7第七章伯努利方程式和其应用
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用伯努利方程，又称为伯努利定律，是流体力学中的一个基本原理。
它描述了在稳态流动中，沿流线方向流体的总能量保持不变。
伯努利方程可以应用于各种流体系统，包括液体和气体，并在航空、水利工程等领域得到广泛应用。
1.流体是理想流体，即无黏度和无压缩性；2.流体是稳态流动，流线保持不变；3.流体受到重力和压强力的作用，无其他外力。
根据以上假设，伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
1.飞行原理：伯努利方程解释了飞机飞行的基本原理。
当飞机飞行时，上表面的气流速度大于下表面的气流速度，根据伯努利方程，气流速度增大意味着气流压强降低，因此上表面的气流压强小于下表面，形成了一个向上的升力，使得飞机能够起飞和保持在空中。
2.水力工程：伯努利方程在水流中的应用非常常见。
例如，当水流通过一条管道时，根据伯努利方程，水流速度越大，压强越小。
这一原理可以应用于水泵、水轮机等设备的设计和运行。
3.血液循环：伯努利方程被广泛应用于心脏和血管的研究。
心脏将血液推入血管中，根据伯努利方程，血液速度增加意味着血液压力下降，这有助于保持正常的血流循环。
4.涡轮机：伯努利方程被应用于涡轮机的设计和优化。
涡轮机利用流体动能转换为机械能，在伯努利方程的基础上进行流体的流动和能量转换的计算，可以进行涡轮机的性能预测和优化设计。
总之，伯努利方程是流体力学中非常重要的一个原理，它描述了流体在稳态流动中能量守恒的基本规律。
通过应用伯努利方程，可以更好地理解和解释许多与流体流动和能量转换相关的现象和实际问题。
伯努利方程及各项物理意义
伯努利方程及各项物理意义伯努利方程是描述流体力学中流体运动的基本方程之一，它基于能量守恒定律，并可以用来描述积分流体的速度、压力和高度之间的关系。
伯努利方程在许多物理学领域都有广泛的应用，例如大气动力学、飞行器设计、水力工程和生物流体力学等。
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant其中，P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体元素的高度。
伯努利方程的右边是常数，称为伯努利常数。
这意味着当流体沿着流线运动时，其压力、速度和高度之间的组合始终保持不变。
1.压力项（P）：压力是流体在单位面积上的力，是由于分子与容器壁或者其他分子之间的碰撞而产生的。
伯努利方程中的压力项表示了流体的静态压力能。
2.动能项（1/2ρv^2）：动能是流体由于其速度而具有的能量，其大小与流体的质量和速度的平方成正比。
伯努利方程中的动能项表示了流体的动能。
3. 重力势能项（ρgh）：重力势能是根据物体的重量和高度计算的，表示了物体由于其位置而具有的能量。
伯努利方程中的重力势能项表示了流体的重力势能。
1.流体力学：伯努利方程可以揭示流体在不同速度和位置之间的能量转化过程，并可以用来计算流体的压力、速度和高度等参数。
例如，可以用伯努利方程研究水流在河道中的变化、空气流动在管道中的变化等问题。
2.飞行器设计：伯努利方程在飞行器设计中有着重要的应用。
例如，伯努利方程可以解释为什么飞机的翼型在上表面凸起、下表面凸面，以及翼型设计如何影响升力和阻力等问题。
3.水力工程：伯努利方程在水力工程中的应用广泛。
例如，可以用伯努利方程来计算水压力、水流速度和水位高度等参数，以评估水坝的稳定性、水流的流量以及水泵的性能等问题。
4.生物流体力学：伯努利方程在生物流体力学中也有重要的应用价值。
例如，可以用伯努利方程来研究血液在动脉和静脉中的流动情况，以及心脏瓣膜的功能等问题。
综上所述，伯努利方程是流体力学中重要的基本方程之一，它描述了流体运动中的能量转化过程，并可以用来计算流体的压力、速度和高度等参数。
伯努利方程原理及其应用
伯努利方程原理及其应用伯努利方程是流体力学中的重要原理之一，描述了沿着流体流动方向的速度、压力和高度之间的关系。
该方程是瑞士科学家丹尼尔·伯努利在18世纪中叶所提出的，并以他的名字命名。
伯努利方程原理基于流体的连续性和能量守恒定律，可以用来解决许多与流动相关的问题。
其基本形式可以表示为：P + 1/2ρv^2 + ρgh =常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，h表示流体的高度，g表示重力加速度。
此方程表明，在沿着流体流动方向的区域中，压力、速度和高度之间存在一种平衡关系，当一方发生变化时，其他两方也会随之发生相应的变化。
伯努利方程的应用非常广泛，下面我们将介绍其在多个领域中的具体应用。
1.液体流动伯努利方程可以应用于液体在管道和河流中的流动问题。
例如，在水力工程中，可以根据伯努利方程来计算水的压力和速度，从而确定水流是否顺畅。
此外，伯努利方程还可以应用于液体泵抽水的计算和涡轮机工作原理的分析，以及血液在动脉和静脉中的流动研究等。
2.汽车空气动力学伯努利方程在汽车设计中有重要的应用。
例如，在高速行驶时，汽车前进方向上的气流速度会增加，根据伯努利方程，气流速度增加就意味着压力降低。
这就解释了为什么汽车行驶时，车顶、车窗等地方的压力较低，从而产生了吸力，有利于汽车行驶稳定。
3.飞行器气动力学伯努利方程在飞行器气动力学中的应用非常重要。
在飞行过程中，飞机可以通过改变机翼形状和改变进气口的面积来调节气流速度和压力的分布，从而实现升力和稳定性的控制。
伯努利方程提供了一种描述飞行器气动表现的重要工具。
4.涡旋产生与气旋的形成伯努利方程也可以解释涡旋的产生和气旋的形成。
当流体经过结构物表面或物体尖部时，流体速度会增加，从而使压力降低。
这种速度增加和压力降低导致了涡旋产生。
类似地，大气中气流速度和气压的变化也会导致气旋的形成。
伯努利方程的应用还远不止于上述几个领域，例如喷射器的工作原理、风力发电工程中的风能转换等。
伯努利方程的原理和应用
伯努利方程的原理和应用1. 什么是伯努利方程伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，用于描述理想流体的运动。
