流体计算理论基础讲解
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
计算流体力学基本概念及详细解析
连续方程：
第一章 绪 论
(v) 0 t v (v v) p 0
t
E [v(E p)] 0
t • 定常：椭圆E型：totalenergyper unit mass
状态方程 p p(,e), 理想气体 p ( 1)e
参考书目
第一章 绪 论
陶文铨《数值传热学》 张廷芳《计算流体力学》 傅德薰《计算流体力学》 J. D. Anderson 《Computational Fluid Dynamics - The Basics with Applications》
一批CFD/NHT的商用软件陆续投放市场。PHONICS (1981)、FLUENT(1983)、FIDAP(1983)、FLOW-3D(1991) 、COMPACT等等
第一章 绪 论
计算流体力学研究的方向
• 高精度、多分辨、高效 方法
• 湍流的直接数值模拟， 大涡模拟
• 化学反应流、多物理问 题
18 Numerical Heat Transfer B-Fund 469 1.033 57 19%
28 Numerical Heat transfer A-Appl 628 0.850 91 29%
第一章 绪 论
课程内容：
1. 有限差分方法 2. 有限元方法 3. 边界元方法 4. 应用实例讨论
4
J Mech Phys Solids
4783 2.521 122
5
J Fluid Mech
21689 1.912 389
6
Phys Fluids
10220 1.799 174
7
Struct Optimization
709 1.533 463
8
流体计算理论基础讲解
流体计算理论基础1 三大基本方程1.1 连续性方程连续性方程也称质量守恒方程，任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律可表示为：单位时间内流体微元中质量的增加等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量，其形式如下：()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 可以写成：()0div u tρρ∂+=∂ 其中ρ密度，t 为时间，u 为速度矢量，u ，v 和w 为速度矢量在x ，y 和z 方向上的分量。
若流体不可压缩，密度为常数，于是：0u v w x y z∂∂∂++=∂∂∂ 若流体处于稳态，则密度不随时间变化，可得出：()()()0u v w x y zρρρ∂∂∂++=∂∂∂ 1.2 动量守恒定律该定律可以表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和，该定律实际是牛顿第二定律，按照这一定律，可导出x ，y 和z 三个方向上的动量守恒方程：()()()()()()yx xx zx x xy yy zy y yz xz zz z u p div uu F t x x y z u p div uv F t y x y z u p div uw F t z x y z τττρρτττρρτττρρ∂⎧∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪+=-++++⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎩式中，p 为微元体上的压力，xx τ，xy τ和xz τ等是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表面上的粘性应力τ的分量。
x F ，y F 和z F 是微元体上的体力，若体力只有重力，且z 轴竖直向上，则：0,0x y F F ==，z F g ρ=-。
对于牛顿流体，粘性应力τ与流体的变形率成比率，有：x yy x 2();==()2();==()2();==()xx xy y xz z zz yz zy u u v div u x y x v u w div u x z x w v w div u x z y τμλττμτμλττμτμλττμ∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎪∂∂∂⎩其中，μ为动力粘度，λ为第二粘度，一般可取23λ=-，将上式代入前式中为： ()()()()()()()()()u v w u p div uu div gradu S t x v p div uv div gradv S ty w p div uw div gradw S tz ρρμρρμρρμ⎧∂∂+=-+⎪∂∂⎪∂∂⎪+=-+⎨∂∂⎪⎪∂∂+=-+⎪∂∂⎩ 其中：()()/()/()/grad x y z =∂∂+∂∂+∂∂μ为动力粘度(dynamic viscosity)，λ为第二粘度(second viscosity),一般可取：23λ=-(参考文献：H.Schlichting,Boundary Layer Theory,8th ed,McGraw Hill, New York,1979)。
流体力学基础知识概述
流体力学基础知识概述流体力学是研究流体运动及其力学性质的学科领域，它对于了解和分析自然界中的流体现象、工程设计和科学研究都具有重要的意义。
