伯努利方程分析
能量方程(伯努利方程)实验
不可压缩流体恒定流能量方程（伯努利方程）实验一、实验背景1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。
为纪念他的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。
伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，即在水流或气流里，如果速度大，压强就小，如果速度小，压强就大。
1738年，在他的最重要的著作《流体动力学》中，伯努利将这一理论公式化，提出了流体动力学的基本方程，后人称之为“伯努利方程”。
书中还介绍了著名的伯努利实验、伯努利原理，用能量守恒定律解决了流体的流动问题，这对流体力学的发展，起到了至关重要的推动作用。
伯努利简介丹尼尔伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782），瑞士物理学家、数学家、医学家，被称为“流体力学之父”。
1700年2月8日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日逝世于巴塞尔。
他是伯努利这个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位。
17～20岁时，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，并于1721年获医学硕士学位，成为外科名医并担任过解剖学教授。
他在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
伯努利在25岁时应聘为圣彼得堡科学院的数学院士，8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学成教授。
他还于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选为巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。
在1725～1749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
除流体动力学这一主要领域外，丹尼尔·伯努利的研究领域极为广泛，他的工作几乎对当时的数学和物理学的研究前沿的问题都有所涉及。
他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，研究流体问题、物体振动和摆动问题，因此他被推崇为数学物理方法的奠基人．二、实验目的要求1．验证流体恒定总流的能量方程；2．通过对动水力学诸多水力现象的实验分析，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性；3．掌握流速、流量、压强等动水力学水力要素的实验量测技能。
伯努利方程教学难点与对策分析
伯努利方程教学难点与对策分析伯努利方程是一种常用的微分方程，它是用来描述动态系统的变化规律的。
伯努利方程的常见形式为：
du / dt = f(u)
其中，u是一个函数，t是时间，f(u)是一个关于u的函数。
伯努利方程是一种线性微分方程，它的解可以用常见的初值问题求解方法来解决。
伯努利方程的教学难点主要有以下几点：
1.对于新手，伯努利方程的概念可能会比较抽象，难以理
解。
2.伯努利方程的求解方法比较复杂，学生可能会因为求解
过程中的细节问题而感到困难。
3.伯努利方程的应用领域比较广泛，学生可能不熟悉这些
应用领域，难以理解伯努利方程的实际意义。
为了解决伯努利方程的教学难点，可以采取以下对策：
1.通过模型和实例来帮助学生理解伯努利方程的概念。
2.在讲解伯努利方程的求解方法时，可以提供许多实例和
练习题，帮助学生掌握求解方法。
3.在讲解伯努利方程的应用时，可以举例说明伯
努利方程在实际应用中的作用，并引导学生了解伯努利方程的应用领域。
1.在教学过程中，可以借助教学软件或者在线学习平台，
为学生提供可视化的解题过程和辅助工具，帮助学生更好地
理解伯努利方程的求解过程。
2.可以设置小组讨论或者个人讨论环节，让学生在交流中
加深对伯努利方程的理解。
3.在教学过程中，可以适当调整教学节奏，给学生充足的
学习时间，帮助他们更好地理解伯努利方程的内容。
伯努利方程实验数据(1)
伯努利方程实验数据(1)伯努利方程实验数据是流体静力学和动力学研究中的基础，在航空、建筑、水利等行业都有着广泛应用。
本文旨在通过对伯努利方程实验数据的分析，深入了解流体的物理学特性。
