线性规划例题
六种经典线性规划例题
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 DxyOxyO 22x=2y =2x + y =2BA2x + y –6= 0= 5x＋y – 3 = 0OyxABCMy =2四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六·比值问题当目标函数形如y azx b时,可把z看作是动点(,)P x y与定点(,)Q b a连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
线性规划例题
线性规划例题考虑以下线性规划问题:假设一家工厂生产两种产品，分别为A和B。
每个单位的产品A的利润为3美元，产品B的利润为5美元。
工厂有两个生产部门，分别为部门X和部门Y。
部门X每天能够生产100个单位的产品A和200个单位的产品B，而部门Y每天能够生产150个单位的产品A和100个单位的产品B。
另外，市场对产品A和产品B的需求分别为每天400个单位和300个单位。
问题是，工厂应该如何安排生产以最大化利润？首先，我们可以定义两个变量，x和y，分别表示部门X和部门Y每天生产的产品数量（单位）。
由于工厂要最大化利润，我们的目标是最大化3x+5y（即3美元/单位的产品A的利润加上5美元/单位的产品B的利润）。
其次，我们可以设置以下约束条件：1. 部门X生产的产品A和产品B的总量不能超过市场对产品A和产品B的需求：x ≤ 100，y ≤ 200。
2. 部门Y生产的产品A和产品B的总量不能超过市场对产品A和产品B的需求：x ≤ 150，y ≤ 100。
3. 工厂需要满足市场对产品A和产品B的需求量：x + y ≥ 400，x + y ≥ 300。
根据以上信息，我们可以得到以下线性规划模型：最大化 3x + 5y约束条件：x ≤ 100y ≤ 200x ≤ 150y ≤ 100x + y ≥ 400x + y ≥ 300我们可以使用线性规划软件（如Lingo或Excel的求解器）来求解该问题。
求解结果将给出最佳的生产量，以及对应的最大利润。
这个例子展示了一个简单的线性规划问题，其中涉及到生产和需求的限制。
通过最大化利润，工厂可以合理地安排生产，满足市场需求并最大化利润。
六种经典线性规划例题,DOC
线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
例1、若x、y满足约束条件
2
2
2
x
y
x y
≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则z=x+2y的取值范围是（）
A、
解：如
l向
2，
二、
例2、
（）
解：如
三、
例3、
都是整
A
解：
0)
0,0)
y
≥
作（包括边界）得到整
四、
例4、
为
A、－3
B、3
C、－1
D、1
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x、y满足以下约束条件
220
240
330
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪--≤
⎩
，则z=x2+y2的最大值和最小值
分别是（）
A
C
解
点的距
离的平
－2=0
六
例
（A）
（C）
解析
（0，0
A
仅供个人学习参考。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。
例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。
目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。
可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。
A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。
甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。
则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。
例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。
现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。
约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设你是一家制造公司的生产经理，你需要决定每个月生产两种产品A和B 的数量，以最大化公司的利润。
产品A和B的生产需要消耗不同的资源，并且有不同的利润率。
你需要使用线性规划来确定最佳的生产计划。
二、问题分析1. 目标：最大化利润2. 变量：产品A的生产数量（记为x），产品B的生产数量（记为y）3. 约束条件：- 资源1的消耗：每个单位产品A需要消耗3个单位的资源1，每个单位产品B需要消耗2个单位的资源1。
