流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体动力学积分形式的基本方程
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学三大基本方程公式
流体力学三大基本方程公式流体力学是研究流体（液体和气体）行为的一门学科，而其中的三大基本方程就像是流体世界里的三位“大神”，每一个都有自己的风格和特点。
今天我们就来轻松聊聊这三大基本方程，看看它们是如何影响我们日常生活的。
1. 连续方程1.1 理论基础连续方程说的就是流体在流动时质量是守恒的，也就是说流体不会凭空消失或者出现。
这就好比你在喝饮料，吸管里的液体不管你怎么吸，它的总量始终不变。
你想，假如你吸得太快，吸管里液体都没了，那饮料可就喝不到了，真是要命！1.2 实际应用在现实生活中，这个方程的应用可广泛了。
比如，水管里流动的水，流量是一定的。
如果管道变窄，水速就会变快，简直就像是高速公路上的汽车，车道窄了，车速得加快才能不堵车。
你可以想象一下，如果这条“水路”被堵了，后果可就不堪设想，真是“水深火热”啊。
2. 纳维斯托克斯方程2.1 理论基础说到纳维斯托克斯方程，这可是流体力学里的“超级英雄”。
它描述了流体的运动，考虑了粘性、压力、速度等多个因素，就像一位全能运动员，无论是短跑、游泳，还是足球，样样精通！这个方程让我们能够预测流体的流动，简直就像是给流体穿上了“预测未来”的眼镜。
2.2 实际应用说到实际应用，纳维斯托克斯方程可是在天气预报、飞机设计等领域大显身手。
在气象学中，气象学家利用这个方程来模拟风暴、降雨等自然现象，真的是“未雨绸缪”，让我们提前做好准备。
想象一下，若是没有它，我们可能在大雨来临时还在悠哉悠哉地喝着茶，结果被“浇”了个透心凉。
3. 伯努利方程3.1 理论基础最后我们得提提伯努利方程，它可是流体动力学的明星。
简单来说，伯努利方程告诉我们，流体的压力和速度之间有着“爱恨交织”的关系。
流速快的地方，压力就低；流速慢的地方，压力就高。
这就像是你在一个热闹的派对上，越往外挤，周围的人越少，反而显得格外“安静”。
3.2 实际应用伯努利方程的应用那可是多得数不胜数，尤其是在飞行器设计上。
第六章流体动力学积分形式基本方程
的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
A w nwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。
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Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。
本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。
I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。
质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。
在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。
根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0v vÒCVCSd v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。
上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。
由奥高公式得()v vvÒCSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0v CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。
考虑到τ的任意性，故有()0vv t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0vd v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。
2）由0=dtm d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅r=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
3）不可压缩流体0d dt ρ=，故有 0v ∇⋅=v。
由奥高公式有v v v ÒCVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰。
不可压缩流动满足的0v ∇⋅=v或0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。
例1、1）定常流场中取一段流管，则由0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。
2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有24(,)()r V r t m t π=，即2()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。
例2、均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以速度0V 流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即21m r V V R ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
通常称这种流动为圆管的入口流。
试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度m V 。
解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：0vv ÒV dS ⋅=⎰⎰界面， 由于管壁无渗透故上式可写为：2002RV R V rdr ππ=⎰，可得02V V m =。
II 动量方程流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ⨯ 其加速度II-1方程的导出1直角坐标系下推导微分形式的动量定理t 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。
受力分析：体力合力=vFd ρτ面力合力vÒn CSp dS =⎰⎰,,,,22,,,,22,,,,,,,,22,,222v v v v v v v v v x x x xy x y yz x z zx x x x y x x p x y z s p x y z s y y p x y z x x p x y z s p x y z s p x y z s x z p x y z s y p x y s p x y z z s s δδδδδδδδδδδδδδδδδδ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++- + ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,,2,,,,22v v v v v v x y yz x y x zz zy p x y z s x z p x y z s p p p p x z x y z s y δδδδδττδδτδδ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-∂∂∂=++- ⎪ ⎪⎝∂⎭∂∂⎭⎝于是有v v v v v y x z p p p dV F dt x y zρδτρδτδτδτδτ∂∂∂=+++∂∂∂， 即v v v v v y x z p p p dV F dt x y zρρ∂∂∂=+++∂∂∂。