一、伯努利方程实验数据概述伯努利方程描述了在不可压缩流体中，流体速度和流体压力之间的关系。
其公式为P + 1/2ρv² + ρgh = 常数，其中P为流体压强，ρ为流体密度，v为流体速度，g为重力加速度，h为流体对垂直方向上某点的高度。
在实验中，可以通过调整流体速度和位置，来观察伯努利方程中各参数的变化。
二、伯努利方程实验数据分析在实验中，可以通过调节实验装置中的阀门，控制流体速度和流量。
当调节阀门，减小管道截面积时，流量不变，流速升高，压强下降。
当调节阀门，增大管道截面积时，流量增加，流速下降，压强升高。
通过实验数据的分析，可以看出，在管道中的压强P会随着流速v的升高而下降，同时也会受到流体密度ρ和重力加速度g的影响。
在流量不变的情况下，管道中速度越大，管道中的压强就越小。
此外，在实验中也可以观察到在水平流动时，流体速度最大的点是管道的中央位置。
而在垂直向上或向下的流动时，当流速达到最大值时，压强将最小化。
这些观察结果都符合伯努利定理，并且可以直接应用于飞行器设计、建筑物隔音和流体系统优化等实际应用案例中。
三、结论通过伯努利方程实验数据的分析，我们可以更深入地了解流体在管道中的物理特性。
我们可以看到，管道中的流速会对压强产生影响，而流体的密度和重力加速度也会进一步加剧这种影响。
此外，在不同类型的流动情况下，伯努利定理的适用方式也有所不同。
流体力学的基础研究和应用对世界各地的科学技术和工程领域都有着重要的贡献。
伯努利方程知识点总结
伯努利方程知识点总结一、基本概念1. 流体流动在物理学和工程学中，流体流动是一个非常重要的研究领域。
流体包括气体和液体，其流动特性受到各种因素的影响，如流速、流量、压力、密度等。
2. 伯努利方程伯努利方程是描述流体流动的基本方程之一，它是根据能量守恒定律和流体动力学原理推导而来的。
伯努利方程可以用来描述流体在不同位置的流速、静压和动压之间的关系。
它的最基本形式可以表示为：P + 1/2 ρv^2 + ρgh = 常数其中，P代表流体的静压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的流速，g代表重力加速度，h代表流体的高度。
这个方程表明了在流体流动的过程中，静压力、动压力和重力势能之间的相互转化关系。
3. 流线与流线管在描述流体流动的过程中，我们经常会使用流线和流线管这两个概念。
流线是指流体在流动过程中所呈现出的路径，它可以用来描述流体的流动轨迹和速度分布。
流线管是指将流线沿着其流动方向构成的管道，它是探索流体流动规律的有力工具。
二、公式推导现在我们来推导伯努利方程的基本形式。
我们假设在一个流线管内部的流体流动，忽略粘性和外部力的影响。
根据流体力学原理和能量守恒定律，我们可以得到以下推导过程：首先，我们考虑流体在不同位置的能量变化。
在流线管的两个不同位置1和2，流体分别具有静压力P1和P2，动压力1/2 ρv1^2和1/2 ρv2^2，重力势能ρgh1和ρgh2。
根据能量守恒定律，我们有：P1 + 1/2 ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2 ρv2^2 + ρgh2将上式简化，可得到伯努利方程的基本形式：P1 + 1/2 ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2 ρv2^2 + ρgh2这就是伯努利方程的基本公式，它描述了流体在不同位置的静压、动压和重力势能之间的关系。
三、应用领域伯努利方程在许多领域都具有广泛的应用价值，下面我们将对其应用领域进行简要介绍。
1. 空气动力学在航空航天领域，伯努利方程被广泛应用于描述飞机在不同飞行状态下的空气动力学性能。
伯努利方程推导
zg 1 u2 p Const. （1） 2 ——伯努利方程式
适用于不可压缩非黏性流体，无摩擦损失，理 想流体伯努利方程式
对于气体，管路两截面间压力差很小，密度变化很小， 此式适用。
（二）伯努利方程式的物理意义
zg ——单位质量流体所具有的位能，J/kg；
kg
m s2
m
N .m
二 伯努利方程式(机械能衡算）
（一）伯努利方程式(Bernoulli’s equation)
流体无黏性，即流动中无摩擦损失，作稳态流动，管截面
上速度分布均匀。质量流量 qm，管截面积A，
在x方向上对微元段受力分析：
（1）两端面所受压力分别为 pA 及 ( p dp)A
（2）重力的分量
dz dm
gdmgBiblioteka msin gAdx sin gAdz 故合力为
pA ( p dp)A gAdz Adp gAdz
动量变化率 动量原理
qmdu Audu
Audu Adp gAdz
gdz dp udu 0
不可压缩性流体， Const.
