32 流体动力学基本方程分解
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流体力学中的三大基本方程ppt课件
2 ：单位重量流体所具有的动能；
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
26
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
27
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
28
3.2 伯努利方程的应用
① 可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
② 以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
理想和实际流体
稳态及非稳态流动
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x y z 0
or div 0
x y z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
9
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
div() 0
⑷二维平面流动： x y 0
在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。
31
列1、2两点的伯努利方程
：
z1
p1 r1
12
2g
z2
p2 r2
22
2g
z1
z
，
2
1
0
2
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
26
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
27
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
28
3.2 伯努利方程的应用
① 可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
② 以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
理想和实际流体
稳态及非稳态流动
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x y z 0
or div 0
x y z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
9
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
div() 0
⑷二维平面流动： x y 0
在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。
31
列1、2两点的伯努利方程
：
z1
p1 r1
12
2g
z2
p2 r2
22
2g
z1
z
，
2
1
0
2
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
τ0
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
流体动力学基础2分解
9
4-3
伯 诺 里 方 程 及 其 应 用
应用伯诺里方程的几个要点
1 注意使用均匀流的静压方程
p1
z1
C1，
p2
z2
C2
C1、C2分别代表两个不同的过 流断面， C1 C2
10
4-3
伯 诺 里 方 程 及 其 应 用
应用伯诺里方程的几个要点
2 尽量使用已知参数比较多的均匀流或缓变流断面， 注意基准面的选择
从两张纸中间吹气，纸张是合拢还是分开？
4 对付强劲的台风为什么要关窗户？ 5 龙卷风来了为什么要赶紧开门窗？ 6 飞旋镖、飞板为什么能自手中飞出后又回到身边？
14
4-3
伯 诺 里 方 程 及 其 应 用
1 飞机为什么能飞起来？——机翼升力 地面效应是如何产生的？
波音747飞机的巡航速度500m/s，机翼面积约 500m2，若在机翼上下面产生2.2m/s的速度差， 则产生约340吨的升力。而飞机自重180吨、载重 66吨。
z2 8 1.5 3.5 6m p2 pa 0, v2 ?
1个未知数，1个方程，可求解速度 v2 vc
上面的方程即为补充的方程
[解] 将上面的分析过程逆行写出即可。
相对压强 hc
pc
3.5mH2O
vc2 2g
2mH 2O
•水的汽化压强
绝对压强 pv 2340 pa hv 0.234mH 2O 若不计损失，压强 hc 9.766mH 2O
4
5 6
0.62
用
孔板流量计及其流量系数
0.60
104
105
d2 d1
7 8 9 10 11
106 12
v1d1
4
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学第六章流体动力学积分形式基本方程
右端为零。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第三节 动量矩方程
例题6.3 如图6.4所示，离心压缩机叶轮转
速为 ，带动流体一起旋转，圆周速度
为 u ，流体沿叶片流动速度为w ，流量
为Q，流体密度为 ，求叶轮传递给流体
的功率。
解：流体绝对速度为 c u w
当叶片足够多时，可认为流动是稳定的。取
则控制体内流体内能的增量将由辐射热提供，于是有
qR d
de dt
d
d dt
ed
qR
de dt
，即 （6.11）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
据系统导数公式（输运公式），有
d dt
ed
t
ed
A w
nedA
稳定流动时由式（6.11）、（6.12）可得
（6.12）
d
u
t
d
（b）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
A wr nwrdA u
A wr ndA
Fd
A pndA
t
wrd
u t
d
u t
d
（c）
由连续性方程可知
u
t
d
uA
wr
ndA
0
，则（c）式变为
Awr nwrdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
如图6.1所示，令 为控制体体积，A为控制面面积，n为 dA 控制面外
广东石油化工学院化工原理流体动力学基本方程
3、柏努利方程的讨论 、
1）流体在管道内作稳定流动时，流体的动能、位能和 ）流体在管道内作稳定流动时，流体的动能、 静压能可以互相转化， 静压能可以互相转化 ， 但管道内任一截面流体机械能 守恒。 守恒。
h1
h2
h3
h4
2）若u1 = 0，u2 = 0，则柏努利方程与流体静止的基本 ） ， ， 方程相吻合。所以， 方程相吻合 。 所以 ， 柏努利方程描述了流体流动和静 止的基本规律。 止的基本规律。
m1 u2 m 2 u2 m 1+ gz W gz + p1 ⋅V + m e = m 2 + + p2 ⋅V + m∑hf 2 2
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、柏努利方程
1面总机械能 = 2面总机械能 面总机械能 面总机械能
m1 u2 m 2 u2 m 1+ gz W gz + p1 ⋅V + m e = m 2 + + p2 ⋅V + m∑hf 2 2
浓硫酸（ 例 2： 某车间用压缩空气来压送 ： 某车间用压缩空气来压送98%浓硫酸 （ 比重为 浓硫酸 1.84），从底层送至 米高处。每批压送量 立方米， 米高处。 立方米， ） 从底层送至15米高处 每批压送量0.3立方米 要求10分钟压完 若压头损失为0.8米硫酸柱 分钟压完。 米硫酸柱， 要求 分钟压完。若压头损失为 米硫酸柱，管径为 Φ38×3㎜，试求压缩空气的最低表压。 × ㎜ 试求压缩空气的最低表压。
