伯努利方程
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。
伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。
一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。
[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
1。
伯努利方程中表示
伯努利方程中表示
伯努利方程：p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度.
上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2,在沿流线运动过程中,总和保持不变,即总能量守恒.但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同.对于气体,可忽略重力,方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0),各项分别称为静压、动压和总压.显然,流动中速度增大,压强就减小；速度减小,压强就增大；速度降为零,压强就达到最大(理论上应等于总压)。
伯努利方程中各项意义如下：
1、理想流体定常流动的动力学方程。
意思为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能，动能与位势能的和保持不变。
2、方程中的符号分别表示流体的压强，密度和速度。
剩余符号表示铅垂高度和重力加速度。
同时各项分别表示流体的压力能和重力势能和动能。
3、能量守恒定律在理想流体定常流动中的表现。
它是流体力学的基本规律。
在一条流线上流体质点的机械能守恒是伯努利方程的物理意义。
伯努利方程 单位
伯努利方程单位
伯努利方程是描述流体力学中流速、压力和高度之间关系的基本方程。
它可以用于分析流体在不同位置的动能、压力和势能之间的转换。
在国际单位制（SI）中，伯努利方程的单位如下：
流速：米每秒（m/s）
压力：帕斯卡（Pa）或牛顿每平方米（N/m²）
高度：米（m）
伯努利方程可以表示为：
P + 1/2ρv² + ρgh = constant
其中，P是压力，ρ是流体的密度，v是流速，g是重力加速度，h是高度。
这个方程的左侧是压力、动能和势能的总和，右侧是一个常数，表示在沿流线的任何点上这些量之间的相对关系保持不变。
请注意，伯努利方程的单位可以根据具体情况进行调整，例如使用千帕（kPa）或毫米汞柱（mmHg）等作为压力单位，使用千克每立方米（kg/m³）作为密度单位。
流体力学伯努利方程
流体力学伯努利方程
伯努利方程是描述流体在不可压缩、不黏性、定常流动条件下的基本定律。
它揭示了流体在沿流线运动过程中的能量转换关系。
下面按照列表的形式对伯努利方程进行说明：
1. 方程含义
伯努利方程是流体力学中的一条重要方程，描述了流体在沿流线运动过程中压强、速度和位能之间的关系。
2. 方程表达式
伯努利方程的数学表达式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的流速，g是重力加速度，h是流体元素的高度。
3. 方程意义
伯努利方程可以从宏观上描述流体的能量守恒。
方程右侧的常数表示流体在不同位置的能量之和，包括压力能、动能和重力势能。
4. 各项参数的意义
- 压强：表示流体内部分子之间的相互作用力，与流体的密度和速度无关，随着深度增加而增加。
- 速度：表示单位时间内流体通过某一横截面的体积，与压强和密度的乘积成反比。
- 位能：表示流体元素相对于某一参考点的高度，与压强和速度无关，
随着高度增加而增加。
5. 应用范围
伯努利方程可应用于多个领域，如工程中的管道流动、航空航天中的
气体动力学、水力学中的水流运动等。
总结：
伯努利方程是流体力学的重要定律，可以揭示流体在运动过程中压强、速度和位能之间的转换关系。
它广泛应用于工程、航空航天、水力学
等领域，对于理解和分析流体运动具有重要意义。
伯努利(Bernoulli)方程
形如ndypxyqxydx01n称为伯努利方程bernoulli当n01这是线性微分方程当方程不是线性的但是可以通过变量代换可以把它化成线性的
伯努利（Bernoulli）方程
一、 定义：
形如
dy + P( x) y = Q( x) y n dx
（ n ≠ 0、） 1
称为伯努利方程（bernoulli） ，当 n=0、1，这是线性微分 方程，当 n ≠ 0、方程不是线性的，但是可以通过变量代换， 1 可以把它化成线性的。
二、 计算方法： ① 方程两边同时除以 y
n
y−n
dy + P ( x) y1− n = Q ( x) dx
1− n
② 变量代换：令 z = y
则：
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dz dy = (1 − n) y − n dx dx