J
p
kg
kg kg
——单位质量流体所具有的静压能，J/kg ；
N / m 2 N.m J
kg / m3
kg
kg
1 u2 ——单位质量流体所具有的动能，J/kg。
2
kg
m2 s2
N.m
J
kg
kg kg
(1)是单位质量流体能量守恒方程式
将(1)式各项同除重力加速度g :
z 1 u2 p Const.
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式伯努利方程是流体力学中非常重要的一个方程，用于描述沿着流体流动方向上的动能、压力和重力势能之间的关系。
伯努利方程是通过对连续性方程和动量方程的积分得到的。
在本文中，将介绍伯努利方程的三种常用形式及其应用。
首先，我们来看一般形式的伯努利方程：\[P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{常数}\]其中，\(P\)表示流体的静压力，\(\rho\)表示流体的密度，\(v\)表示流体的速度，\(g\)表示重力加速度，\(h\)表示流体的高度。
接下来，我们将讨论伯努利方程的三种常用形式。
1.高度形式：\[P + \rho gh = \text{常数}\]假设流体在两个不同高度的点1和点2之间流动，忽略速度对伯努利方程的影响，则可以得到高度形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同高度处的压强差。
2.速度形式：\[\frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2\]在忽略压强差对伯努利方程的影响时，可以得到速度形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同位置处的速度差。
3.压强形式：\[P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2\]在忽略重力势能对伯努利方程的影响时，可以得到压强形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同位置处的压强差。
接下来，我们将简要介绍一些应用伯努利方程的情况：1.飞机的升力产生：伯努利方程可以用于解释飞机如何产生升力。
飞机的机翼上方是曲率较大的表面，而下方是曲率较小的表面。
根据伯努利方程，飞机上方的流速较大，压力较小，而下方的情况相反。
这种压力差会产生一个向上的力，即升力，使得飞机能够在空中飞行。
2.水泵和水管系统：3.喷气发动机原理：喷气发动机的工作原理也可以通过伯努利方程来解释。
伯努利方程及其特异解分析
伯努利方程及其特异解分析伯努利方程（Bernoulli's equation）是物理学和工程学中经典的方程之一，用于分析和描述流体的动力学和流体力学。
它的形式如下：$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$其中，$p$表示流体的静止压力，$\rho$表示流体密度，$v$表示流体的速度，$h$表示流体的高度，$g$表示重力加速度，$C$为常数。
伯努利方程采用了能量守恒原理，即流体的总能量在管道或介质中的任意两点是相等的。
这意味着，若在某一位置流速增加，则与之相对应的静态压力下降。
这种关系在所谓的伯努利效应中非常明显，它解释了为什么过狭缝流动的液体速度较高，而从狭缝出来时压力较低的现象。
伯努利方程的一般解可以通过积分和代数法求得，但对于一些特殊的情况，我们可以采用特定的技巧找到更简单的解析解，这些特殊解被称为特异解（particular solutions）。
下面，我将介绍几个常见的伯努利方程特异解的情况。
1. 管道水平流动对于管道水平流动的情况，即$h$不变，$g=0$，$p_1=p_2$，我们可以将伯努利方程简化为：$\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2$其中，$v_1$和$v_2$分别是管道两端的流体速度，$h_1$和$h_2$分别是管道两端的高度。
