大学物理伯努利方程及其应用
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用
xx方程原理以及在实际生活中的运用67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。
在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。
xx方程p+ρρv ²=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g 为重力加速度；c为常量。
它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。
伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。
相关应用（1）等高流管中的流速与压强的关系根据xx方程在水平流管中有ρv ²=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。
在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。
下面就是一些实例伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
三、伯努利方程的应用：1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。
由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。
汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用伯努利方程，又称为伯努利定律，是流体力学中的一个基本原理。
它描述了在稳态流动中，沿流线方向流体的总能量保持不变。
伯努利方程可以应用于各种流体系统，包括液体和气体，并在航空、水利工程等领域得到广泛应用。
1.流体是理想流体，即无黏度和无压缩性；2.流体是稳态流动，流线保持不变；3.流体受到重力和压强力的作用，无其他外力。
根据以上假设，伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
1.飞行原理：伯努利方程解释了飞机飞行的基本原理。
当飞机飞行时，上表面的气流速度大于下表面的气流速度，根据伯努利方程，气流速度增大意味着气流压强降低，因此上表面的气流压强小于下表面，形成了一个向上的升力，使得飞机能够起飞和保持在空中。
2.水力工程：伯努利方程在水流中的应用非常常见。
例如，当水流通过一条管道时，根据伯努利方程，水流速度越大，压强越小。
这一原理可以应用于水泵、水轮机等设备的设计和运行。
3.血液循环：伯努利方程被广泛应用于心脏和血管的研究。
心脏将血液推入血管中，根据伯努利方程，血液速度增加意味着血液压力下降，这有助于保持正常的血流循环。
4.涡轮机：伯努利方程被应用于涡轮机的设计和优化。
涡轮机利用流体动能转换为机械能，在伯努利方程的基础上进行流体的流动和能量转换的计算，可以进行涡轮机的性能预测和优化设计。
总之，伯努利方程是流体力学中非常重要的一个原理，它描述了流体在稳态流动中能量守恒的基本规律。
通过应用伯努利方程，可以更好地理解和解释许多与流体流动和能量转换相关的现象和实际问题。
§1-2伯努利方程及其应用
§1-2伯努利方程及其应用
例1.3 如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ, 液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小 孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0时,试证明小孔处的液流速度 为： v2 = 2( p − p0 ) / ρ
解:将整个流体当作一个流管,用 v1和v分别表示水面处和 2 孔口处的流速。由连续性方程知 v 2 且因为S1>>S2,故 v 2 >> v1 可以近似地取 v1 = 0
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
一 、 伯努利方程 伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利 （D.Bernoulli）提出来的，是理想流体 作稳定流动时的基本方程，对于确定流 体内部各处的压力和流速都有很大的实 际意义,在水利、造船、航空航天等部门 有着广泛的应用。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入 到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴 室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。 解：由连续性原理知
2
S1v1 = S 2 v2
A
B
将整个管子作流管，由连续性方 程 S1v1 = S 2 v2 以及伯努利方程 (1-5) 2
C
D E
p + 0.5 ρv = 恒量
图1—6 空吸作用 图1—6 空吸作用
第一章 流体的运动 由于 S1 >> S 2
伯努利方程原理及其应用
伯努利方程原理及其应用伯努利方程是流体力学中的重要原理之一，描述了沿着流体流动方向的速度、压力和高度之间的关系。
该方程是瑞士科学家丹尼尔·伯努利在18世纪中叶所提出的，并以他的名字命名。
伯努利方程原理基于流体的连续性和能量守恒定律，可以用来解决许多与流动相关的问题。
其基本形式可以表示为：P + 1/2ρv^2 + ρgh =常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，h表示流体的高度，g表示重力加速度。
此方程表明，在沿着流体流动方向的区域中，压力、速度和高度之间存在一种平衡关系，当一方发生变化时，其他两方也会随之发生相应的变化。
伯努利方程的应用非常广泛，下面我们将介绍其在多个领域中的具体应用。
1.液体流动伯努利方程可以应用于液体在管道和河流中的流动问题。
例如，在水力工程中，可以根据伯努利方程来计算水的压力和速度，从而确定水流是否顺畅。
此外，伯努利方程还可以应用于液体泵抽水的计算和涡轮机工作原理的分析，以及血液在动脉和静脉中的流动研究等。
2.汽车空气动力学伯努利方程在汽车设计中有重要的应用。
例如，在高速行驶时，汽车前进方向上的气流速度会增加，根据伯努利方程，气流速度增加就意味着压力降低。
这就解释了为什么汽车行驶时，车顶、车窗等地方的压力较低，从而产生了吸力，有利于汽车行驶稳定。
3.飞行器气动力学伯努利方程在飞行器气动力学中的应用非常重要。
在飞行过程中，飞机可以通过改变机翼形状和改变进气口的面积来调节气流速度和压力的分布，从而实现升力和稳定性的控制。
伯努利方程提供了一种描述飞行器气动表现的重要工具。
4.涡旋产生与气旋的形成伯努利方程也可以解释涡旋的产生和气旋的形成。
当流体经过结构物表面或物体尖部时，流体速度会增加，从而使压力降低。
这种速度增加和压力降低导致了涡旋产生。
类似地，大气中气流速度和气压的变化也会导致气旋的形成。
伯努利方程的应用还远不止于上述几个领域，例如喷射器的工作原理、风力发电工程中的风能转换等。
伯努利及伯努利方程的应用
