伯努利方程

理想流体的伯努利 方程
z p
粘性流体的伯努 利方程
x
1 p

dvx dt


v
2
C
2g
z1
p1
Y
应用广泛.但不能解决诸如二维 dvz 1 p 流动、三维流动的问题。 Z z dt 故还需要用粘性流体运动的微 X、Y、Z：单位质量流体所受的质 分方程。 量力在坐标轴方向上的三个分量。
p x
dx
p y
dy
p z
dz
质 量 力 只 有 重 力 ： X Y 0, 不 可 压 缩 流 ： co n st
宗燕兵
Z g
gdz d ( p ) d( v
7
2

)
2
gdz d (
p

) d(
v
2
)
2
2
积分：

z2 z1
( g )dz v1
在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不 鲜见，然而，伯努利家族3代人中产生了10 多位数学家、科学家，出类拔萃的至少有3位。
一、公式推导
对于欧拉方程，考虑以下特殊条件： 1.理想流体； 2.稳定流动； 3.不可压缩流体； 4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。
X 1 p
x

2

p2 p1
d( p2
p

) v2

2
v2 v1
d(
v
)
2
有
z1 z
p1

p

2g v
2
z2 C


2g
或

2g
3
理想流体沿流线的伯努利方程
— 流 体 的 重 度 ， N/m ;
C—常数；
1和2——同一流线上的两点
宗燕兵
8


1、写出理想流体沿流线的伯努利方程 2、写出理想流体在Y方向上的欧拉方程 3、试从欧拉方程推导伯努利方程（要求 以微元体在Y方向上的受力为例作详细推 导）
y
1 p
dy d (
vy 2
)
Zdz
z
dz d (
vz 2
2
三式相加，
)
（ v v x v y v z）
2 2 2 2
( X dx Ydy Z dz )
1

(
p x
dx
p y
dy
p z
dz) d (
v
2
)
2
稳 定 流 下 ： dp
宗燕兵 22
y

dv y dt


v1
2
2g
z2
p2


v2
2
p
2g
理想流体运动的微分 方程——欧拉方程
1 p dvx dt
实际流体的流动
X
x
1 p

X
增加一个粘性项
1 p
x
1 p
Tx
dvx dt
Y Z
y
1 p

dv y dt dvz dt
宗燕兵 2
§3.4
理想流体沿流线的伯努利方程
总水头线
b
b'
v2 / 2 g
2
v1 / 2 g
2
c
静水头线
p1 / g
c'
z
C
p


v
2
C
2g
1
p2 / g
z1 z2
2
a
a'
意义：反映了在重力作用下的理想不可压缩流体稳定流 动中，沿同一流线上，单位重量流体具有的位能、压能 和动能的相互转换和守恒关系。
9810
（小于大气压）
宗燕兵
17
二、伯努利方程的应用——毕托管
用途：测量流场内某点流速的仪器。
依据：沿流线的伯努利方程。 原型: 直角管两端开口，一端面向来流，另一端向上， 管内液面高出水面H。 A端形成一驻点（速度为0），驻点处的压力称为总压力。 B点在A点的上游，与A点位于同一水平流线，不 受侧管影响。
A x
T A
N
B C
A：流体层接触面的面积，m2。
:内 摩 擦 应 力 或 粘 性 应 力 ， N / m
yx
2

vx y
(由 速 度 梯 度 产 生 , 作 用 于 流 体 接 触 面 上 ， 方 向 在 x 轴 上 。 )
沿x轴方向的粘性力由 v x 在在三个方向上的 速度梯度产生。 宗燕兵
第三章 流体动力学基础
§3.1 流体流动的描述、分类
§3.2 §3.3 §3.4 §3.5
§3.6
流体流动的连续性方程 理想流体运动的微分方程 理想流体沿流线的伯努例方程 理想流体沿流线的伯努例方程
粘性流体的运动微分方程
宗燕兵
1
X
1 p
x
1 p