这个方程告诉我们，即使管道的横截面积不同，流体速度和高度也会自适应的变化，以使得伯努利方程仍然成立。
2. 自由落体式另一种特殊情况是自由落体式，即$h_1=h_2$，$v_1=0$，$p_1=p_2$。
在这个情况下，伯努利方程可以简化为：$\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2=0$我们可以发现，在自由落体的过程中，液体的速度随着高度的减小而增加，最终达到终端速度。
这种情况也可以被称为终端速度受限，即因为液体的粘滞性和摩擦阻力，流体速度最终达到一个稳定值。
伯努利方程实验分析报告
伯努利方程实验报告————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1 不可压缩流体定常流能量方程(伯努利方程)实验一、实验目的要求：1、掌握流速、流量、压强等动水力学水力要素的实验量测技术；2、验证流体定常流的能量方程；3、通过对动水力学诸多水力现象的实验分析研究，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性。
二、实验装置：自循环伯努利方程实验装置图本实验的装置如图所示，图中：1.自循环供水器；2.实验台；3.可控硅无级调速器；4.溢流板；5.稳水孔板；6.恒压水箱；7.测压计；8.滑动测量尺；9.测压管； 10.实验管道； 11.测压点； 12.毕托管 13.实验流量调节阀。
12 345 67 89 11112 三、实验原理：在实验管路中沿水流方向取n 个过水截面。
可以列出进口截面(1)至截面(i)的能量方程式（i=2,3,.....,，n)W i hg g p Z g g p Z i i i -+++=++12222111νρνρ选好基准面，从已设置的各截面的测压管中读出g p Z ρ+值,测出通过管路的流量,即可计算出截面平均流速ν及动压g 22ν，从而可得到各截面测管水头和总水头。
四、实验方法与步骤：1、熟悉实验设备，分清各测压管与各测压点，毕托管测点的对应关系。
2、打开开关供水，使水箱充水，待水箱溢流后，检查泄水阀关闭时所有测压管水面是否齐平，若不平则进行排气调平(开关几次）。
3、打开阀13，观察测压管水头线和总水头线的变化趋势及位置水头、压强水头之间的相互关系，观察当流量增加或减少时测压管水头的变化情况。
4、调节阀13开度，待流量稳定后，测记各测压管液面读数，同时测记实验流量(与毕托管相连通的是演示用，不必测记读数)。
5、再调节阀13开度1～2次，其中一次阀门开度大到使液面降到标尺最低点为限，按第4步重复测量。
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安全线
• 如图：当火车经过B点时的流速比A点大，所以 pA>pB，于是物体会被火车吸入。
不旋球
上旋球
• 图2表示不旋转球水平向左运动时周围空气的流线。球的 上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。 • 图3球旋转时会带动周围空气跟着一起旋转，致使球的下 方空气流速增大，上方流速减小。下方流速大，压强小， 上方流速小，压强大。跟不旋转相比，旋转球因为旋转而 受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
各项具有长度的量纲 第一项 z 表示单位重量流体所具有的位势能—位置水头； 第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能—压强水头； 前两项之和称为静水头； 第三项V2/(2g)单位重量流体所具有的动能—又称为速度水头。 三项之和称为断面的总水头。
2 2
• 以上三种水头之和称为总水头，以H表示。
p v2 H z g 2g
两艘船为什么会撞到一起？
伯努利方程
运动流体中的机械能可分为： 由重力作用产生的重力势能（位能）； 由压强作用产生的压力势能（静压能）； 由流体运动产生的动能；
由粘性作用或碰撞等作用产生的耗散能。