本文将对流体力学的基础知识进行概述，帮助读者对该领域有一个全面的了解。
一、流体的特性流体是一种连续变形的物质，其特性包括两个基本的属性：质量和体积。
质量是指流体的总重量，而体积则表示流体占据的空间。
流体还具有可压缩性和不可压缩性之分，可压缩流体如气体在受力时体积可变，不可压缩流体如液体则在受力时体积基本保持不变。
二、流体的力学性质1. 流体的静力学性质：静力学研究的是流体在静态平衡下的性质。
静力学方程描述了流体静力平衡的条件，在不同的情况下有不同的方程形式。
例如，对于不可压缩流体，静力平衡方程可以表示为斯托克斯定律。
2. 流体的动力学性质：动力学研究的是流体在运动状态下的性质。
根据流体的性质和流动条件，可以使用纳维-斯托克斯方程或欧拉方程来描述流体运动。
这些方程可以通过流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒得到。
三、流体的流动类型根据流体的运动方式，流体力学将流动分为两种基本类型：层流和湍流。
层流是指流体以有序、平稳的方式流动，流线相互平行且不交叉；而湍流则是流体运动不规则、混乱的状态，流线交叉、旋转和变化。
层流和湍流的转变由雷诺数决定，雷诺数越大，流动越容易变为湍流。
雷诺数是流体力学中一个无量纲的参数，通过流体的密度、速度和长度等特性计算而来。
四、流体的流速分布流体在管道或河流等容器中的流速分布可以通过速度剖面来描述，速度剖面是指流体速度随离开管道中心轴距离的变化关系。
一般情况下，流体在靠近管道壁面处速度较小，在中心位置处速度较大。
速度剖面可用来研究流体流动的特性，例如通过计算剖面的斜率可以确定流体的平均速度。
此外，流体的速度分布还受到管道壁面的摩擦力和流体性质的影响。
五、流体的流量计算流量是指单位时间内通过某一横截面的流体体积，计算流体流量是流体力学中的一项重要任务。
工程流体力学的计算方法CFD基础课件
云计算技术使得大规模CFD模拟成为 可能，同时提供了灵活的计算资源和 数据管理方式。未来，云计算技术将 进一步优化，以降低计算成本和提高 计算效率。
THANKS
CFX
工业标准的CFD软件
CFX是全球公认的工业标准的CFD软件之一，广泛应用于能源、化工、航空航天、汽车等领域。它具 有强大的求解器和先进的物理模型，能够模拟复杂的流体流动和传热问题，并提供丰富的后处理功能 。
OpenFOAM
开源CFD软件
OpenFOAM是一款开源的CFD软件，由C编写，具有高度的灵活性和可定制性。它提供了丰富的工具包和案例库，适用于各 种流体动力学模拟，包括复杂流动、传热、化学反应等问题。
粘性。
热传导
流体在温度梯度作用下会产生 热传导现象。
流体动力学基本方程
质量守恒方程
表示流体质量随时间的变化规律 。
动量守恒方程
表示流体动量随时间的变化规律。
能量守恒方程
表示流体能量随时间的变化规律。
流体流动的分类
层流流动
均匀流动和非均匀流动
流体质点仅沿流线方向作有规则的线 运动，互不混杂。
根据流动是否具有空间均匀性进行分 类。
06
CFD未来发展与挑战
高精度算法与求解器
总结词
随着计算能力的不断提升，高精度算法和求解器在 CFD领域的应用将更加广泛。
详细描述
高精度算法和求解器能够提供更精确的流场模拟结果 ，有助于更深入地理解流体动力学现象。未来，高精 度算法和求解器将进一步优化，以适应更复杂、更高 要求的CFD模拟。
多物理场耦合模拟
有限体积法的优点在于能够很好地处 理流体流动中的非线性特性和复杂边 界条件，因此在工程流体力学中得到 了广泛应用。
计算流体力学简明讲义
第一章绪论第一节计算流体力学：概念与意义一、计算流体力学概述任何流体运动的规律都是由以下3个基本定律为基础的：1）质量守恒定律；2）牛顿第二定律（力＝质量×加速度），或者与之等价的动量定理；3）能量守恒定律。
这些基本定律可由积分或者微分形式的数学方程（组）来描述。
把这些方程中的积分或者（偏）微分用离散的代数形式代替，使得积分或微分形式的方程变为代数方程（组）；然后，通过电子计算机求解这些代数方程，从而得到流场在离散的时间/空间点上的数值解。
这样的学科称为计算流体（动）力学（Computational Fluid Dynamics，以下简称CFD）。
CFD有时也称流场的数值模拟，数值计算，或数值仿真。
在流体力学基本方程中的微分和积分项中包括时间/空间变量以及物理变量。
要把这些积分或者微分项用离散的代数形式代替，必须把时空变量和物理变量离散化。
空间变量的离散对应着把求解域划分为一系列的格子，称为单元体或控制体（mesh，cell，control volume）。
格子边界对应的曲线称为网格（grid），网格的交叉点称为网格点（grid point）。
对于微分型方程，离散的物理变量经常定义在网格点上。
某一个网格点上的微分运算可以近似表示为这个网格点和相邻的几个网格点上物理量和网格点坐标的代数关系（这时的数值方法称为有限差分方法）。
对于积分型方程，离散物理量可以定义在单元体的中心、边或者顶点上。
单元体上的积分运算通常表示为单元体的几何参数、物理变量以及相邻单元体中物理变量的代数关系（这时的数值方法称为有限体积方法和有限元方法）。
所谓数值解就是在这些离散点或控制体中流动物理变量的某种分布，他们对应着的流体力学方程的用数值表示的近似解。
由此可见，CFD得到的不是传统意义上的解析解，而是大量的离散数据。