它基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，可以通过对流体在不同位置和时间上的性质进行分析，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
2. 伯努利方程的表达形式伯努利方程可以写成以下形式：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P是流体的静压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
3. 伯努利方程的原理伯努利方程的原理即基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，通过分析流体在不同位置上的性质，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
3.1 质量守恒质量守恒是指在封闭系统中，质量的总量是不变的。
在流体力学中，当流体通过一个管道或槽道时，质量的净流入量等于质量的净流出量。
3.2 动量守恒动量守恒是指在封闭系统中，动量的总量是不变的。
在流体力学中，动量的变化可以通过推导出的动量方程来描述，而伯努利方程就是基于动量守恒推导出来的。
3.3 能量守恒能量守恒是指在封闭系统中，能量的总量是不变的。
在流体力学中，能量的变化可以通过推导出的能量方程来描述，而伯努利方程也是基于能量守恒推导出来的。
4. 伯努利方程的应用伯努利方程广泛应用于流体力学和工程学中，可以用于解决多种问题。
以下是一些常见的应用情况。
4.1 流速和压力关系根据伯努利方程，当流体的速度增加时，压力会减小；当速度减小时，压力会增加。
这个关系在管道系统和飞机翼等领域起到重要作用，可以帮助我们设计高效的流体系统。
4.2 流速和高度关系当流体的速度增加时，其高度会降低；当速度减小时，高度会增加。
这个关系在水力发电站和喷气式飞机等领域有重要应用，可以帮助我们设计高效的能量转换系统。
4.3 压力和高度关系根据伯努利方程，当流体的压力增加时，其高度会降低；当压力减小时，高度会增加。
这个关系在水泵和水塔等领域常常被应用，可以帮助我们调节流体的压力和高度。
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。
在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。
伯努利方程p+ρgh+(1/2)*ρv²=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。
它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。
伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。
相关应用（1）等高流管中的流速与压强的关系根据伯努利方程在水平流管中有p+(1/2)*ρv²=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。
在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。
下面就是一些实例伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
三、伯努利方程的应用：1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。
由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。
汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
伯努利方程的推导及其实际应用
楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0一，伯努利方程的推导1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。
伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。
同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。
作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。
在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。
既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。
所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。
2，流体体积不可压缩。
需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。
因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。
但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。
假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。
如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。
某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。
由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。
则有如下三个事实：1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx22：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知）3：细管中相应液体的机械能发生了变化。
大学物理伯努利方程及其应用
1 2 1 2 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2 1 2 或 P v gh C 2