伯努利及伯努利方程的应用
伯努利(Bernoulli)方程式是描述液体压强与流速之间关系的一种力学方程式。
它对液体流速、压力和液体密度有影响，但是它是最常用于描述水流动的，在一维流动中最为广泛。
它式由荷兰科学家Daniel Bernoulli（1700年-1782年）在17$年发明的。
伯努利方程的可用形式如下：$\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh+\rho \frac{P}{\gamma}=c$
其中，ρ表示液体的密度，v表示流速，g表示重力加速度，$h$表示液体表面相对于管底部的高度，P表示液体内的压力，C是常数。
伯努利方程应用比较多，尤其是水力学领域，如：水力机械工程与水资源开发；计算控制渗流情况；研究室内水位差以及流量；识别河流洪涝形势；快速液力学的研究等。
伯努利方程在流体力学中的最重要的应用是管道或缸室内水流的流速分析，管道或缸室内水压在管道或缸室不同位置的变化，也可以使用伯努利方程来计算，因此它的应用非常普遍。
此外，它也可以用于描述流体流动的其他性质，包括温度、其他物质的浓度、气勤之类。
伯努利方程表明，流体在场内以一种连续黑塞流动，同时记录了液体的能量平衡，表明机械能量和势能之间的转换，在水力学及流体力学交叉研究等领域发挥着至关重要作用。
伯努利方程的原理和应用
伯努利方程的原理和应用1. 什么是伯努利方程伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，用于描述理想流体的运动。
它基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，可以通过对流体在不同位置和时间上的性质进行分析，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
2. 伯努利方程的表达形式伯努利方程可以写成以下形式：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P是流体的静压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
3. 伯努利方程的原理伯努利方程的原理即基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，通过分析流体在不同位置上的性质，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
3.1 质量守恒质量守恒是指在封闭系统中，质量的总量是不变的。
在流体力学中，当流体通过一个管道或槽道时，质量的净流入量等于质量的净流出量。
3.2 动量守恒动量守恒是指在封闭系统中，动量的总量是不变的。
在流体力学中，动量的变化可以通过推导出的动量方程来描述，而伯努利方程就是基于动量守恒推导出来的。
3.3 能量守恒能量守恒是指在封闭系统中，能量的总量是不变的。
在流体力学中，能量的变化可以通过推导出的能量方程来描述，而伯努利方程也是基于能量守恒推导出来的。
4. 伯努利方程的应用伯努利方程广泛应用于流体力学和工程学中，可以用于解决多种问题。
以下是一些常见的应用情况。
4.1 流速和压力关系根据伯努利方程，当流体的速度增加时，压力会减小；当速度减小时，压力会增加。
这个关系在管道系统和飞机翼等领域起到重要作用，可以帮助我们设计高效的流体系统。
4.2 流速和高度关系当流体的速度增加时，其高度会降低；当速度减小时，高度会增加。
这个关系在水力发电站和喷气式飞机等领域有重要应用，可以帮助我们设计高效的能量转换系统。
4.3 压力和高度关系根据伯努利方程，当流体的压力增加时，其高度会降低；当压力减小时，高度会增加。
这个关系在水泵和水塔等领域常常被应用，可以帮助我们调节流体的压力和高度。
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。
在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。
伯努利方程p+ρgh+(1/2)*ρv²=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。
它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。
伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。
相关应用（1）等高流管中的流速与压强的关系根据伯努利方程在水平流管中有p+(1/2)*ρv²=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。
在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。
下面就是一些实例伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
三、伯努利方程的应用：1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。
由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。
汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
大学物理伯努利方程及其应用
b
v1
a S1
Δt
由连续性原理得 V1 V2 V
在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过△t 时间动能变化量：
Ek
1 2
v22 V
1 2
v12 V
流体经过△t 时间势能变化量：E p gh2V gh1V
△t 时间内外力对该段流体做功：
Δt P2
A1 F1v1t P1S1v1t P1V
谢 谢 大 家 2020 1:08 AM12/11/2020 1:08 AM20.12.1120.12.11
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。11-Dec-2011 December 202020.12.11
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Friday, December 11, 202011
s2 v2
P1 gh1 P2 gh2
即
P2 P1 g(h1 h2 )= 3.5×105Pa
h2 v1
当水龙头完全打开后，Leabharlann S1由连续性方程：
S1v1 =S2v2
由伯努利方程：
P1
1 2
v12
P2 '
1 2
v22
gh2
即
P2
'
P1
1 2
(v12
v22
)
gh2
=
2.3×105Pa
打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。
（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：
（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。
（4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v