这些数据对应着流体力学基本方程的近似的数值解。
对于给定的问题，CFD 研究的目的在于通过对这些数据的分析，得到问题的定量描述。
1.1流体力学的基本概念
第1章 CFD 基 础计算流体动力学(computational fluid dynamics ，CFD)是流体力学的一个分支，它通过计算机模拟获得某种流体在特定条件下的有关信息，实现了用计算机代替试验装置完成“计算试验”，为工程技术人员提供了实际工况模拟仿真的操作平台，已广泛应用于航空航天、热能动力、土木水利、汽车工程、铁道、船舶工业、化学工程、流体机械、环境工程等 领域。
本章介绍CFD 一些重要的基础知识，帮助读者熟悉CFD 的基本理论和基本概念，为计算时设置边界条件、对计算结果进行分析与整理提供参考。
1.1 流体力学的基本概念1.1.1 流体的连续介质模型流体质点(fluid particle)：几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
连续介质(continuum/continuous medium)：质点连续地充满所占空间的流体或固体。
连续介质模型(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u =u (t ,x ,y ,z )。
1.1.2 流体的性质1. 惯性惯性(fluid inertia)指流体不受外力作用时，保持其原有运动状态的属性。
惯性与质量有关，质量越大，惯性就越大。
单位体积流体的质量称为密度(density)，以r 表示，单位为kg/m 3。
对于均质流体，设其体积为V ，质量为m ，则其密度为m Vρ= (1-1) 对于非均质流体，密度随点而异。
若取包含某点在内的体积V ∆，其中质量m ∆，则该点密度需要用极限方式表示，即0lim V m Vρ∆→∆=∆ (1-2) 2. 压缩性作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性。
压缩性(compressibility)可用体积压缩率k 来量度Fluent 高级应用与实例分析2 d /d /d d V V k p pρρ=-= (1-3) 式中：p 为外部压强。
计算流体力学 有限体积法基础及其应用
一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义1.2 计算流体力学的研究对象1.3 计算流体力学的发展历史二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理2.1.2 有限体积法的数学模型2.2 有限体积法的数值求解2.2.1 离散化2.2.2 迭代求解三、有限体积法在计算流体力学中的应用3.1 有限体积法在流体流动模拟中的应用 3.1.1 管道流动模拟3.1.2 自由表面流动模拟3.2 有限体积法在传热问题中的应用3.2.1 对流传热3.2.2 辐射传热四、有限体积法在工程领域中的应用4.1 有限体积法在航空航天领域中的应用 4.2 有限体积法在汽车工程中的应用4.3 有限体积法在建筑工程中的应用五、有限体积法的发展趋势5.1 高性能计算技术对有限体积法的影响5.2 多物理场耦合对有限体积法的挑战5.3 人工智能在有限体积法中的应用六、结论一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用计算机模拟流体力学问题的一门学科。
它通过对流动流体的数值解，来研究流体在各种情况下的运动规律和性质。
1.2 计算流体力学的研究对象计算流体力学的研究对象包括流体的流动、传热、传质、振动等现象，以及与流体相关的各种工程问题，如飞机、汽车、建筑等的气动特性分析与设计。
1.3 计算流体力学的发展历史计算流体力学的发展可以追溯到20世纪50年代，当时计算机技术的进步为流体力学问题的数值模拟提供了可能。
随着计算机硬件和软件的不断发展，CFD的应用领域不断扩大，成为现代工程领域不可或缺的工具之一。
二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理有限体积法是求解流体动力学问题的数值方法之一，它基于质量、动量和能量守恒的控制方程，将求解域离散化为有限数量的体积单元，通过对控制方程进行积分，将方程转化为代数方程组。
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流体计算理论基础1 三大基本方程连续性方程连续性方程也称质量守恒方程，任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律可表示为：单位时间内流体微元中质量的增加等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量，其形式如下：()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 可以写成：()0div u tρρ∂+=∂ 其中ρ密度，t 为时间，u 为速度矢量，u ，v 和w 为速度矢量在x ，y 和z 方向上的分量。
