(优选)伯努利方程
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程是物理学中最基本且重要的方程之一。
它是关于流体运动的一组非线性方程，用于以数学方法描述流体运动，它被用于解决流动问题，如气体动力学、湍流流动和热流动。
伯努利方程由英国数学家兼流体力学家约翰·尼科（John von Neumann）在1946年初提出，它是一个具有三个未知量的非线性方程组，同时反映了运动的流体的动量、动能和动量守恒的特性。
伯努利方程的首要用途是计算几何体内流体的参数，它刻画了由于抗力矢量和动量耦合而引起的湍流运动流场。
伯努利方程指定了一个n维流体中特定目标位置上物体的物理参数，它具有一个参数向量，即，流速，流体密度，力学压力，温度和能量密度。
基本伯努利方程可以写成：
∇·（ρu）=0，
∇·u=0，
∇·P+ρ∂u/∂t=ρS，
其中ρ是流体的密度，u是流速，P是静压力，t是时间，S代表的是外力。
伯努利方程被广泛地应用于可解决多维流动，如水流、风流、温度场、抗静电场和对流传输等。
在主动低频技术中，伯努利方程还用于解决超声成像，超声测量和声学设计方面的应用。
它通常被用于数值分析，以解决流动问题的复杂性，并根据实验数据预测流体的行为。
因此，伯努利方程在现代物理学中扮演着一个重要的角色，它不仅可以帮助人们更好地理解流体的行为，还可以帮助我们更特别的设计有效的模拟和预测流体的行为。
伯努利方程——精选推荐
伯努利⽅程伯努利⽅程伯努利⽅程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。
(动能定理)1、理想液体的运动微分⽅程在微⼩流束上，取截⾯积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重⼒场中沿流线运动时其⼒的平衡关系。
微元体的所受的重⼒为-ρgdAds，压⼒作⽤在两端⾯上的⼒为微元体在定常流动下的加速度为微元体的⼒平衡⽅程为上式简化后可得p，z，u只是s的函数，进⼀步简化得上式即为重⼒场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动⽅程，即欧拉运动⽅程。
2、理想液体的伯努利⽅程沿流线对欧拉运动⽅程积分得上式两边同除以g 得以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利⽅程。
伯努利⽅程推导简图物理意义：第⼀项为单位重量液体的压⼒能称为⽐压能（p/ρg ）；第⼆项为单位重量液体的动能称为⽐动能（u2/2g ）；第三项为单位重量液体的位能称为⽐位能（z）。
由于上述三种能量都具有长度单位，故⼜分别称为压⼒⽔头、速度⽔头和位置⽔头。
三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总⽔头）为⼀定值。
3．实际液体流束的伯努利⽅程实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻⼒，这必然要消耗能量，设因粘性⼆消耗的能量为hw'，则实际液体微⼩流束的伯努利⽅程为4．实际液体总流的伯努利⽅程将微⼩流束扩⼤到总流，由于在通流截⾯上速度u是⼀个变量，若⽤平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引⼊动能修正系数。
于是实际液体总流的伯努利⽅程为式中hw---由液体粘性引起的能量损失；α1，α2---动能修正系数，⼀般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。
5．伯努利⽅程应⽤举例例1 侧壁孔⼝流出速度条件: p1和p2 ，h为⾼，以⼩孔中⼼线为基准。
例2 ⽂丘利流量计例3 液压泵的最⼤吸油⾼度例4 试运⽤连续性⽅程和伯努利⽅程分析变截⾯⽔平管道各处的压⼒情况.条件:A1>A2>A3 ⽐较:流速和压⼒的⼤⼩四、动量⽅程液体作⽤在固体壁⾯上的⼒，⽤动量定理来求解⽐较⽅便。
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。
伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。
一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。
[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
1。
伯努利方程的三种形式
伯努利方程的三种形式
p+(1/2)*ρv^2+ρgz=C，这个式子被称为伯努利方程。
它也可以被表述为p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2。
一般不管高度时可简化为：p1+1/2ρv1^2=p2+1/2ρv2^2。
应用举例1
飞机为什么能够飞上天？因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称，机翼上方的流线密，流速大，下方的流线疏，流速小。
由伯努利方程可知，机翼上方的压强小，下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
应用举例2
喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出，小孔附近的压强小，容器里液面上的空气压强大，液体就沿小孔下边的细管升上来。
从细管的上口流出后，空气流的冲击，被喷成雾状。
应用举例3
汽油发动机的化油器，与喷雾器的原理相同。
化油器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置，构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时，空气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
