伯努利概型与全概公式.

概率论与数理统计
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定理 在伯努利概型中,若一次试验时事件A发生 的概率为P(0<P<1),则n重独立试验中事件A恰好 发生K次的概率为
事件A发生了k次
Pn ( k ) C p q
k n k
n k
共作n次试验
其中,
A发生的概率
p q 1,
A不发生的概率
k 0,1,2,, n.
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以上两个公式还可以推广到有限个事件的情 形:
如果事件 A1 , A2 , A3 相 互 独 立 ,则 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) . P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) .
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事件的独立性
定义: 若两个事件 A、B 中, 任一事件的发生与否
不影响另一事件的概率, 则称事件 A 与 B 是相互独 立的， 且P ( AB) P ( A) P ( B) .
定理 若事 件A 与B 相互 独立 , 则下 列三对 事件 A 与B ; A 与B ; A 与B 也都 相互独 立 .即
问题:(1)上述测试方法使公司被冒牌ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ蒙到岗位的概率有多大?
(2)上述测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率有多大? (3)能否设计出测试方法使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的 行家拒之门外的概率都变小?
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伯努利概型
设随机试验满足
(1)在相同条件下进行n次重复试验;
(2)每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; (3)在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=P; (4)各次试验是相互独立的. 则称这种试验为n重伯努利（Bernoulli）试验。
解: 由于用有放回抽样的方式,故每次抽得的结 果是相互独立的,且产品只有合格与废品两种结 果,故可以按5重伯努利概型计算事件的概率.已 知
p 0.05, q 0.95, 则
1
p (1) C
5
5
(0.05) (0.95) 0.0407
1 4
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引例求解
解:用A表示应聘者在品尝测试中的判断正确, A 表示应聘者 在品尝测试中的判断不正确.则测试问题符合n=10的伯努利概 型.用 k 表示10次品尝测试中应聘者判断正确的次数(即A发生 的次数),用伯努利概型的公式我们可以分别解决所提的问题. (1)若应聘者并非行家而是冒牌者,则其在每次品尝测试中的 判断正确(蒙对)的概率为0.5,即 P(A)=0.5,根据公式有:
(1) P( A B) P( A ) P( B) 1 P( A) P( B) ;
(2) P( AB ) P( A) P( B ) P( A)1 P( B) ;
(3) P( A B ) P( A ) P( B ) 1 P( A)1 P( B).
定义
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一枚硬币独立掷两次，设 A1 {第一次出现正面} A2 {第二次出现正面} A3 {正、反面各一次} A4 {正面出现两次}
则事件(
)
( A) A1、A2、A3 相互独立 ( B ) A2、A3、A4 相互独立 (C ) A1、A2、A3两两独立 ( D ) A2、A3、A4 两两独立
P{k 7} P{k 7} P{k 8} P{k 9} P{k 10}
7 8 9 10 C10 (0.5)7 (1 0.5)3 C10 (0.5)8 (1 0.5)2 C10 (0.5)9 (1 0.5)1 C10 (0.5)10
(120 45 10 1)(0.5)10 0.1719 17.19%
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某人应聘甲公司品酒师职位,该应聘者声 称能以90%的准确性判别出两种不同的酒,并 可以依此提出相应的推销建议. 为了检验应聘者的辨酒能力以决定是否录用,甲公 司对该应聘者进行测试.让他连续分别品尝两种酒10 次,二次间的间隔为3分钟. 若应聘者在10次辩别中至少有7次能准确判别出两 种不同的酒,则给予录用,否则,就拒绝录用.
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思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A={抽
到K}，B={抽到的是红色的}，问事件A,B是否独立？
分析1：
分析2：
4 1 26 1 2 1 P ( A) , P( B) , P ( AB ) , 52 13 52 2 52 26 从 而P ( A) P ( B ) P ( AB )， 故A, B相 互 独 立 。 1 2 1 P ( A) , P ( A | B ) , 13 26 13 从 而P ( A) P ( A | B )， 故A, B相 互 独 立 。
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若事件 A 与 B 相互独立
P ( A B) ?
P( A B) 1 P( A B)
1 P( A B )
A B AB
P( A B ) P( A )P( B )
1 P( A ) P( B ).
P( A B) 1 P( A ) P( B ).
即冒牌者在品尝测试中能通过测试(蒙对7次以上) 的概率仅为17.19%, 所以机会是很小的.
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(2)若应聘者真是行家,则其在每次品尝测试中的判断 正确的概率为0.9,即 P(A)=0.9,根据公式有:
P{k 7} P{k 7} P{k 8} P{k 9} P{k 10}
一枚硬币掷３次，恰有一次正面向上的概率为？
A 正面向上
解法一： P
C
1 3
A 正面向下
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解法二： P P ( A A A AA A A AA) 1 1 2 3 ( ) 2 2
1 1 1 2 C3 ( ) ( ) 2 2
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例1 已知一批产品的废品率为0.05,设有放回 地抽取5件产品,求恰好抽到1件废品的概率.