2x '分量形式：yx x xx zxx yxy yy zy y yx xx zx z z p dv p p F dt x y z dv p p p F dtx y z p pp dv F dt x y z ρρρρρρ∂⎧∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎩或写成ji ii jp dv F dt x ρρ∂=+∂， 或vv dVF P dtρρ=+∇⋅。
P ⋅∇意义：单位体积流体团所受面力的合力。
2积分形式的动量定理的导出考虑体系τ，该流体团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。
由动量定理有n CV CS d Vd Fd p dS dt τρτρτ=+⎰⎰⎰⎰v v v Ò 利用输运定理可得()v v v v v CV CS d V V V V S dt tτρδτρδτρδ∂=+⋅∂⎰⎰⎰。
于是得到积分形式动量定理：()v v v v v vÒn CVCS CV CS V V V S Fd p dS t ρδτρδρτ∂+⋅=+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。
例题1求流体作用于闸门上的力。
（设渠宽w ）解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的x 方向分量方程。
222121wD V wD V x ρρ+-=方向动量通量[][]121220()()()D D a a a x R w P g D y dy w P g D y dy h D P ρρ=-++--+---⎰⎰方向合外力闸门受合力＝R h D P R a '=--)(1 代入动量方程方程得)(21)(2221121222D D gw R D V D V w -+'-=-ρρ故)()(212211222221D V D V w D D gw R -+-='ρρ 注：求R '时可直接设0=a P 。
注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：()()v vvv d V d d dVV Vdt dtdt dtττττρδτρδτρδτρδτ==+⎰⎰⎰⎰其中()0d d mdt dtρδτδ==，因而得到 v vv CV d dV dV V dt dt dtττρδτρδτρδτ==⎰⎰⎰。
上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。
另外，n CSCSCVp dS n PdS Pd τ=⋅=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰vv乙，综上可得0vv CV dV F P dt ρρδτ⎛⎫--∇⋅= ⎪⎝⎭⎰，再考虑到系统大小形状的任意性可得dVF P dt ρρ=+∇⋅v v 。
尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。
3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程2rot 2V V V V F P t ρρ⎛⎫∂+∇+⨯=+∇⋅ ⎪∂⎝⎭vv v vII-2地转参照系下的动量方程就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。
但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。
在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。
我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。
地球上运动质点的绝对速度a r e V V V =+v v v ，其中r V v代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度e V r ω=⨯v v v （牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度），ωv 为地球自转角速度。
绝对加速度：a r e c w w w w =++v v v v，其中r w v 代表相对加速度，牵连加速度()e d w r r dtωωω=⨯+⨯⨯vv v v v v ，科氏加速度()2c r w V ω=⨯v v v 。
动量方程：1r e c d V F P w w dt ρ'=+∇⋅--vv v v 其中r r r r d V V V V dt t '∂'=+⋅∇∂r vv v ，ii x ∂'∇='∂ 。
因为真实力与参照系无关，故P P ''∇⋅=∇⋅一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为0d dtω=v，于是有 ()12r r r r V V V F P r V t ωωωρ∂'+⋅∇=+∇⋅-⨯⨯-⨯∂vv v v v v v v v 。
III.能量方程III －1能量方程的推导：t 时刻流体团τ所占控制体CV ，其边界CS ，能量平衡关系式：t 时刻()1系统能量增加率()()()234=++外力的功率单位时间内通过边界流入的热量单位时间内从外界吸收的其他能量其中2(1)()2d V U dt τρδτ=+⎰，U 代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）(2)n CSCVF V p V s ρδτδ=⋅+⋅⎰⎰⎰v v vv Ò=)3(CSf s δ-⋅⎰⎰v v ÒCSk T s δ=∇⋅⎰⎰vÒ，f v 为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体f k T =-∇v)4(设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q ，则(4)CVqd ρτ=⎰故能量方程积分形式为：2()2n CV CS CSCVd V U F V p V s k T s q dt τρδτρδτδδρδτ+=⋅+⋅+∇⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v v vv v乙因为()2222222222d V d V U U dt dt d d V V d V U U U dt dt dt τττττρδτρδτρδτρδτρδτ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰＝＋＝()()()()n CSCSCSCSCSp V s n P V s n P V s P V s P V δδδδδτ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∇⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰vv v v v v v vv乙乙?＝()CSCSk T s k T δδτ∇⋅=∇⋅∇⎰⎰⎰⎰v乙所以得到能量方程微分形式：2()()2d V U F V P V k T q dt ρρρ⎛⎫+=⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇+ ⎪⎝⎭v v v ， 其中()()ji ji i ji i i ji i ji ji ji ji j j j jp p V P V p V V p V p s p a x x x x ∂∂∂∂∇⋅⋅==+=++∂∂∂∂v 。