流体动力学理论基础与方程
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体动力学基础
流体动力学基础流体动力学是研究流体的运动规律和性质的科学，它是流体力学的分支之一，广泛应用于航空、航天、水力、能源等领域。
本文将介绍流体动力学的基础概念、基本方程以及常用方法。
一、流体动力学的基本概念1. 流体力学与流体静力学的区别流体力学研究流体在运动中的行为，包括流体的流动速度、压力、密度等参数的分布规律；而流体静力学则研究流体在静止状态下的平衡规律，主要关注流体的静压力和浮力等性质。
2. 流体的本构关系流体的本构关系描述了流体的应力与变形速率之间的关系。
常见的本构关系有牛顿黏性流体、非牛顿流体以及理想流体等。
3. 流体的运动描述流体的运动可以通过流体速度场来描述，流体速度场是空间中的矢量函数，它描述了流体的速度分布。
流体速度场的描述可以使用欧拉描述方法或者拉格朗日描述方法。
二、流体动力学的基本方程1. 连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原理，即单位时间内通过某一截面的质量是恒定的。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，连续性方程可表示为流体密度与速度之积在空间中的量级是恒定的。
2. 动量方程动量方程是描述质点运动定律的基本方程，对流体来说，动量方程体现了运动流体的动力学行为。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，动量方程可表示为流体的密度乘以速度与压力梯度的叠加等于外力的结果。
3. 能量方程能量方程描述了热力学系统的能量守恒原则，对于流体来说，能量方程考虑了流体的流动对能量转移的影响，以及热源、做功所导致的能量变化。
三、流体动力学的常用方法1. 数值模拟方法数值模拟是流体动力学研究的重要工具，通过在计算机上建立流体动力学方程的数值解，可以模拟复杂流动现象，如湍流、多相流等。
2. 实验方法实验方法是流体动力学研究的另一重要手段，通过搭建实验平台，测量流体的压力、速度等参数，从而验证理论和数值模拟结果的准确性。
3. 理论分析方法理论分析方法是流体动力学研究中的基础，通过建立假设和推导数学表达式，可以得到流体动力学问题的解析解，为实验和数值模拟提供参考。
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
流体动力学基础和方程讲解
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
第三章 流体动力学基础
1、在水位恒定的情况下： （1）A®A¢不存在时变加速 度和位变加速度。 （2）B®B¢ 不存在时变加速 度，但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： （1）A®A¢ 存在时变加速度， 但不存在位变加速度。 （2）B®B¢ 既存在时变加速 度，又存在位变加速度。
图3-19
第二节 流体质点运动特点和有旋流
图3-13
非均匀流——流线不是平行直线的流 动， 。 非均匀流中流场中相应点的流速大 小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。例：流体在收缩 管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀 流又可分为急变流和渐变流）
4.渐变流与急变流
非均匀流中如流动变化缓 慢，流线的曲率很小接近平行， 过流断面上的压力基本上是静 压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流。
图3-17
（3）三元流
三元流（threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三 个空间坐标函数。例 如水在断面形状与大 小沿程变化的天然河 道中流动，水对船的 绕流等等，这种流动 属于三元流动。（图 3-18）
图3-18
三.描述流体运动的方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以 流场中每一流体质点作为描述流体运动 的方法，它以流体个别质点随时间的运 动为基础，通过综合足够多的质点（即 质点系）运动求得整个流动。——质点 系法
一、流体质点的运动 特点 刚体的运动是由 平移和绕某瞬时轴 的 转动两部分组成，如 图3-20(a)。
图3-20(a)
流体质点的运动， 一般除了平移、转 动外，还要发生变 形（角变形和线变 形），如图3-20(b)。
图3-20(b)
二、角速度的数学表达式 流体质点的旋转用角速度表征，习 惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速 度平均值定义为该转轴的角速度。
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
第3章2 流体动力学基础-稳定流动量方程及应用
4Q 1、V1 = = 1.132m / s 2 π d1 p1 V12 p2 V2 2 + = + γ 2g γ 2g
4Q V2 = = 4.527m / s 2 π d2
2、取两个断面列伯努利方程：
p2 = p1 +
ρ
2
(V12 − V2 2 ) = 1.964 × 105 Pa
3、选取控制体列动量方程： x方向：p1 A1 − Fx = ρ Q (0 − V1 ) y方向：Fy − p2 A2 = ρ Q (V2 − 0)
流体动力学基础
稳定流的动量方程及其应用
3.5 稳定流的动量方程及其应用
前面我们讨论了流体动力学的两个重要 方程——连续性方程和伯努利方程 连续性方程和伯努利方程。应用这 连续性方程和伯努利方程 两个方程可以解决许多实际问题。但是，在 工程中还要计算流体与固体相互作用的力。 动量方程提供了流体与固体相互作用的动力 动量方程 学规律。
x
O
y
【解】：设平板对流体的作用力为R’，取坐标系XOY，以A0、 A1、A2断面间水体为控制体。 (1)求流体对平板的作用力 列x方向动量方程：
R ' = ρ Q (0 − ( −V0 sin θ )) R ' = ρ A0V0 2 sin θ
因为平板光滑，作用力垂直平板，所以流体对平板面作用力 的大小为 ρ A0V0 2 sin θ ，方向与R’相反。
F = ρ AV = 2 ρ Agh = 2 Aγ h
2
3、自由射流对挡板的压力
y
根据动量方程，x轴向为： − Rx = ρ Q1u1 cos α1 + ρ Q2u2 cos α 2 − ρ Q0u0 y轴 向 为 ：
