第五章流体动力学(动量方程及伯努利方程一)
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程是物理学中最基本且重要的方程之一。
它是关于流体运动的一组非线性方程，用于以数学方法描述流体运动，它被用于解决流动问题，如气体动力学、湍流流动和热流动。
伯努利方程由英国数学家兼流体力学家约翰·尼科（John von Neumann）在1946年初提出，它是一个具有三个未知量的非线性方程组，同时反映了运动的流体的动量、动能和动量守恒的特性。
伯努利方程的首要用途是计算几何体内流体的参数，它刻画了由于抗力矢量和动量耦合而引起的湍流运动流场。
伯努利方程指定了一个n维流体中特定目标位置上物体的物理参数，它具有一个参数向量，即，流速，流体密度，力学压力，温度和能量密度。
基本伯努利方程可以写成：
∇·（ρu）=0，
∇·u=0，
∇·P+ρ∂u/∂t=ρS，
其中ρ是流体的密度，u是流速，P是静压力，t是时间，S代表的是外力。
伯努利方程被广泛地应用于可解决多维流动，如水流、风流、温度场、抗静电场和对流传输等。
在主动低频技术中，伯努利方程还用于解决超声成像，超声测量和声学设计方面的应用。
它通常被用于数值分析，以解决流动问题的复杂性，并根据实验数据预测流体的行为。
因此，伯努利方程在现代物理学中扮演着一个重要的角色，它不仅可以帮助人们更好地理解流体的行为，还可以帮助我们更特别的设计有效的模拟和预测流体的行为。
流体力学流体动力学完美版PPT
h ' h
气〔ρ〕-液〔ρ’〕 h ' h
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 99.229.807
汽化压强
pgv 979.3.22891.803070.76m
p 12 v 1 2 ag 注z2意 z ：1 z 2-p z2 1 ——2 v 2 2 下 游p 断w面高 度减上游断面高度〔±〕； ——用相对ρ压a-ρ强—计—算外的界气大体气伯密努度利减方管程内
常与连续性微分方程 ux uy uz 0 联立 x y z
2.粘性流体运动微分方程〔粘性作用→切应力〕
f 1 p 2 u d u u u u d t t
——纳维-斯托克斯方程〔N-S方程〕
分量式
X 1 p x 2 u x u tx u x u x x u y u y x u z u z x
pAagz2z1v 2 29v 2 2
1 9 2 .8 1 .2 0 .8 9 .8 4 0 0 0 .8 v 2 9 0 .8 v 2
2
2
1 1 18 528 .6 7 2.48 即 27 2 6.6 724 .48
Y 1 p y 2 u y u ty u x u x y u y u y y u z u z y Z 1 p z 2 u z u tz u x u x z u y u y z u z u z z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程 〔1〕推导方法一
将〔1〕、〔2〕、〔3〕各式分别乘以dx、dy、 dz，并相加
g 2g
单位重量流体的机械能守恒〔总水头不变〕
2.粘性流体元流的伯努利方程
z1pg 12 u1 g 2 z2pg 22 ug 2 2hw'
流体动力学
（3）物理意义
p z g
——单位重量流体的总势能（m） ——位置水头+压强水头
u2 2g
——单位重量流体的动能（m）
——速度水头
p u2 z c g 2 g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
只有重力 gdz
p 不可压缩恒定流 dp d 1
2 2 ux uy u z2 u2 d d 2 2
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
是无旋流
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
1 f p 0
（2）运动微分方程
1 du u f p u u dt t
2
p2 2
v2 1
p1
v1
θ
α F
Fx
1
Fy
e.动量方程
x : p1 A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
y : p2 A2 sin Fy Qv2 sin 0
f.解出Fx、Fy
2 p2 2
F Fx2 Fy2
tg Fy Fx
p1 p2 Q v1 A1 2g z1 z2 K h 4 g g d1 d 2 1
5.流体力学-实际流体动力学基础-wyj
学习重点
➢掌握实际流体能量方程、动量方程； ➢掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用
三大运动方程解决实际问题；
➢了解N—S 方程。
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学习内容
伯努利方程 (能量方程)
动量方程
实际流体运 动微分方程
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§5—1 实际流体运动微分方程
一、以应力表示的实际流体运动微分方程
式 5—5
13
三、N—S 方程
将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可
得N—S方程（p166 5—6式）。
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
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四、实际流体运动微分方程积分
1、积分条件：
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
ux z
)