dvx dt
Y Z
y
1 p
y
x dx
E
所以，v x 在AC和EG两个面上产生的粘性应力之和为

vx
2
x
2
2
dx
粘性力为：
宗燕兵
vx x
2
dxdydz
25
v x 在AC和EG两个面上产生的粘性力之和为

vx
2
C B
G
x
2
dxdydz
z
vy
F
vz
dz
vx
D
H
dy
同理，在BE和CH二面上产生的粘性应力之和为

vx
2
x
2
dxdydz
vx
2
y
2
dxdydz
vx
2
vy
D
H
dyHale Waihona Puke Baidu
z
2
dxdydz o
y
A
x dx
E
用 d x d y d z除 上 式 ， 得 单 位 质 量 流 体 在 x 轴 方 向 上 的 粘 性 力 Tx

(
vx
2
x
2

vx
2
y
2

vx
宗燕兵
9
伯努利方程中各项的物理意义和几何意义
z p


v
2
总水头线
C
b
v1 / 2 g
2
b'
v2 / 2 g
2
2g
c
三项具有长度的量纲，表示某种高度。 单位重量流体的三种不同流量形式。 z 流体对于基准面的位置高度；单位重量 流体流经该点时相对于基准面的位能。
p
静水头线
p1 / g
c'
2 2
v y dz vz dy,
vx z
vz dx vxdz
1 p
x
dx vx (
dx
dy
dz )
2
vxdvx
d(
)
类似的，
Ydy
1 p
y
1 p
)
Zdz
宗燕兵
z
)
6
Xdx
1 p
x
1 p
dx d (
vx 2
2
2
)
Ydy
2
z
2
)
用 相 同 的 方 法 可 以 得 到 ， 单 位 质 量 流 体 在 y轴 和 z轴 方 向 上 的 粘 性 力 Ty Tz

(
vy
2
x
2
2

vy
2
y
2
2

vy
2
z
2
2
)
vz
(
2
x 宗燕兵

vz y
2

vz z
2
)
27
实际流体的流动

dv y dt dvz dt
z
说明：对不可压缩的和可压缩的理想流体均适用。 一般地，质量力是已知的，式中共有未知数五个：
,
p,
vx ,
vy ,
vz
以上三个方程式，若加上连续性方程及状态方程就构成 问题的完备方程组，再根据具体问题的初始和边界条件， 就从理论上理论上提供了求解这五个未知数的可能性。
（2）为了确定A点的压强，沿流线1点和A点列出 伯努利方程： 2 2
z1 p1


v1
2g
zA
pA


vA
2g
v1 0 在 A点 和 2点 处 应 用 连 续 性 方 程 由 于 A A A2 , 有 v A v 2， v A A A v 2 A2
因为出口管截面上速度均匀分布，
y
A
o
x
dx
E

vx
2
y
2
dy vx
2
粘性力为：

y
2
dxdydz
v x 在DE和CF两个面上产生的粘性力在x轴上之和为

宗燕兵
vx
2
z
2
dxdydz
26
沿x轴方向的粘性力（由
v x产生）
B
C
G
三式相加，得微元体六个面上的 粘 性 力 在 x轴 上 的 投 影 ：
F
vz
dz
vx
z
解:（1）选定虹吸管的出口处为基准面，沿 流线的1、2点列出伯努利方程：
z1 p1 v1
2

2g
z2
p2


v2
2
2g
因为液面高度保持不变,故v1相对于v2来 说可以忽略不计，即
v1 0 ; 又 p1 p 2 p a
15
宗燕兵
于是 或
z1 z 2
v2
2
2g
v 2 2 g ( z 1 z 2 ) 2 9 .8 1 7 1 1 .7 m / s
C
1
p2 / g