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1 y2 f (x)
2
非恒定流(unsteady flow) ：流场中任何点上有任何一个 运动要素是随时间而变化的。 在实际工程中，常把运动参数随时间变化缓慢的流动 按恒定流处理，以求简化。
f(x)1x2C 1(y2x2)C
2
2
流场和运动参数
• 流场指充满运动流体的空间。 • 运动参数指表征流体运动特征的物理量。
§3-2 研究流体运动的若干基本概念
一、恒定流与非恒定流
水位不变
恒定流(Steady Flow)：在流场中，任何空间点上所有的 运动要素都不随时间而改变。 运动要素仅仅是空间坐 标的连续函数，而与时间无关。
恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数 应等于零：
u x t
u y t
u z t
0
p 0 t
3-1 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法 (Lagrange Method)
拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过 对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规 律性。所以这种方法又可叫做质点系法。
用质点起始坐标(a，b，c)作为质点的标志,任意时刻 质点的位置坐标是起始坐标和时间变量的连续函数。
B、迁移加速度为零 D、合加速度为零
在实际工程中，一般都只需要弄清楚在某一 些空间位置上流体的运动情况，而并不去追究流 体质点的运动轨迹。
例如，研究一个隧洞中的水流，只要知道了液 体经过隧洞中不同位置时的速度及动压力，这样 就能满足工程设计的需要。
所以，欧拉（Euler）法对工程流体力学的研 究具有重要的意义。
同一空间点上不同时刻的速度也不同，即流速是空间
坐标（x，y，z）和时间t的函数：
速度
ux uy
uuxy((xx、 、yy、 、zz、 、tt))
uz uz (x、y、z、t)
ux uy
ux uy
( x、y、z、t ) (、y、z、t)
uz
uz
(
x、y、z、t
)
若令上式中x、y、z为常数，t为变数，
运动轨迹 若(x,y)常数，则duydxuxdy0.因此
dxdy ux uy
质点速度
ux uy uz
x
t y
t z
t
x(a,b,c,t)
y
(
a
t ,b
,
c
,
t
)
z
(
a
t ,b
,
c
,
t
)
t
(1) (a，b，c)=C , t为变数，可以得出某个 指定质点在任意时刻所处的位置。
(2) (a，b，c)为变数，t=C，可以得出某一 瞬间不同质点在空间的分布情况。
类似地有： ay=……;
az= ……
ax
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度 ，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
二、一元流、二元流、三元流
凡流体中任一点的运动要素只与一个空间自变量 有关，这种流体称为一元流(One-dimensional Flow)。
流场中任何点的运动要素和两个空间自变量有关 ，此种流体称为二元流(Two-dimensional Flow) 。
若流体中任一点的流速，与三个空间位置变量有 关，这种流体称为三元流。
点时流速是否改变。均匀流是迁移加速度为零。
1、在水位恒定的情况下： (1)A→A’不存在时变加速度
和位变加速度。 (2)B→B’不存在时变加速度，
但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下：
(1) A→A’存在时变加速度，但不存在位变加速度。 (2) B→B’既存在时变加速度，又存在位变加速度。
问题：均匀流是： A、当地加速度为零 C、向心加速度为零
流体动力学理论基础和方 程
实际工程中经常遇到运动状态的流体。流体的运动特性 可用流速、加速度等一些物理要素来表征。流体动力学研 究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系式，
并用这些关系式解决工程上的问题。 经典力学中有质量守恒定律、能量守恒定律及动量守 恒定律。 本章先建立流体运动的基本概念，然后依据流束理论 ，从质量守恒定律出发建立流体的连续性方程、从能量守 恒定律出发建立流体的能量方程，从动量定理出发建立流 体的动量方程。
即可求得在某一固定空间点上流体质点在不
同时刻通过该点的流速的变化情况。
若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得
在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点
的流速的分布情况(即流速场)。
加速度是速度的全微分。对于流体质点，不同时刻 位于不同的空间位置。
故质点加速度必須按复合函数求导数的法则求导：
分量 ax u txux u xxuy u yxuz u zx
三、迹线与流线
拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况， 引出了迹线的概念；
欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动情 况引出了流线的概念。
加速度
ax
u x t
2x t2
ay
u y t
2y t2
az
u z t
2z t2
二、欧拉法(Euler Method)
欧拉法是以考察不同流体质点通过固定空间点
的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼
于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做
流场法。
通常在同一时刻不同空间点上的流速是不同的，
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
duz dt
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速
度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于
是否是恒定流，而要看流体质点自一点转移到另一
本章的主要内容：
• 流体运动的基本概念 • 流体运动的总流理论
——恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程 • 流体运动的流场理论
——理想流体的运动方程、N-S方程和恒定平面 势流 任务：建立描述流体运动的基本方程，并理解其物 理意义、掌握其实际应用。 本章重点：恒定总流的连续性方程、能量方程和动 量方程及其应用