1 p du f x x dt 1 p dv fy y dt 1 p dw fz z dt
教师：矿业工程系 刘丽 教材：工程流体力学
1910年9月20日，奥林匹克号离开南安普敦的海洋码头，开往纽约。在 怀特岛东北海域，与皇家海军的霍克号巡洋舰相遇。霍克号也在高速 航行，两艘船很快靠拢到一起高速并行，忽然霍克号向左拐过去，好 像奥林匹克号是一块巨大的磁铁一样，7350吨的霍克号和45000吨级的 奥林匹克号撞到一起，霍克号的舰首戳进奥林匹克号的船尾。（据说 是个10米的窟窿）两船都严重受伤。
4）基本机械能关系式的拓广 沿程有能量输入或输出时的伯努利方程 将输入的能量加在方程的左端断面间由水泵输入机械能时，方程的形式应
变为
p v2 p v2 (z )1 H p ( z )2 hw12 g 2g g 2g
其中，Hp称为水泵的输入扬程。
• 当两船同向靠近高速行驶时，两船之间水流速较大 ，而外侧水流速度较小，由伯努利方程可知，流速 大，压强小，流速小，压强大。水作用在两船外侧 的力较大，所以两船会相互吸引而导致相碰。
• 在航海中，对并排同向行驶的船舶，要 限制航速和两船的距离。
• 在火车站或地铁站的站台上都画有安全线， 并且火车或地铁进出站时总会有播音员提醒 大家往安全线里边站，这是为什么？
图2
图1
图3
如果两手各拿一张薄纸，使它们之间的距离大约4~6厘 米，然后用嘴向这两张纸中间吹气，现象如何？为什 么？ 或者超市的购物袋，越吹粘的越紧，为何
• 如图气流由纸片间的空气通过，气流在A点附近 的流速大，在B点附近的流速小。 • 由伯努利方程可知A点附近的压强比B点附近的压 强小，因此两张纸片被压在了一起。
p V 上式积分得： -gz C 2 p V p V (z )1 ( z ) 2 hw1 2 g 2g g 2g
—定常流动的伯努利方程
2 2
2
为了形象地了解流体运动时能量沿程的变化情况，特定义：
测压管水头线坡度
p d z g Jp ds
2）方程中各物理量的取值方法 同点对应取值；
两个断面必须采用相同的压强基准 ； 工程中的流动绝大为湍流流动，取值为1 ；特殊情况下 (如管道内呈层流流态时)， 取值为2 3）某些特殊断面及其参数值 大水面流速取为零 管道出口断面—流体自该断面进入大气空间，出口压力取
环境压力；
乘以dx 乘以dy 乘以dz
1 p p p (f x dx f y dy f z dz ) ( dx dy dz ) x y z du dv dw dx dy dz dt dt dt
(f x dx f y dy f z dz ) gdz 1 p p p 1 p ( dx dy dz ) dp d ( ) x y z dx udt , dy vdt , dz wdt du dv dw dx dy dz udu vdv wdw dt dt dt u2 v2 w2 u 2 v 2 w2 d d d d 2 2 2 2
水力坡度
p v2 d z g 2g J ds
实际流体J 0，理想流体J 0? ，匀速流体J p J
方程应用说明及注意点
1）应用条件
① 流动定常；② 流体不可压；③ 断面缓变流；即上、下游
两个断面必须为平行直线流或缓变流，断面间可以包含急变 流。④ 断面间无旁路；即上、下游两断面间的流道只能是单 进单出，不能有流量的旁通；还必须保证上、下游两断面间 的流道区域内，没有外部的机械能输入，也没有内部的机械 能对外做功。⑤质量力只有重力。
它表示了距基准面为z处，流速为v，压力为p 的1N流体所具有的总机械能。
各断面水头的连线组成的水头线及能量变化图示
断面水头及水头线的几何示意
伯努利方程表明理想流体在流动过程中任意截面上总机械能 守恒。 各截面上每种形式的能量并不一定相等，它们之间可以相互 转换。流速高处压力低，流速低处压力高。
沿程有分流或汇流时的机械能关系
p1 V12 q1 ( z1 ) g 2g p3 V3 p2 V2 q2 ( z2 hw12 ) q3 ( z3 hw13 ) g 2g g 2g
2 2
q1 q2 q3
6）伯努利方程的几何表述
p V p V (z )1 ( z ) 2 hw12 g 2g g 2g