流体流量与流道面积之比。 流体流量与流道面积之比。（通过单位面积的体积 流量） 简称流速 流速。 流量）。简称流速。
Vs u= A
（2）质量流速 (mass velocity) G ）
流体动力学基本方程
u
（ 2 p2 p1 )
2 g ( 1 ) h
皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2
du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z
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ux
uy
uz
dxdydz
dxdydz
x
y
z
t
化简得
ux uy uz 0
t x
y
z
此式即为可压缩流体的连续性微分方程。
几种特殊情形下的连续性微分方程 ① 对恒定流，上式可简化为
ux uy uz 0
x
y
z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
ux u y uz 0 x y z
Q1 Q1
Q2 Q2
Q3 Q3
1 Q1
1
2
Q2
2 3
3
Q3
1
1
Q1
2
Q2
2
3 Q3
3
§4.3 理想流体的运动学微分方程
理想流体：指没有粘性的流体。流体中不存在切向表面力， 只存在法向表面力。
流体质点的加速度
牛顿运动第二定律：作用于物体的外力等于物体动量改变率，即：
F
d dt
(mu)
牛顿定律适用于流场中任一流体质点，
第二项：不可压缩流体定常流动，则
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
第三项：不可压缩流体定常流动，流线与迹线重合，则
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
uxdux
u y du y
u z du z
1 2
d
u2 x
u2 y
uz2
d(1 u2) 2
fxdx
f ydy
f z dz
f z dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx duy dt
dy duz dt
dz
fxdx
f ydy
f z dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx duy dt
dy duz dt
dz
第一项：质量力是定常力，且是有势力
fxdx f ydy fzdz dW
my
mz
ux
x
uy
y
uz
dxdydz
z
由于控制体的体积固定不变，所以，流进与流出控制体的总的质量差只 可能引起控制体内流体密度发生变化。由密度变化引起单位时间控制体内流 体的质量变化为
t
dxdydz
dxdydz
t
dxdydz
根据质量守恒定律，单位时间流进与流出控制体的总的 质量差，必等于单位时间控制体内流体的质量变化。即
f x dx dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
dxdydz
du dt
x
f x dx dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
dxdydz
du dt
x
整理：
fx
1
p x
du x dt
同理：
fy
1
p y
du y dt
fZ
1
p z
du z dt
uxdA
uxdA
ux
§3.4 连续性方程
在x轴方向，单位时间流进与流出控制体的流体质量差
mx
ux
ux
x
dx 2
dydz
ux
ux
x
dx 2
dydz
ux
x
dxdydz
同理，在y、z轴方向
my
uy
y
dxdydz
mz
uz
z
dxdydz
单位时间流进与流出控制体总的质量差
mx
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
A1 1 o
y
2 v2
A2 2
x
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
即 v1A1 v2 A2
总流的连续性方程
(一元定常流动）
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
即 v1A1 v2 A2
总流的连续性方程
(一元定常流动）
对于有分流或汇流的情况，根据质量守恒定律，有:
dt
dt
dt
2
gdz 1 dp d (1 u2 )
2
gdz 1 dp d (1 u2 )
第三章 流体动力学基本方程
§3.1 流体动力学基本概念
系统（质点系）：流体微团（质点）的任何集合 隔离体
系统的边界面：隔离出系统的假想表面
控制体：由空间点所组成的、用来观察流体运动的
任意一个空间体积（区域）
CV
控制表面：控制体的封闭边界
CS
§3.2 连续性方程
1 连续性微分方程
在流场中任取微元直角六面体ABCDEFGH作为控制体。设 流体在该六面体形心O΄（x、y、z）处的密度为ρ，速度为u。根 据泰勒级数展开，可得x轴方向的速度和密度变化，如图所示。
也适用于把流场作为一个整体来处理。
对于流体质点：
F m du dt
du : 质点运动速度改变率，即加速度
dt
§4.2 理想流体的运动学微分方程
微小平行六面体
dxdydz 中心点A（x,y,z),压强
p(x,y,z,t)
则六面体上作用着由压 强产生的法向表面力和 单位质量力fx，fy，fz
若表面力不能平衡质量 力，则微小流体必将产 生加速度a，因此在x方 向力平衡关系：
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx
du y dt
dy 有势力
fxdx f ydy fzdz dW
第二项：不可压缩流体定常流动，则
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
第三项：不可压缩流体定常流动，流线与迹线重合，则
dux dx duy dy duz dz d (1 u2 )
uz
u z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
f
x
1
p x
du x dt
fy
1
p y
du y dt
fZ
1
p z
du z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
理想流体的微小流束的伯努利积分
fxdx
f ydy
2 总流的连续性方程
如图，以过流断面1-1，2-2及侧壁面围成的固定空间为控制体V， 对其空间积分可得
V
u x x
u y y
u z z
dV
0
根据高斯定理，有
恒定流动
z
V
ux x
u y y
uz z
dV
undA
A
0
V
1
v1
un是u在微元面积dA外法线方向的投影。 因侧表面上un=0，故上式可简化为
u y x
uy
u y y
uz
u y z
f
z
1
p z
uz t
ux
u z x
uy
u y
z
uz
u z z
dux
dt
ux t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
du y
dt
u y t
ux
u y x
uy
u y
y
uz
u y z
du z
dt
uz t
ux
u z x
uy
u z y
f
x
1
p x
du x dt
f
y
1
p y
du y dt
f
Z
1
p z
du z dt
理想流体运动学微分方程 欧拉运动微分方程
f
x
1
p x
du x dt
f
y
1
p y
du y dt
f
Z
1
p z
du z dt
f
x
1
p x
ux t
ux
u x x
u
y
u y
x
uz
u x z
f
y
1
p y
u y t
ux