2
流体因具有压强p而可在管中上升的 高度；单位重量流体流经该点时相对 于基准面的压能。
z1 z2
2 a a'
v
2g
流体以速度v反抗重力向上自由喷射所能达到 的高度；单位重量流体流经该点时所具有的动 能。
宗燕兵 10
z
p


v
2
C
2g
意义：反映了在重力作用下的理想不可压缩流体稳定流 动中，沿同一流线上，单位重量流体具有的位能、压能 和动能的相互转换和守恒关系。
Y Z
y
1 p
Ty Tz
dv y dt dvz dt
z
z
T x、 T y 、 T z 是 作 用 在 单 位 质 量 流 体 上 的 粘 性 力 在 x、 y、 z轴 上 的 投 影 。 N/kg
下面来求三个坐标轴上粘性力的投影。
宗燕兵 23
y
牛顿内摩擦定律（又称牛顿粘性定律）： 流体流动时流体的内摩擦力（又称粘性力）
宗燕兵
11
伯努利方程成立的5条件： 1.理想流体； 2.稳定流动； 3.不可压缩流体；
4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。
z
p


v
2
C
2g
流速大的位置压强小，流速小的位置压强大。
宗燕兵
12
宗燕兵
13
1.
飞机升空的原理
宗燕兵
14
例题：如图所示为一虹吸管， 水从一个大容器经虹吸管流入 大气中，若出口截面上流速均 匀分布，试求出口处的流速及 A点处流体的压强。设液面高 度保持不变。
24
x轴方向上的粘性力（由
v x 产生）：
vx x
vx
2
AC面上的粘性应力： A C , x
EG面上的粘性应力： E G , x
C B
vz
G
F
dz
vx
(
vx x
x
2
dx)
z o
vy
D
H
dy
v x 相对的两表面上产生的粘性应力方向相反， A
AC ,x与 EG ,x方 向 相 反
宗燕兵
故 v2 v2 .
16
pA

( z1 z A )
p1


v2
2
2g v2
2
p A ( z1 z A ) p1

1 1 .7
2
2g
5
( 1)9 8 1 0 1 .0 1 1 0 2 .3 1 1 0 N / m
3 2
2 9 .8 1
dx vz
vx z
dx
5
Xdx
1 p
x
dx vx
vx x
dx v y
vx y
dx vz
vx z
dx
沿流线移动，流线微分方程式
dx vx
Xdx

dy vy

dz vz
vxdy v y dx,
vx x vx y vx 2
dy d ( vy 2 dz d ( vz 2
X 1 p
Tx

x
1 p
Tx
dvx dt
x y z 2 2 2 vy vy vy Ty ( ) 2 2 2 x y z
2 2 2
(
vx
2

vx
2

vx
2
)
Y Z
y
1 p
Ty Tz
v
2g
U
H
2 9 .8 1
0 .8 1 0 9 .8 1
3
0 .0 0 5
5 .1 3
1 2 .3 m / s
宗燕兵
21
3.5 粘性流体的运动微分方程
（实际流体运动的微分方程;N-S方程） 基于牛顿第二 定律推导了理 想流体运动的 微分方程—— 欧拉方程
X 1 p
H
pA (H 0 H ) pB H 0
H0 B A
宗燕兵
18
应用伯努利方程于A、B两点：
(z
p
0
pB


vB 2g
2
0
pA


v
2
C)
H
2g

0
H0 B A
pA pB
因为：
vB 2g
2

pA (H 0 H ) pB H 0
vB 2g
式中 pA — 总 压 ， pA (H 0 H ) pB — 静 压 ， pB H 0
2 gH
vB 2g (由 于 运 动 产 生 的 压 力 )
19
2

( pA pB )
— 动 压 ， N/m
2
宗燕兵
pA pB
vB 2g
2

式中 pA — 总 压 ，
vB 2g
2
H
pB — 静 压
2
＝ PA - P B U H 动 压 ， N / m
vB
宗燕兵
2g
U
H
20
例题:一毕托管安装在某烟道内, 与毕托管连接的酒精压差计读数 为h=5mm,酒精的相对密度为 d=0.8,若烟气温度400℃时其重 度为γg=5.13N/m3,求测点处烟气 的流速。
dvx dt

vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
稳定流动
vx t
0
X 1 p vx vx x vy vx y vz vx z
x
两边乘以dx
Xdx
宗燕兵
1 p
x
dx vx
vx x
dx vy
vx y