r +2r r−1=2（r ﹣1）+2r−1+4≥2√2(r −1)⋅2r−1+4＝8， 当且仅当2（r ﹣1）=2r−1，即r ＝2时取等号，此时圆心角为|α|=l r =42=2，α＝±2，选项B 错误； r +2l ＝r +4r r−1=r +4+4r−1=（r ﹣1）+4r−1+5≥2√(r −1)⋅4r−1+5＝9， 当且仅当r ﹣1=4r−1，即r ＝3时取等号，选项C 正确； 1r 2+4l 2=1r 2+(r−1)2r 2=1−2r +2r 2=2(1r −12)2+14]≥12，当r ＝2时取等号，所以选项D 正确．故选：CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 2√2 ． 解：根据幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），可得9α＝3，求得α=12，故f （x ）=x 12=√x ．故f （8）=√8=2√2．故答案为：2√2．14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 89 ．解：∵cos （π3−x ）=sin(x +π6)=13，∴sin2(π3−x)=1﹣cos2（π3−x）＝1−19=89．故答案为：8 9．15．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是110＜x＜10．解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴110＜x＜10故答案为：110＜x＜1016．已知函数f(x)=log9x+12x−1的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是1；若函数g （x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是2．解：函数f(x)=log9x+12x−1是增函数，f（1）=−12＜0，f（2）＝log92＞0，满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．函数f(x)=log9x+12x−1=12（log3x+x﹣2），函数的零点是y＝log3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，由于y＝log3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），所以x1+x2的值是2．故答案为：1；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，17．（10分）（1）已知a+a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20．解：（1）因为（a 12+a−12）2＝a+a﹣1+2＝3+2＝5，又因为a 12+a−12＞0，所以a12+a−12=√5；（2）e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20＝2+1g5（lg5+1g2）+1g2+1＝2+1g5+1g2+1＝2+1+1＝4．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|m≤x≤m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．解：（1）由x 2﹣5x +4≤0，解得1≤x ≤4，所以A ＝{x |1≤x ≤4}． 因为A ∩B ＝∅，且B ≠∅，所以m +1＜1或m ＞4，得m ＜0或m ＞4， 所以实数m 的取值范围是{m |m ＜0或m ＞4}．（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B ⊆A ， 所以{m ≥1m +1≤4，解得1≤m ≤3，所以实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤3}．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．解：（1）由图可知A ＝2，T =4×(π3−π12)=π，所以ω=2πT=2．∵f （x ）＝2sin （2x +φ）的图象经过点(π12，2)， ∴π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π3+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)．（2）令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)的减区间为[π12+kπ，7π12+kπ]，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)在[﹣π，0]上的减区间为[−11π12，−5π12]．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：（1）由 f （0）＝0，得a ＝1，此时f(x)=2x−12x +1．因为f(−x)=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f(x)，所以f （x ）为奇函数，故a ＝1． 证明：（2）当a ＝3时，f(x)=3⋅2x−12x +1=3−42x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=42x 2+1−42x 1+1=4(2x1−2x2)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以4(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增．解：（3）y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x ）2+（1﹣a ）2x +1＝0有两个不同的实数解． 令t ＝2x （t ＞0），则t 2+（1﹣a ）t +1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解， 所以{(1−a)2−4＞0a −1＞0，解得a ＞3．所以a 的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．解：由题可得，AB =ℎ2sinα，AC =ℎ1cosα． （1）当α＝30°时，AB ＝2h 2，AC =2√31， 所以S △ABC =12AB ⋅AC =2√31ℎ2，又因为h 1+h 2＝30，h 1，h 2≥0， 所以S △ABC =√31ℎ2≤√3(ℎ1+ℎ22)2=150√3，当且仅当h 1＝h 2＝15时取等号．所以荷花种植区域面积的最大值为150√3m 2．（2）因为h 1+h 2＝30，h 2＝4h 1，所以h 1＝6，h 2＝24，故AB =24sinα，AC =6cosα，α∈(0，π2)， 从而S △ABC =12AB ⋅AC =72sinαcosα=150， 所以sinαcosα=1225，① 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925． 又因为α∈[0，π2]，所以sinα+cosα=75，② 由①②解得：sinα=35或45． 22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值；（2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，得f （x ）•f （2a ﹣x ）＝2x •22a ﹣x ＝1，即22a ＝1，所以a ＝0． （2）由g(x)=e 1x是（a ，b ）型函数，得g(x)⋅g(2a −x)=e 1x ⋅e 12ax −x =b ，则1x +12a−x =lnb ，因此x 2lnb ﹣2axlnb +2a ＝0对定义域{x |x ≠0}内任意x 恒成立，于是{lnb =02alnb =02a =0，解得a ＝0，b ＝1，所以a ＝0，b ＝1．（3）由h （x ）是（1，4）型函数，得h （x ）•h （2﹣x ）＝4，（1）当x ＝1时，h （1）•h （1）＝4，而h （x ）＞0，则h （1）＝2，满足h （x ）≥1；（2）当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2≥1恒成立，令log 2x ＝t ，则当t ∈（0，2]时，﹣t 2+mt +2≥1恒成立，于是m ≥t −1t 恒成立，而函数y =t −1t在（0，2]单调递增，则t −1t ≤32，当且仅当t ＝2时取等号，因此m ≥32； （3）当x ∈[﹣2，1）时，2﹣x ∈（1，4]，则ℎ(x)=4ℎ(2−x)=4−[log 2(2−x)]2+m⋅log 2(2−x)+2，由h （x ）≥1，得0＜−[log 2(2−x)]2+m ⋅log 2(2−x)+2≤4，令log 2（2﹣x ）＝u ，则当u ∈（0，2]时，0＜﹣u 2+mu +2≤4，由（2）知﹣u 2+mu +2≥1，则只需u ∈（0，2]时，﹣u 2+mu +2≤4恒成立，即m ≤2u +u 恒成立，又u +2u≥2√u ⋅2u =2√2，当且仅当u =√2时取等号，因此m ≤2√2， 所以实数m 的取值范围是：[32，2√2]．。