有限体积法

第4章 有限体积法
1.1 积分方程
守恒方程的形式为积分方程。

⎰⎰⎰+⋅=⋅Ω
S
S
Ωq S ΓS d d grad d φφρφn n v （ 4-1 ）
4.1 控制体积
求解区域用网格分割有限个控制体积（Control V olumes, CVs ）。

同有限差分不同的是，网格为控制体积的边界，而不是计算节点。

为了保证守恒，CVs 必须是不重叠的，且表面同相邻CVs 是同一个。

i.
节点为中心
CVs 的节点在控制体积的中心。

先定义网格，任何找出中心点。

优点：节点值代表CVs 的平均值，可达二阶精度。

ii.
界面为中心
CVs 的边界线在节点间中心线上。

先定义节点，再划分网格。

优点：CV 表面上的CDS 差分精度比上面方法高。

两个方法基本一样，但在积分时要考虑到位置。

但第一个方法用得比较多。

节点为中心 界面为中心
∑⎰⎰
=k
S S
k
fdS fdS （ 4-2 ）
- 对流：n v ⋅=ρφf 在垂直于界面的方向 - 扩散：n ⋅=φgrad Γf 在垂直于界面的方向 如果速度也是未知的，则要结合其它方程一起求解。

考虑界面e ，通过表面的总通量为： 1. 基于界面中心值
中间点定理：(midpoint rule) 表面积分为格子表面上的中心点的值和表面积的乘积。

e
e e S e e S
f S f fdS F e
≈==⎰ （ 4-3 ）
此近似为2阶精度。

由于f 在格子界面没有定义值，它必须通过插值来得到。

为了保证原有的2阶精度，插值方法也须采用2阶精度的方法。

2. 基于界面顶角值
当已定义角上的值时，2阶精度的方法还有：
()⎰+=
=e
S se ne e
e f f S fdS F 2 （ 4-4 ）
3. 高阶精度近似
()⎰++=
=e
S se e ne e
e f f f S fdS F 46
（ 4-5 ） 4阶精度Simpson 法。

4.3 体积积分近似
⎰∆≈∆==Ω
P P Ωq Ωq qd ΩQ （ 4-6 ）
q p 为CV 中心节点值。

高阶精度要求为节点的插值或形状函数来表示。

如
),(),(y x f y x q =。

然后对体积积分。

4.4 插值方法
4.4.1 上风插值格式（UDS ）
φe 用e 上游（upstream ）上的值，通过1阶向前差分或向后差分来表示。

⎩⎨⎧<⋅>⋅=0
)(;0)(e w
e P
P n v if
n v if φφφ （ 4-7 ）
此方法为唯一的无条件满足边界准则的近似，即不产生振荡解。

但它的数值扩散效应很大。

从Taylor 展开：
()()H x x x x x x P
P e
P
P e P e +⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-+=222
2φφφφ （ 4-8 ） 它取得的是第一项，因此，精度是1阶的。

它的截断误差为扩散项。

即
e
e d e x
f ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂Γ=φ （ 4-9 ）
此系数为数值的，人工的，伪的。

()2/x u e num e ∆=Γρ （ 4-10 ）
此扩散产生在垂直于流动方向或在流线方向。

为特别严重的误差。

尤其对于有峰值或有较大变化的变量，会使值光滑，要得到精确的解，需要很精细的网格。

4.4.2
线性插值格式（CDS ）
()e P e E e λφλφφ-+=1 （ 4-11 ）
λ 为线性插值因子。

定义为：
,P
E P
e e x x x x --=
λ （ 4-12 ）
用Tayler 展开可得到此方法的截断误差：
()()()H x x x x x P
e E P e e P e E e +⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂----+=222
1φλφλφφ （ 4-13 ）
为2阶精度。

和其它所有高精度一样，会发生数值振荡。

假定线性分布，则在e 点的导数可以表示成：
P
E P E
e x x x --≈⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂φφφ （ 4-14 ） 如e 在两点的中央时，为2阶精度。

4.4.3
二次迎风插值（QUICK ）格式
Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics
用抛物线（2次）分布代替线性（1次）分布。

抛物线需要3点。

这第3点取在上风点上。

对于E 点，当u>0，取W ，当u<0时取EE 点。

()()⎩⎨
⎧<+-+->+-+-=;
01;0143432121x E EE P x P W E e u for g g g g u for g g g g φφφφφφφ （ 4-15 ）
其中，g 可以表示成用插值系数来表示：
()()()()()
;
1;111;
111;12,,2
,,4,,2,,3,,2
,,2
,,2,,1
P
e E e E
e P e P
e E e P
e W
e W
e P e W
e P
e W
e P e P
e W e g g g g λλλ
λλλλλλλλλλλλλ-+=
-+-+=
-+--=
-+-=
（ 4-16 ）
对于均匀网格：
∙ 3/8: 下游值 ∙ 6/8: 上游值
∙ -1/8：第2个上游点
此方法为3阶精度截断误差。

因均匀网格的Taylor 展开可以表示成：
()()w p E P E P
W E P e H x x φφφφφφφφφφ+--+=+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∆--+=28
1
2;483818386333
（ 4-17 ）
此方法的缺点是多了一个点，且非均匀网格的系数复杂。

但是，当此方法用于中间点法则近似时，面积分仍是2阶精度。

虽然此时QUICK 方法比CDS 方法稍微精确一点，但二个方法都在2阶方法上渐近收敛，相差不大。

4.4.4
高精度格式
用高阶代数式表示：如
332210)(x a x a x a a x +++=φ （ 4-18 ）
4.4.5
其它格式
∙ 线性上风格式（LUDS ）：使用上游2点的线性外推； ∙ 斜迎风格式（skew upwind scheme ）：沿流线使用上游2点的线性外推； ∙
混合格式：Spalding 的根据Peclet 数对UDS(Pe>2)和CDS(Pe ≤2)的选择
4.5 边界条件的使用
每个CV 提供一个代数方程。

但是对于在边界上的格子，表面通量要另行处理。

表面通量要求已知，或与内部和边界上的值的关系已知。

也许不一定要引进其它附加的未知数。

由于在区域外已无节点，这些近似因基于单边的差分或外推。

4.5.1
对流通量
∙ 流入（inflow ）边界：对流通量； ∙ 无穿透壁面和对称平面上：零通量。

∙
流出（outflow ）边界：垂直此方向的通量是独立的。

此时，使用上游值。

4.5.2
扩散通量
∙
壁面：有时定义，如壁面热流密度。

使用单边近似方法
4.6 代数方程系统
同差分方法一样。

4.7 例子
4.7.1 传输方程
⎰⎰⋅Γ=⋅S
S
S n S d grad d φρφn v （ 4-19 ）
边界条件：
y
δ0=
对流项： for face e:
⎰⋅=e
S c e S F d n v ρφ （ 4-20 ）
()y u dS m
e x S e e
∆=⋅=⎰ρρn v （ 4-21 ）
()⎩⎨
⎧+-+=CDS for m m UDS for m m
F E
e e P e e E e P e c e φλφλφφ)1()0,min(0,max （ 4-22 ）
λ为线性插值系数。

UDS:
)
();0,min();0,min();0,min();0,min(c
S c N c W c E c P s c
S n c
N w c
W e c E A A A A A m
A m
A m A m A +++-===== （ 4-23 ） CDS:
)
(;;;;c
S c N c W c E c P n n c
N n n c
N w w c
W e e c
E A A A A A m
A m
A m A m
A +++-=====λλλλ （ 4-24 ）
连续性条件
0=+++s n w e m m m m
（ 4-25 ）。