演示文稿伯努利方程推导
d
dy
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流体的湍流 雷诺数
层流不是流动的唯一形式；
湍流：流体在管道内流动，当流速超过某一临界值，流体的层流状态
将被破坏，各流层相互混淆，局部有横向流动，呈现不规则的涡状流动 ，这种流动状态称为湍流。
在自然现象中，比较普遍的流动状态是湍流，如江河急流、烟囱 排出的废气流、大气的流动等。
第5页，共21页。
四.连续性原理
1. 推导过程：
假设：
①.取一个截面积很小的细流管，垂直于流管的同一截面上的各点流速
相同； ②.流体由左向右流动 ；
③.流体具有不可压缩性 ；
④.流体质点不可能穿入或者穿出流管 ；
⑤.在一个较短的时间t内，流进流管的流体质量等于流出流管的 流体质量（质量守恒），即：
p 1 v2 恒量 S 恒量
2
2 S1
2p1 p2
S12 S22
p1 p2 gH
流速： 2 S1
2gH S12 S22
,
1
S2
2gH S12 S22
体积流量： QV S22 S1S2
2gH S12 S22
只要读出两个竖 管的高度差，就 可以测量流速和 流量
第16页，共21页。
生活中的实例：
1. 在海洋中平行航行的两艘大轮船，相互不能靠得太近，否则 就会有相撞的危险，为什么？
2. 逆流航行的船只行到水流很急的岸边时，会自动地向岸靠拢；
3. 汽车驶过时，路旁的纸屑常被吸向汽车； 4. 简单的实验：用两张窄长的纸条，相互靠近，用嘴从两纸条
中间吹气，会发现二纸条不是被吹开而是相互靠拢，就是 “速大压小”的道理。 5. 打开的门窗，有风吹过，门窗会自动的闭合，然后又张开；
伯努利方程
伯努利方程（Bernoulli equation）伯努利方程（Bernoulli equation）理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。
对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。
在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。
在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。
图为验证伯努利方程的空气动力实验。
补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1）p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）均为伯努利方程其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静压强。
伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
图II.4-3为一喷油器，已知进口和出口直径D1=8mm，喉部直径D2=7.4mm，进口空气压力p1=0.5MPa，进口空气温度T1=300K，通过喷油器的空气流量qa=500L/min （ANR），油杯内油的密度ρ=800kg/m3。
关于伯努利方程的理论推导
关于伯努利方程的理论推导
《伯努利方程》，又称《伯努利假设》，是20世纪著名数学家Andrey Kolmogorov提出的一种概率论模型。
伯努利方程（Bernoulli Equation）表示一个有限的概率分布，它描述了一个变量的取值依赖于另外一个变量取值所产生的不同情况之间的关系。
它是概率论中最基础而重要的概念，广泛用于统计学、机器学习、金融数学以及一些实际应用场景。
伯努利方程的公式表示为：
P（X=x）=p^x (1-p)^（1-X）
其中，X为事件的发生与否，取值为0或1；p为在某种条件下某事件发生的概率。
伯努利方程的推导如下：
当X取值为1时，事件发生，其发生概率为p，即P（X=1）=p；
当X取值为0时，事件不发生，其发生概率为1-p，即P（X=0）=1-p；
以上两式相乘可得：
P（X=1）P（X=0）=P（X=1）（1-p）=p（1-p）
根据概率乘法定律，把X取值为0或1的两种情况统一表示，可得如下公式：
P（X=x）=p^x (1-p)^（1-x）
如此，便完成了伯努利方程的推导。
伯努利方程的概念广泛应用于实际，如经济统计学中经常使用它
来表示经济变量的概率分布，在信息论中，可以把它用来衡量某个信息源的信息熵，在机器学习中，用它来表示决策树以及逻辑回归算法，而且在金融数学中，还可以使用它来模拟股市中的收益概率分布。
伯努利模型的推导及应用，即实现了统计学与概率论的完美结合。
总之，伯努利方程（Bernoulli Equation）是一种有限的概率分布模型，它比较简单，易于理解，而且应用广泛，因而在统计学、信息论、机器学习以及金融数学等领域均有着重要的应用。
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动能的增量：EK
1 2
m2
2 2
1 2
m 2 11
1 2
mv22
1 2
mv12
势能的增量：EP m2gh2 m1gh1 mgh2 mgh1
根据功能原理: A Ek Ep
p1V
p2V
1 2
m22
1 2
m12
mgh2
mgh1
p1V
1 2
mv12
mgh1
p2V
1 2
mv22
mgh2
p 1 2 gh p 1 2 gh
（优选）伯努利方程
连续性方程(复习)
• 质量流量守恒： Sv 常量
流体作定常流动时，流管中各横截面的质量流 量相等。
• 体积流量守恒： Sv 常量
理想流体作定常流动时，流管中各横截面的 体积流量相等。 截面大处流速小，截面小处流速大。
• 连续性方程： • 原理：质量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v和横截面积S之间的关系 结论：Q = Sv = 常量
