运筹学 02 线性规划

产品I
产品Ⅱ
如何安排生产使利润 最大?
设备 原材料A 原材料B 单台产品利润
产品Ⅰ 1 4 0 2
产品Ⅱ 2 0 4 3
资源限量 8台时 16kg 12kg
基本概念 决策变量(Decision variables) 目标函数(Objective function) 约束条件(Constraint conditions) 可行域(Feasible region) 最优解(Optimal solution)
源向量
0 0 ... 0 X - 决策变策变量
线性规划问题的标准化
目标函数求最大值 min Z=CX 等价于 max Z‘=-CX 约束条件右边常量为非负 负数常量两边乘以-1，如x1≤-5等价于-x1≥5 约束条件为等式 ―≤‖ 约束：加上非负松驰变量 ―≥‖约束：减去非负松弛变量 决策变量为非负 x≤0：令x‘=-x，则x‘≥0 x变量为无符号要求：令x‘-x‘‘=x，其中x‘,x‘‘≥0
线性规划问题解的概念
标准型：max Z=CX,AX=b,X≥0 可行解：满足约束条件AX=b,X≥0的解X称为线性规划问题的可行解；全部 可行解的集合称为可行域 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称为最优解；对应的目标函数值称 为最优值 基、基向量、基变量、非基变量：若B是系数矩阵A中m× m阶非奇异子矩 阵(B≠0)，则B是线性规划问题的一个基。不妨设B=(P1 P2 … Pm)，则Pj为基 向量；Xj(j=1,2,…,m)为基变量；Xj(j=m+1,m+2,…,n)为非基变量 基解：令非基变量为0，解出AX=b的X为基解 基可行解：非负的基解X称为基可行解 可行基：对应于基可行解的基称为可行基
2 线性规划的图解法
图解法 图解法求解步骤 线性规划问题求解的几种可能结果 由图解法得到的启示
图解法
x2
9— 8—
7—
6— 5—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1, x2≥0 4x1=16 4x2=12 最优解 (4, 2)；最大值14 2x1 + 3x2 = 6 x1+2x2=8
1 线性规划及其数学模型
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划模型的共同特征 线性规划模型的一般形式 线性规划模型的标准形式
问题的提出
例1：生产计划问题。工厂要安排生产 两种产品：产品Ⅰ和产品Ⅱ，各需要设 备、原材料A和原材料B，有关数据见 表。问：如何安排生产使利润最大？
线性规划 Linear Programming
1. 2. 3. 4. 5. 6. 线性规划及其数学模型LP and Its Mathematical Model 线性规划的图解法Graphic Method of LP 线性规划解的概念与性质Concepts and Properties of LP Solution 线性规划的单纯形法Simplex Method of LP 线性规划的软件包解法Package Method of LP 线性规划的应用举例Applications of LP
第1步 - 确定决策变量
设 x1——产品Ⅰ的产量 x2——产品Ⅱ的产量
x1
x2
第2步 - 定义目标函数
最大化 决策变量
Max z = 2 x1 + 3 x2 目标函数 决策变量
第3步 - 表示约束条件
对我们有何限制? 资源约束
x1 + 2 x2 4 x1 4 x2 x1,x2
≤ ≤ ≤ ≥
8 16 12 0
线性规划解的关系图
最优解？
非可行解
可行解
基解
基可行解
例3：求基解、基可行解、最优解
max z = 2 x1 + 3 x2 + 1 x3 + 0 x4 + 0 x5 x1 + x3 x1 + 2 x2 + x4 x2 + x5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5
= = = ≥ห้องสมุดไป่ตู้
5 10 4 0
线性规划问题的标准化-例2
max –z=x1-2x2+3(x4-x5)+0x6+0x7 min z=-x1+2x2-3x3 x1+x2+(x4-x5)+x6=7 x1+x2+x3≤7 x1-x2+(x4-x5)-x7=2 x1-x2+x3≥2 –3x1+x2+2(x4-x5)=7 -3x1+x2+2x3=7 x1,x2≥0,x3无约束 令x3=x4-x5，其中x4,x5≥0。 加上x6,x7，非负约束条件为： 结 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0 果 max f=-z=x1-2x2+3(x4-x5)+0x6+0x7 x1+x2+(x4-x5)+x6=7 x1-x2+(x4-x5)-x7=2 -3x1+x2+2(x4-x5)=7 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
| 8 | 9
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
x1
图解法求解步骤
由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最优值。
线性规划问题求解的几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
线性规划模型的一般形式
Max ( min ) z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ( , )b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn ( , )b2 ................................................... a x a x ... a x ( , )b m1 1 m2 2 mn n m x , x ,..., x 0 n 1 2
x2
x1
(d)无可行解 max z=2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x1 ≤16 4x2≤ 12 -2x1+ x2＝4 x1,x2≥0
可行域为空集
图解法的几点结论(由图解法得到的启示)
在二维空间中图解法只能解决两个变量的线性规划问题 可行域是有界或无界的凸多边形 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可行域的顶点得 到 若两个顶点同时为最优解，则其连线上的所有点都是最优解 解题思路：找出凸集的顶点，计算其目标函数值，比较即得
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
0
x1
(b)无穷多最优解
x2
6— 5— 4—
3—
2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
0
x1
(c)无界解
Max z = x1 + x2 -2x1 + x2≤ 4 x1 - x2 ≤ 2 x1,x2 ≥ 0
线性规划模型的标准形式
目标函数最大 右边常数非负 约束条件等式 决策变量非负
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b 1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......................................... a x1 am 2 x2 ... amn xn bm m1 x , x ,..., x 0 b , b2 ,...bm 0 2 n 1 1
分析：设x4,x5为已知数，x1,x2,x3为未知数，得 x2=4-x5 x1=10-x4-2x2=10-x4-8+2x5=2-x4+2x5 x3=5-x1=3+x4-2x5 则z=2(2-x4+2x5)+3(4-x5)+(3+x4-2x5)=19-x4-x5
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
x1 0 0 5 0 10 5 5 2
问题要确定的未知量，表明规划 中用数量表示的方案、措施，可 由决策者决定和控制。 是决策变量的函数。
决策变量取值时受到的各种资源 条件的限制，通常表达为含决策 变量的等式或不等式。
满足约束条件的决策变量的取值 范围。 可行域中使目标函数达到最优(最 大或者最小)的决策变量的值。
数学模型
第1步 - 确定决策变量 第2步 - 定义目标函数 第3步 - 表示约束条件 第4步 - 形成数学模型
用矩阵表示
max Z CX max Z CX AX b AX b X 0 X 0
C—价值向量 b—资源向量 A—约束条件系数矩阵 X—决策变量向量 0—零向量
0 .....a1n 1 a11 .....a1n 0 ........... ( P , P ,..., P ) 0 1 2 3 A .............. ( P , P ,..., P ) ... 0 1 2 n ......amn m1 a ......a 0 mn m1 C - 价值值向
简写
max Z c j x j
j 1 n
aij x j bi j 1 x 0 j
n
i 1,2,..., m j 1,2,..., n
用向量表示
max Z CX n Pj x j b j 1 x 0 j 1,2,..., n j 其中： x1 x 2 X ... xn C (c1 , c 2 ,..., c n ) a1 j a2 j Pj ... amj b1 b 2 b ... bm