资源1的总量为100个单位。
- 资源2的消耗：每个单位产品A需要消耗2个单位的资源2，每个单位产品B需要消耗4个单位的资源2。
资源2的总量为80个单位。
- 生产数量的非负性：产品A和B的生产数量不能为负数。
三、数学建模1. 目标函数：最大化利润利润 = 利润率A * 产品A的生产数量 + 利润率B * 产品B的生产数量利润率A = 10，利润率B = 15目标函数：maximize 10x + 15y2. 约束条件：资源1的消耗：3x + 2y <= 100资源2的消耗：2x + 4y <= 80生产数量的非负性：x >= 0，y >= 0四、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以得到最佳的生产计划。
五、结果分析最佳的生产计划为：产品A的生产数量为20个单位产品B的生产数量为15个单位利润为(10 * 20) + (15 * 15) = 200 + 225 = 425六、敏感性分析通过敏感性分析，可以了解到资源量的变化对最佳生产计划和利润的影响。
1. 资源1的敏感性分析当资源1的总量增加时，最佳的生产计划和利润会发生怎样的变化？假设资源1的总量增加了10个单位，即资源1的总量为110个单位。
重新求解线性规划问题，得到新的最佳生产计划和利润。
最佳的生产计划为：产品A的生产数量为25个单位产品B的生产数量为20个单位利润为(10 * 25) + (15 * 20) = 250 + 300 = 550可以看到，资源1的增加导致了最佳生产计划中产品A和B的生产数量的增加，从而提高了利润。
线性规划练习题
线性规划练习题线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
通过线性规划，我们可以在有限的资源条件下，实现最优的决策和资源分配。
下面让我们一起来看看一些线性规划练习题。
例题 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需要 A原料 3 千克，B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需要 A 原料 2 千克，B原料 4 千克。
现有 A 原料 120 千克，B 原料 100 千克。
甲产品每件利润为 20 元，乙产品每件利润为 30 元。
问工厂应如何安排生产，才能使利润最大？首先，设生产甲产品 x 件，生产乙产品 y 件。
根据题目条件，可以列出以下不等式组：3x ＋2y ≤ 120 （A 原料限制）2x ＋4y ≤ 100 （B 原料限制）x ≥ 0 ，y ≥ 0 （产品数量非负）目标函数为：Z ＝ 20x ＋ 30y （总利润）接下来，我们通过画图来找到可行域。
将不等式组转化为等式方程，画出直线，然后根据不等式确定可行域的范围。
然后，在可行域内找到目标函数的最优解。
通常可以通过顶点法，计算可行域顶点处的目标函数值，比较得出最大值。
经过计算，当 x ＝ 20，y ＝ 20 时，利润最大，最大利润为 1000 元。
例题 2：某运输公司有 A、B 两种型号的货车，A 型货车每辆可载货 5 吨，B 型货车每辆可载货 8 吨。
现要运输 100 吨货物，且 A 型货车的数量不少于 B 型货车数量的 2 倍。
已知 A 型货车每辆运费 500 元，B 型货车每辆运费 800 元。
问如何安排车辆，能使运费最少？设安排 A 型货车 x 辆，B 型货车 y 辆。
则有：5x ＋ 8y ＝ 100 （货物总量）x ≥ 2y （车辆数量限制）x ≥ 0 ，y ≥ 0 （车辆数量非负）目标函数为：C ＝ 500x ＋ 800y （总运费）同样地，通过画图找到可行域，再计算顶点处的运费，找到最小值。
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、假设x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，那么z=x+2y的取值范围是〔〕A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、〔3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A〔2,0〕时，有最小值2，过点B〔2,2〕时，有最大值6，应选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为〔〕A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点〔x，y〕中整点〔横纵坐标都是整数〕有〔〕A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部〔包括边界〕，容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么a 的值为 〔 〕 A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是〔 〕A 、13，1B 、13，2C 、13，45 D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点〔x ，y 〕到原点的距离的平方，故最大值为点A 〔2,3〕到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点〔0,0〕和〔－1,1〕，那么m 的取值范围是 〔 〕 A 、〔-3,6〕 B 、〔0,6〕 C 、〔0,3〕 D 、〔-3,3〕解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，且每种产品的利润也不同。