若流体不可压缩，密度为常数，于是：0u v w x y z∂∂∂++=∂∂∂ 若流体处于稳态，则密度不随时间变化，可得出：()()()0u v w x y zρρρ∂∂∂++=∂∂∂ 动量守恒定律该定律可以表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和，该定律实际是牛顿第二定律，按照这一定律，可导出x ，y 和z 三个方向上的动量守恒方程：()()()()()()yx xx zx x xy yy zy y yz xz zz z u p div uu F t x x y z u p div uv F t y x y z u p div uw F t z x y z τττρρτττρρτττρρ∂⎧∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪+=-++++⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎩式中，p 为微元体上的压力，xx τ，xy τ和xz τ等是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表面上的粘性应力τ的分量。
x F ，y F 和z F 是微元体上的体力，若体力只有重力，且z 轴竖直向上，则：0,0x y F F ==，z F g ρ=-。
对于牛顿流体，粘性应力τ与流体的变形率成比率，有：x yy x 2();==()2();==()2();==()xx xy y xz z zz yz zy u u v div u x y x v u w div u x z x w v w div u x z y τμλττμτμλττμτμλττμ∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎪∂∂∂⎩其中，μ为动力粘度，λ为第二粘度，一般可取23λ=-，将上式代入前式中为： ()()()()()()()()()u v w u p div uu div gradu S t x v p div uv div gradv S ty w p div uw div gradw S tz ρρμρρμρρμ⎧∂∂+=-+⎪∂∂⎪∂∂⎪+=-+⎨∂∂⎪⎪∂∂+=-+⎪∂∂⎩ 其中：()()/()/()/grad x y z =∂∂+∂∂+∂∂μ为动力粘度(dynamic viscosity)，λ为第二粘度(second viscosity),一般可取：23λ=-(参考文献：,Boundary Layer Theory,8th ed,McGraw Hill, New York,1979)。
u S ,v S 和w S 为动量守恒方程中的广义源项，u x x S F S =+，v y y S F S =+，w z z S F S =+，而其中x S ，y S 和z S 表达式为：()()()(())()()()(())()()()(())x y z u v w S div u x x y x x x x u v w S div u x x y y x y y u v w S div u x z y z x z z μμμλμμμλμμμλ⎧∂∂∂∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=+++⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎩一般来讲，x F ，y F 和z F 是体积力在x ，y ，z 方向上的分量。
x S ，y S 和z S 是小量，对于粘性为常数的不可压缩流体，0x y z S S S ===，动量守恒，简称动量方程，也称N-S 方程。
关于牛顿体与非牛顿体的定义如下：流体的内摩擦剪切力τ由牛顿内摩擦定律决定：0lim u u u n nτμμ∆→∆∂==∆∂ 其中，n ∆为沿法线方向的距离增量，u ∆对应于n ∆的流体速度的增量，u n ∆∆为法向距离上的速度变化率，所以，牛顿内摩擦定律表示：流体的内摩擦应力和单位距离上的两层流体间的相对速度成比例，比例系数μ称为流体的动力粘度，常称为粘度，单位为：2/N s m ⋅ 若μ为常数，则该类流体为牛顿流体，否则为非牛顿体，空气，水等均为牛顿体；聚合物溶液，含有悬浮粒杂质或纤维的流体为非牛顿体。
对于牛顿流体，通常用μ和[质量]密度ρ的比值ν代替动力粘度μμνρ= ν称为运动粘度，单位2/m s 。
能量守恒方程该方程可以描述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体力与面力对微元体所做的功，实际为热力学第一定律。
()()()T p T k div uT div gradT s t c ρρ∂+=+∂k 为流体传热系数，p c 为比热容，T 为温度，T S 为流体内热源及由于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称T S 为粘性耗散项。
以上三大基本方程参考：《计算流体动力学分析：CFD 软件原理与应用》_王福军2 通用控制方程上面的基本方程可以写成下面的通用形式：()()(grad )div u div S t ρφρφφ∂+=Γ+∂ 展开为：()()()()()()()u v w t x y z S x x y y z zρφρφρφρφφφφ∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=Γ+Γ+Γ+∂∂∂∂∂∂ 其中φ为通用变量，可以代表u ，v 和w 以及T 等求解变量，Γ为广义扩散系数，S 为广义源项。