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用
表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2 外压力所做的功； P 1 P 2
A1 F1v1t P 1S1v1t P 1V A2 F2v2 t P2 S2v2 t P2 V
由功能原理 ：
Δt
S1
S2
P h2p 即
h1
1 2 2 (P P ) V ( v v 1 2 2 1 ) V g ( h2 h1 ) V 2
（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。 （4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v 之间的关系。
三、伯努利方程的应用
小孔流速 如图所示，且SB＜＜SA，以 A、B 两点为参考点， 由伯努利方程：
SA
SB
SB S A v A S B v B 可知， v A v B 0 SA 选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得
得 v2 = 4v1 = 4 m•s-1
又由 得
1 2 1 2 p1 v1 p 2 v2 2 2 1 2 p1 p2 v2 v12 2 1 1.0 103 4 2 12 7.5 103 Pa 2
例 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。 如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2, 管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动， 求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用1. 什么是伯努利方程？伯努利方程是流体力学中的一个基本定律，描述了在无粘度、无旋流体中的流动情况。
它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理推导而来的，并且广泛应用于航空、航天、水利工程等领域。
2. 伯努利方程的表达式伯努利方程的表达式如下：P + ρgh + 1/2ρv^2 = 常数其中：•P表示流体的压力；•ρ表示流体的密度；•g表示重力加速度；•h表示流体的高度；•v表示流体的速度。
这个方程表明，在无粘度、无旋的条件下，沿着流体的流向，在任意两点之间，流体的总能量保持不变。
3. 伯努利方程的原理伯努利方程的原理可以通过以下几点来解释：3.1 流体的连续性根据质量守恒定律，单位时间内通过任意横截面的流体质量是不变的。
根据这个原理，可以得出流体的连续性方程。
3.2 流体的动量守恒根据动量守恒定律，流体流动时，外力对流体的加速度产生一个作用力，这个作用力可以通过压强的变化来描述。
当流体的速度增大时，压强减小，反之亦然。
3.3 流体的能量守恒根据能量守恒定律，流体的动能和势能之和保持不变。
当流体速度增大时，动能增加，而势能减小，反之亦然。
综合考虑以上几点，可以得出伯努利方程的原理。
4. 伯努利方程的应用伯努利方程的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：4.1 管道流动伯努利方程可以用来分析和计算管道中的流体流动情况，如水流、气流等。
通过测量不同位置的压力和速度，可以计算流体的流速、流量以及阻力等参数，对管道的设计和优化具有重要意义。
4.2 飞机和汽车的空气动力学在飞机和汽车的设计中，伯努利方程被广泛应用于空气动力学的分析。
通过伯努利方程可以计算流体在机翼或车身表面的压力分布，从而确定升力和阻力的大小，对飞机和汽车的性能进行评估和改进。
4.3 水利工程伯努利方程在水利工程中也有重要应用。
例如，在水流中测量水压和流速，可以根据伯努利方程计算水流的高度、速度和流量，对水库、水泵和水轮机等的设计和运行进行分析和优化。
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于是
Xdx
Ydy
Zdz
1
dp
d
w2 2
1
p t
dt
（7.2）
式（7.2）就是沿流线的欧拉方程式。如果已知压力和密度的关系及
其随时间的变化规律，以及质量力的特性，上式就可进行积分，由此
求出速度场。
二、无旋运动流场
对于无旋流场，有如下特性
w y x
wx wx y ， z
wz x
wz
，y
w y z
以力为单位的各项乘以长度dx、dy、dz，并进行积分。式中三项分别为压
力能，位能（势能）和动能。也就是说在符合限定条件的情况下，流场中
各点的三种能量尽管它们可以互相转换，但其总和是不变的。这三种能量
统称为机械能。
伯努利方程式可以有不同的形式，式（7.6）各项表示单位质量流体的
能量。
如将式（7.6）除以g，则伯努利方程式的形式为
2的位置z1和z2，是不会改变的。动能一项受连续性条件的约束，只要流通 截面A1，A2不变，也是不会改变的。唯一可能改变的是压力能，所以
p2 p1 ，因而使
gz1
p1
w12 2
gz2
p2
w22 2
（7.7）
或者写成
gz1
p1
w12 2
gz2
p2
w22 2
hw
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第七章 伯努利方程式及其应用
wydx wxdy ， wzdx wxdz ， wydz wzdy 代入式（5.8）第1式，可得到
X
1
p x
wx
wx x
wx
wx y
dy dx
wx
wx z
dz dx
wx t
等式两边均乘以 dx 得到
Xdx
1
p x
dx
wx
wx x
dx
wx
wx y
dy
wx
wx z
dz
wx t
dx
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图7.1 缓变流流线
缓变流具有如下特性：
w2
引起（的1）惯由性于力缓即变离流心流力线也的就曲很率小很。小所，以流对体于的缓向变心流加流速场度，仍r可认便为很质小量，力由此
仅为重力，即