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三、伯努利方程的应用
小孔流速 如图所示，且SB＜＜SA，以 A、B 两点为参考点，
由伯努利方程：
SA
SB
PA
1 2
v
2 A
ghA
PB
1 2
v
2 B
ghB
由 S AvA SBvB 可知，
选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h
vA
SB SA
vB
0
得
PA
gh
2
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用
P1
P2
g (h1
h2
)
1 2
(v
2 2
v12
)
P1 P2表示单位体积流体流过细流管 S1S2 外压力所做的功；
g(
h1
h2
)表示单位体积流体流过细流管
S1
S
重力所做的功；
s2 v2
P1 gh1 P2 gh2
h2
即
P2 P1 g(h1 h2 )= 3.5×105Pa
v1
当水龙头完全打开后，
S1
由连续性方程：
S1v1 =S2v2
由伯努利方程：
S2
A2 F2v2t P2S2v2t P2V Δ P1
h2
由功能原理 ： A Ek E p 即
t S1 h1
(
P1
PP12)12Vv1212(vg22h1
v12
)V
P2
1 2
g (h2
v22
h1)V
gh2
或 P 1 v2 gh C
30cvm4•s=-1Q4∕S4 = 900∕10 = 90 cm•s-1
(3) v1 = Q1∕S1 = 900∕15 = 60cm•s-1
由伯努
利方程
p1
1 2
v12
p4
1 2
v
2 4
得
p1
p4
1 2
v42
v12
1 1.0 103 0.92 0.62 2
b
v1
a S1
Δt
由连续性原理得 V1 V2 V
在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过△t 时间动能变化量：
Ek
1 2
v22V
1 2
v12V
流体经过△t 时间势能变化量：E p gh2V gh1V
△t 时间内外力对该段流体做功：
Δ
t
P2
A1 F1v1t P1S1v1t P1V
225Pa
例 水管里的水在压强 P = 4.0×105Pa 作用下流入室内，水管
的内直径为 2.0 cm ，管内水的流速为4.0m·s-1。引入
5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。
求 浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。
解 当水龙头关闭时，v1 v2 0 ，由伯努利方程
§2.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或
v 截面上 p 、 及高度 h 之间的关系。
一、 伯努利方程的推导
如图，取一细流管，经过短暂时间 △t ，
c d v2 S2 Δt
截面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置
c 移流到过d两，截面的体积分别为
V1 v1S1t V2 v2S2t
=S2v2
1
又由
p1
1 2
v12
p2
1 2
v
2 2
得
p1
p2
1 2
v22
v12
且v 1=
1 1.0103 42 12 7.5103 Pa 2
例 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。 如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2, 管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，
S
2 B
S
2 A
管道中的流速
v
vB
Q SB
SA
2gh
S
2 B
S
2 A
例 .一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2∶1 ，已知 粗管内水的流速为1m•s-1 ,
求 细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。
解 ∵d1∶d2 =2∶1
∴ S1∶S2 = 4∶1
1由m•s-1 S1v1
得 v2 = 4v1 = 4 m•s-
求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速; （3）管1、4中的压强差.
2
v2
1
v1
4
v4
3
v3
解 (1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3•s-1 ∵ S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1∴ Q2 = Q3 = 450cm3•s-1
(2) v2 = v3 = Q2∕S2 = 450∕15 =
PB
1 2
v
2 B
vB
2( PA PB ) 2gh
因PA= P 0
P B =P 0
vB 2gh ---托里拆利公
所以 即流体从小孔流出的速度与流体质量元式由液面处自由
下落到小孔处的流速大小相等。
虹吸管 左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。
B A
hA
hB
虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。
水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理
C
可知 vA 0 ，所以此例实质为小孔流速问题
hc
v 2g(hA hC )
如果hA－hB＜0 ，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，
在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。
喷雾原理
因SA很小，vA增大使PA小于 大气压，容器内流体上升到A处，被
高速气流吹散成雾，这种现象又称为 空吸现象。
皮托管
B A
由伯努利方程
PB
1 2
v 2
PA
从U形管中左右两边液面高度差可知
PA PB gh
h
由上两式得 v 2gh
为 U 形管中液体密度， 为流体密度。
较适合于测定气体的流速。
h
A B
常用如图示形式的皮托管测液体的流速
1 2
v2
PA
PB
gh
v 2gh
文丘里流量计（测量管道中液体体积流量）
h
如左图所示。当理想流体在管道中作
定常流动时，由伯努利方程
SA SB
由连续性原理
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
v
2 B
Q S AvA SBvB 又 PB PA gh
2gh
Q SASB
2
1 2
(
v
2 2
v12
)
表示单位体积流体流过细流管
S1 S 2
后动能的变化量；
（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：
（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。
（4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v