第4章 伯努利方程
工程流体力学(4)
(p+ p s ds)dA s (2)
τ τ
dz pdA θ
(1)
重力
dz ρgdsdA = ρgdAdz ds
ρ gdAds
两端面积力 pdA ( p + dp)dA = dpdA 粘性引起的摩擦阻力
u =0 t
z
τ 2πrds
p s ( p + ds)dA s (2)
定常流：
u u du a =u + =u s t ds
Q V = = 373 c m / s A Vd Re = = 3979 > 2300
ν
Vc = Rec
ν
d
紊流
= 216
cm / s
如果要达到层流，只需将V降到Vc,这时Q下降， 如果要维持原流量不变，采用什么方法？
§5.层流向紊流的过渡
一.脉动现象和时均化 紊流运动实质上是一种非定常运 动。如采用特定仪器（如热线风速仪） 可测出其速度变化如图所示。把这种 运动参数随时间变化的现象称为脉动 现象。同样，其它物理量也是脉动值。
lg h f = lg K + m lg V
A
C
即
h f = KV
m
B v'c
vc
lgV
损失与速度成指数关系。
由实验得出结论: 1 ) 当V < Vc时，m = 1，层流的h f ∝ V， V 与 成一次方的关系。
2 当V > Vc时，m = 1.75 2，h f ∝ V
1.75 2
由此可见,沿程损失与流动状态关系密切, 故在解此类问时,应首先判别流态。
层流
0 Vc
过渡 vc'
紊流
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
第4章 伯努利方程
dK dt
d dt
V
v dV
F
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d
dt
v dV
V
fdV
V
S
p n dS
得控制体的动量积分方程
v
V t
dV
S v vndS
fdV
V
S p n dS
3. 水流对喷嘴的作用力
喷嘴
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1)
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1)
由连续方程得
q(v2 v1) v22 A2 (1 A2 / A1)
由伯努利方程
p1
g
v12 2g
p2
g
v
2 2
2g
,
p2
pa
得
p1
pa
1 2
v22
1
A2 A1
v2
单位重量流体的动能 流速水头
2g
z v2 p 总机械能 2g g
总水头
（速度水头） （压强水头） （位置水头）
平面流场（忽略重力作用）
v2 ＋ p C
2
方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高的点上压强低，流 速低的点上压强高。
思考
1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？
4.1.2 理想流体总流的伯努利方程
)
2gh
原理：测量时将静压孔和总压孔感受到 的压强分别和差压计的两个入口相连， 在差压计上可以读出总压和静压之差， 从而求得被测点的流速。
4.4 文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
过程流体机械第四章__离心压缩机
�
4.二次流损失 叶轮叶道是弯曲的，并且其中存在着轴向漩涡。因此，叶 道中的气流速度分布是不均匀的，在工作面侧最低。而叶 道内的压力分布恰好相反。由于压差的作用，造成气流由 工作面向非工作面的流动，即二次涡流。它是一种与主流 方向相垂直的流动，加剧了叶片非工作面边界层的增厚与 分离，造成二次流损失。 二次流损失一般发生在叶轮叶道、吸气室及弯道等有急剧 转弯处，而且曲率半径越小，则损失越大。因而，为减少 二次流损失，应在这些地方取用大的曲率半径或设置导流 叶片，或适当的增加叶片数目，减轻叶片的负荷。
� 4.2离心压缩机的热力过程分析
� 一般说来，提高气体压力的主要目标就是增加单位容积内气
体分子的数量。也就是缩短气体分子件的距离。为了达到这 个目标，除了采用挤压元件来挤压气体的容积压缩方法外， 还有一种用气体动力学的方法，即离心压缩。 � 利用机器的做功元件，对气体做功，使其在离心力场中压力 得到提高，同时动能也大大增加，随后在扩张流道中流动 时，这部分动能又转变为静压能，使气体压力进一步提高。 这就是离心压缩机的增压原理。 � 本节通过各种方程，建立诸参数间的关系，以计算气流在机 器中流过多少流量，提高多少压力，获得多少能量。
� 4.2.1.连续方程
�
（1）连续方程的基本表达式
Gi = ρiQi = ρ1Q1 = ρ2Q2 = C
Qi = Giν i = Gν i = νj Qj νj νi = Qj Kν i
=G
νj Kν i
Kν i =
νj νi
1 1 Pi m Kν i = = ( ) = ε m νi Pj
Ti m1−1 ∆Ti m1−1 Kν i = = ( ) = (1 + ) νi Tj Tj νj
高数第4章第3节——可用变量代换法求解的一阶微分方程
代入原方程得 u u ln u , 即 x
u
du ln u
dx , x
du uln u , dx x
解得 ln | ln u | ln | x | ln | C | , 即: ln u Cx ,
所求通解为 ln x ln y C ln x .
*四、可化为齐次型的方程
形如
dy dx
a1 x a2 x
xx 代入原方程得 u xu ulnu, 分离变量, 两边积分,得
ln | ln u 1 | ln | x | ln | C | , 即 Cx ln u 1 , 故原方程的通解为 ln y ln x 1 Cx .
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
2) a1 a2 0的情形 b1 b2
设 a1 b1 k,则方程可改写成 a2 b2
dy dx
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令u
a2 x
b2
y,则方程化为
du dx
a2
b2
为 1)的情形, 可化为变量分离方程求解.