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实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
11
2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
p ——平均压应力
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
4>列动量方程求解。
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几点说明：
1>方程是矢量式，正确取好外力和速度的正负号；
2> 建立坐标系应尽量使问题简化；
3> 计算断面为渐变流断面（中间可为急变流）；
5-理想流体流动-new
点汇位势流动
y
ψ=c
点
r
源
M
θ
O
x
点 汇
30/46
不同流动叠加
势流的叠加原理 叠加两个或更多的流动组成一个新的复合流动，要想得到该复合流动的流
函数（势函数），只要把各原始流动的流函数（势函数）简单地代数相加起来 就可以了。
可以复杂的流动分解成几个简单的流动，分别推导出这些简单流动的流函 数（势函数），然后把它们进行代数相加，即可得到所欲求的复杂流动的流函 数（势函数）。
x y z
无旋 () g 1 grad p
t
0
１控制方程
2 方程的解
3 速度场求法
2 2
x2 y2 0
2
x 2
2
y 2
0
＋边界条件
(x, y)
(x, y)
ux
φ x
uy
φ y
x
y
,
y
x
4 压力场求法
() g 1 grad p
t
27/46
均匀位势流动
dφ
φ x
dx
φ y
dy
0 v2v2 A2 sin 0 Fy
设F为管内流体与管外大气与管道的作用力
则可求得 F=
18/46
§５.1 理想流体微分形式动量方程与伯努利方程 §５.2 伯努利方程简单应用 §５.3 理想流体积分形式控制方程
§５.4 理想流体微分形式方程解析解
19/46
理想流体微分形式控制方程
一
t
x
y
Q
4U 0 Q
, ,
2
3
4U 0
2
49/46
流体力学伯努利方程例题鲍达公式
流体力学伯努利方程例题鲍达公式流体力学三大方程是连续性方程、能量方程、动量方程。
流体力学是力学的一个分支，流体本身的静止状态和运动状态以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动规律。
流体力学三大方程一、流体力学之流体动力学三大方程1、连续性方程，依据质量守恒定律推导得出；2、能量方程（又称伯努利方程），依据能量守恒定律推导得出；3、动量方程，依据动量守恒定律（牛顿第二定律）推导得出的。
二、适用条件：流体力学是连续介质力学的一门分支，是研究流体(包含气体，液体以及等离子态)现象以及相关力学行为的科学纳维-斯托克斯方程基于牛顿第二定律，表示流体运动与作用于流体上的力的相互关系。
纳维-斯托克斯方程是非线性微分方程，其中包含流体的运动速度，压强，密度，粘度，温度等变量，而这些都是空间位置和时间的函数。
一般来说，对于一般的流体运动学问题，需要同时将纳维-斯托克斯方程结合质量守恒、能量守恒，热力学方程以及介质的材料性质，一同求解。
由于其复杂性，通常只有通过给定边界条件下，通过计算机数值计算的方式才可以求解。
流体力学介绍流体力学是力学的一个分支，主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动规律。
流体力学既包含自然科学的基础理论，又涉及工程技术科学方面的应用。
以上主要是从研究对象的角度来说明流体力学的内容和分支。
此外，如从流体作用力的角度，则可分为流体静力学、流体运动学和流体动力学；从对不同“力学模型”的研究来分，则有理想流体动力学、粘性流体动力学、不可压缩流体动力学、可压缩流体动力学和非牛顿流体力学等。
伯努利方程原理
伯努利方程原理伯努利方程原理是流体力学中的重要定律，描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为。
它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理而推导出来的。
我们来了解一下伯努利方程的基本概念。
伯努利方程是描述流体在沿流动方向上速度变化时，压力、速度和高度之间的关系。
它的数学表达形式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度。
这个方程表明，在不受外力作用的情况下，当流体速度增大时，压力会减小；当流体速度减小时，压力会增大。
伯努利方程原理的推导基于三个基本原理：质量守恒、动量守恒和能量守恒。
质量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的流体质量保持不变。
这意味着如果流体速度增大，流体密度会减小；如果流体速度减小，流体密度会增大。
动量守恒原理表明在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的动量保持不变。
根据牛顿第二定律，动量等于质量乘以速度，因此当流体速度增大时，流体的动量也会增大；当流体速度减小时，流体的动量也会减小。
能量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的能量保持不变。
根据能量转化的原理，当流体速度增大时，其动能增加，而静压能减小；当流体速度减小时，其动能减小，而静压能增加。
基于以上三个原理，我们可以推导出伯努利方程。
在流体静止的情况下，即流体速度为零时，伯努利方程可以简化为：P + ρgh = 常数这个方程表示了在不同高度处流体的压力之间的关系，即流体的压力随着高度的增加而增加。
总结一下，伯努利方程原理是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理推导出来的。