体位对血压的影响
p1 gh1 p2 gh2
通过计算可知，身体各部位距心脏水平 高度每升高1.3cm，则升高部位的血压将降 低0.13kPa(1mmHg)。临床全麻手术过程中， 为了使手术区域局部的脉压降低，减少出血， 将尽量使手术部位高于心脏。
测血压时，为避免体位对血压的影响， 一般选定心脏为零势能参考点，人取坐位测 定肱动脉处的动脉血压。如果将手臂抬高， 测得的血压就偏低；如果低于心脏，测得的 血压就偏高。
• 伯努利方程： • 原理：能量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v，高度h和压强p之间的关系 结论：？？？
2.2.1 伯努利方程的推导
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想 流体为研究对象
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
Y 2 Y′ p2
F2 S2
2t
h2
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
所以，液体的流速 v 2gh
A孔正对着气体流动方向，形成滞止区，
M孔截面与v平行。
pM
1 2
2
pA
Ａ孔、Ｍ孔处的压强差 为：
p p gh
A
M
1 2
2
所以流速为：
测量气体流速的皮托管
2gh
2.压强和高度的关系
条件：粗细均匀管
p1 gh1 p2 gh2
即：流体在粗细均匀的管中流动时，高 处的压强小，低处的压强大。利用这一原 理可解释体位对血压测量的影响。
20m
s
由伯努利方程得
vB
p A
1 2
v
2 A
gh A
pB
1 2
vB2
ghB
pB
pA
1 2
v
2 A
1 2
vB2
ghB
hA
2105 1 1000122 1 1000 202 1000 9.8 2
2
2
5.24104 Pa
2.2.2 伯努利方程的应用
1压强和流速的关系及举例（水平管） 2压强和高度的关系及举例（均匀管） 3伯努利方程的解题思路
pV 1 mv2 mgh 常量 pV 1 Vv2 Vgh 常量
2
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
的单位：k g
m3
m2 s2
kg m2
m s2
N m2
— 动压强
gh
的单位：kg
m3
m s2
m
kg m2
m s2
p
静压强
V等于一个单位体积(如1m3)时，…
p
的单位：N
m2
m3
2 1
1
1
2 2
2
2
X、Y两截面在流管中的位置选取上是任意的
对任意截面有 p 1 2 gh constant
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
单位体积流体的动能
— 动压强
gh 单位体积流体的重力势能
静压强
p
单位体积流体的压强能
疑问1：p为压强，另外两项为能量，量纲不 一致？
疑问2：p为何称为单位体积的压强能？
3.利用伯努利方程解题
1、常与连续性方程联合使用 2、选择待求点和最简单点(已知量最多) 列方程 3、选择方便解题的零势能参考面 4、不熟悉特殊形式，可列出完整形式
【例题2】水从一个大容器里放出。确定出口处 的流速
p1
1 2
12
gh
p2
1 2
2 2
由于Ｓ1>>Ｓ2，故有
υ1<<υ2，可视υ1≈０。又因 为p1=p2=p0，有
点的压强为 2×105 Pa ，A 点的
截面积为 100 cm2 ， B 点的截
面积为 60 cm2 。假设水的粘性
可以忽略不计，求 A、B 两点的
流速和 B 点的压强。
解：水可看作不可压缩的流体
由连续性方程 SAvA SBvB Q 得
vA
Q SA
0.12 102
12m12 60104
1.压强和流速的关系
条件：水平管
p1
1 2
v12
p2
1 2
v22
p 1 v2 常量
2
结论：流速小的地方压强大， 流速大的地方压强小。
压强和流速的关系应用举例
1) 空吸现象 2) 汾丘里流量计 3) 皮托管
12 喷雾器
空吸现象
S1>S2 → v1<v2 →p1>p2 p2<p0 →空吸现象
水流抽气机
根据功能原理推导伯努利方程 外力的总功=机械能增量
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想
流体为研究对象
Y 2 Y′ p2
F2 S2
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
2t
h2
S11Δt = S2 2Δt =V
m1 = m2 = m
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
外力的总功：A = p1S1 1Δt - p2S22Δt =p1 V -p2 V
∴ 1 S2
2 gh
(
S2 1
S
2 2
)
气体的流量：
Q S11 S1S2
2gh
(S12
S
2 2
)
皮托管
直管下端A处流速不变，弯 管下端B处流体受阻，形成 速度为零的“滞止区”.
vA=v， vB=0
pA
1 2
v 2
pB
开口A与v相切,开口B逆着液体流向
pB pA gh （h为两管中液面高度差）
汾丘里流量计
∵
p 1 2 p 1 2
2 1
1
2 2
2
S11 S22
△h
p1 p2 gh
∴
v1 S2
2gh S12 S22
p2 S2
p1υ1
流体的流量：
S1
Q S11 S1S2
2gh S12 S22
气体流量计
∵
p1
1 2
12
p2
1 2
2 2
S11 S22
p1 p2 gh
N
m
伯努利方程的结论
• 前提：理想流体做定常流动（同一流管内） • 结论：在作定常流动的理想流体中，同一流
管的不同截面处，每单位体积流体的动能、 势能、压强能之和为一常量。
即： p 1 v2 gh 常量
2
压强、流速和高度的关系
【例题1】设有流量为 0.12 m3/s
vB
的水流过如图所示的管子。A