伯努利方程

两艘船为什么会撞到一起？
伯努利方程
运动流体中的机械能可分为： 由重力作用产生的重力势能（位能）； 由压强作用产生的压力势能（静压能）； 由流体运动产生的动能；
由粘性作用或碰撞等作用产生的耗散能。
1 p du f x x dt 1 p dv fy y dt 1 p dw fz z dt
乘以dx 乘以dy 乘以dz
1 p p p (f x dx f y dy f z dz ) ( dx dy dz ) x y z du dv dw dx dy dz dt dt dt
(f x dx f y dy f z dz ) gdz 1 p p p 1 p ( dx dy dz ) dp d ( ) x y z dx udt , dy vdt , dz wdt du dv dw dx dy dz udu vdv wdw dt dt dt u2 v2 w2 u 2 v 2 w2 d d d d 2 2 2 2
2

( pA pB ) 2 g h
文丘里管流量计:装在管路中用来测量流量的常用仪器
对1 1和2 2截面列伯努利方程
2 v12 p1 v2 p 2 2 2
1 2
一维流动的连续性方程 A1v1 A2 v2 得：v2 2 p1 p2
1
2 1 A2 A1 通过文丘里管的流量q A2 v2
• 当两船同向靠近高速行驶时，两船之间水流速较大 ，而外侧水流速度较小，由伯努利方程可知，流速 大，压强小，流速小，压强大。水作用在两船外侧 的力较大，所以两船会相互吸引而导致相碰。
• 在航海中，对并排同向行驶的船舶，要 限制航速和两船的距离。
• 在火车站或地铁站的站台上都画有安全线， 并且火车或地铁进出站时总会有播音员提醒 大家往安全线里边站，这是为什么？
沿程有分流或汇流时的机械能关系
p1 V12 q1 ( z1 ) g 2g p3 V3 p2 V2 q2 ( z2 hw12 ) q3 ( z3 hw13 ) g 2g g 2g
2 2
q1 q2 q3
6）伯努利方程的几何表述
p V p g 2g
各项具有长度的量纲 第一项 z 表示单位重量流体所具有的位势能—位置水头； 第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能—压强水头； 前两项之和称为静水头； 第三项V2/(2g)单位重量流体所具有的动能—又称为速度水头。 三项之和称为断面的总水头。
2 2
• 以上三种水头之和称为总水头，以H表示。
p v2 H z g 2g
p V 上式积分得： -gz C 2 p V p V (z )1 ( z ) 2 hw1 2 g 2g g 2g
—定常流动的伯努利方程
2 2
2
为了形象地了解流体运动时能量沿程的变化情况，特定义：
测压管水头线坡度
p d z g Jp ds
2）方程中各物理量的取值方法 同点对应取值；
两个断面必须采用相同的压强基准 ； 工程中的流动绝大为湍流流动，取值为1 ；特殊情况下 (如管道内呈层流流态时)， 取值为2 3）某些特殊断面及其参数值 大水面流速取为零 管道出口断面—流体自该断面进入大气空间，出口压力取
环境压力；
1 . 2 1000
3 1200 kg/m
C 处的真空度可以将液箱内液体吸上的高度
H
pC 2.45 m g
该高度大于吸水管高度 H = 1.5 m，因此可以将液箱内液体吸入。
虹吸管
具有自由液面的液体，通过一弯管使其绕过周围较高的障碍物 ，然后流 入低于自由液面的位置，这种用途的管子就称为虹吸管，这类现象则称 为虹吸现象。
图 3-32 例题 3-11 示意图 【解】 根据虹吸管出水速度公式，得
V kV 2gL 0.95 2 9.8 2 m/s 5.95 m/s
由 得
qV