它描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为，即流体速度的增大导致压力的减小，流体速度的减小导致压力的增大。
伯努利方程的应用非常广泛，例如在飞机的升力产生、水管的流量控制等领域都有重要的应用。
了解伯努利方程原理可以帮助我们更好地理解和应用流体力学知识。
流体力学伯努利方程及动量方程
p1 gh1 p2 gh2 ghp
p1
g
h1
p2
g
h2
hp
( p1
g
h1)
( p2
g
h2 )
hp
而 h1 h2 Z1 Z2 hp
( p1
g
Z1 )
(
p2
g
Z2)
hp
hp
hp
注意：
水(ρ)-水银(ρ’) 气(ρ)-液(ρ’)
' h hp
h
'
hp
34
第三节 恒定总流的伯努利方程
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
3
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
v3dA
v3 A
——动能修正系数
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
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取1-2面间空间为控制体
1.dt时段内流束动量变化量
dM M12 M12
(M
12
M
22
)
(M 11
M12 )
M 22 M 11
dm2u2 dm1u1
dQdtu2 dQdtu1
2.dt时段内总流动量变化量
总流动量方程
由定理得
dM
dt
Q(V2
V1 )
F
∑F —作用在控制体上的合外力2x V1x ) Fx
Q(V2y V1y ) Fy
Q(V2z V1z ) Fz
等号左边意义为，单位时间内流出控制体的动量 减去流进的动量。
3 v3 3
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
R′ v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
方程可以推广到微小流束。
p2 u2 z2 y
二、微小流束伯努利方程的意义
z — 位置水头；
单位重量流体 具有的位能（比位能）
（m液柱） — 压力水头；
单位重量流体 具有的比压能 （m液柱） — 速度水头；单位重量流体具有的比动能（m液柱）
— 测压管水头； 单位重量流体 具有的比势能
H—总水头； 单位重量流体的总机械能，总比能
沿流线伯努利方程又称微小流束的伯努利方程 理想流体总水头线为水平线，表明机械能守恒
粘性流体微小流束的伯努利方程
一、微小流束的伯努利方程 1.方程
hl'
hl′— 损失水头； 单位重量流体在1，2两断面间损失的机械能
表明实际流体，沿流动方向机械能总是减少的。
2.总水头线 H1 = H2 + hl′ H1 > H2
§5.5 理想流体运动微分方程的伯努利积分
一、微小流束伯努利方程 欧拉运动方程积分条件
1. 不可压缩流体定常流动 2.沿流线积分 3.流体仅在重力场中
将欧拉方程各式改造相加： (1) × dx+(2) × dy+(3) × dz:
得到下式
由积分条件 1. 不可压缩流体定常流动
dp(x, y, x)
dM
dt
A2 A2
dQu2 u2dQ2
dt A1
dt
dQu1dt
A1 u1dQ1
引入断面平均流速
(02V2Q2 01V1Q2 )dt
Q(02V2 01V1)dt
α0—动量修正系数，α0=1.02-1.05，工程中取1
p1
2
(v2 2
v12 )
2
v2
2
[1
(
d2 d1
)4 ]
2
4Q
(d 2
)2[1 ( d2 d1
)4 ]
1000 ( 4 25 / 3600)2[1 (0.02)4 ] 2.38 105 Pa
2 0.022
0.05
沿流向取为x 方向 列动量方程
由积分条件 2.沿流线（即沿迹线）积分
等号右端为
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
方程化简为
由积分条件 3.仅在重力场中
∴ X=0, Y=0, 进一步化简为
Z= -g
积分得
上式称为沿流线的伯努利方程
z
方程表示流线上各点 u, p, z 三者间关系；
u1 p1 z1 x
hl — 单位重量流体的平均水头损失 （粘性内摩擦力引起）
总流伯努利方程
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
实际流体流动过程机械能总是减少的。
粘性流体总流的伯努利方程
1.缓变流—流线为近似平行直线的流动 2.急变流—流线间夹角较大、曲率较大
缓变流特性 过流断面上
单位时间内微小流束上下游断面通过的总机械能 单位时间通过总流1-1，2-2断面总机械能
α—动能修正系数 实测α= 1.05~1.1 ，工程上α≈ 1
例题2：已知水枪喷嘴直径
d1=50mm,d2=20mm,流量 Q=25m3/h。
d1
求：1.喷嘴接头拉力；
2.射流对平板冲力。
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
v2 Rx′
解：1.取1-1，2-2面之间控制体，列伯努利方程
0 p1 v12 0 pa v22
2g
2g
( pa 0)
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R′ v2
R
1
2
R
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.022
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38 105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N