公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
二、数据分析1. 资源消耗情况：- 产品A每单位需要消耗3个资源1和2个资源2；- 产品B每单位需要消耗2个资源1和4个资源2。
2. 利润情况：- 产品A每单位利润为10；- 产品B每单位利润为15。
3. 资源限制：- 资源1的总量为30个；- 资源2的总量为40个。
三、数学建模1. 定义变量：- 设生产的产品A数量为x，产品B数量为y。
2. 建立目标函数：- 目标函数为最大化利润，即Maximize Z = 10x + 15y。
3. 建立约束条件：- 资源1的消耗约束：3x + 2y ≤ 30；- 资源2的消耗约束：2x + 4y ≤ 40；- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
四、求解将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用合适的求解方法，例如单纯形法、内点法等，求解得到最优解。
五、结果分析根据求解结果，得到最优解为x = 6，y = 6，此时利润最大为Z = 150。
意味着公司应该生产6个产品A和6个产品B，才能达到最大利润。
六、敏感性分析为了进一步了解模型的稳定性和可行性，可以进行敏感性分析。
通过改变资源数量、利润等参数，观察最优解的变化情况，以评估模型的可行性和鲁棒性。
七、结论根据线性规划模型的求解结果和敏感性分析，可以得出以下结论：- 公司应该生产6个产品A和6个产品B，以达到最大利润。
- 如果资源数量发生变化，最优解可能会有所调整。
- 如果产品利润发生变化，最优解也会相应变化。
综上所述，通过线性规划模型，我们可以帮助公司制定最优的生产计划，以达到最大利润。
同时，敏感性分析可以提供决策者对模型的可行性和鲁棒性的评估，为决策提供参考依据。
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线性规划例题
例题1、某公司生产的彩电每台利润是1000元，需要投资1000元，成本1200元，那么此时生产该电视的利润是多少？
解：①直接从题目中选取代数式。
1000x1200=10000x1200，得： x=2，因此，公司的利润是10000×2=20000元。
②求出最大利润，利润等于或小于20000元的电视机，最大利润是10000×2。
根据条件求出应选取的单位“ 1”：20000÷(2+1)= 1000，所以，选取1作为单位“ 1”，有：1200÷1000=12，再查解得： x=3，因此，答案应选为(3)×3=6台。
2、某市国税局所属工商银行和建设银行都准备发行各种储蓄债券，总金额均为20000元，现将储蓄债券分别以三个价格销售：①工商银行以900元的面值卖给储户，以800元的面值卖给储户；②建设银行以850元的面值卖给储户，以900元的面值卖给储户；③建设银行以950元的面值卖给储户，以850元的面值卖给储户。
请问：两家银行的实际收入相比，工商银行获得的利润大还是建设银行获得的利润大？
4、在某种情况下，王师傅生产某种零件的总成本比计划成本节约100元，完成了10件。
照这样计算，他所用的天数，比原计划缩短了20天。
(如果天数不变，缩短的天数是原来的20%)。
(1)当天数不变，成本减少100元时，工人小王生产的件数可能是多少件？
(2)当天数不变，成本增加100元时，工人小王生产的件数可能是多少件？(3)两种情况中，小王各生产多少件零件？(4)当天数不变，
成本增加200元时，工人小王生产的件数可能是多少件？(5)当天数不变，成本增加400元时，工人小王生产的件数可能是多少件？
当天数不变，成本增加100元时，工人小王可能生产
10×100÷(100+100)=12件。
当天数不变，成本增加100元时，工人小王可能生产10×100÷(100+100)=12件。
2。
当天数不变，成本增加100元时，工人小王可能生产10×100÷(100+100)=12件。
3。
当天数不变，成本增加200元时，工人小王可能生产
10×100÷(100+100)=12件。
4。
当天数不变，成本增加400元时，工人小王可能生产10×100÷(100+100)=12件。
5。
当天数不变，成本增加400元时，工人小王可能生产
10×100÷(100+100)=12件。
当天数不变，成本增加500元时，工人小王可能生产10×100÷(100+100)=12件。