由此代换可以把伯努利这个非线性方程化为线性微分方程， 把 方程两边同时乘以（1-n） ：
dz + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) dx 1− n 然后求出这个方程通解之后，以 y = z 带入方程。
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式伯努利方程是流体力学中非常重要的一个方程，用于描述沿着流体流动方向上的动能、压力和重力势能之间的关系。
伯努利方程是通过对连续性方程和动量方程的积分得到的。
在本文中，将介绍伯努利方程的三种常用形式及其应用。
首先，我们来看一般形式的伯努利方程：\[P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{常数}\]其中，\(P\)表示流体的静压力，\(\rho\)表示流体的密度，\(v\)表示流体的速度，\(g\)表示重力加速度，\(h\)表示流体的高度。
接下来，我们将讨论伯努利方程的三种常用形式。
1.高度形式：\[P + \rho gh = \text{常数}\]假设流体在两个不同高度的点1和点2之间流动，忽略速度对伯努利方程的影响，则可以得到高度形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同高度处的压强差。
2.速度形式：\[\frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2\]在忽略压强差对伯努利方程的影响时，可以得到速度形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同位置处的速度差。
3.压强形式：\[P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2\]在忽略重力势能对伯努利方程的影响时，可以得到压强形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同位置处的压强差。
接下来，我们将简要介绍一些应用伯努利方程的情况：1.飞机的升力产生：伯努利方程可以用于解释飞机如何产生升力。
飞机的机翼上方是曲率较大的表面，而下方是曲率较小的表面。
根据伯努利方程，飞机上方的流速较大，压力较小，而下方的情况相反。
这种压力差会产生一个向上的力，即升力，使得飞机能够在空中飞行。
2.水泵和水管系统：3.喷气发动机原理：喷气发动机的工作原理也可以通过伯努利方程来解释。
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1 2 为静压； C 2
为动压，记为
该方程表明，理想不可压流体，沿着流管其全压 p 保持不变。当流速增大时，动压增大，静压减 少；反之亦然。
二、伯努利方程的应用 发动机工作时，压缩器对气体做功，燃气对 涡轮做功等，均可应用伯努利方程作定量分析。 另外，空速表测速原理也是伯努利方程的具体应 用。 （一）求压缩器功 在压缩器中，压缩器对气体做功，机械能前 应取正号，故有
一、伯努利方程的推导 要得到机械能形式表示的能量方程，就需 要把能量方程中以热能形式出现的项，用适当 的机械能形式的项来代替。热力学第一定律提 供了这种可能性。因为热力学第一定律的解析 式正是表达了热与功相互转换的数量关系。将 这一解析式应用于能量方程，便可得到伯努利 方程。下面来推导伯努利方程。
为了防止飞机的结构遭到破坏，应规定最大 限制表速，如歼七飞机的最大限制表速为1200公 里/时。表速小，间接说明飞机的迎角大，为了不 使飞机超过失速迎角，也规定最小限制表速，如 歼七飞机的最小限制表速为215公里/时。而真速 指示对飞行员按规定速度飞行和进行领航计算也 是必不可少的。
为了使上式表示的物理意义更清楚，把它改写 成为
多膨
2 C2 C12 缘 损 2
由此可见，1千克流动气体膨胀后所发出的功， 用来对涡轮工作叶轮作机械功，增大气体的动 能和消耗于损失。
（三）空速表测速原理 飞行速度是由空速管、空速表系统来测量和指 示的。空速表上的粗针指示飞行表速 ，细针指示 飞行真速，如图2—2—9所示，其原理如下。
空速管上有两种孔，侧壁上一排孔叫静压孔， 它感受大气静压 pH ，并通过导管与开口膜盒外 部相通；空速管前端的孔叫全压孔，用来感受总 p 压 ，并通过导管和空速表的开口膜盒内腔相通。 这样，膜盒内外压强就是动压q。
当飞机在海平面飞行时，膜盒内外的压强差为
1 p pH 0C 2 2
膜盒在此压强差作用下膨胀，带动空速表粗 针转动，指示飞机表速，用符号 C表 表示。表速并 不是真正的飞行速度，这是因为刻度盘所表示的 表速大小是根据动压和海平面的密度 0 之间的关 系 q 1 C 2表 而确定的，所以，粗针所转动的角
多压
表示。
从积分的概念得知：p vdp 等于压容图上面积 a12ba 见图(2—2—7)，即多变过程曲线1—2与纵 坐标轴所包围的面积。另外，还可以看出
1
p2
多压
p2
p1
n dp ( p2v2 p1v1 ) n 1
1