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第七章 伯努利方程式及其应用
第三节 实际流体的总流伯努利方程式
X 0 ，Y 0，Z g
或者
Z
dU dz
第二节 实际流体的伯努利方程式
式中 hw 代表流体由截面1流至截面2所受的阻力损失，也就是实
际流体流动时损失的机械能。这部分损失的机械能，转变为热能，增
加了流体的内能。hw 的计算在第九章中讨论。
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第七章 伯努利方程式及其应用
第三节 实际流体的总流伯努利方程式
在讨论实际流体总流的伯努利方程式
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式
伯努利方程式的应用
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式的另一种形式，称为葛
罗米柯方程式。
令U为质量力函数，P为压力函数，使得
X
U x
，
Y
U y
，
Z U z
1
p x
P x
，
1
p y
P y
，
1
p z
P z
而且
dwx dt
wx t
wx
wx x
wy
wx y
wz
wx z
wx t
1 2
(wx2 ) x
wy
wx y
wz
wx z
wx t
1 2
(w2
w2y x
wz2 )
理想流体的稳定流动，此外还必须符合下列条件：
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
dx dy dz wx wy wz 0
x y z 要使上述三阶行列式等于零，有以下几种情况
（1） wx 0 ， wy 0 ， wz 0 ，即静止状态 （2） x 0 ， y 0 ， z 0 ，即无旋运动
研究生教材
流体力学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章 流体动力学微分形式基本方程 第六章 流体动力学积分形式基本方程 第七章 伯努利方程及其应用 第八章 量纲分析和相似原理 第九章 流动阻力与管道计算 第十章 边界层理论 第十一章 流体绕过物体的流动 第十二章 气体动力学基础
式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在一般情 况下，无论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，由于数学处理十分困难， 求解往往是不可能的。仅在某些特殊情况下，欧拉方程式的三个偏微分 方程式可以变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些情 况。
一、理想流体沿流线的流动 将欧拉方程式应用到沿流线的流动中，则根据流线方程式可知
x
x
wy dz y
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
dx dy dz
即
dU
P
w2 2
2 wx
x
wy
y
wz
z
若上式等号右侧为零，则
dU
P
w2 2
0
即
U P w2 C
对重力场作用下的不可压缩流体
2
U
gz
，P
dp
p
于是
p gz w2 C
2
这就是伯努利方程式。它建立的条件是：在重力场作用下，不可压缩
0
Y p 0
y
(7.8)
Z p 0
z
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第七章 伯努利方程式及其应用
第三节 实际流体的总流伯努利方程式
在后二式中质量力 Y 0 ，Z g ，若将后两式分别乘以dy，dz，
然后相加得到下式 gdz p dy p dz 0
y z
若x取某一定值时，则上式可以写成 gdz dp 0
wy
wx y
wz
wx z
第1页
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
wx t
x
w2 2
wy
wy x
wz
wz x
wy
wx y
wz
wx z
wx t
x
w2 2
wy
wy x
wx y
wz
wx z
wz x
wx t
x
w2 2
2wz y
2wyz
同理可得
dwy dt
第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
经整理可得到下式
Xdx
1
p x
dx
wx
wx x
dx
wx y
dy
wx z
dz
wx t
dt
即
Xdx
1
p x
dx
wxdwx
d
wx2 2
同样可得到y，z轴方向的关系式
Ydy
1
p y
dy
w y dw y
d
w2y 2
将三式相加
Zdz
1
p z
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
代入式（5.8）的第1式，等式两侧均乘以dx，可以得到
Xdx
1
p x
dx
wx
wx x
dx
wy
wy x
dx
wz
wz x
dx
wx
wx t
dt
同样由式（5.8）的第2，3式可得
Ydy
1
p y
dy
wx
wx y
dy
wy
wy y
dy
g
，U
gz
（2）对于稳定的缓变流，若把流动方向取为x轴方向，则 wx w，wy 0 ，
wz 0。由连续性方程式可知
流动，wx 0，wy 0，wz
t
t
t
wx wy wz 0，即 wx 0 ，由于是稳定
x y z
x
0。将此结果代入纳维—斯托克斯方程式
可得
X
p x
2wx y 2
2wx z 2
（3） （4）
dx dy dz wx wy wz dx dy dz
x y z
，即沿流线 ，即沿涡线
（5）
wx wy wz
，即螺旋运动
x y z
第11页
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
这就是伯努利方程式所必须满足的广义限定条件。
伯努利方程式是能量方程式，因为在推导过程中，曾经对欧拉方程式中
二、总流伯努利方程式
dA1
通过一个流道的流体的总流是由许多 p1
2wxz
2wzx
U z
P z
wz t
z
w2 2
2wy x
2wx y
将各项归并，并用行列式表示
x
U
P
w2 2
wx t
2 wy y