4
d2 V
d
4qV 4 100 / 3600 0.077 m V 5.95
虹吸管最高截面处的压强
p2 pa g ( z hw ) 101.3103 103 9.8 (6 0.5)Pa 47.4 103 Pa
教师：矿业工程系 刘丽 教材：工程流体力学
1910年9月20日，奥林匹克号离开南安普敦的海洋码头，开往纽约。在 怀特岛东北海域，与皇家海军的霍克号巡洋舰相遇。霍克号也在高速 航行，两艘船很快靠拢到一起高速并行，忽然霍克号向左拐过去，好 像奥林匹克号是一块巨大的磁铁一样，7350吨的霍克号和45000吨级的 奥林匹克号撞到一起，霍克号的舰首戳进奥林匹克号的船尾。（据说 是个10米的窟窿）两船都严重受伤。
体的连续流动被破坏,这种现象称为气穴现象。 危害：当流体中的气泡随液流运动到高压区时，由于蒸 汽的凝结，气泡迅速溃灭；连续大量气泡的迅速溃灭在 流体中将产生很大的压强冲击，从而对输液管道或流体 机械造成破坏。
虹吸管不发生气穴现象的条件
列2截面和3截面之间的伯努利方程
pa V32 p2 V22 H L 0 hw23 g 2g g 2g
查表得水温 20º C 时的饱和蒸汽压强为 2.34×103 Pa
由于虹吸管最高截面处的压强远远大于水温 20º C 时的饱和蒸 虹吸 由于虹吸管最高截面处的压强远远大于水温 20º C 时的饱和蒸汽压强， 汽压强，虹吸管中的水流不会在虹吸管最高处产生气穴，故虹吸管可 以正常吸水。
管中的水流不会在虹吸管最高处产生气穴，故虹吸管可以正常吸水。
4）基本机械能关系式的拓广 沿程有能量输入或输出时的伯努利方程 将输入的能量加在方程的左端或将输出的能量加在方程的
右端。如在两断面间由水泵输入机械能时，方程的形式应
变为
p v2 p v2 (z )1 H p ( z )2 hw12 g 2g g 2g
其中，Hp称为水泵的输入扬程。
射流泵利用喷嘴处高速水流造成的低压，将液箱内的液 体吸入泵内并与主流混合后排出的装置。
列喷嘴前的A断面和喷嘴出
口C断面间的伯努利方程
2 2 pC uC pA u A g 2g g 2g
u A AA uC AC
2 pA pC u AA 1 g 2 g AC 2 A
列1-1 和 3-3截面之间的伯努利方程
V32 L00 00 hw13 2g
V3 kV 2gL
虹吸管出口截面与自由液面间的高度差越 大，流出虹吸管的水流速度就越大。
气穴现象
发生原因：在实际流体流动过程中，由于流体局部流速 或位置高度增加，流体中的压强将降低，若小于相应温
度下的饱和蒸汽压，液体开始汽化，形成气泡， 使得流
它表示了距基准面为z处，流速为v，压力为p 的1N流体所具有的总机械能。
各断面水头的连线组成的水头线及能量变化图示
断面水头及水头线的几何示意
伯努利方程表明理想流体在流动过程中任意截面上总机械能 守恒。 各截面上每种形式的能量并不一定相等，它们之间可以相互 转换。流速高处压力低，流速低处压力高。
安全线
• 如图：当火车经过B点时的流速比A点大，所以 pA>pB，于是物体会被火车吸入。
不旋球
上旋球
• 图2表示不旋转球水平向左运动时周围空气的流线。球的 上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。 • 图3球旋转时会带动周围空气跟着一起旋转，致使球的下 方空气流速增大，上方流速减小。下方流速大，压强小， 上方流速小，压强大。跟不旋转相比，旋转球因为旋转而 受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
对于等截面管道中的不可压缩流动来说，V2 = V3，则可得
p2 pa g H L hw23
不发生气穴的条件
p2 pa g H L hw 23 ps pa ps g H L hw 23
【例 3-11】如图 3-32 所示，用虹吸管（ kV 0.95 ）将水从水库引入灌渠。已 知虹吸管越过坝顶时最高截面至出口截面的垂直高度 z = 6 m， 出口截面低于水库 水面 L = 2 m；若每小时吸水量 qV = 100 m3/h。求虹吸管直径 d。假设水温 20º C， 当地大气压 1.013× 105 Pa，管内最高点到出口的损失 hw 0.5m ，判断该虹吸管能 否正常吸水。
2
h
由于流动截面上的速度分布不均匀，引入修正系数，设 计良好的文丘里管修正系数大于0.9。
q A2v2
由流体静力学知，压强差可用U形管中的液位差 h 表示
p1 p2 hg 液 v2 2 gh 液
2 1 A2 A1
射流泵正常工作的条件
|pC | H，pC 为相对压强 g
【例 3-10】 设有一射流泵结构如图 3-30 所示，其吸水管高度 H = 1.5 m，水 管直径 dA= 0.025 m，喷嘴出口直径 dC = 0.01 m，喷嘴水头损失 hw = 0.6 m，A 点 表压 pA = 3×105 Pa，水管流量 qV = 2 L/s，掺入液体的相对密度为 1.2。求喷嘴出 口压力 pC ，并判断该喷射泵能否将欲掺液体吸入。 【解】 利用总流伯努利方程进行求解。列出缓变过流断面 A 和 C 之间的伯 努利方程
2 2 pC VC pA VA zA zC hw g 2g g 2g
据已知条件
zA = zC = 0；
uA
qV 4.1 m/s 2 dA / 4
uC