伯努利方程推导
大学物理伯努利方程及其应用
Q S ASB
2 gh 2 2 SB SA
Q 2 gh 管道中的流速 v vB SA 2 2 SB SB S A
例 .一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2∶1 ，已知粗 管内水的流速为1m•s-1 , 求 细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。 解 ∵d1∶d2 =2∶1 由 S1v1 =S2v2 ∴ S1∶S2 = 4∶1 且v 1= 1m•s-1
（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。 （4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v 之间的关系。
三、伯努利方程的应用
小孔流速 如图所示，且SB＜＜SA，以 A、B 两点为参考点， 由伯努利方程：
SA
SB
SB S A v A S B v B 可知， v A v B 0 SA 选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得
由
1 2 1 2 PA v A gh A PB v B ghB 2 2
1 2 PA gh PB v B 2
因PA= P 0 P B =P 0 所以
2( PA PB ) vB 2 gh
vB 2 gh ---托里拆利公式
即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落 到小孔处的流速大小相等。
因SA很小，vA增大使PA小于大气 压，容器内流体上升到A处，被高速 气流吹散成雾，这种现象又称为空吸 现象。
皮托管
B A
由伯努利方程
从U形管中左右两边液面高度差可知
1 2 PB v PA 2
PA PB gh
h
由上两式得
简述伯努利方程
简述伯努利方程
伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，描述了沿流体流动方向的速度变化和压力变化之间的关系。
伯努利方程是基于质量守恒和能量守恒原理推导而来的。
根据伯努利方程，对于稳定、不可压缩的流体，沿着流动方向的速度增加时，压力会降低；反之，速度减小时，压力会增加。
这个关系可以通过以下的数学表达式来表示：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P 是流体的压力，ρ是流体的密度，v 是流体的速度，g 是重力加速度，h 是流体的高度。
这个方程可以被解释为，在沿流动方向的某点，流体的总能量（包括压力能、动能和位能）保持不变。
伯努利方程的应用非常广泛。
例如，在管道中流动的液体，根据伯努利方程可以计算出某一点的压力变化和速度变化。
这对于设计水厂、油管道以及飞行器的气动特性等都非常有用。
然而，需要注意的是，伯努利方程仅适用于理想的、不可压缩的流体，并且在计算过程中需要满足一定的假设条件，如忽略粘性、摩擦等因素。
对于可压缩流体或涡流等特殊情况，伯努利方程可能不再适用。
总之，伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，描述了流体流动中速度和压力之间的关系。
具有广泛的应用价值，但在具体应用时需要结合特定情况进行合理使用和解读。
伯努利方程推导
根据流体运动方程P F dt V d ∙∇+=ρ1上式两端同时乘以速度矢量()V P V F V dt d ∙∙∇+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ122右端第二项展开——()()V P V P V F V dtd ∙∇∙-∙∙∇+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρρ1122利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程()E V div p V P div VF V dt d -+∙+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ρρ122右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少） 右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程()()dtdq V P div V F V T c dt d +∙+∙=+ ρυ12/2()E V div pV P div V F V dtd -+∙+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ρρ122得到()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d-+=++-= ρρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt ddt dq ρυ+=这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。
由动能方程推导伯努利方程：对于理想流体，动能方程简化为：()V div pV P div V F V dt d ρρ+∙+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122无热流量项。
又因为()V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -∇∙-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∙∂∂∂∂∂∂)()()(故最终理想流体的动能方程可以写成：p V V F V dtd∇⋅-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ22【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不发生任何转换。
】假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-∇=F考虑Φ为一定常场，则有：dt d V V F Φ-=Φ∇∙-=∙理想流方程体动能方程p VV F V dt d ∇⋅-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ22假设质量力是有势力，是定常场p V V dtd∇⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+ρ22由定常条件：p V p V t pdt dp ∇⋅-=∇⋅-∂∂-=- -->dt dpV dt d ρ122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+ 不可压缩条件0d dt ρ=-->⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+ρp dt dV dt d 22-->022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ+ρp V dtd等式右端括号内部分的个体变化为零，也即：const pV =+Φ+ρ22定常运动:流体运动的迹线和流线是重合,于是沿流体运动的流线也有const pV =+Φ+ρ22例：求水从容器壁小孔中流出时的速率。