解题步骤:
1)
由
aa21
x x
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
解得
x y
,
2)
令
X Y
x , 方程化为 y
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g( Y ), X
3) 再令 u Y ,将以上方程化为变量分离方程 , X
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
化工原理伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hf
能量损失或 水头损失
伯努利方程应用举例
z0
p0
g
z1
p0
g
1v12
2g
z0 z1 h 1 1
v1 2gh
p
00
h
1p
0
小孔出流
❖ 4.1.4 相对运动的伯努利方程
随体坐标系将坐标固结于旋转的叶轮上。 叶轮的角速度为
2r
fx 2 x, f y 2 y, fz g
U U U dU x dx y dy z dz fxdx fydy fydy
U 1 2r2 gz 1 u2 gz
2
2
叶轮
u：随叶轮旋转的牵连速度
z p w2 u2 C
g 2g 2g
w：相对与叶轮的速度
4.2 伯努利方程在工程中的应用
皮托管 —— 测量流速
沿流线B – A 列伯努利方程：
r v dV
V t
S r vvndS
r fdV
V
S r p n dS
4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用
关于控制面
（1）与问题有关的边界面；
（2）已知物理量较多的面；
（3）流面即流线组成的面（ （此时 vn=v）
vn=0）两端截面垂直于流线
在应用控制体的动量积分方程和动量矩积分方程时，还要注 意如下几点：
(3)分析动量的变化 (流出减流进, 速度投影有 正负)，列动量方程。
4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用 1. 水流对弯管的作用力
的静压强差，根据测得的压强差和已
知的管子截面积，应用伯努里方程和
连续性方程，就可以求得流量。
连续性方程： 伯努利方程：
v1＝
A2 A1
v2
v12 ＋ p1 v22 p2 2 2
联立求解：
v1＝
（2 p2 p1) [1 ( A1 )2 ]
A2
p2 p1 gh( 1)
v1＝
2gh（1 / 1)
v
V t
dV
S v vndS
fdV
V
S p n dS
4.6.2 动量矩积分方程
根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩 H
对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 F
对同一点的力矩，即
dH dt
d dt
V
r
v dV
r F
d
dt
r
V
vdV
r
V
fdV
r
S
p n dS
根据雷诺输运方程式可得控制体的动量矩积分方程
第四章 伯努利方程
4.1 伯努利方程
伯努利（瑞典），1738，《流体动力学》 ——“流速增加，压强降低” 4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程 1. 伯努利方程的推导
欧拉运动方程＋四个假设
（1）定常流动 （2）沿流线积分 （3）质量力有势 （4）不可压缩
1）定常流场中的欧拉方程 2）将上式沿流线积分可得到伯努利方程 3）质量力有势 4）对于不可压缩流体有 ＝常数 5）质量力只有重力
间的关系。 表明：在流线上的总水头为一常数。
（2）物理意义 表明：在流线上的单位重量流体的总能量为
一常数。 因此说伯努利方程是能量转化和守恒定 律在流体力学中的具体反映。
伯努利方程
z v2 p C
2g g
物理意义 几何意义
z 单位重量流体的重力势能 位置水头
p g 单位重量流体的压强势能 压力水头
vB2 pB pA
2
pB gHB
pA gHA
vB
2
(
pA
pB
)
2gh
原理：测量时将静压孔和总压孔感受到 的压强分别和差压计的两个入口相连， 在差压计上可以读出总压和静压之差， 从而求得被测点的流速。
4.4 文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
测量原理：测量截面1和喉部截面2处 结构：收缩段＋喉部＋扩张段
（1）方程是矢量式，为计算方便，要选择适宜的坐标系，以 便于求出各项的投影值；
（2）法向分量的正负号以控制面外法向为正，向内为负； （3）方程未知数较多时，可联立连续方程和伯努利方程求
解； （4）控制面上的压力计算最好使用相对压强 p pa
动量方程求解步骤:
(1)建立坐标系, 标出控制体
(2)分析控制体所受到的力，表明控制面上各 种参数
（1）理想流体 （2）定常流动 （3）沿流线积分
（4）质量力有势 （5）不可压缩
欧拉运动方程
V 0 t
dx dy dz vx vy vz
vydx vxdy vzdx vxdz
dU U dx U dy U dz x y z
fxdx f ydy fzdz
1
dP
d
P
2. 伯努利方程的意义 （1）几何意义：用几何图形来表示各物理量之
(D / d)4 1
4.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
4.6.1 动量积分方程
根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外 界作用在该系统上的合力，即
dK dt
d dt
V
v dV
F
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d
dt
v dV
V
fdV
V
S
p n dS
得控制体的动量积分方程
4.1.2 理想流体总流的伯努利方程
动能修正系数
1 u3dA
2 A 1 v3A
2
真实流速 平均流速
与速度分布有关，分布均匀为1；不均匀大于1。一般取1
缓变流：流线间夹角很小，流线曲率很小，流线几乎是一些 平行直线的流动。
特性： （1）质量力只有重力； （2）同一缓变过流断面上，各点的静压水头相等。
z p C
g
假设 A1、A2是缓变流截面，对于微小流束：
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
u1gdA1 u2 gdA2
通过断面1和2的能量
理想流体总流
A1
( z1
p1
g
u12 2g
)u1gdA1
A2
(z2
p2
g
u22 2g
)u2gdA2
A1
( z1
p1
g
)u1gdA1
( z1
p1
v2 2g 单位重量流体的动能 流速水头
z v2 p 总机械能 2g g
总水头
（速度水头） （压强水头） （位置水头）
平面流场（忽略重力作用） v2 ＋ p C 2
方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高 的点上压强低，流速低的点上压强高。
思考
1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？
g
)v1gA1
A2
(z2
p2
g
)
u2gdA2
(z2
p2
g
)
v2
gA2
由动能修正系数定义
A1
u12 2g
u1gdA1
1
v12 2
v1 A1
A2
u22 2g
u2gdA2
2
v22 2
v2 A2
v1A1 v2 A2
z1
p1 g
1v12 2g
z2
p2 g
2v22 2g
4.1.3.实际流体总流的伯努利方程