=面积 a12ba 。 多压 常常用压力比的形式表示，将 pv RT 以及
1
或 可以看出，
p2
vdp
p1
n ( p2v2 p1v1 ) ( p1v1 p2v2 ) n 1
n ( p1v1 p2v2 ) n 1
是表示多变膨胀过程
( p1v1 p2v2 )
中，1千克静止气体膨胀所作的功，而
n ( p1v1 p2v2 ) n 1
是表示1千克流动气体所作的推动功，则
至此，可以利用上式说明，得
2 C2 C12 压 多压 损 2
上式表明，压缩器对1千克气体所作的功，一 部分用来提高气体的压力，另一部分用来增加 气体的功能，还有一部分消耗于损失。
（二）求轮缘功 在涡轮中，气体对工作叶轮作功，机械功应 取负号。故伯努利方程可写为
轮缘
伯努利方程
单元测验（一）
介绍伯努利方程及其应用
伯努利方程的导出
伯努利方程的应用 2/26
§2—4 伯努利方程
能量方程解决了流动气体能量的转换关系 问题。但是方程中既含有机械能，又含有热能， 且不显含损失功。在实际应用中，有时只希望 讨论机械能之间的转换和求解损失功的大小问 题，这时，用能量方程就不方便了。伯努利方 程就是用机械能形式写出来的能量方程。下面 我们就来研究伯努利方程。
飞行表速和真速之间有一定的换算关系，根据
1 1 2 q H C 真 0C 2表 2 2
得到
C真 C表
0 H
上式表明，在海平面飞行时，真速等于表速； 飞行高度增加，真速要大于表速。表速和真速的 指示都很重要，缺一不可。表速指示对飞行员的 操纵起重要作用。例如，表速大，动压大，意味 着飞机的局部载荷大。
，由工程热力学知，
n ( p2v2 p1v1 ) n 1
这一项表示多变压缩过程中，
压缩1千克静止气体所耗费的功；( p2v2 p1v1) 表示 推动1千克流动气体所耗费的推动功。二者之和
n ( p2v2 p1v1 ) n 1
就表示多变压缩过程中，压缩1千
克流动气体所耗费的功，简称多变压缩功，用
2 C2 C12 2
p2
dp
p1
损
对于无粘不可压流体(即理想不可压流体)， 常数，并沿流管积分得
dp CdC
1 p C 2 p 2 1 p C 2 p 2
或
上式为理想不可压流体的伯努利方程，或称低
速能量方程。其中 p q；p 称为总压(或全压)。
p2
p1
2 C2 C12 dp 损 2
1
变换后得 轮缘 p
p2
1
2 C 2 C12 dp 损 2
1
与讨论压缩功一样，也要弄清
p2
1
p1
dp
代表什么。
对多变过程积分，并考虑到积分上下限为
p2到p1 ，可得
p2
p1
n dp ( p1v1 p2v2 ) n 1
2
0
度是随动压q的大小而增减的。
如果飞行高度升高，飞行速度不变，此时， 由于大气密度减小，动压下降膜盒收缩，空速 表粗针所转动的角度减小，指示的表速也随之 减小。因此，表速只能反映飞行中动压的大小 和海平面的飞行速度，并不能指示任一高的飞 行真速。
飞行真速是由空速表中细针指示的。细针 的转动角度除了受开口膜盒控制外，还受真空 膜盒的控制。当飞行高度增高时，真空膜盒膨 胀，带动细针多偏一个角度，指示出飞行真速。
压
p2
p1
2 C2 C12 dp 损 2
1
为了了解上式的物理意义，应先弄清 代表什么?显然
p2
1
p1
dp
p2
1
p1
dp
的值是与过程的性质有
p2
1
关的。过程不同 p和v ，的变化就不同， p
1
dp
的值也产不同。为使论论具有普遍性，下面以 多变过程来研究
p2
1
p1
dp
的物理意义。
由于是多变过程，所以 p p p n n n
1
2
p2
p1
dP n ( RT2 RT1 ) d n 1
n ( p2v2 p1v1 ) n 1
上式也可写成
p 1 dp n ( p v p v ) ( p v p v ) p2 2 2 11 n 1 2 2 1 1 1
就表示1千克流动气体在多变膨胀 后所发出的功，简称多变膨胀功，以 多膨 表示。
在压容图上多膨用面积 a12ba 表示(如图2— 2—8所示)。多膨也可以用压力比的形式表示
p2 1 n 1 dp RT1 1 n 1 p1 n 1 p1 n ( ) p2
一般形式的能量方程为
2 C2 C12 q ( p2v2 p1v1 ) 损 ( H 2 H1 ) g (u2 u ) 2
将方程写成微分形式
C2 dq d d ( pv) d损 d ( ) gdH du 2
（1）
由热力学第一定律知 dq du Pdv
T ( 2) ( T1 p1
n 1 p2 n )
(面积c12dc 面积od 2bo 面积oc1aO)
代入上式得
多压
p2
p1
n dp ( p2v2 p1v1 ) n 1
1
p2 n 1 n n R(T2 T1 ) RT1 ( ) n 1 n 1 n 1 p1
（2）
将（2）式代入（1）式并忽略位能的变化， 整理得 C2
d d ( 2 ) vdp d损
或
v 2 dp d d ( ) d损 2
这就是微分形式的伯努利方程。 对上式积分得
2 C2 C12 2
p2
dp
p1
损
这就是积分形式的伯努利方程。 同能量方程一样，如果气体对外做功， 则 项前应取负号，因此伯努力方程可综合写成