欧拉-伯努利方程
欧拉-伯努利方程
欧拉-伯努利方程是流体力学中的一种重要方程，描述了流体在不可压缩、定常、理想流动条件下沿流线的行为。
它是基于质量守恒和动量守恒原理推导而来的。
欧拉-伯努利方程可以表示为：
P + 1/2ρv²+ ρgh = 常数
其中：P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
这个方程的意义是，沿着流体的流线，在没有外力做功的情况下，流体的总能量保持不变。
方程左边的三项分别代表了流体的压力能、动能和重力势能。
欧拉-伯努利方程在流体力学中有广泛的应用，例如可以用来解释飞机的升力产生、水流的速度和压力分布、水泵和风扇的工作原理等。
它为理解和分析流体力学问题提供了重要的工具和方法。
需要注意的是，欧拉-伯努利方程是一种基于一些假设条件的简化模型，在特定的情况下有效，但也有其适用范围和限制。
伯努利方程公式
伯努利方程公式介绍在物理学和工程学中，伯努利方程是描述流体在不同位置之间的速度、静压力和动压力之间关系的基本方程。
它是基于质量守恒和能量守恒的原理推导出来的。
伯努利方程广泛应用于流体力学、飞行器设计、液压系统等领域。
公式伯努利方程的数学表达式如下所示：P + (1/2)ρv^2 + ρgh = constant其中：•P 表示流体在某一点的静压力（单位为帕斯卡）；•ρ 表示流体的密度（单位为千克/立方米）；•v 表示流体在某一点的速度（单位为米/秒）；•g 表示重力加速度（单位为米/秒^2）；•h 表示流体在某一点的高度（单位为米）。
解释伯努利方程可以解释为流体在不同位置之间能量的转化。
方程的左边分别表示流体在某一点的静压力、动压力和重力势能的总和，而右边表示这些能量在流体运动过程中保持不变。
在没有外力作用的情况下，伯努利方程说明了流体在不同位置之间速度、压力和高度之间的相互关系。
应用伯努利方程在实际应用中具有广泛的意义。
下面是一些常见的应用场景：管道流动在管道流动中，伯努利方程可以用来计算流体在不同位置之间的压力变化情况。
通过测量流体的速度和压力，可以利用伯努利方程来推算出管道中的流速、管道的截面积等重要参数。
飞行器设计在飞行器设计中，伯努利方程可以帮助工程师计算飞机的升力和阻力。
通过将飞机的速度、空气密度和升力系数代入伯努利方程，可以确定飞机的升力和阻力大小，从而优化飞行器的设计。
液压系统在液压系统中，伯努利方程可以用来推算液体在管道中的压力变化。
通过测量流体的速度和压力，可以利用伯努利方程来优化液压系统的性能，例如提高液压系统的效率和减少压力损失。
总结伯努利方程是描述流体运动中速度、压力和高度之间关系的重要公式。
它通过质量守恒和能量守恒的原理，揭示了流体在不同位置之间能量的转化和平衡。
伯努利方程在物理学和工程学中具有广泛的应用，是研究流体力学和优化系统设计的基础工具。
通过深入理解和应用伯努利方程，可以对流体运动和力学系统进行准确的分析和预测。
伯努利方程原理
伯努利方程原理伯努利方程原理是流体力学中的重要定律，描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为。
它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理而推导出来的。
我们来了解一下伯努利方程的基本概念。
伯努利方程是描述流体在沿流动方向上速度变化时，压力、速度和高度之间的关系。
它的数学表达形式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度。
这个方程表明，在不受外力作用的情况下，当流体速度增大时，压力会减小；当流体速度减小时，压力会增大。
伯努利方程原理的推导基于三个基本原理：质量守恒、动量守恒和能量守恒。
质量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的流体质量保持不变。
这意味着如果流体速度增大，流体密度会减小；如果流体速度减小，流体密度会增大。
动量守恒原理表明在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的动量保持不变。
根据牛顿第二定律，动量等于质量乘以速度，因此当流体速度增大时，流体的动量也会增大；当流体速度减小时，流体的动量也会减小。
能量守恒原理指的是在流体运动过程中，单位时间内通过任意截面的能量保持不变。
根据能量转化的原理，当流体速度增大时，其动能增加，而静压能减小；当流体速度减小时，其动能减小，而静压能增加。
基于以上三个原理，我们可以推导出伯努利方程。
在流体静止的情况下，即流体速度为零时，伯努利方程可以简化为：P + ρgh = 常数这个方程表示了在不同高度处流体的压力之间的关系，即流体的压力随着高度的增加而增加。
总结一下，伯努利方程原理是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理推导出来的。
它描述了流体在沿流动方向不受外力作用时的行为，即流体速度的增大导致压力的减小，流体速度的减小导致压力的增大。
伯努利方程的应用非常广泛，例如在飞机的升力产生、水管的流量控制等领域都有重要的应用。
了解伯努利方程原理可以帮助我们更好地理解和应用流体力学知识。
伯努利方程推导
zg 1 u2 p Const. （1） 2 ——伯努利方程式
适用于不可压缩非黏性流体，无摩擦损失，理 想流体伯努利方程式
对于气体，管路两截面间压力差很小，密度变化很小， 此式适用。
（二）伯努利方程式的物理意义
zg ——单位质量流体所具有的位能，J/kg；
kg
m s2
m
N .m
二 伯努利方程式(机械能衡算）
（一）伯努利方程式(Bernoulli’s equation)
流体无黏性，即流动中无摩擦损失，作稳态流动，管截面
上速度分布均匀。质量流量 qm，管截面积A，
在x方向上对微元段受力分析：
（1）两端面所受压力分别为 pA 及 ( p dp)A
（2）重力的分量
dz dm
gdmgBiblioteka msin gAdx sin gAdz 故合力为
pA ( p dp)A gAdz Adp gAdz
动量变化率 动量原理
qmdu Audu
Audu Adp gAdz
gdz dp udu 0
不可压缩性流体， Const.