2 几种数值求解方法有限差分法主要的思路是用差商代替微商,来近似的表示微分方程.其形式简单,对任意复杂的偏微分方程都可以写成其对应的差分方程,但是微分方程中各项的物理意义和微分方程所反映的物理定律(如守恒定律)在差分方程中所表现的特点,在差分方程中没有得到体现.只是微分方程的数学近似,没有反映物理特性,计算结果可能表现出某些不合理现象.有限元法20世纪60年代出现,离散方程获得的方法主要有:直接刚度法,虚功原理推导,泛函原理推导或加权余量法推导.有限元法的优点是解题能力强,可以较精确的模拟各种复杂的曲线或曲面边界,网格划分比较随意,可以统一处理多种边界条件,离散方程形式规范,便于编写通用程序,但在应用流体流动和传热原理中却遇到了一些困难,其原因可归结为按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似,当处理流动和传热问题的守恒性,强对流,不可压缩条件等方面的要求时,有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释,对计算中出现的一些误差也难以进行改进,因此有限元法在流体力学和传热学中的应用还存在一些问题.有限体积法FVM(或控制体积法CVM)将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程对每一个控制体积积分，从而得到一组离散方程，其中的未知数是网格上的因变量φ，为了求出控制体积的积分，必须假定φ值在网格点之间的变化规律，从积分区域的选取方法看，有限体积法属于加权余量法中的子域法，从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法，简而言之，子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
有限体积法得到的离散方程，要求因变量的积分守恒对于任意的一组控制体积都满足，对于整个计算区域，自然满足，这个是有限体积法吸引人的优点。
有些离散方法，例如有限差分，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限体积法在粗网格的情况下，也显示出准确的积分守恒。
就离散方法而已，有限体积法可视为有限元法和有限差分法的中间产物，有限元法必须假定φ值在网格节点间的变化规律（即插值函数），并将其作为近似解。
有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑在网格点间如何变化。
有限体积法只寻求φ的节点值，这个和有限差分相似，但是有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定φ在网格点间的分布，这个又与有限元相似。
插值函数只用于计算控制体积的积分，得到离散方程之后，便可忘掉插值函数。
如果需要的话，可对微分方程中不同的项采用不同的插值函数。
插值方式称之为离散格式，有：中心差分，一阶迎风格式，混合格式，指数格式，乘法格式。
二阶迎风格式，QUICK格式，有限体积法有四项基本原则：（1）控制体积界面上的连续性原则（2）正系数原则（3）源项的负斜率线性化原则α等于相邻节点系数之和原则（4）系数p谱方法基本思想是考虑热传导方程的初值问题,当微分方程的解足够光滑时,谱方法给出的近似解将以很高的精度逼近微分方程的精确解,而且该方法得到的近似解应用于整个区域而不是局部区域.这个是区别有限元法的重要特征.边界元法20世纪70年代发展起来,针对有限差分和有限元占计算机内存资源过多而发展起来的求解偏微分方程的数值方法.最大特点是降维,只在求解区域的边界进行离散就能求解整个流场的解.这样三维问题降维二维,二维问题降为一维,可用小机器计算大问题.基本思想是用边界积分方程将求解域的边界条件与域内任意一点的待求变量值联系起来,然后求解边界积分方程即可.但是若流体描述方程本身比较复杂时,如粘性的N-S方程,则对应的权函数算子基本解不一定能找到,因此应用受到很大限制.3 离散控制方程求解概述建立了离散方程之后,所生成的离散方程不能直接用来求解,还必须对离散方程进行某种调整,并且对各未知量(速度，压力，温度等)的求解顺序及方式进行特殊处理，对于这些计算方法有：耦合式解法的基本过程：（1）假定初始压力和速度等变量，确定离散方程的系数及常数项。
（2）联立求解连续方程，动量方程，能量方程（3）求解湍流方程及其它标量方程（4）判断当前时间步上的计算是否收敛，若不收敛，返回到第（2）步，迭代计算，若收敛，重复上述步骤，计算下一时间步的物理量。
若所有变量整场联立求解，称为隐式解法，部分变量整场联立求解称为显隐式解法，在局部地区（如一个单元上）对所有变量联立求解称为显式解法。
对于显式解法，是在一个单元上求解所有变量后，逐一的在其它单元上求解所有的未知量，这种方法在求解某个单元时，要求相邻单元的变量解是已知的。
分离式解法的基本思路是：不直接联立方程组，而是顺序地，逐个的求解各变量代数方程组。
依据是否直接求解原始变量u,v,w和p，分离式解法可分为原始变量法和非原始变量法。
涡量—流函数法不直接求解原始变量u,v,w和p，而是求解旋度ω和流函数ψ。
涡量—速度法不直接求解原始变量p，而是求解旋度ω和u,v,w，此两种方法共同特点是不求解压力项，避免压力项带来的问题。