J
p
kg
kg kg
——单位质量流体所具有的静压能，J/kg ；
N / m 2 N.m J
kg / m3
kg
kg
1 u2 ——单位质量流体所具有的动能，J/kg。
2
kg
m2 s2
N.m
J
kg
kg kg
(1)是单位质量流体能量守恒方程式
将(1)式各项同除重力加速度g :
z 1 u2 p Const.
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
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为使式（1-36）便于实用，首先将图1-13中截面A1和A2处的流动限于平行流动（或缓变流动），这样，通流截面A1、A2可视为平面，在通流截面上除重力外无其他质量力，因而通流截面上各点处的压力具有与液体静压力相同的分布规律，即p/(ρg)+z=常数。
其次，用平均流速v代替通流截面A1或A2上各点处不等流速u，且令单位时间内截面A处液流的实际动能和按平均流速计算出的动能之比为动能修正系数 ，即
(三)实际液体的能量方程
实际液体流动时还需克服由于粘性所产生的摩擦阻力，故存在能量损耗。设图1-12中微元体从截面1流到截面2因粘性而损耗的能量为h’w，则实际液体微小流束作恒定流动时的能量方程为：
（1-35）
将式（1-35）的两端乘以相应的微小流量dq（dq=u1dA1=u2dA2），然后各自对液流的通流截面积A1和A2进行积分，得：
1）压力在两端截面上所产生的作用力：
(1)
2）作用在微元体上的重力
重力在流线S上分力：
（2）
微元体的流速：
微元体的加速度 （3）
m= ,
根据牛顿第二定律ΣF=ma，有
(4)
用 遍除（4）式各项，得
（5）ห้องสมุดไป่ตู้
恒定流动， ， ， ， ，
则式（5）变为：
（6）
这就是理想液体沿流线作恒定流动时的运动微分方程。它表示了单位质量液体的力平衡方程。
（二）理想流体的能量方程
将式（6）沿流线s从截面1积分到截面2（见图1-12），便可得到微元体流动时的能量关系式，即：
上式移项，两遍同除以g，得
（1-33）
由于截面1、2是任意取的，故上式也可写成：
(1-34)
式（1-33）或式（1-34）就是理想液体微小流束作恒定流动时的能量方程或伯努利方程。它与液体静压力基本方程〔式（1-23）〕相比多了一项单位重力液体的动能u2/2g（常称速度水头）。
伯努利方程推导
在图1-13所示的流管内取截面A1到截面A2的一段液流，两端的通流截面积各为A1、A2。在此液流中取出一微小流束，两端的通流截面积各为dA1和dA2，其相应的压力、流速和高度分别为p1、u1、z1和p2、u2、z2。
（一）理想液体的运动微分方程
在此微小流束上取出一段通流截面积为dA、长度为ds的微元体，如图1-12所示。在一维流动情况下，对理想液体来说，作用在微元体上的外力有以下两种：
(1-37)
此外，对液体在流管中流动时因粘性磨擦而产生的能量损耗，也用平均能量损耗的概念来处理，即令
将上述关系式代入式（1-36），整理后可得
（1-38）
式中α1、α2分别为截面A1、A2上的动能修正系数。
式（1-38）就是仅受重力作用的实际液体在流管中作平行（或缓变）流动时的能量方程。它的物理意义是单位重力实际液体的能量守恒。其中hw为单位重力液体从截面A1流到截面A2过程中的能量损耗。